4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 內(nèi)容 基本要求 略高要求 較高要求 平方根、算術(shù)平方根 了解平方根及算術(shù)平方根的概念，會用根號表示非負數(shù)的平方根及算術(shù)平方根 會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根 立方根 了解立方根的概念，會用根號表示數(shù)的立方根 會用立方根運算求某些數(shù)的立方根 實數(shù) 了解實數(shù)的概念 會進行簡單的實數(shù)運算 二次根式及其性質(zhì) 了解二次根式的概念，會確定二次根式有意義的條件 會運用二次根式的性質(zhì)進行化簡，能根據(jù)二次根式的性質(zhì)對代數(shù)式做簡單變型，在給定條件下，確定字母的值 板塊一 平方根、立方根、實數(shù) 實數(shù)可按下圖進行詳細分類： 0 正 整 數(shù)整 數(shù)負 整 數(shù)有 理 數(shù) 有 限 小 數(shù) 或 無 限 循 環(huán) 小 數(shù)正 分 數(shù)實 數(shù)分 數(shù)負 分 數(shù)正 無 理 數(shù)無 理 數(shù) 無 限 不 循 環(huán) 小 數(shù)負 無 理 數(shù)實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng) . (以下概念均在實數(shù)域范圍內(nèi)討論 ) 平方根的定義及表示方法： 如果一個數(shù)的平方等于 a ，那么這個數(shù)叫做 a 的平方根 也就是說，若 2，則 x 就叫做 a 的平方根 一個非負數(shù) a 的平方根可用符號表示為 “ a ” 算術(shù)平方根： 一個正數(shù) a 有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的平方根叫做 a 的算術(shù)平方根，可用符號表示為 “ a ”； 0有一個平方根，就是 0 ， 0 的算術(shù)平方根也是 0 ，負數(shù)沒有平方根，當然也沒有算術(shù)平方根 .（負數(shù)的平方根中考要求 例題精講 實數(shù) 基本概念及化簡 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 在實數(shù)域內(nèi)不存在，具體內(nèi)容高中將進學習研究） 一個非負數(shù)的平方根不一定是非負數(shù)，但它的算術(shù)平方根一定是非負數(shù)，即若 0a ，則 0a . 平方根的計算： 求一個非負數(shù)的平方根的運算，叫做開平方 開平方與平方是互逆運算，可以通過平方運算來求一個數(shù)的平方根或算術(shù)平方根，以及檢驗一個數(shù)是不是另一個數(shù)的平方根或算術(shù)平方根 通過驗算我們可以知道： 當被開方數(shù)擴大 (或縮小 ) 2n 倍，它的算術(shù)平方根相應(yīng)地擴大 (或縮小 )n 倍 ( 0n ) 平方根和算術(shù)平方根與被開方數(shù)之間的關(guān)系： 若 0a ，則 2()； 不管 a 為何值，總有2 ( 0 )| ( 0 ) 注意二者之間的區(qū)別及聯(lián)系 若一個非負數(shù) a 介于另外兩個非負數(shù)1a、2120 a a a 時，它的算術(shù)平方根也介于1a、2：120 a a a 利用這個結(jié)論我們可以來估算一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的大致范圍 立方根的定義及表示方法： 如果一個數(shù)的立方等于 a ，那么這個數(shù)叫做 a 的立方根 ，也就是說，若 3 ,則 x 就叫做 a 的立方根， 一個數(shù) a 的立方根可用符號表 “3a ”，其中 “3 ”叫做根指數(shù)，不能省略 . 前面學習的 “ a ”其實省略了根指數(shù) “2 ”，即： 2a 也可以表示為 a . 3a 讀作 “三次根號 a ”， 2a 讀作 “二次根號 a ”， a 讀作 “根號 a ”. 任何一個數(shù)都有立方根，且只有一個立方根， 正數(shù)的立方根為正數(shù)，負數(shù)的立方根為負數(shù)， 0 的立方根為 0 . 立方根的計算： 求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方，開立方與立方是互逆運算，可以通過立方運算來求一個數(shù)的立方根，以及檢驗一個數(shù)是不是另一個數(shù)的立方根 通過歸納我們可以知道： 當被開方數(shù) (大于 0)擴大 (或縮小 ) 3n 倍，它的立方根相應(yīng)地擴大 (或縮小 )n 倍 3 3， 33() 若一個數(shù) a 介于另外兩個數(shù)1a、212a a a， 它的立方根也介于 312 33312a a a利用這個結(jié)論我們可以來估算一個數(shù)的立方根的大致范圍 一、實數(shù)的概念 【例 1】 在實數(shù) 0 1 2 0 3 5， ， ， 中無理數(shù)的個數(shù)是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考點】 實數(shù)及其分類 【難度】 1 星 【題型】 選擇 【關(guān)鍵詞】 2009 年，義烏市中考試題 【解析】 略 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 【答案】 B 【例 2】 22 2 9 3 . 1 4 0 . 6 1 4 1 4 0 . 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 17 L， ， ， ， ， ，這 7 個實數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考點】 實數(shù)及其分類 【難度】 2 星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 1983 年，河北省初中數(shù)學競賽試題 【解析】 2 0 . 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 L， ， 是無理數(shù)。 【答案】 D 【例 3】 有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器原理如圖所示，則當輸入 x 為 64 時，輸出的 y 是（ ） 是無理數(shù) 輸出 8 B 22 C 23 D 32 【考點】 實數(shù)及其分類 【難度】 2 星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 【解析】 略 【答案】 B 【例 4】 證明 2 是無理數(shù)。 【考點】 簡單數(shù)論 【難度】 5 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】競賽，反證法 【解析】略 【答案】用反證法。假設(shè) 2 不是無理數(shù)，則 2 是有理數(shù)，設(shè) 2 是互質(zhì)的正整數(shù)） 兩邊同時平方后，整理得 222，所以 p 一定是偶數(shù)。 設(shè) 2（ m 是自然數(shù)），代入上式得 2 2 2 24 2 2m q q m， 。 所以 q 是也是偶數(shù)， p 與 q 均為偶數(shù)和 互質(zhì)矛盾， 所以 2 不是有理數(shù)，于是 2 是無理數(shù)。 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 【例 5】 說明 邊長為 1 的正方形的對角線的長度為 2 。 【解析】如圖 1，四邊形 邊長為 1 的正方形，它的面積為 1， 的面積為 12將 4 個與 一樣大的三角形拼成一個正方形 它的面積是 2，所以它的邊長 2, 也就是說正方形 對角線長度為 2 。 A【例 6】 下面有四個命題： 有理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù) 有理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù) 無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù) 無理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù) 請你判斷哪些是正確的，哪些是不正確的，并說明理由。 【考點】 簡單數(shù)論 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】設(shè) 是有理數(shù)， ， 是無理數(shù) 若 ，則 ，此式左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，它是不成立的， 故 a 是無理數(shù)。 正確。 當 0a 時， 0a 是有理數(shù)， 不正確 當 22 ， 時， 0是有理數(shù)，故 不正確 當 2 時， 2 是有理數(shù)，故 不正確 【答案】 正確； 不正確； 不正確； 不正確 【例 7】 已知在等式 ax b d 中， a b c d， ， ， 為有理數(shù)， x 是無理數(shù)。 （ 1）當 a b c d， ， ， 滿足什么條件是， s 是有理數(shù)？ （ 2）當 a b c d， ， ， 滿足什么條件是， s 是無理數(shù)？ 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 【考點】 簡單數(shù)論 【難度】 5 星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 競賽 【解析】顯然有 0cx d ，于是有 c x d s a x b ，且 不能同時為 0。 （ 1）將上式整理得 a c s x d s b 。 當 s 是有理數(shù)時，應(yīng)有 0a ，否則有 ds ，此式左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，不能成立。 于是有 0a 從而 0ds b 若 0c ，則 0a ，此時應(yīng)有 0d ， 有理數(shù) 若 0c ，則由 得 代入 ，得 0ad ，即 ad ，此時 有理數(shù) （ 2）當 s 是有理數(shù)時，若 0c ，則 0a ，故若 0c ，且 00， 時， s 是無理數(shù)； 若 0c ，則 ad ，若 0c ，且 ad 時， s 是無理數(shù)。 當 0c ，且 0a ， 0d 時，或 0c ，且 ad 時， s 是無理數(shù) 【答案】（ 1）若 0c ，則 0a ，此時應(yīng)有 0d ， 有理數(shù) 若 0c ，則由 得 代入 ，得 0ad ，即 ad ，此時 有理數(shù) （ 2）當 0c ，且 0a ， 0d 時，或 0c ，且 ad 時， s 是無理數(shù) 【例 8】 若 是不等于 1 的有理數(shù)，求證： 【考點】 簡單數(shù)論 【難度】 5 星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】競賽 【解析】 略 【答案】 因為 是不等于 1 的有理數(shù)，所以可設(shè) a b qa b p （ 為整數(shù)， 00， ）， 所以 a b p a b q ， p q b q p a ， 故 a p qb q p 。因為 p q q p， 均為整數(shù)，且 ， 所以 【例 9】 已知 是兩個任意有理數(shù)，且 ，問是否存在無理 數(shù) ，使得 成立？ 【考點】 簡單數(shù)論 【難度】 5 星 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】競賽 【解析】 2 1 0 ， ， 2 1 2 1 ，即 2 2 1a b a 又 22a b b b b ， 22a b b b ，即 2 1 2b a b 由 、 有 2 2 1 2a b a b ，所以 212， 取 21 22 2222ba b a b ， 2，是有理數(shù)，且 02，所以 22是無理數(shù)。 即存在無理數(shù) ，使得 。 二、 數(shù)的開方 【例 10】 | 9| 的平方根是（ ） A 81 B 3 C 3 D 3 【考點】數(shù)的開方 【難度】 2 星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 2009 年，湖北省荊門市中考試題 【解析】略 【答案】 B 【例 11】 下列命題中，真命題是（ ） A 22001 的平方根是 2001 B 49 的平方根是 7 C 64 8 D若 22，則 22 【考點】數(shù)的開方 【難度】 2 星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 1995 年，浙江省 溫州市中考試題 【解析】 D 【例 12】 16 的平方根是 ； 2( 的平方根是 ； 2( 2) 的平方根是 . 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 【考點】數(shù)的開方 【難度】 1 星 【題型】判斷 【關(guān)鍵詞】 安順市中考試題 【解析】 略 【答案】 2 【例 13】 若 42 9，則 A 的算術(shù)平方根是 _。 【考點】數(shù)的開方 【難度】 2 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 2007 年，肇慶市八年級數(shù)學競賽初賽試題 【解析】 2 9a 【答案】 2 9a 【例 14】 判斷下列各題，并說明理由 81 的平方根是 9 ( ) a 一定是正數(shù) ( ) 2a 的算術(shù)平方根是 a ( ) 若 2( ) 5a，則 5a . ( ) 93 . ( ) 6 是 2( 6) 的平方根 ( ) 2( 6) 的平方根是 6 ( ) 若 2 36x ，則 36 6x . ( ) 若兩個數(shù)平方后相等，則這兩個數(shù)也一定相等 ( ) 如果兩個非負數(shù)相等，那么這兩個數(shù)各自的算術(shù)平方根也一定相等 ( ) 算術(shù)平方根一定是正數(shù) ( ) 2a 沒有算術(shù)平方根 ( ) 64 的立方根是 4 ( ) 12是 16的立方根 ( ) 3 3 ( ) 互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù) ( ) 正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的偶數(shù)次方根，任何數(shù)都有唯一的奇數(shù)次方根 ( ) 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】判斷 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 、 、 、 、 、 正確 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 【例 15】 設(shè) a 是 整數(shù)，則使 1989a 為最小正有理數(shù)的 a 的值是 _。 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 1989 年，第 3 屆中華少年杯初二數(shù)學邀請賽 【解析】因為 21 9 8 9 3 1 3 1 7 ，故應(yīng)取 13 17 221a 。 【答案】 221 【例 16】 已知： 20n 是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù) n 為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】判斷 【關(guān)鍵詞】江西省中考 試題 【解析】 略 【答案】 D. 【例 17】 若 22( 2)a ，則 a ； 若 22( ) ( 3)x ，則 x . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 2 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 2 ； 3 . 【例 18】 若 22x ，則 (2 5)x 的平方根是 ；若 2 5x ，則 x . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 3 ； 5 . 【例 19】 方程 12x 的根是 . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 1 星 【題型】判斷 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 【關(guān)鍵詞】上海市中考試題 【解析】 略 【答案】 3x . 【例 20】 已知某正數(shù)的兩個平方根是 35a 與 1a ，求這個正數(shù) 【考點】數(shù)的開 方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】由已知可得： ( 3 5 ) ( 1) 0 ，則 1a ，所以這個正數(shù)為 2( 1) 4a . 【答案】 4 【例 21】 若一正數(shù)的平方根是 36a 與 29a ，求這個正數(shù) 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，所以 ( 3 6 ) ( 2 9 ) 0 ， 3a ，這個正數(shù)是 2(2 9) 9a . 【答案】 9 【例 22】 一個數(shù)的平方根是 22和 4 6 13 ，求這個數(shù) 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】根據(jù)題意可得： 22( ) ( 4 6 1 3 ) 0a b a b 所以 2 2 2 24 4 6 9 ( 2 ) ( 3 ) 0a a b b a b ，則 2a ， 3b 這個數(shù)為 2 2 2 2( ) 1 3 1 6 9 【答案】 169 【例 23】 已知 為兩個連續(xù)整數(shù)，且 7，則 _。 【考點】數(shù)的開方 【難度】 2 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 2008 年，長沙市中考試題 【解析】由已 知得 23， ， 5 【答案】 5 【例 24】 已知數(shù) 14 的小數(shù)部分是 b ，求 4 3 21 2 3 7 6 2 0b b b b 【考點】數(shù)的開方 【難度】 4 星 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 0 3 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】因為 9 14 16，即 3 14 4，所以 14 的整數(shù)部分是 3。 設(shè) 14 3 b ，兩邊同時平方得 214 9 6 ， 所以 2 65。故 4 3 21 2 3 7 6 2 0b b b b 4 3 2 22 6 3 6 6 2 0b b b b b 2226 6 2 0b b b b 25 5 20 10 【答案】 10 【例 25】 當 0m ， 2m 的算術(shù)平方根是 . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 1 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 m . 【例 26】 2()算術(shù)平方根是 ，則 a b . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 2 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 . 【例 27】 若一個自然數(shù)的一個平方根是 m ，那么比它大 1 的自然數(shù)的平方根是 . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 2 1m. 【例 28】 平方根等于本身的數(shù)是 ，算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是 ，立方根等于它本身的數(shù)是 ；平方根與立方根相等的數(shù)是 . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 1 3 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案 】 0 ； 0 和 1 ； 0 和 1 ； 0 . 【例 29】 8 的立方根是（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 【考點】數(shù)的開方 【難度】 1 星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 A 【例 30】 3 27 的絕對值是（ ） A 3 B 3 C 13D 13【考點】數(shù)的開方 【難度】 1 星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 A 【例 31】 38 的相反數(shù)是 ； 64 的立方根是 . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 1 星 【題型】判斷 【關(guān)鍵詞】威海 市 中考 試題 【解析】 略 【答案】 2 ； 2 【例 32】 平方根等于本身的數(shù)是 ，算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是 ，立方根等于它本身的數(shù)是 ；平方根與立方根相等的數(shù)是 . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 1 星 【題型】判斷 【關(guān)鍵詞】 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 2 3 【解析】 略 【答案】 0 ； 0 和 1 ； 0 和 1 ； 0 . 【例 33】 若 3 1 5 8 4 8 1 ，則 3 1815848 _. 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】判斷 【關(guān)鍵詞】 【解析】 略 【答案】 122 . 【例 34】 3332 1 6 0 0 0 1 0 . 1 2 5 【考點】數(shù)的開方 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 6 0 1 0 8 . 【答案】 【例 35】 若 22( 3)x ， 33( 2)y ，求 所有可能值 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 由題意可知 3x ， 2y ，所以 3 2 1 或 3 2 5 . 【答案】 1 或 5 【例 36】 求 x 的值 21 (5 1) 3 03 x ； 【考點】數(shù)的開方 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 2(5 1) 9x ， 5 1 3x ，1 25x ，2 45x ； 【答案】1 25x ，2 45x ； 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 3 3 【例 37】 求 x 的值 3(1 0 0 . 2 ) 0 . 0 2 7x 【考點】數(shù)的開方 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 33( 1 0 0 . 2 ) 0 . 0 2 7 ( 0 . 3 )x ， 10 ， ； 【答案】 【例 38】 331 2 5 7 3 5 1116 4 1 6 8 ； 【考點】數(shù)的開方 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 5 3 7 3442 ； 【答案】 3； 【例 39】 已知 3(2 ) 27 ， 2 3 5，求 21(3 ) 的值 (n 為正整數(shù) ). 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 根據(jù)題意可得： 232 3 25 ，解得 27， 31 ， 21(3 ) 1 【答案】 1 【例 40】 已知 2a 的平方根是 2 ， 27 的立方根是 3 ，求 22的平方根 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 101 中學實驗班單元練習 【解析】 2a 的平方根是 2 ， 27 的立方 根是 3 ， 24a ，即 6a 22 7 3 2 7 ，即得 8b ， 2 2 2 26 8 1 0 0 ， 22的平方根是 10 【答案】 10 【例 41】 已知 的負的平方根是 3 ， 的立方根是 3 ，求 25的平方根 . 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 4 3 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 101 中學實驗班單元練習 【解析】根據(jù)題意可得： 927，解得 189， 2 5 81，其平方根為 9 . 【答案】 9 【例 42】 已知 3 ， 2( 0y )，且 2(4 ) 8( 4)， 33 ( ) 18，求 值 . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 2(4 ) 8， 48 ， 4， 48； 又 33 ( ) 18， 18 ，解得 2a ， 16b ， 進而可得 8x ， 4y ， 32. 【答案】 32 【例 43】 243是 3a 的算術(shù)平方根， 32 3是 3b 的立方根，求 的立方根 . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】根據(jù)題意可得： 2 4 23 2 3 ，解得 14， 2x ， 1y ， 3 1 . 【答案】 1 【例 44】 若 3 21y 和 313x 互為相反數(shù)，求 【考點】數(shù)的開方 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 若 3 3 0，則 0 2 1 1 3 0 ， 23， 23 【答案】 23【例 45】 求 2 2 2 21 9 9 5 1 9 9 5 1 9 9 6 1 9 9 6 的平方根 . 【考點】數(shù)的開方 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】換元法 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 5 3 【解析】 設(shè) 1995x ，則 2 2 2 21 9 9 5 1 9 9 5 1 9 9 6 1 9 9 6 2 2 2 2( 1 ) ( 1 )x x x x 2 2 2 22 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )x x x x x x x x 22( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 )x x x x x x 21 2 ( 1 ) ( 1 )x x x x 22 2( 1 ) 1 1 9 9 5 ( 1 9 9 5 1 ) 1 ( 3 9 8 2 0 2 1 ) 2 2 2 21 9 9 5 1 9 9 5 1 9 9 6 1 9 9 6 的平方根是 3982021 【答案】 3982021 【例 46】 設(shè) 3320082006 20082008 20082007 20082005a ，求 3a 【考點】數(shù)的開方 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】換元法 【解析】 設(shè) 20082006m ，則 3 3 3 2 3 3 3( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) 8 1 2 6 1 ( 2 1 ) ( 2 2 0 0 8 2 0 0 6 1 ) 4 0 1 6 4 0 1 3a m m m m m m m m 【答案】 40164013 【例 47】 若 a ， b ， c 為兩兩不等的有理數(shù)，求證：2 2 21 1 1( ) ( ) ( )a b b c c a 為有理數(shù) . 【考點】分式恒等 證明 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】換元法 【解析】 原式2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c b c c a a b c a 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c b c c a a b c a 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )a b b c c a 22 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c c a a b b c c a 即2 2 21 1 1( ) ( ) ( )a b b c c a 為有理數(shù) 【例 48】 （ 1995 年第 6 屆希望杯全國數(shù)學邀請賽試題）設(shè) x 表示不大于 x 的最大整數(shù)，如 3 ，則1 2 3 1 0 0 _ _ _ _ _ _ L。 【考點】數(shù)的開方 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】估算 【解析】 1 2 3 1 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 6 3 4 5 6 7 8 2 9 1 0 1 1 1 5 3 L 1 6 1 7 2 4 4 L 8 1 8 2 9 9 9 L 100 10。 原式 1 3 2 5 3 7 4 9 5 1 1 6 1 3 7 1 5 8 1 7 9 1 9 1 0 6 2 5 【答案】 625 板塊二 二次根式 二次根式的概念： 形如 a （ 0a ）的式子叫做二次根式 二次根式的基本性質(zhì)： 0a （ 0a ）雙重非負性； 2()（ 0a ）； 2 ( 0 ) ( 0 ) 【例 49】 x 取何值時，下列各式有意義： 2x 12 x 23 2 1 3 11 x x 【考點】二次根式的概念 【難度】 2 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 此題的關(guān)鍵有兩點： 被開方數(shù)大于或等于 0 ； 分母不等于 0 0x ； 2x 且 2x ，即 2x ； 2x 且 3x ； 1 32 x ； 0x 且 1x ； x 取任意數(shù) 【答案】 被開方數(shù)大于或等于 0 ； 分母不等于 0 0x ； 2x 且 2x ，即 2x ； 2x 且 3x ； 1 32 x ； 0x 且 1x ； x 取任意數(shù) 【例 50】 x 取何值時，下列各式有意義？ 36x ； 25； 112x 【考點】二次根式的概念 【難度】 2 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 當 3 6 0x 即 12x時， 36x 有意義 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 7 3 當 2050 ，時， 25有意義解得： 2x 且 5x 當 10x 且當 1 2 0x 時， 112x 有意義 1x 且 12x 即 1x 且 3x 【答案】 當 3 6 0x 即 12x時， 36x 有意義 當 2x 且 5x 1x 且 3x 【例 51】 當 a _時，二次根式 3x 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。 【考點】 二次根式的概念 【難度】 1 星 【題型】 填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 3x 【例 52】 當 a _時， 11 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義 【考點】 二次根式的概念 【難度】 2 星 【題型】 填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 1 【例 53】 當 x 滿足 _時， 2 5 3 2 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。 【考點】 二次根式的概念 【難度】 2 星 【題型】 填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】 略 【答案】 5322x 【例 54】 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A a B 2a C 2a D 3a 【考點】 二次根式的概念 【難度】 2 星 【題型】 選擇 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 8 3 【答案】 B 【例 55】 若代數(shù)式 2 1 3 1 2 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則 x 的取值范圍是（ ） A 12xB 12xC 12xD x 可取一切值 【考點】 二次根式的概念 【難度】 2 星 【題型】 選擇 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 C 【例 56】 式子 32意義，則 x 的取值范圍是（ ） A 3x 且 0x B 3x 且 0x C 0x D 3x 【考點】 二次根式的概念 【難度】 2 星 【題型】 選擇 【關(guān)鍵詞】 2009 年，青海省，中考試題 【解析】略 【答案】 A 【例 57】 x 是怎樣的實數(shù)時，下列二次根式有意義 ? （ 1） 3x （ 2） 16x（ 3） 211（ 4） 25 （ 5） 23x【考點】 二次根式的概念 【難度】 2 星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 （ 1） 3x ；（ 2） 6x ；（ 3） 12x 且 1x ；（ 4） 25x ；（ 5） 0x 且 9x 【例 58】 下列哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ （ 1） 33 （ 2） 2 2x （ 3） 50 【考點】 二次根式的概念 【難度】 2 星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 （ 1）是；（ 2）不是；（ 3）是 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 9 3 【例 59】 當 x 取何值時，式子2實數(shù)范圍內(nèi)有意義 【考點】二次根式的概念 【難度】 1 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】利用分式 0條件 00 或 ，把此題轉(zhuǎn)化為解兩個不等式組的問題 由 02得 020 或 020 解得 0x 或 2x 當 0x 或 2x 時，原式在實數(shù)范圍內(nèi)由意義 點評：記住 0條件為 00 或 00 ， 0的條件為 00 或 00 【答案】當 0x 或 2x 【例 60】 當 x 時，22 23有意義 【考點】二次根式的概念 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】通過觀察可以發(fā)現(xiàn) 22 2 3 1 2x x x 一定是一個正數(shù)，這樣就將原式有意義的條件2 2 023且 2 2 3 0 轉(zhuǎn)化為 20x ，解不等式得 2x 點評：判定 2 23是正數(shù)是關(guān)鍵，同理， 22 2 3 1 2x x x 是負數(shù) 【例 61】 設(shè) 3 1221x ，求使 y 有意義的 x 的取值范圍 . 【考點】 二次根式的概念 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 202 1 0，即 1 22 x . 【答案】 1 22 x 【答案】 2x 【例 62】 觀察下列各式： 1 1 1 1 1 11 2 ; 2 3 ; 3 43 3 4 4 5 5 ，請你將猜想的規(guī)律用含有自然數(shù) 1的等式表示出來： _。 4數(shù) 基本概念及化簡 題庫教師版 0 3 【考點】 規(guī)律探索 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 略 【答案】 11122 【例 63】 求代數(shù)式 12x x x 的最小值 . 【考點】 二次根式的概念 【難度】 3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】第 12 屆，希望杯邀請賽 【解析】根據(jù)題意可得： 01020 ，即 2x ，當 2x 時， 12x x x 有最小值 12 . 【答案】 12 【例 64】 已知 a 為實數(shù)，且滿足 2 0 0 2 0 1a a a ，求 2200a 的值 . 【考點】 二次根式的概念 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】人大附單元測試 【解析】由題意 可知 201a ，所以原式可變形為 2 0 0 2 0 1a a a ， 所以 201 200a ， 2201 200a ，即 2200 201a 【答案】 201 【例 65】 已知： 4 3 2 2 2 3 2b a a ，求 11平方根 . 【考點】 二次根式的概念 【難度】 4 星 【題型】解答 【關(guān)