1 2016 年 5 月北京市懷柔 區(qū)高三數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺 試題 一、三角 1 已知函數(shù) f (x)= 32 21. ( ) 求 f ( 125)； ( ) 求函數(shù) f (x)圖象的對(duì)稱軸方程 . 解： ( )因?yàn)?f (x) 3 2x6) , 所以 f ( 125) 2 3 . (7 分 ) ( ) 令 2x6= k 2(k Z), 得 x=32 k, 所以函數(shù) f (x)圖象的對(duì)稱軸方程是 x=32 k(k Z). (14 分 ) 2 已知函數(shù) ( )求()f 的值 ; ( )求使 14立的 x 的取值集合 解 : (1) 41)2122( 41)32(2(41)621 以. (2)由 (1)知 , )2,2()62(0)62141)621)(f .),12,127(.),12,127( 所以不等式的解集是：3 在 中，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c. 設(shè) 3A ， . （ ）若 7a ，求 b 的值； （ ）求 值 . （） 解 ：因?yàn)?， 2 由正弦定理 s i n s i n s i na b C， 得 3. 3 分 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A 及 3A， 7a ， 5 分 得 227 b c ， 所以 222( ) 733 ， 解得 3b . 7 分 （） 解 ：由 3A，得 23. 所以 2 s i n ( ) 3 s i C. 8 分 即 31c o s s i n 3 s i C， 11 分 所以 35c o s s i 所以 3. 13 分 4 已 知函數(shù) 1 s i n 2()c o s x. (1)求 () (2)設(shè) 是第二 象限的角，且 =34，求 ()f 的值 . 二、數(shù)列 知126，2312. 3 （ ）求 數(shù)列 （ ）設(shè) 2244 求數(shù)列 計(jì)算1 2 3 4 1 0 0b b b b b 解： （ ）設(shè) 等比數(shù)列 q ， 由已知116a a q， 21112a q a q， 2分 兩式相除，得 2q . 4分 所以1 2a ， 6分 所以數(shù)列 . 7分 （ ）設(shè) 等差數(shù)列 d ， 則1 4，1 3 16， 9分 解得1 2b ， 6d ， 11 分 1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 9 9 1 0 0( ) ( ) ( )b b b b b b b b b b b 12 分 5 0 3 0 0d . 13分 2 數(shù)列 ，滿足1 1=+， 3 2a . （ ） 求 數(shù)列 （ ） 若 1()3 ，求 n 項(xiàng)和 解： （ ） 由已知得1 1-=數(shù)列 公差 1d 又3 2a ，得1 0a ，所以 1 （ ） 由 （ ） 得， 11()3 ， 所以 111( 1 1 ) ( 2 ) ( )33 211 1 11 ( 1 2 3 )3 3 3 n n 111 ( )( 1 ) 3 3 ( 1 )3 2 213n n 三、概率統(tǒng)計(jì) 1育新中學(xué)的高二、一班男同學(xué)有 45 名，女同學(xué)有 15名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個(gè) 4 人的課外興趣小組 （）求某同學(xué)被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)； （）經(jīng)過一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論，這個(gè)興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，方法是先從小組里選出 1 名 4 同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，該同學(xué)做完后，再從小組內(nèi)剩下的同學(xué)中選一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率； （）試驗(yàn)結(jié)束后，第一次做試驗(yàn)的同學(xué)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為 6 8 , 7 0 , 7 1, 7 2 , 7 4，第二次做試驗(yàn)的同學(xué)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為 6 9 , 7 0 , 7 0 , 7 2 , 7 4，請(qǐng)問哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定？并說明理由 . 解：（） 416 0 1 5nP m 某同學(xué)被抽到的概率為 115 2分 設(shè)有 x 名男同學(xué)，則 4560 4x， 3x 男、女同學(xué)的人數(shù)分別為 3,1 4分 （）把 3 名男同學(xué)和 1名女同學(xué)記為1 2 3, , ,a a a b，則選取兩名同學(xué)的基本事件有1 2 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 2 3( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,a a a a a b a a a a a b a a a a a 3( , ) , ( , ) , ( , )b a b a b 2種，其中有一名女同學(xué)的有 6 種 選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率為 6112 2P 8分 （ ）1 6 8 7 0 7 1 7 2 7 4 715x ，2 6 9 7 0 7 0 7 2 7 4 715x 2221( 6 8 7 1 ) ( 7 4 7 1 ) 45s L， 2222( 6 9 7 1 ) ( 7 4 7 1 ) 3 . 25s L 第二同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定 12分 2 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得 10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20分，出現(xiàn)三次音樂獲得 100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200 分 (即獲得 200 分 )設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為 12，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立 (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為 X， 求 X 的分布列 (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因 解： (1)X 可能的取值為 10， 20， 100， 200. 根據(jù)題意，有 P(X 10) 121 1 122 38， P(X 20) 122 1 121 38， P(X 100) 123 1 120 18， P(X 200) 120 1 123 18. 所以 X 的分布列為 ： 5 X 10 20 100 200 P 38 38 18 18 (2)設(shè) “ 第 i 盤游戲沒有出現(xiàn)音樂 ” 為事件 Ai(i 1， 2， 3)，則 P( P( P( P(X 200) 18. 所以 “ 三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂 ” 的概率為 1 P( 1 183 1 1512 511512. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是 511512. (3)由 (1)知， X 的數(shù)學(xué)期望為 10 38 20 38 100 18 200 18 54. 這表明，獲得分?jǐn)?shù) X 的均值為負(fù) 因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大 四、立體幾何 1 如圖，在四棱錐 P 中， 平面 底面 菱形，點(diǎn) O 是對(duì)角線 交點(diǎn) ， 2， 60o ， M 是 中點(diǎn) ( )求證 ： 平面 ( )平面 平面 ( )當(dāng) 三 棱錐 C 的體積等于 32時(shí) ， 求 長 證明： （ ） 因?yàn)?在 ， O ， M 分別是 中點(diǎn) ， 所以 又 平面 平面 所以 平面 5分 ( )因 為 底面 菱形， 所以 C 因?yàn)?平面 平面 所以 D 又 A AI ， 所以 平面 6 又 平面 所以平面 平面 10 分 （ ） 因?yàn)?底面 菱形， 且 2， 60o ， 所以 3 又C P B D P B C ， 三棱錐 P 的高為 所以 13332 ， 解 得 32 14 分 2. 已知在 ， B=90o， D， E 分別為 邊 中點(diǎn) ，將 折后，使之成為四棱錐C （如圖） . （ ）求證 ： 平面 （ ）設(shè) 平面 C 面 l ，求證 ： l； （ ） 若 C D ， 2， 3， F 為棱 一點(diǎn)， 設(shè)， 當(dāng) 為何值時(shí)，三棱錐 C 體積是 1？ 證明：（） B=90o， D， E 分別為 中點(diǎn) 1 分 C D ， E 3 分 又 C D B D DI 4分 平面 5 分 （） 面 面 面 7 分 又 面 面 面 l 9 分 l 10 分 （） C D ， C D ， E D B D DI ， 平面 1C D B 1 1C D F B C 11 分 又因?yàn)?， ， 1C ， 1 1 1 1 1 1 1 3C A D F A C D F A C D B C A D B A D V V C D S 3 11 13分 解得 2 14分 3 如圖，三角形 梯形 在的平面互相垂直， C ， /,2A F A C A F C E ， G 是線段 一點(diǎn)， 2A B A F B C . （ ）當(dāng) F 時(shí)，求證： /面 （ ）求二面角 E 的余弦值； （ ）是否存在點(diǎn) G 滿足 平面 并說明理由 . 解：（ ）取 點(diǎn) D ，連接 , 又 F ，所以 /2D . 因?yàn)?/2E ，所以 /E ,四邊形 平行四邊形， 所以 /G 因?yàn)?平面 平面 所以 /面 （ ）因?yàn)槠矫?平面 平面 面 且 C ， 所以 平面 所以 B ， C 因?yàn)?B ，所以 平面 如圖，以 A 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 A . 則 ( 0 , 0 , 2 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 2 , 1 )F B C E， (0, 2, 0)BC平面 一個(gè)法向量 . 設(shè)平面 法向量 ( , , )x y zn ，則 0, 2 0,2 2 0 令 1y ，則 2, 2 ，所以 ( 2,1, 2) n , 所以 1c o s ,3| | |C nn nu u u u 由題知二面角 E 為鈍角，所以二面角 E 的余弦值為 13. （ ）因?yàn)?( 2 , 0 , 2 ) ( 2 , 2 , 1 ) 2 0B F A E u u ur u u 所以 垂直 , 所以不存在點(diǎn) G 滿足 平面 4正 邊長為 4， 上的高， E、 F 分別是 的中點(diǎn)，現(xiàn)將 折成直二面角 A B（如圖（ 2） 在圖形（ 2）中： （）試判斷直線 平面 位置關(guān)系，并說明理由； （）求二面角 E C 的余弦值； （）在線段 是否存在一點(diǎn) P，使 明你的結(jié)論 . 解： 法一：（ I）如圖：在 ，由 E、 F 分別是 點(diǎn)，得 又 平面 平面 面 3 分 （ 二面角 A B 的平面角 4 分 面 9 取 中點(diǎn) M，這時(shí) 面 M 作 點(diǎn) N，連結(jié) 二面角 E C 的平面角 6 分 在 ， ， 3 3， 21 8 分 （）在線段 存在點(diǎn) P，使 9 分 證明如下： 在線段 取點(diǎn) P。使 過 P 作 點(diǎn) Q， 面 10 分 3 3231 ， 0 12 分 法二：（）以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 x 軸、 y 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A（ 0， 0， 2） B（ 2， 0， 0） C（ 0， )0,3,1(),1,3,0(),0,32 4 分 平面 法向量為 )2,0,0(設(shè)平面 法向量為 ),( 則00即 )3,3,3(0303 6 分 721|,c o s 所以二面角 E C 的余弦值為721 8 分 （）在平面坐標(biāo)系 ，直線 方程為 323 設(shè) )2,332,(),0,332,( 1340 10 分 10 所以在線段 存在點(diǎn) P，使 12 分 另解：設(shè)3 32023),0,( 又 )0,32,(),0,2( 323)32)(2(/ 把 43 32 代入上式得所以在線段 存在點(diǎn) P 使 12 分 五 、 導(dǎo)數(shù) 1. 已知 曲線 :C 2( ) 2 e 1x x a x . （ ）求函數(shù) ()0, (0)f 處的切線； （ ） 當(dāng) 1a 時(shí)，求曲線 C 與直線 21的交點(diǎn)個(gè) 數(shù)； （） 若 0a ，求證：函數(shù) ()0, ) 上單調(diào)遞增 . 解： （ ） (0) 1f ， 因?yàn)?( ) ( 2 2 ) e 2x a x a x ， 所以 (0) 2f ， 所以函數(shù) ()0, (0)f 處的切線為 21. （ ） 當(dāng) 1a 時(shí)， 2( ) 2 e 1xf x x x 曲線 C 與直線 21的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程 ( 2 e 2 ) 0 的解的 個(gè)數(shù)相同， 0x 顯然是該方程的一個(gè)解 . 令 ( ) 2 e 2xg x x ，則 ( ) 2 e 1 由 ( ) 0得 因?yàn)?時(shí) ( ) 0， 時(shí) ( ) 0 所以 () , 上單調(diào)遞減，在 () 上 單調(diào)遞增 所以 () 1g ， 因?yàn)?ln e 1，所以 (0g ， 因?yàn)?(0) 0g ， 2(2) 2e 0g ， 11 所以 ()，一個(gè)大于 所以兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn) . （） ( ) 2 ( 1 ) e x a x a x 因?yàn)?0a ，所以當(dāng) 0x 時(shí)， 0，所以 1 1, e 1 所以 ( ) 2 ( 1 ) e 2 ( 1 ) 2 0x a x a x a x a x 所以函數(shù) ()0, ) 上單調(diào)遞增 . 2 設(shè)函數(shù) ( ) ln af x ， . （）當(dāng) (e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) )時(shí)，求 () （）討 論函數(shù) ( ) ( )3xg x f x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （）若對(duì)任意 0 ， ( ) ( ) 1f m f 恒成立，求 a 的取值范圍 解：（） ()0, ) ， 當(dāng) a e 時(shí)， f(x) ln x f(x) x 當(dāng) x (0， e)時(shí)， f(x)0， f(x)在 (e， )上單調(diào)遞增 x e 時(shí)， f(x)取得極小值 f(e) ln e 2， f(x)的極小值為 2. （）由題設(shè) g(x) f(x) 1x2x3(x0)， 令 g(x) 0，得 a 13x(x0)， 設(shè) (x) 13x(x0)， 則 (x) 1 (x 1)(x 1)， 當(dāng) x (0， 1)時(shí)， (x)0， (x)在 (0， 1)上單調(diào)遞增； 當(dāng) x (1， )時(shí)， (x)23時(shí)，函數(shù) g(x)無零點(diǎn)； 當(dāng) a 23時(shí)，函數(shù) g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng) 00） 綜上所述，當(dāng) a23時(shí)，函數(shù) g(x)無零點(diǎn)； 當(dāng) a 23或 a0時(shí)，函數(shù) g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)； 12 當(dāng) 00)， (*)等價(jià)于 h(x)在 (0， )上單調(diào)遞減 由 h(x) 1x2 10在 (0， )上恒成立， 得 a x x 122 14(x0)恒成立， a14 （對(duì) 14a， h(x)=0 僅在 12x時(shí)成立）， a 的取值范圍是 14， . 3 已知函數(shù) ( ) , ( ) l n ( )xf x e g x x m 。直線 :l y kx b經(jīng)過點(diǎn) ( 10)P ， 且與曲線 ()y f x 相切。 （ 1）求切線 l 的方程。 （ 2）若關(guān)于 x 的不等式 ()kx b g x 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的最大值。 （ 3）設(shè) ( ) ( ) ( )F x f x g x，若函數(shù) ()證0 11 2- x 。 13 4 知函數(shù) 2 2 , 0()l n , 0x x a ,其中 a 是實(shí)數(shù) , ( )A x f x,22( , ( )B x f 圖象上的兩點(diǎn) ,且12 ( )指出函數(shù) () ( )若函數(shù) ()且2 0x ,證明 :211; ( )若函數(shù) ()求 a 的取值范圍 . 解 :( )函數(shù) ()1,( ,單調(diào)增