房山區(qū) 2015 年高三二模 數(shù) 學(xué)（文科） 本試卷共 4 頁， 150 分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng) 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 。 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 。 （ 1） 若 集合 | 2 1A x x ， B 0，則 （ A） ( ,0) （ B） ( ,1 （ C） 2,0) （ D） (1, ) （ 2） 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間 (0, ) 上單調(diào)遞增的 是 （ A） 3 （ B） （ C） （ D） 2 （ 3） 在 ，“3A ” 是 “ 1 的 （ A） 充分而不必要條件 （ B） 必要而不充分條件 （ C） 充分必要條件 （ D） 既不充分也不必要條件 （ 4） 若 ,1, 則 2z x y 的最大值為 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D）2（ 5） 執(zhí)行如圖所示的程序框圖 ，若輸入 A 的值為 2， 則輸出的 n 值為 （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 （ 6） 已知 接圓的圓心為 O ，且 1 ()2A O A B A C 夾角為 （ A）6（ B）4（ C）3（ D）2（ 7） 直線 3y 被 圓 22( 2 ) ( 3 ) 4 截得的弦長(zhǎng)為 23，則 k （ A） 33（ B） 3 （ C） 33（ D） 3 （ 8） 為促進(jìn)資源節(jié)約型和環(huán)境友好型社會(huì)建設(shè)，引導(dǎo)居民合理用電、節(jié)約用電，北京居民 生活用電試 行階梯電價(jià) . 其 電價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下表： 用戶 類別 分檔電量 （千瓦時(shí) /戶 電價(jià)標(biāo)準(zhǔn) （元 /千瓦時(shí)） 試行階梯電 價(jià)的用戶 一檔 1） 檔 241） 檔 400 以上 京市 某戶 居民 2016 年 1 月的平均電費(fèi)為 /千瓦時(shí)） ，則該用戶 1 月份的 用電量為 （ A） 350 千瓦時(shí) （ B） 300 千瓦時(shí) （ C） 250 千瓦時(shí) （ D） 200 千瓦時(shí) 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。 （ 9） 若 ( 2 i)i ，其中 ,， i 是虛數(shù)單位，則 22_. （ 10） 為了調(diào)查野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)內(nèi)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，調(diào)查人員某天 捕 到這種動(dòng)物 120 只，做好標(biāo)記后放回，經(jīng)過一星期后， 又捕 到這 種動(dòng)物 100 只，其中做過標(biāo)記的有 8 只，按概率方法估算， 該 保護(hù)區(qū)內(nèi)有 _只這種動(dòng)物 . （ 11）33 , 0 ,()1 l o g , 0 則 ( ( 1)等于 _. （ 12）某幾何體的正 （主） 視圖和俯視圖如圖所示， 則該幾何體的體積的最大值為 _ . （ 13） 拋物線 2 4 的坐標(biāo)為 _，過 F 的直線與拋物線交于 ,線段 中點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)為 4，則線段 長(zhǎng)度為 _. 正 （ 主 ） 視圖俯視圖4114（ 14）觀察下面的數(shù)表 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 該表中第 6 行最后一個(gè)數(shù)是 _；設(shè) 2016 是該 表的 m 行第 n 個(gè)數(shù)，則 三、解答題 共 6 小題，共 80 分 。 解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 。 （ 15） （ 本小題 13 分） 已知函數(shù) 2( ) 3 c o s ( ) 2 c o x x . （） 求 ()3f 的 值和 () （） 求 ()0, 上的取值范圍 （ 16） （本小題 13 分） 已知數(shù)列 n 項(xiàng)和 2 26nS n n （） 求 通項(xiàng)公式 ； （）求 2 5 8 3 1na a a 值 . （ 17） （本小題 13 分） 隨著 2022 年北京冬奧會(huì)的成功申辦，冰雪項(xiàng)目已經(jīng)成為北京市民冬季休閑娛樂的重要方式 為普及冰雪運(yùn)動(dòng)，寒假期間學(xué)校組織高一年級(jí)學(xué)生參加冬令營 其中一班有 3 名男生和 1 名女生參加，二班有 1 名男生和 2 名女生參加 活動(dòng)結(jié)束時(shí)，要 從 參加冬令營的 學(xué)生中選出 2 名進(jìn)行展示 （） 若要 從 一 班和二班參加冬令營的學(xué)生中各任選 1 名，求選出的 2 名學(xué)生性別相同的 概率 ； （）若 要 從 參加冬令營的這 7 名 學(xué)生中任選 2 名，求選出的 2 名學(xué)生來自不同班級(jí)且性 別不同的 概率 （ 18） （ 本小題 14 分） 如圖，等腰直角三角形 正方形 在的平面互相垂直， E ， 2， 面 且 1 （）求證： 平 面 ； （）求證： 平面 （）求點(diǎn) C 到平面 距離 （ 19） （本小題 13 分） 已知函數(shù) 1()e xf x x. （） 求函數(shù) () （） 若 直線 y 曲線 ()y f x 沒有公共點(diǎn)，求 實(shí)數(shù) k 的取值范圍 . （ 20） （ 本小題 14 分） 已知 橢圓 C ： 221( 0)， 點(diǎn) ( 4,0)A ， (0,2)B 和 點(diǎn) ( , ) ( 0 )P m n m 都在橢圓 C 上， B ，且直線 x 軸交于 點(diǎn) M . （）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率； （）求 點(diǎn) P 的坐標(biāo) ； （ ）若以 M 為圓心、 r 為 半徑的圓在 橢圓 C 的內(nèi)部，求 r 的取值范圍 . 數(shù)學(xué)（文）答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 201604 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D C D A B 二、 填空題：每小題 5 分，共 30 分（ 第一空 3 分，第二空 2 分） 9. 5 10. 1500 11. 2 12. 4 13. (0,1) 10 14. 126, 507 三 、 解答題： 本大題共 6 小題 ,共 80 分 15（共 13 分） 解 : 2( ) 3 c o s ( ) 2 c o s 3 s i n c o s 122 xf x x x x 4 分 2 s ) 16x 6 分 （ ） ( ) 2 s i n ( ) 1 33 3 6f 8 分 () 9 分 （ ） 因?yàn)?0, x， 所以 7 , 6 6 6x 所以 1s i n ( ) ,1 62x 所以 2 s i n ( ) 1 0 , 3 6x 即 ( ) 0,3 13 分 16（共 13 分） 解： （） 當(dāng) 1n 時(shí)， 1 25a 2 分 當(dāng) 2n 時(shí)， 221 ( 2 6 ) ( 2 6 ) 2 2 7n n S n n n n n 4 分 1 25a 也滿足上式 5 分 所以 27 6 分 （）由（）知 2 23a ，31 2 ( 3 1 ) 2 7 6 2 9na n n 8 分 所以 31是首項(xiàng)為 23，公差為 等差數(shù)列 10 分 所以 22 5 8 3 1 ( 2 3 6 2 9 ) 3 2 62n a a a n 13 分 17（共 13 分） 解 ：一班的 3 名男生記作1 2 3,A A A,1 名女生記作 B ；二班的 1 名男生記作 a , 2 名女生記作12,） 從 一班和二班的學(xué)生中各任選 1 名的所有可能結(jié)果為 (a)， ( ( (a)， ( ( (a)， ( ( (B， a)， (B， (B， 共 12 種情況 2 分 其中 2 名學(xué)生性別相同的情況有 (a)， (a)， (a)， (B， (B， 共 5 種 4 分 所以 所求概率為 512 6 分 （） 從 7 名學(xué)生中任選 2 名學(xué)生 的所有可能的情形為 ( ( (B)， (a)， ( ( ( (B)， (a)， ( (B)， (a)， ( ( (B， a)， (B， (B， (a， (a， (b1， 21 種情況 9 分 2 名學(xué)生來自不同班級(jí)且性別不同的有 ( ( ( ( ( (B， a)， 共 7 種情況 11 分 故所求概率為 7121 3 13 分 18（共 14 分） （） 因?yàn)?平面 平面 所以 B 2 分 因?yàn)?正方形，所以 C 所以 平面 4 分 （） 設(shè) 點(diǎn)為 O ，連結(jié) ,因?yàn)?斜邊長(zhǎng)為 2 等腰直角 三角形 所以 B 且 1 5 分 因?yàn)?平面 平面 平面 面 B 所以 平面 6 分 平面 所以 且 1C 7 分 所以 平行四邊形 所以 8 分 又 平面 平面 所以 平面 9 分 （） 在直角三角形 , 2 , 1B C D C F C 所以 5F 在正方形 22 所以 1 2 2 5 2 62B D 11 分 設(shè) 點(diǎn) C 到平面 距離 h 由 F 1 1 13 2 3 B D D C F C S h 13 分 解得 63h 14 分 19（共 13 分） 解 （ ） 11( ) 1 x 2 分 令 ( ) 0f x 得 0x , ( ), ( )x f x f x 變化情況 x ( ,0) 0 (0, ) ()f x - + () 增 所以 函數(shù) () ,0) 為減函數(shù)，在區(qū)間 (0, ) 為增函數(shù) 5 分 （） 解法一： 直線 y 曲線 ()y f x 沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于 方程 1x 1( 1)當(dāng) 1k 時(shí)，顯然方程無實(shí)數(shù)解； 6 分 當(dāng) 1k 時(shí)，方程變形為 11 設(shè) () xg x 則 ( ) ( 1 )x x x e x e e x 7 分 令 ( ) 0g x 得 1x 在區(qū)間 ( , 1) 上 ( ) 0g x ，在區(qū)間 ( 1, ) 上 ( ) 0g x 所以 ()區(qū)間 ( , 1) 上單調(diào)遞減， ()區(qū)間 ( 1, ) 上單調(diào)遞增 9 分 所以，當(dāng) 1x 時(shí)， ()得最小值 1( 1) 10 分 要使方程 11 需 111 11 分 解得 11 13 分 綜上 k 的取值范圍為 (1 ,1e 解法二： 直線 y 曲線 ()y f x 沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于 方程 1x 0x 不是該方程的解，所以等價(jià) 方程 11xk 設(shè) 1( ) 1 ( 0 )xg x 2 2 2( 1 ) ( 1 )() x x xx x xe x e e x x x e x e x e 令 ( ) 0g x 得 1x 在區(qū)間 ( , 1) 上 ( ) 0g x ， 在區(qū)間 ( 1,0) 上 ( ) 0g x ，在區(qū)間 (0, ) 上 ( ) 0g x 所以 () ( , 1) 上遞增，在 ( 1,0) 上遞減 ， 在 (0, ) 上遞減 所以，當(dāng) 1x 時(shí)， ()得 極大 值 ( 1) 1 x 無 限增大時(shí) ， () 所以 ()( ,1 (1, )e U 方程 11xk k 的取值范圍為 (1 ,1e 解法三： 因?yàn)?直線 y 曲線 ()y f x 沒有公共點(diǎn)， 所以 方程 1x e，即 1( 1)所以直線 ( 1)y k x 與 曲線 1()有公共點(diǎn)， 設(shè)過點(diǎn) (0,0)O 的 直線 l 與 曲線 ()xh x e 相切于點(diǎn)001( , )xx ( )e， 所以直線 l 的 斜率001xk e所以直線 l 的 方程為00 011()x 因?yàn)?直線 l 過點(diǎn) (0,0)O ， 所以0 1x ， 所以0 11 因?yàn)?直線 ( 1)y k x 與 曲線 1()交點(diǎn) 所以 10 ，即 11 20（共 14 分） 解： （） 易知 4, 2 所以 22 23c a b 所以 橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程是 22116 4； 2 分 離心率為 32ce a 4 分 （） 易知 12 5 分 因?yàn)?P ， 所以 2 6 分 所以 方程為 22 7 分 所以 2222116 4 解 得32173017 或 00（舍） 所以點(diǎn)