數(shù)學(xué)試題第 1頁(yè)（共 11頁(yè)） x x5 y 10x y f y 揚(yáng)州市 2015年度高三第四次模擬測(cè)試 數(shù) 學(xué) 試 題 （ 全卷滿分 160 分，考試時(shí)間 120 分鐘 ） 2016 5 注意事項(xiàng)： 1 答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號(hào)等信息填寫(xiě)在答卷規(guī)定的地方 2試題答案均寫(xiě)在答題卷相應(yīng)位置，答在其它地方無(wú)效 一、填空題（本大題共 14小題，每小題 5分，共 70 分，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卷相應(yīng)位置） 1已知集合 | 1 2 A x x ， Z 是整數(shù)集，則 2若復(fù)數(shù) z 滿足 1iz i （ i 為虛數(shù)單位），則 z 3 命題 “ 2, 1 0x R x x ”的否定 4已知 中， 21, 2 ,3a b C ，則邊 c 的長(zhǎng)度為 5 下面是一個(gè)算法的偽代碼如果輸出的 y 值是 20， 則輸入的 x 值是 6 在區(qū)間 2,1 內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則該數(shù)為正數(shù)的概率是 7在三棱錐 P 中， 兩垂直，且 3 , 2 , 1P A P B P C ，則三棱錐 P 體積為 8 已知 且 為銳角，則 9在平面直角坐標(biāo)系 ，如果直線 l 將圓 22 4 2 0x y x y 平分，且不經(jīng)過(guò)第四象限，那么 l 的斜率的取值范圍是 10 已知等邊 中，若 1 ()3A P A B A C， A Q A P t A B，且 Q ，則實(shí)數(shù) t 的值為 11 設(shè)雙曲線 )0,0(12222 ，右準(zhǔn)線 l 與兩條漸近線交于 P、 果 是等邊三角形，則雙曲線的離心率是 （第 5 題圖） 數(shù)學(xué)試題第 2頁(yè)（共 11頁(yè)） 12 設(shè)函數(shù)2l o g ( ) ( 0 )() 2 ( 0 )x x ，若關(guān)于 x 的方程 2 ( ) ( ) 0f x a f x恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 13 已知數(shù)列 n 項(xiàng)和，且21（ n ）若不等式 2016對(duì)任意 n 恒成立，則實(shí)數(shù) 的最小值為 14 已知函數(shù) 32()f x a x b x c x d 在 O、 A 兩點(diǎn)處取得極值，其中 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)， A 在曲線 2s i n ( , )33y x x x 上，則曲線 ()y f x 的切線斜率的最大值為 二、解答題 （ 本大題共 6 小題，計(jì) 90 分 解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò) 程或演算步驟 ） 15（本小題 滿分 14 分） 已知向量 ( s i n ( ) , 1 )2， (1, c o s ( ) )2( 0 , 0 )4 ， 記 函數(shù)( ) ( ) ( )f x a b a b 若 函數(shù) ()y f x 的周期為 4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1(1, )2M （ 1）求 的值； （ 2）當(dāng) 11x 時(shí)，求函數(shù) () 16（本小題 滿分 14 分） 在三棱錐 P A， D 分別為邊 中點(diǎn)，且 3 , 8 , 5 B C C D （ 1）求證：平面 平面 （ 2）若平面 面 l ，求證： /l 16 題圖） 數(shù)學(xué)試題第 3頁(yè)（共 11頁(yè)） 17 （本小題 滿分 14 分） 某工廠生產(chǎn)某種黑色水筆，每百支水筆的成本為 30 元，并且每百 支 水筆的加工費(fèi)為 中 m 為常數(shù)，且 36m）設(shè)該工廠黑色水筆的出廠價(jià)為 x 元 /百支（ 35 40x ），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷售 量與 反比例，當(dāng)每百支水筆的出廠價(jià)為 40 元時(shí)，日銷售量為 10萬(wàn)支 （ 1） 當(dāng)每百支水筆的日售價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的利潤(rùn) y 最大，并求 y 的最大值 （ 2） 已知工廠 日利潤(rùn)達(dá)到 1000元才能保證工廠的盈利若 該 工廠在出廠價(jià)規(guī)定的范圍內(nèi)，總能盈利， 則每百 支 水筆的加工費(fèi) m 最多為多少元？（精確到 ） 18（本小題 滿分 16 分） 已知橢圓 22 1 ( 0 )xy 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4，橢圓的離心率為 32設(shè)點(diǎn) M 是橢圓 上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 的直線分別交 x 軸、 y 軸于 A、 B 兩點(diǎn) 上，且滿足13B （ 1）求證：線段 長(zhǎng)是一定值； （ 2）若點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，一過(guò)原點(diǎn) O 且與直線 行的直線與橢圓交于 P、 Q 兩點(diǎn)（如圖），求四邊形 積的最大值，并求出此時(shí)直線 y Q P N M B A O x （ 第 18 題圖） 數(shù)學(xué)試題第 4頁(yè)（共 11頁(yè)） 19（本小題 滿分 16 分） 數(shù)列 d ( 0)d 的等差數(shù)列，它的前 n 項(xiàng)和記為列 1)q 的等比數(shù)列，它的前 n 項(xiàng)和記為 若 110，且存在不小于 3 的正整數(shù) , （ 1）若1 1a， 2d ， 3q ， 4m ，求 （ 2）若1 1a， 2d ，試比較2說(shuō)明理由； （ 3）若 2q ，是否存在整數(shù) , 86若存在，求出 ,不存在，說(shuō)明理由 20（本小題 滿分 16 分） 已知函數(shù) ()1 a x R （ 1）求函數(shù) () （ 2）當(dāng) 1,2x 時(shí)， () ，求 實(shí)數(shù) a 的值； （ 3）試問(wèn)過(guò)點(diǎn) (02)P ， 可作多少條直線與曲線 ()y f x 相切？并說(shuō)明理由 數(shù)學(xué)試題第 5頁(yè)（共 11頁(yè)） 2015年度 高三第四次模擬 測(cè)試 數(shù) 學(xué) 試 題 參 考 答 案 2016 5 一、填空題 1 0,1 2 1i 3 “ 2, 1 0x R x x ” 4 7 5 2 或 6 6 237 1 8 359 10, 210 2311 2 12 1, ) 13 1201714 32二、解答題 （ 本大題共 6 小題，計(jì) 90 分 解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 ） 15解：（ 1） 2222( ) ( ) ( ) s i n ( ) c o s ( ) c o s ( 2 )22f x a b a b a b x x x 4 分 由題意得：周期 2 4T ，故26 分 （ 2） 圖象過(guò)點(diǎn) 1(1, )2M， 1c o s ( 2 )22 即 1，而 04，故 26，則 ( ) c o s ( )26f x x 10 分 當(dāng) 11x 時(shí)， 23 2 6 3x 1 c o s ( ) 12 2 6x 當(dāng) 13x時(shí)，) 1，當(dāng) 1x 時(shí)，() 2 14 分 16 證：（ 1） A， D 分別為邊 中點(diǎn)，且 8 /C 且 4 3,A 5D 2 2 2S A A D S D 90 即 D B 3 分 C ， B A ， 平面 平面 平面 平面 平面 7 分 （ 2） /C ， 平面 平面 平面 10 分 平面 平面 面 l /l 14 分 17 解：（ 1）設(shè)日銷量為40 1000401000 則日售量為 401000 日利潤(rùn) 401000( 3 0 )x m e 即 401 0 0 0 ( 3 0 )xe x my e ，其中 35 40x 3 分 令 0y 得 31 當(dāng) 34m時(shí)， 34 31 35m 當(dāng) 35 40x 時(shí)， 0y 數(shù)學(xué)試題第 6頁(yè)（共 11頁(yè)） 當(dāng) 35x 時(shí)， y 取最大值，最大 值為 51000(5 ) 5 分 當(dāng) 46m時(shí)， 35 31 37m ，函數(shù) y 在 35,31 m 上單調(diào)遞增，在 31 ,40m 上單調(diào)遞減 當(dāng) 31時(shí)， y 取最大值 91000 7 分 當(dāng) 34m時(shí)， 35x 時(shí)，日利潤(rùn)最大值為 51000(5 )元 當(dāng) 46m時(shí)， 31時(shí)，日利潤(rùn)最大值為 91000 元 8 分 （ 2）由題意得： 401 0 0 0 ( 3 0 ) 1000xe x 對(duì) 35, 40x 恒成立 10 分 則4030 對(duì) 35, 40x 恒成立 設(shè)40( ) 3 0x ， 35,40x 404 0 4 0( ) 1e 則 ()35,40 上單調(diào)增，則m i n 51( ) ( 3 5 ) 5h x h e ， 即515m e 每百 支 水筆的加工費(fèi) m 最多約為 答：每百 支 水筆的加工費(fèi) m 最多約為 14 分 18解：（ 1）由題意得： 2432 ，則 231b 橢圓方程為： 2 2 14x y 3 分 設(shè)00( , )M x y，則 220 0 14x y13B 且 A、 B 分別在 x 軸、 y 軸上 003( , 0 ) , ( 0 , 3 )2A x B y 22 2 2 200 0 09 9 9 ( ) 944 x y y 3為定值 7 分 （ 2）方法（一）設(shè)11( , )P x y / A x ， 220044 則直線 02 9 分 0022214y 22 01 220022 01 22004161616 2222 002 2 2 20 0 0 04 1 6 6444 1 6 1 6 O P x y x y 點(diǎn) M 到直線00: 2 0P Q y x x y的距離：0 0 0 0 0 02200| 2 | | 3 |24x y x y x 12 分 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 222 0 0 0 0003 | | ( 4 4 )182 2 1 2 1 22 2 1 6 4 4 1 616四 邊 形 M P N Qx y x y y P Q dx y y 數(shù)學(xué)試題第 7頁(yè)（共 11頁(yè)） 42002012 31 ，令 203 1, 1t y t ，則 242002011() 1 4 133 ( 5 )3 1 9 9t t 當(dāng)且僅當(dāng) 2t 時(shí)，取等號(hào)；即 203 1 2y 時(shí)，m a x( ) 4四 邊 形 M P N ，此時(shí)220018,3324 16 分 方法（二）設(shè)直線 k ，則003 232P Q A k ，則直線 y ， 直線 y ， 9 分 解方程組 22,1,4y y 2214Mx k ，用 2k 代 k 得，221 1 6Px k ， 由橢圓的對(duì)稱性知 2 2 2002 2 2 1 | | O M x y k x ， 點(diǎn) P 到直線 2| | | ( 2 ) | 3 | |1 1 1p p p p pk x y k x k x k k k ， 12 分 由橢圓的對(duì)稱性知，四邊形 面積 12 2 6 | | | |2P M N M M N d x k x 2 2 2 2 2222 22 4 | | 2 4 2 4 2 4 4,11 4 1 1 6 ( 1 4 ) ( 1 1 6 ) 16 4 2 0 2 6 4 2 0kk k k k k k 當(dāng)且僅當(dāng) 221 64 ，即 24k 時(shí) 取等號(hào)， 所以，四邊形 面積的最大值為 4，此時(shí)直線 4k 16 分 19 解：（ 1） 34 3 2 7 ，即 2 1 27k ， 14k ，14 196A 3 分 （ 2）依題意， 22 4且 1 21，顯然 1q 又 2222 11 ( 2 1 ) 1 mm qB k ， 所以2 2 222 1 ( 2 1 ) 1 41 k q 2 2 2 21 ( 2 1 ) 4 ( 4 1 ) 1 k q k q ， 6 分 設(shè) 2 2 2 2( ) ( 2 1 ) 4 ( 4 1 )f x k x k x k ， 2(1 ) ( 2 1 ) 1 0 它是關(guān)于 x 的二次函數(shù)，它的圖象的開(kāi)口向上， 數(shù)學(xué)試題第 8頁(yè)（共 11頁(yè)） 它的對(duì)稱軸方程 224 12 ( 2 1)kx k ，故 ()1, ) 上的增函數(shù)， 所以當(dāng) 1x 時(shí) ( ) (1) 0f x f，即220，所以22 9 分 （ 3）依題 意： 11 2 b a ， 由 86：118621a a q ak q ， 即11 111 22 862 1 2mm k ， 4 8 6 2 1 2 8 6224 8 6 4 8 6m ， 12 分 所以1516344 21 ， 因?yàn)?92 512 ，故 19m ，且 5 1 6 4 1 2 9 4 3 4 3 ， 且 121m 為奇數(shù) 則其中 12 1 129m 時(shí)，151621m 是整數(shù)， 故 17m ， 8m 且 340k 16 分 20 解：（ 1）2211( ) a a x x x ， 0a 時(shí)， ( ) 0在 (0, ) 上恒成立，則 ()調(diào)遞減區(qū)間 (0, ) ， 0a 時(shí)， 令 10 則 1即 10 時(shí)， ( ) 0，則 () 單調(diào)遞減區(qū)間1(0, )a 3 分 （ 2） 12a， ()1,2 上 單調(diào)遞減，m i n 1( ) ( 2 ) l n 2 02f x f a ， 解得： 112 2a ，適合題意； 1a ， ()1,2 上 單調(diào)遞增，m i n( ) (1 ) 1 0f x f ，無(wú)解； 1 12 a， ()1, 調(diào)遞減 ， 1 ,2調(diào)遞增 ，m i n 11( ) ( ) l n 0f x f a ，解得 ： ，舍去； 綜上 可得： 12 8 分 （ 3） 0a 時(shí)， 有 1 條 切線； 0a 時(shí)， 有 2 條 切線 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是00( , ( )x f x，依題意：002( ) 2 10f x a 即00011l n 2a x ， 化簡(jiǎn)得：002 l n 2 0a x 設(shè) 2( ) l n 2F x a x ， 0x 故函數(shù) ()0, ) 上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是曲線切線的條數(shù) 10 分 22( ) a a x x x 數(shù)學(xué)試題第 9頁(yè)（共 11頁(yè)） 當(dāng) 0a 時(shí)， 2( ) 2，在 (0, ) 上恰有一個(gè)零點(diǎn) 1； 11 分 當(dāng) 0a 時(shí)，2 2( ) 0x在 (0, ) 上恒成立， ()0, ) 上單調(diào)遞減， 且 (1) 0 ， 2( ) 2 0Fe e 故 ()1, )e 上 有且只有一個(gè) 零點(diǎn)， 當(dāng) 0a 時(shí)， ()0, ) 上恰有一個(gè)零點(diǎn)； 12 分 0a 時(shí)， ()(0, )a 上遞減，在 2( , )a 上遞增， 故 ()0, ) 上至多有兩個(gè)零點(diǎn)，且 (1 ) 2 2 0F a a 又函數(shù) 在 (1, ) 單調(diào)遞增，且值域是 (0, ) ， 故對(duì)任意實(shí)數(shù) a ，必存在0 (1, )x ，使0 2ln ax a，此時(shí) 0 0 0002 2 2( ) l n 2 ( l n ) 0aF x a x a a xx x a 由于 2 1， 即函數(shù) (), ) 14 分 1 1 1( 1 ) 1 1 21( ) 2 ( 1 ) 2 2 ( 2 3 )a a aa a aF e e a a a e a 先證明當(dāng) 0a 時(shí)， 11 2( 2 )a ，即證 11 2 l n ( 2 ) 若 (0,2)a ， 113 ，而 2 2 ) 2 a ，由于 2 6 3 若 2, )a ，構(gòu)建函數(shù) 1( ) 1 2 l n ( 2 )x x ， 322 2 21 2 2 ( 1 ) 2 ( ) 1 02 ( 2 ) ( 2 )x x x x x x x x ()x 在 2, ) 為增函數(shù)， 1( ) ( 2 ) 3 2 l n 4 02a 綜上 0a 時(shí)， 11 2( 2 )a ，所以 11 2 2 2 22 2 ( 2 ) 2 3 ( 2 5 ) 2 3a ae a a a a a a a ，故 1(1 )( ) 0a 又 1( 1 )(1 ) 0 , 1a ，所以在 1(1 )( ,1)a 必有一零點(diǎn) 當(dāng) 0a 時(shí)， ()0, ) 上 有兩 個(gè)零點(diǎn) 綜上： 0a 時(shí)， 有 1 條 切線； 0a 時(shí)， 有 2 條 切線 16 分 數(shù)學(xué)試題第 10頁(yè)（共 11頁(yè)） 數(shù) 學(xué) 試 題 參考答案 21（ B） 解：因?yàn)?2 1 131 11 ， 則 2313，解得 12所以 1221A 5 分 由212( ) ( 1 ) 4 021f ， 所以 ( 1)( 3) 0 21 1, 3 1 所 以 另 一 個(gè) 特 征 值 是 10 分 21（ C） 解： 直線 l 的參數(shù)方程為 12a t（ t 為參數(shù)） 所以直線的直角坐標(biāo)系方程是： 2 2 0x y a 2 分 圓的 直角坐標(biāo)系方程是： 2224 （ ） ，圓心（ 2， 0），半徑 2r 4 分 設(shè)圓心到直線的距離為 d， 22 11 42d ， 所以 52d 7 分 又 4 2 2 5255 所以 9122a 或 10 分 22 解：（ 1）設(shè) “恰 有一個(gè)數(shù)據(jù)為過(guò)度上網(wǎng) ” 為事件 A，則 213 1 2 4( ) ( )3 3 9P A C 3 分 （ 2） 甲組六人中有兩人過(guò)度上網(wǎng)，乙組六人中有四人過(guò)度上網(wǎng) ，則 224222666( 0 ) 225C 1 1 2 1 1 24 2 2 2 4 4226656( 1 ) 225C C C C C C 1 1 1 1 2 2 2 24 2 4 2 4 4 2 22266101( 2 ) 225C C C C C C C C 2 1 1 2 1 12 4 2 4 4 2226656( 3 ) 225C C C C C C 222422666( 4 ) 225C 8 分 X 0 1 2 3 4 P 6225 56225 101225 56225 6225 5 6 1 0 1 5 6 6( ) 2 3 4 2