四川省宜賓市 2016 年高考數(shù)學二診試卷（理科） （解析版） 一 本大題共 10 個小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） . 1設集合 A=x| 1 x 1， B=x|2x 0，則 AB=（ ） A x| 1 x 2 B x|0 x 1 C x|0 x 1 D x|1 x 2 2在復平面內(nèi)，復數(shù) z= 所對應的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象 限 3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 x 的值為 5，則輸出 y 的值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 4已知直線 2x+y 10=0 過雙曲線 的焦點且與該雙曲線的一條漸近線垂直，則該雙曲線的方程為（ ） A B C D 5用數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5 可以組成沒有重復數(shù)字，并且比 20000 大的五位奇數(shù)共有（ ） A 288 個 B 144 個 C 240 個 D 126 個 6已知函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)當 x 0 時， f（ x） =2x+t（ t 為常數(shù)）則 f（ m） 3 成立的一個充分不必要條件是（ ） A m 3 B m 2 C 2 m 2 D m 2 7設實數(shù) x， y 滿足約束條件 ，已知 z=2x+y 的最大值是 7，最小值是 26，則實數(shù) a 的值為（ ） A 6 B 6 C 1 D 1 8如圖，在 ， 0， ， ，則 =（ ） A 2 B C D 9已知函數(shù) ，其中 a， b R若對于任意的 ，不等式 f（ x） 10 在 上恒成立，則 b 的取值范圍是（ ） A B CD 10設動直線 l： y=kx+m（其中 k， m 為整數(shù)）與橢圓 交于不同兩點 A， B，與雙曲線 交于不同兩點 C， D，且 + = ，則符合上述條件的直線 l 共有（ ） A 5 條 B 7 條 C 9 條 D 11 條 二 本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分） 11設（ 3x 1） 4=a0+ a1+a2+a3+ 12已知 ， ， ， ，則= 13在 ， 0，點 P 是平面 一點，且 4，若點 P 到直線 C 的距離都等于 ，則 平面 成角的大小為 14以一年為一個調(diào)查期，在調(diào)查某商品出廠價格及銷售價格時發(fā)現(xiàn)：每件商品的出廠價格是在 6 元基礎上按月份隨正弦型函數(shù)曲線波動，已知 3 月份出廠價格最高為 8 元， 7 月份出廠價格最低為 4 元，而每件商品的銷售價格是在 8 元基礎上同樣按月份隨正弦型函數(shù)曲 線波動，且 5 月份銷售價格最高為 10 元， 9 月份銷售價格最低為 6 元，假設某商店每月購進這種商品 m 件，且當月售完，則該商店的月毛利潤的最大值為 元 15若存在實數(shù) 正實數(shù) x，使得函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =f（ +4k x，（常數(shù) k 1）則稱函數(shù) f（ x）為 “k 倍函數(shù) ”則下列四個函數(shù) f（ x） =4 其中為 “k 倍函數(shù) ”的有 （填出所有正確結(jié)論的番號） 三 本大題共 6 個小題，共 75 分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步聚） 16已知等比數(shù)列 各項均為正數(shù)，且 ， （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設 bn=+數(shù)列 的前 n 項和 17已知向量 =（ =（ 2 0），若函數(shù) f（ x） = 的相鄰兩對稱軸間的距離等于 （ ）求 的值； （ ）在 ， a、 b、 c 分別是角 A、 B、 C 所對的邊，且 f（ A） =1， ， b+c=3求 面積 18為弘揚民族古典文化，市電視臺舉行古詩詞知識競賽，某輪比賽由節(jié)目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答，回答正確將給該選手記正 10 分，否則記負 10 分根據(jù)以往統(tǒng)計，某參賽選手能答對每一個問題的概率均為 ；現(xiàn)記 “該選手在回答完 n 個問題后的總得分為 （ 1）求 0 且 0（ i=1， 2， 3）的概率； （ 2）記 X=|求 X 的分布列，并計算數(shù)學期 望 E（ X） 19如圖，已知正四棱柱 ，底面邊長 ，側(cè)棱 長為 4，過點 B 作 垂線交側(cè)棱 點 E，交 點 F （ ）求證： 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值； （ ）求二面角 D 余弦值 20如圖，已知橢圓 C： =1（ a b 0）的離心率為 ，以橢 圓 C 的左頂點 T 為圓心作圓 T：（ x+2） 2+y2=r 0），設圓 T 與橢圓 C 交于點 M 與點 N （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）求 的最小值，并求此時圓 T 的方程； （ 3）設點 P 是橢圓 C 上異于 M， N 的任意一點，且直線 別與 x 軸交于點 R， S，O 為坐標原點，求證： |定值 21已知函數(shù) f（ x） = x 1， e時，求函數(shù) y=f（ x）的零點個數(shù)； （ ）是否存在正 實數(shù) m，使得對任意 1， e，都有，若存在，求出實數(shù) m 的取值范圍；若不存在，請說明理由 2016 年四川省宜賓市高考數(shù)學二診試卷（理科） 參考答案與試題解析 一 本大題共 10 個小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） . 1設集合 A=x| 1 x 1， B=x|2x 0，則 AB=（ ） A x| 1 x 2 B x|0 x 1 C x|0 x 1 D x|1 x 2 【分析】 求出 B 中不等式的解集確定出 B，找出 A 與 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式變形得： x（ x 2） 0， 解得： 0 x 2，即 B=x|0 x 2， A=x| 1 x 1， AB=x|0 x 1， 故選： B 【點評】 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵 2在復平面內(nèi)，復數(shù) z= 所對應的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】 化簡復數(shù)為 a+形式，即可判斷對應點所在象限 【解答】 解：復數(shù) z= = （ 1 i） i= i， 復數(shù)對應點為（ ， ）在第四象限 故選： D 【點評】 本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的幾 何意義，基本知識的考查 3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 x 的值為 5，則輸出 y 的值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量 y 的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：當 x= 5 時，滿足進行循環(huán)的條件，故 x=8， 當 x=8 時，滿足進行循環(huán)的條件，故 x=5， 當 x=5 時，滿足進行 循環(huán)的條件，故 x=2， 當 x=2 時，不滿足進行循環(huán)的條件， 故 y= = 1， 故選： A 【點評】 本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答 4已知直線 2x+y 10=0 過雙曲線 的焦點且與該雙曲線的一條漸近線垂直，則該雙曲線的方程為（ ） A B C D 【分析】 求得直線 2x+y 10=0 與 x 軸的交點，可得 c=5，求出漸近線方程，由兩直線垂直的條件：斜率之積為 1，可得 a=2b，解方程可得 a， b，進而得到雙曲線的方程 【解答】 解：直線 2x+y 10=0 經(jīng)過 x 軸的交點為（ 5， 0）， 由題意可得 c=5，即 a2+5， 由雙曲線的漸近線方程 y= x， 由直線 2x+y 10=0 和一條漸近線垂直，可得： = ， 解得 a=2 ， b= ， 即有雙曲線的方程為 =1 故選： B 【點評】 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用直線經(jīng)過焦點和兩直線垂直的條件： 斜率之積為 1，考查運算能力，屬于中檔題 5用數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5 可以組成沒有重復數(shù)字，并且比 20000 大的五位奇數(shù)共有（ ） A 288 個 B 144 個 C 240 個 D 126 個 【分析】 根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是 2， 3， 4、 5 其中 1 個，末位數(shù)字為1、 3、 5 中其中 1 個；進而對首位數(shù)字分 2 種情況討論， 首位數(shù)字為或 5 時， 首位數(shù)字為 2 或 4 時，每種情況下分析首位、末位數(shù)字的情況，再安排剩余的三個位置，由分步計數(shù)原理可得其情況數(shù)目，進而由分類加法原理，計算可得答案 【解答】 解： 根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是 2， 3， 4、 5 其中 1 個，末位數(shù)字為 1、 3、 5 中其中 1 個； 分兩種情況討論： 當首位數(shù)字為 3 或 5 時，末位數(shù)字有 2 種情況，在剩余的 3，個數(shù)中任取 3 個，放在剩余的 3 個位置上，有 4 種情況，此時有 2 24 2=96 個， 首位數(shù)字為 2， 4 時，末位數(shù)字有 3 種情況，在剩余的 4 個數(shù)中任取 3 個，放在剩余的 3個位置上，有 4 種情況，此時有 2 3 24=144 個， 共有 96+144=240 個 故選： C 【點評】 本題考查計數(shù)原理的運用，關鍵是根據(jù)題意，分析出滿足題意的 五位數(shù)的首位、末位數(shù)字的特征，進而可得其可選的情況 6已知函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)當 x 0 時， f（ x） =2x+t（ t 為常數(shù)）則 f（ m） 3 成立的一個充分不必要條件是（ ） A m 3 B m 2 C 2 m 2 D m 2 【分析】 根據(jù)函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，可得 f（ 0） =0，求出參數(shù) t 后，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得 f（ m） 3 成立的充要條件，進而得到答案 【解答】 解： 函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù) f（ 0） =20+t=1+t=0， 解得： t= 1， 當 x 0 時， f（ x） =2x 1，為增函數(shù)， 函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的增函數(shù)， 令 f（ m） =3，則 m=2， 解 f（ m） 3 得： m 2， 故四個答案中 2 m 2 是 f（ m） 3 成立的一個充分不必要條件， 故選： C 【點評】 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，充要條件，是邏輯與函數(shù)的綜合應用，難度中檔 7設實數(shù) x， y 滿足約束條件 ，已知 z=2x+y 的最大值是 7，最小值是 26，則實數(shù) a 的值為（ ） A 6 B 6 C 1 D 1 【分析】 由約束 條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求得 a 值 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 聯(lián)立 ，解得 A（ ）， 聯(lián)立 ，解得 B（ ）， 化目標函數(shù) z=2x+y 為 y= 2x+z， 由圖可知，當直線 y= 2x+z 分別經(jīng)過 A， B 時，直線 y= 2x+z 在 y 軸上的截距有最小值和最大值， z 有最小值和最大值，則 ，解得 a=1 故選： D 【點評】 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題 8如圖，在 ， 0， ， ，則 =（ ） A 2 B C D 【分析】 由題意可得 用兩個向量數(shù)量積的定義求得 =利用正弦定理求得 從而得出結(jié)論 【解答】 解：在 ， 0， ， ，可得 則 = ，由正弦定理可得 = ， = ， 故選： D 【點評】 本題主要考查兩個向量數(shù)量積的定義，正弦定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，判斷解題的關鍵，屬于中檔題 9已知函數(shù) ，其中 a， b R若對于任意的 ，不等式 f（ x） 10 在 上恒成立，則 b 的取值范圍是（ ） A B CD 【分析】 根據(jù) x+ 函數(shù)的性質(zhì)可判斷當 a 最小時， x 越大函數(shù)值越大，當 a 越大時， x 越小函數(shù)值越大，只需比較最 大的即可 【解答】 解： 對于任意的 ，不等式 f（ x） 10 在 上恒成立， 當 a= 時， f（ x）最大值為 f（ ） = +b， 當 a=2 時， f（ x）最大值為 f（ ） = +b， 顯然 +b +b， +b 10， b ， 故選 A 【點評】 本題考查了對抽象函數(shù) x+ 的深刻理解和恒成立問題的轉(zhuǎn)換恒成立問題即最值問題，牢記這一轉(zhuǎn)換 10設動直線 l： y=kx+m（其 中 k， m 為整數(shù)）與橢圓 交于不同兩點 A， B，與雙曲線 交于不同兩點 C， D，且 + = ，則符合上述條件的直線 l 共有（ ） A 5 條 B 7 條 C 9 條 D 11 條 【分析】 由 ，得（ 3+448=0，由 ，得（ 3 k2）212=0，由此利用根的判別式、韋達定理能求出 k=0 或 m=0由此結(jié)合已知條件求出滿足條件的直線共有 9 條 【解答】 解：由 ，消去 y 化簡整理得（ 3+448=0， 設 A（ B（ 則 x1+ ， 0， 由 ，消去 y 化簡整理得（ 3 212=0， 設 C（ D（ 則 ， 0， 因為 + = ，所以（ +（ =0 由 x1+x2=x3+ = 所以 2 或 = 由上式解得 k=0 或 m=0 當 k=0 時， 由 和 得 2 因為 m 是整 數(shù)，所以 m 的值為 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3 當 m=0，由 和 得 因為 k 是整數(shù)，所以 k= 1， 0， 1 于是滿足條件的直線共有 9 條 故選： C 【點評】 本題考查滿足條件的直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線方程、根的判別式、韋達定理的合理運用 二 本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分） 11設（ 3x 1） 4=a0+ a1+a2+a3+15 【分 析】 在所給的等式中，令 x=0，可得 再令 x=1 可得 a0+a1+a2+a3+6，從而求得 a1+a2+a3+值 【解答】 解：在（ 3x 1） 4=a0+，令 x=0，可得 再令 x=1 可得 a0+a1+a2+a3+6， a1+a2+a3+5， 故答案為： 15 【點評】 本題主要考查二項式定理的應用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的 x 賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎題 12已知 ， ， ， ，則= 【分析】 由已知可求角 +， 的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求 +），），由 = +）（ ） 利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計算得解 【解答】 解： ， ， ， ， + （ ， 2）， =（ ， ）， 可得： +） = = ， ） = ， = +）（ ） =+） ） +） =（ ） （ ） = 故答案為： 【點評】 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題 13在 ， 0，點 P 是平面 一點，且 4，若點 P 到直線 C 的距離都等于 ，則 平面 成角的大小為 30 【分析】 過 P 作平面 垂線 可證 M 在 平分線上，利用勾股定理計算 出 可得出 大小 【解答】 解：過 P 作 D， E， 平面 足為 M，連結(jié) M， E=6 ， M， 0， M， 平面 理： M 在 角平分線上， 5， =6 ， 2 ， 0 即 平面 成角為 30 故答案為： 30 【點評】 本題考查了線面角的作法與計算，屬于中檔題 14以一年為一個調(diào)查期，在調(diào)查某商品出廠價格及銷售價格時發(fā)現(xiàn)：每件商品的出廠價格是在 6 元基礎上按月份隨正弦型函數(shù)曲線波動，已知 3 月份出廠價格最高為 8 元， 7 月份出廠價格最低為 4 元，而每件商品的銷售價格是在 8 元基礎上同樣按月份隨正弦型函數(shù)曲線波動，且 5 月份銷售價格最高為 10 元， 9 月份銷售價格最低為 6 元，假設某商店每月購進這種商品 m 件，且當月售完，則該商店的月毛利潤的最大值為 6 元 【分析】 分別求出出廠價波動函數(shù)和售價波動函數(shù)，求出每件盈利的表達式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值 【解答】 解：設函數(shù) x+） +B， 函數(shù)在 6 元基礎上按月份隨正弦曲線波動的， B=6， 又 3 月份出廠價格最高為 8 元， 7 月份出廠價格最低為 4 元， A=2， T=2 （ 7 3） =8， ； 即 ； 將（ 3， 8）點代入函數(shù)解析式得： ； 又 同時在 8 元的基礎上按月份也是隨正弦曲線波動的， 并已知 5 月份銷售價格最高為 10 元， 9 月份銷售價格最低為 6 元， 可得 ； 每件盈利 y=m（ = ， 當 x= 1，即 x=2時， 解答 x=8k 2， k Z； 當 k=1 時，估計出 6 月份盈利最大 故答案為： 6 【點評】 本題 考查了正弦函數(shù)模型的應用問題，也考查了利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值的應用問題，是綜合性題目 15若存在實數(shù) 正實數(shù) x，使得函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =f（ +4k x，（常數(shù) k 1）則稱函數(shù) f（ x）為 “k 倍函數(shù) ”則下列四個函數(shù) f（ x） =4 其中為 “k 倍函數(shù) ”的有 （填出所有正確結(jié)論的番 號） 【分析】 利用新定義，通過選取實數(shù) 正實數(shù) x，判斷函數(shù)是否滿足新定義即可 判斷新定義不滿足的情況，推出結(jié)果； 利用表達式的幾何意義，通過函數(shù)的導數(shù)求解即可 【解答】 解：對于 ，令實數(shù) ，正實數(shù) x= ， 可得： f（ x） = = ， f（ +4k x=4k = ， 函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =f（ +4k x，（常數(shù) k 1） 函數(shù) f（ x）為 “k 倍函數(shù) ” 對于 f（ x） =（ x） 2 2（ x） =x+ 22 x， f（ +4k x=2k x， 若滿足 f（ x） =f（ +4k x， 必有 2x+ 2 x=4k x， 即： 2 x 2=4k， x 0， 3， x 0， 3， x 2 2， 1， 3， 2 x 2 4 函數(shù) f（ x）不是 “k 倍函數(shù) ” 對于： f（ x） =4函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =f（ +4k x， 由題意可知函數(shù)若滿足題意， 必有 4k= ，即曲線上兩點連線的斜率必須存在 4 的斜率 f（ x） =4 f（ x） =4x 4， 吧滿足題意 對于 ， ，函數(shù)若滿足題意， 必有 4k= ，即曲線上兩點連線的斜率必須存在 4 的斜率 f（ x） =， f（ x） = R， 所以 滿足題意， 故答案為： 【點評】 本題考查新定義的應用，賦值法以及直接法，函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，難度比較大 三 本大題共 6 個小題，共 75 分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步聚） 16已知等比數(shù)列 各項均為正數(shù)，且 ， （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設 bn=+數(shù)列 的前 n 項和 【分析】 解：（ ）由等比數(shù)列的關系可得到 q，即可寫出通項公式，（ ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)， ， = ，再累計求前 n 項和 【解答】 解：（ ）設等比數(shù)列公比為為 q，因各項為正，有 q 0（ 1 分）由（ 5 分） （ n N*） （ 6 分） （ ） bn=+= = （ 9分） （ 10 分） 的前 n 項和= （ 12 分） 【點評】 本題主要考察求等比求通項和采用裂項法求數(shù)列前 n 項和，屬于中檔題 17已知向量 =（ =（ 2 0），若函數(shù) f（ x） = 的相鄰兩對稱軸間的距離等于 （ ）求 的值； （ ）在 ， a、 b、 c 分別是角 A、 B、 C 所對的邊，且 f（ A） =1， ， b+c=3求 面積 【分析】 （ ）由平面向量數(shù)量積的運算和三角函數(shù)恒等變換的應用可得函數(shù)解析式為 f（ x）= ，由已知利用周期公式即可求 的值 （ ）由 f（ A） =1 可求 ，結(jié)合范圍 ，即可解得 余弦定理可得 b2+，又 b+c=3，聯(lián)立解得： b， c 的值，利用三角形面積公式即可計算得解 【解答 】 （本題滿分為 12 分） 解：（ ） f（ x） = ， （ 4 分） 0， ， =1（ 5 分） （ ） ， 又 f（ A） =1， ，而 ， ， ， （ 8 分） 由余弦定理知 ， b2+，又 b+c=3，聯(lián)立解得： ， （ 10 分） ， （ 12 分） 【點評】 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算和三角函數(shù)恒等變換的應用，周期公式，余弦定 理，三角形面積公式以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題 18為弘揚民族古典文化，市電視臺舉行古詩詞知識競賽，某輪比賽由節(jié)目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答，回答正確將給該選手記正 10 分，否則記負 10 分根據(jù)以往統(tǒng)計，某參賽選手能答對每一個問題的概率均為 ；現(xiàn)記 “該選手在回答完 n 個問題后的總得分為 （ 1）求 0 且 0（ i=1， 2， 3）的概率； （ 2）記 X=|求 X 的分布 列，并計算數(shù)學期望 E（ X） 【分析】 （ 1）當 0 時，即回答 6 個問題后，正確 4 個，錯誤 2 個若回答正確第 1 個和第 2 個問題，則其余 4 個問題可任意回答正確 2 個問題；若第一個問題回答正確，第 2個問題回答錯誤，第三個問題回答正確，則其余三個問題可任意回答正確 2 個記回答每個問題正確的概率為 p，則 ，同時回答每個問題錯誤的概率為 ，由此能求出 0 且0（ i=1， 2， 3）的概率 （ 2）由 X=|知 X 的取值為 10， 30， 50，分別求出相應的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ 1）當 0 時，即回答 6 個問題后，正確 4 個，錯誤 2 個 若回答正確第 1 個和第 2 個問題，則其余 4 個問題可任意回答正確 2 個問題； 若第一個問題回答正確，第 2 個問題回答錯誤，第三個問題回答正確，則其余三個問題可任意回答正確 2 個 記回答每個問題正確的概率為 p，則 ，同時回答每個問題錯誤的概率為 （ 3 分） 故所求概率為： （ 6 分） （ 2）由 X=|知 X 的取值為 10， 30， 50 可有 ， ， （ 9 分） 故 X 的分布列為： X 10 30 50 P E（ X） = = （ 12 分） 【點評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意 n 次獨立重復試驗中事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率計算公式的合理運用 19如圖，已知正四棱柱 ，底面邊長 ，側(cè)棱 長為 4，過點 B 作 垂線交側(cè)棱 點 E，交 點 F （ ）求 證： 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值； （ ）求二面角 D 余弦值 【分析】 （ ）以 D 為原點， 在直線分別為 x、 y、 z 軸，建立空間直角坐標系 D 用向量法能證明 平面 （ ）求出平面 一個法向量和 ，利用向量法能求出 平面 成角的正弦值 （ ）求出平面 法向量和平面 一個法向量，利用 向量法能求出二面角 D余弦值 【解答】 證明：（ ）如圖，以 D 為原點， 在直線分別為 x、 y、 z 軸， 建立空間直角坐標系 D D（ 0， 0， 0）， A（ 2， 0， 0）， B（ 2， 2， 0）， C（ 0， 2， 0）， 2， 0， 4）， 2， 2， 4）， 0， 2， 4）， 0， 0， 4）， 設 E（ 0， 2， t），則 =（ 2， 0， t）， =（ 2， 0， 4） =4 4t=0解得 t=1， E（ 0， 2， 1），且 =（ 2， 0， 1） 又 =（ 2， 2， 4）， =（ 2， 2， 0）， ，且 =0， 平面 的相交直線 平面 解：（ ）由（ ）所建的坐標系，得 =（ 2， 2， 4）是平面 一個法向量， 又 =（ 0， 2， 4）， ， = = = ， 平面 成角的正弦值為 （ ） ， =（ 2， 0， 1） 設平面 法向量為 ， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 4， 2）， 又 =（ 2， 2， 4）是平面 一個法向量， ， 由圖可知，所求二面角為銳二面角， 二面角 D 余弦值為 【點評】 本題給出正四棱柱，求證線面垂直并求直線與平面所成角的正弦值，著重考查了利用空間向量研究線面垂直、用空間向量的夾角公式求直 線與平面所成角等知識，屬于中檔題 20如圖，已知橢圓 C： =1（ a b 0）的離心率為 ，以橢圓 C 的左頂點 T 為圓心作圓 T：（ x+2） 2+y2=r 0），設圓 T 與橢圓 C 交于點 M 與點 N （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）求 的最小值，并求此時圓 T 的方程； （ 3）設點 P 是橢圓 C 上異于 M， N 的任意一點，且直線 別與 x 軸交于點 R， S，O 為坐標原點，求證： |定值 【分析】 （ 1）依題意，得 a=2， ，由此能求出橢圓 C 的方程 （ 2）法一：點 M 與點 N 關于 x 軸對稱，設 M（ N（ 設 0由于點 M 在橢圓 C 上，故 由 T（ 2， 0），知= ，由此能求出圓 T 的方程 法二：點 M 與點 N 關于 x 軸對稱，故設 M（ 2 N（ 2 設 0，由 T（ 2， 0），得= ，由此能求出圓 T 的方程 （ 3）法一：設 P（ 則直線 方程為： ，令 y=0，得 ，同理： ， （ 10 分）故，由此能夠證明 |4 為定值 法二：設 M（ 2 N（ 2 設 0， P（ 2其中 直線 方程為： ，由此能夠證明 |4 為定值 【解答】 解：（ 1）依題意，得 a=2， ， c= ， b= =1， 故橢圓 C 的方程為 （ 3 分） （ 2）方法一：點 M 與點 N 關于 x 軸對稱， 設 M（ N（ 不妨設 0 由于點 M 在橢圓 C 上，所以 （ *） （ 4 分） 由已知 T（ 2， 0），則 ， ， =（ ） 2 = = （ 6 分） 由于 2 2， 故當 時， 取得最小值為 由（ *）式， ，故 ， 又點 M 在圓 T 上，代入圓的方程得到 故圓 T 的方程為： （ 8 分） 方法二：點 M 與點 N 關于 x 軸對稱， 故設 M（ 2 N（ 2 不妨設 0，由已知 T（ 2， 0）， 則 =（ 2） 2 5 = （ 6 分） 故當 時， 取得最小值為 ， 此時 ， 又點 M 在圓 T 上，代 入圓的方程得到 故圓 T 的方程為： （ 8 分） （ 3）方法一：設 P（ 則直線 方程為： ， 令 y=0，得 ， 同理： ， （ 10 分） 故 （ *） （ 11 分） 又點 M 與點 P 在橢圓上， 故 ， ， （ 12 分） 代入（ *）式， 得： 所以 |4 為定值 （ 14 分） 方法二：設 M（ 2 N（ 2 不妨設 0， P（ 2其中 則直線 方程為： ， 令 y=0，得 ， 同理： ， （ 12 分） 故 所以 |4 為定值 （ 14 分） 【點評】 本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)、圓的方程等基礎