三角形的邊與角 一、選擇題 1. （ 2016湖北咸寧 ） 如圖，在 ，中線 交于點 O，連接 列結(jié)論： 1； =21； =31. 其中正確的個數(shù)有（ ） A. 1 個 B. 2 個 D. 4 個 （第 1 題） 【考點】 三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì) 【分析】 中位線，根據(jù)三角形的中位線等于第三邊長度的一半可判斷；利用相似三角形面積的比等于相似比的平方可 判定；利用相似三角形的性質(zhì)可判斷；利用相似三角面積的比等于相似比的平方可判定 【解答】 解： 中位線， 11； 故正確； 中位線， =（2=(21） 2=41, 故錯誤； 故正確； 中線 于點 O。 點 O 是 重心， 根據(jù)重心性質(zhì)， 高 =3 高， 且 底（ S 3S 由和知， S 1S S 1S =31. 故正確 . 綜上，正確 . 故選 C. 【 點評 】 本題考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)要熟知：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊長度的一半；相似三角形面積的比等于相似比的平方 2. （ 2016四川廣安 3 分 ） 下列說法： 三角形的三條高一定都在三角形內(nèi) 有一個角是直角的四邊形是矩形 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 兩邊及一角對應(yīng) 相等的兩個三角形全等 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 其中正確的個數(shù)有（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 【考點】 矩形的判定；三角形的角平分線、中線和高；全等三角形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定 【分析】 根據(jù)三角形高的性質(zhì)、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四邊形的判定方法即可解決問題 【解答】 解： 錯誤，理由：鈍角三角形有兩條高在三角形外 錯誤，理由：有一個角是直角的四邊形是矩形不一定是矩形，有三個角是直角的四邊形是矩形 正 確，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 錯誤，理由兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等 錯誤，理由：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形有可能是等腰梯形 正確的只有 ， 故選 A 3. （ 2016四川樂山 3 分 ） 如圖 2 ， 的外角 的平分線，若 35B ，60，則 A ()A 35 ()B 95 ()C 85 ()D 75 答案 ： C 解析 ：考查三角形的外角和定理，角平分線的性質(zhì)。 依題意，得： 120，又 B A，所以， A 120 35 85 4. （ 2016 湖北襄陽， 2， 3 分）如圖， 平分線， B=30，則 C 的度數(shù)為（ ） A 50 B 40 C 30 D 20 【考點】 平行線的性質(zhì)；角平分線的定義；三角形的外角性質(zhì) 【分析】 由 B=30利用平行線的性質(zhì)即可得出 度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義即可求出 度數(shù)，最后由三角形的外角的性質(zhì)即可得出 B+ C，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論 【解答】 解： B=30， B=30 又 平分線 ， 0 B+ C， C= B=30 故選 C 【點評】 本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是求出 0本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補的角是關(guān)鍵 5. （ 2016 江蘇淮安， 8， 3 分） 如圖，在 ， C=90，以頂點 A 為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交 點 M， N，再分別以點 M， N 為圓心，大于 長為半徑畫弧，兩弧交于點 P，作射線 邊 點 D，若 ， 5，則 面積是（ ） A 15 B 30 C 45 D 60 【考點】角平分線的性質(zhì) 【分析】判斷出 平分線，過點 D 作 E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得 D，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解 【解答】解：由題意得 平分線，過點 D 作 E， 又 C=90， D， 面積 = E= 154=30 故選 B 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的 兩邊距離相等的性質(zhì)以及角平分線的畫法，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 6.（ 2016廣東梅州 ） 如圖， 點 C， B=55，則 1 等于 A 55 B 45 C 35 D 25 答案 ： C 考點 ：三角形內(nèi)角和定理，兩直線平行的性質(zhì)定理。 解析 ： A 90 55 35，因為 所以， 1 A 35。 7.（ 2016 廣 西賀州 ） 一個等腰三角形的兩邊長分別為 4， 8，則它的周長為（ ） A 12 B 16 C 20 D 16 或 20 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系 【分析】由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進行分析 【解答】解： 當(dāng) 4 為腰時， 4+4=8，故此種情況不存在； 當(dāng) 8 為腰時， 8 4 8 8+4，符合題意 故此三角形的周長 =8+8+4=20 故選 C 【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系，解答此題時注意分類討論，不要漏解 8 （ 2016 山東省聊城市 ， 3 分 ） 如圖， B=68， E=20，則 D 的度數(shù)為（ ） A 28 B 38 C 48 D 88 【考點】平行線的性質(zhì) 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到 1= B=68，由三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論 【解答】解：如圖， 1= B=68， E=20， D= 1 E=48， 故選 C 【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 二、填空題 1 （ 2016黑龍江大慶 ） 如圖，在 ， A=40， D 點是 平分線的交點，則 110 【考點】三角形內(nèi)角和定理 【分析】由 D 點是 平分線的交點可推出 0，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出 度數(shù) 【解答】解： D 點是 平分線的交點， 有 80 40=140， 0， 80 70=110， 故答案為： 110 【點評】此題主要考查學(xué)生對角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識點的理解和掌握，難度不大，是一道基礎(chǔ)題，熟記三角 形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵 2. （ 2016湖北鄂州 ） 如圖所示， 足為 E， 1=50，則 2 的度數(shù)為（ ） A. 50 B. 40 C. 45 D. 25 【考點】 平行線的性質(zhì) ，垂直 的 性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理 . 【分析】 根據(jù) 平行線的性質(zhì)：兩直線平行同位角相等，得出 2= D；再根據(jù) 垂線的性質(zhì) 和三角形的內(nèi)角和定理 ，得出 D=40 ，從而得出 2 的度數(shù) . 【解答】解： 如圖， 2= D; 又 0 ; 在 ， D=180 1=180 90 50 =40 2= D=40 . 故選 B 【 點評 】 本題解題的關(guān)鍵是弄清性質(zhì)和定理。 平行線的性質(zhì) 之一 ：兩直線平行同位角相等 ；垂直 的 性質(zhì) ： 如果兩直線互相垂直 ， 則它們相交所組成的角為直角 ；三角形的內(nèi)角和定理： 三角形 三個內(nèi)角 的和等于 180 3. (2016云南 )由 6 根鋼管首尾順次鉸接而成六邊形鋼架 鄰兩鋼管可以轉(zhuǎn)動已知各鋼管的長度為 E=1 米， D=A=2 米 （鉸接點長度忽略不計） （ 1）轉(zhuǎn)動鋼管得到三角形鋼架，如圖 1，則點 A， E 之間的距離是 米 （ 2）轉(zhuǎn)動鋼管得到如圖 2 所示的六邊形鋼架，有 A= B= C= D=120，現(xiàn)用三根鋼條連接頂點使該鋼架不能活動，則所用三根鋼條總長度的最小值是 3 米 【考點】三角形的穩(wěn)定性 【分析】（ 1）只要證明 = ，列出方程即可解決問題 （ 2）分別求出六邊形的對角線并且比較大小，即可解決問題 【解答】解：（ 1）如圖 1 中， F， E， B= D， B， = ， = ， ， 故答案為 （ 2）如圖中，作 N，延長 于點 M，連接 在 ， 0， ， N+2= ， = ，同理得到 F= ， 20， 0， M=60， C= M+ 80， M， 四邊形 平行 四邊形， M=3， 0， 0， M=60， 0， =2 ，同理 ， 3 2 ， 用三根鋼條連接頂點使該鋼架不能活動， 連接 可， 所用三根鋼條總長度的最小值 3 ， 故答案為 3 【點評】本題考查三角形的穩(wěn)定性、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形以 及平行四邊形，屬于中考?？碱}型 4. （ 2016四川廣安 3 分 ） 如圖，三個正方形的邊長分別為 2， 6， 8；則圖中陰影部分的面積為 21 【考點】 三角形的面積 【分析】 根據(jù)正方形的性質(zhì)來判定 根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例求得 值；同理，求得 F： ；然后再來求梯形的面積即可 【解答】 解：如圖， 根據(jù)題意，知 E： 又 ， +6+8=16， ， ， 1=5； 同理得， F： +6=8， 6， ， ， 4=2； S 梯形 （ E） （ 2+5） 6 =21； 所以，則圖中陰影部分的面積為 21 5. （ 2016四川涼山州 4 分 ） 如圖， 面積為 12 D、 E 分別是 的中點，則梯形 面積為 9 【考點】 三角形中位線定理 【分析】 根據(jù)三角形的中位線得出 出 求出 面積比值求出，進而可求出梯形 面積 【解答】 解： 點 D、 E 分別是 的中點， 三角形的中位線， ， 面積為 12 面積為 3 梯形 面積 =12 3=9 故答案為： 9 6. （ 2016 江蘇淮安， 16， 3 分） 已知一個等腰三角形的兩邊長分別為 2 和 4，則該等腰三角形的周長是 10 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系 【分析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊，知道等腰三角形的腰的長度是 4，底邊長 2，把三條邊的長度加起來就是它的周長 【解答】解：因為 2+2 4， 所以等腰三角形的腰的長度是 4，底邊長 2， 周長： 4+4+2=10， 答：它的周長是 10， 故答案為： 10 【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是先判斷出三角形的兩條腰的長度，再根據(jù)三角形的周長的計算方法，列式解答即可 7 （ 2016四川巴中） 如圖， ， ， ， AD=a，則 a 的取值范圍是 1 a 7 【考點】 平行四邊形的性質(zhì)；三角形 三邊關(guān)系 【分析】 由平行四邊形的性質(zhì)得出 ， ，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)果 【解答】 解：如圖所示： 四邊形 平行四邊形， ， ， 在 ，由三角形的三邊關(guān)系得： 4 3 4+3 即 1 a 7； 故答案為： 1 a 7 三 1. （ 2016四川涼山州 8 分 ） 閱讀下列材料并回答問題： 材料 1：如果一個三角形的三邊長分別為 a， b， c，記 ，那么三角形的面積為 古希臘幾何學(xué)家海倫（ 公元 50 年），在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名他在度量一書中，給出了公式 和它的證明，這一公式稱海倫公式 我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶（約 1202約 1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式： 下面我們對公式 進行變形：= = = 這說明海倫公式與秦九韶公式實質(zhì)上是同一公式，所以我們也稱 為海倫秦九韶公式 問題：如圖，在 ， 3， 2， ， O 內(nèi)切于 點分別是 D、 E、F （ 1）求 面積； （ 2）求 O 的半徑 【 考點】 三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 【分析】 （ 1）由已知 三邊 a=3， b=12， c=7，可知這是一個一般的三角形，故選用海倫秦九韶公式