第 1 頁（共 20 頁） 2016 年廣東省肇慶市高考數(shù)學三模試卷（文科） 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知集合 A=x|0， B=x|x 1，則（ ） A AB= B A B=R C B A D A B 2若復數(shù) z 滿足（ 1+2i） z=（ 1 i），則 |z|=（ ） A B C D 3一個總體中有 100 個個體，隨機編號為 0， 1， 2， 3， ， 99，依編號順序平均分成 10個小組，組號依次為 1， 2， 3， 10現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為 10 的樣本，規(guī)定如果在第 1 組隨機抽取的號碼為 m，那么在第 k 組中抽取的號碼個位數(shù)字與 m+k 號碼的個位數(shù)字相同，若 m=6，則在第 7 組中抽取的號碼是（ ） A 66 B 76 C 63 D 73 4在函數(shù) y=y=ex+， y=函數(shù)的個數(shù)是（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 5直線 l： x 2y+2=0 過橢圓 的一個頂點則該橢圓的離心率為（ ） A B C D 6已知數(shù)列 足 ， 1=n（ n 2），則數(shù)列 通項公式 ） A B C n+1 D 2n+2 7如圖是計算 + + + 的值的一個程序框圖，其中在判斷框中應填入的條件是（ ） A i 10 B i 10 C i 20 D i 20 8已知 ，且 為第二象限角，則 =（ ） 第 2 頁（共 20 頁） A B C D 9一個幾何體的三視圖如圖所示（單位： 則該幾何體的體積是（ ） A 70在 ， ，則邊 的高為 （ ） A B C D 11在球內有相距 1兩個平行截面，截面面積分別是 5 8心不在截面之間，則球面的面積是（ ） A 36 27 20 122已知函數(shù) f（ x） = 滿足條件，對于 R，存在唯一的 R，使得f（ =f（ 當 f（ 2a） =f（ 3b）成立時，則實數(shù) a+b=（ ） A B C +3 D +3 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知 x， y 滿足不等式 ，則函數(shù) z=2x+y 取得最大值等于 14在 ，若 ，則 值等于 15以 = 1 的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為 16已知函數(shù) f（ x） =x+）（ 0），若 f（ x）的圖象向左平移 個 單位所得的圖象與 f（ x）的圖象向右平移 個單位所得的圖象重合，則 的最小值為 三 答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17已知等差數(shù)列 前 n 項和 足 ， 5 第 3 頁（共 20 頁） （ ）求 通項公式； （ ）設 ，求數(shù)列 前 n 項和 18某市組織高一全體學生參加計算機操作比賽，等級分為 1 至 10 分，隨機調閱了 A、 0 名學生的成績，得 到樣本數(shù)據(jù)如表： B 校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計表： 成績（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人數(shù)（個） 0 0 0 9 12 21 9 6 3 0 （ ）計算兩校樣本數(shù)據(jù)的均值和方差，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)進行比較 （ ）從 A 校樣本數(shù)據(jù)成績分別為 7 分、 8 分和 9 分的學生中按分層抽樣方法抽取 6 人，若從抽取的 6 人中任選 2 人參加更高一級的比賽，求這 2 人成績之和大于或等于 15 的概率 19如圖， 平行四邊形，已知 ， E，平面 平面 （ ）證明： （ ）若 ，求三棱錐 B 高 20已知點 2， 3）， 0， 1），圓 C 是以 中點為圓心， |半徑的圓 （ ）若圓 C 的切線在 x 軸和 y 軸上截距相等，求切線方程； （ ）若 P（ x， y）是圓 C 外一點，從 P 向圓 C 引切線 M 為 切點， O 為坐標原點，且有 |求使 |小的點 P 的坐標 21已知函數(shù) f（ x） =（ a ） x2+g（ x） =f（ x） 2a R） （ 1）當 a=0 時，求 f（ x）在區(qū)間 ， e上的最大值和最小值； （ 2）若對 x （ 1， +）， g（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范圍 第 4 頁（共 20 頁） 選修 4何證明選講 22如圖所示， O 的直徑， O 的切線， B、 D 為切點 （ 1）求證： （ 2）若 O 的半徑為 1，求 C 的值 選修 4標系與參數(shù)方程 23在直角坐標系 ，曲線 參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 極坐標方程為 2+24=0 （ ）把 參數(shù)方程化為極坐標方程； （ ）求 點的極坐標（ 0， 0 2） 選修 4等式選講 24已知 a 0， b 0，且 a+b=1 （ ）求 最大值； （ ）求證： 第 5 頁（共 20 頁） 2016 年廣東省肇慶市高考數(shù)學三模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知集合 A=x|0， B=x|x 1，則（ ） A AB= B A B=R C B A D A B 【考點】 集合的包含關系判斷及應用 【分析】 由 0，解得 x 1，再 利用集合運算性質即可得出 【解答】 解：由 0，解得 x 1 A=1， +） 又 B=x|x 1， AB=1 ， A B=R， 故選： B 2若復數(shù) z 滿足（ 1+2i） z=（ 1 i），則 |z|=（ ） A B C D 【考點】 復數(shù)求模 【分析】 由（ 1+2i） z=（ 1 i），得 ，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再根據(jù)復數(shù)求模公式則答案可求 【解答】 解：由（ 1+2i） z=（ 1 i）， 得 = ， 則 |z|= 故選： C 3一個總體中有 100 個個體，隨機編號為 0， 1， 2， 3， ， 99，依編號順序平均分成 10個小組，組號依次為 1， 2， 3， 10現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為 10 的樣本，規(guī)定如果在第 1 組隨機抽取的號碼為 m，那么在第 k 組中抽取的號碼個位數(shù)字與 m+k 號碼的個位數(shù)字相同，若 m=6，則在第 7 組中抽取的號碼是（ ） A 66 B 76 C 63 D 73 【考點】 系統(tǒng)抽樣方法 【分析】 根據(jù)總體的容量比上樣本的容量求出間隔 k 的值，再根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法的規(guī)定，求出第 7 組中抽取的號碼是： m+60 的值 【解答】 解：由題意知，間隔 k= =10， 在第 1 組隨機抽取的號碼為 m=6， 6+7=13， 在第 7 組中抽取的號碼 63 故選 C 4在函數(shù) y=y=ex+， y=函數(shù)的個數(shù)是（ ） 第 6 頁（共 20 頁） A 3 B 2 C 1 D 0 【考點】 函數(shù)奇偶性的判斷 【分析】 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分別進行判斷即可 【解答】 解： f（ x） = x） = f（ x），則 y=奇函數(shù)，不滿足條件 當 x=1 時， f（ 1） =e+1，當 x= 1 時， f（ 1） = +1 f（ 1），則 y=ex+是偶函數(shù)，不滿足條件 由 2 0 得 x 或 x ， 此時 f（ x） =則 y=是偶函數(shù)， f（ x） = x） =f（ x），則 y=偶函數(shù)，滿足條件 故偶函數(shù)的個數(shù)為 2 個， 故選： B 5直線 l： x 2y+2=0 過橢圓 的一個頂點則該橢圓的離心率為（ ） A B C D 【考點】 橢圓的 簡單性質 【分析】 求出直線在 y 軸上的截距，可得 b=1，求得 a 和 c，運用離心率公式計算即可得到所求值 【解答】 解：直線 l： x 2y+2=0 過點（ 0， 1）， 由題意可得 b=1， 則橢圓方程為 +， 即有 a= ， b=1， c= =2， 即有 e= = = 故選： D 6已知數(shù)列 足 ， 1=n（ n 2），則數(shù)列 通項公式 ） A B C n+1 D 2n+2 【考點】 數(shù)列遞推式 【分析】 利用數(shù)列的遞推關系式，通過累加法求解即可 【解答】 解：數(shù)列 足： ， 1=n（ n 2， n N*）， 可得 第 7 頁（共 20 頁） 1=n 以上各式相加可得： +2+3+n= n（ n+1）， 故選： A 7如圖是計算 + + + 的值的一個程序框圖，其中在判斷框中應填入的 條件是（ ） A i 10 B i 10 C i 20 D i 20 【考點】 程序框圖 【分析】 根據(jù)算法的功能是計算 + + + 的值，確定終止程序運行的 i=11，由此可得判斷框中應填入的條件 【解答】 解：根據(jù)算法的功能是計算 + + + 的值， 終止程序運行的 i=11， 判斷框中應填入的條件是： i 10 或 i 11 故選： B 8已知 ，且 為第二象限角，則 =（ ） A B C D 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 由題意和同角三角函數(shù)基本關系和二倍角公式可得 由兩角和的正切公式代入計算可得 【解答】 解： ，且 為第二象限角， = ， 第 8 頁（共 20 頁） = ， = ， = = ， 故選： D 9一個幾何體的三視圖如圖所示（單位： 則該幾何體的體積是（ ） A 7考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是棱長為 2 的正方體截取三棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度，由柱體、錐體體積公式求出 幾何體的體積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是棱長為 2 的正方體 截取三棱錐 A 中 B、 D 分別中點， 則 D=1，且 平面 幾何體的體積 V= = （ 故選： A 第 9 頁（共 20 頁） 10在 ， ，則邊 的高為（ ） A B C D 【考點】 三角形中的幾何計算 【分析】 由點 B 向 垂線，交點為 D，設 AD=x，則 x，利用勾股定理可知= 進而解得 x 的值，再利用勾股定理求得 【解答】 解：由點 B 向 垂線，交點為 D 設 AD=x，則 x， = ，解得 x= = 故選 B 11在球內有相距 1兩個平行截面，截面面積分別是 5 8心不在截面之間，則球面的面積是（ ） A 36 27 20 12考點】 球內接多面體 【分析】 畫出圖形，求出兩個截面圓的半徑，即可解答本題 【解答】 解：由題意畫軸截面圖， 截面的面積為 5，半徑為 ， 截面的面積為 8的圓的半徑是 2 ， 設球心到大截面圓的距離為 d， 球的半徑為 r，則 5+（ d+1） 2=8+ d=1， r=3， 球面的面積是 46 故選： A 12已知函數(shù) f（ x） = 滿足條件，對于 R，存在唯一的 R，使得f（ =f（ 當 f（ 2a） =f（ 3b）成立時，則實數(shù) a+b=（ ） A B C +3 D +3 【考點】 分段函數(shù)的應用 第 10 頁（共 20 頁） 【分析】 根據(jù)條件得到 f（ x）在（ ， 0）和（ 0， +）上單調，得到 a， b 的關系進行求解即可 【解答】 解：若對于 R，存在唯一的 R，使得 f（ =f（ f（ x）在（ ， 0）和（ 0， +）上單調， 則 b=3，且 a 0， 由 f（ 2a） =f（ 3b）得 f（ 2a） =f（ 9）， 即 2= +3=3+3， 即 a= ， 則 a+b= +3， 故選： D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知 x， y 滿足不等式 ，則函數(shù) z=2x+y 取得最大值等于 12 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合求出最值即可 【解答】 解：由約束條件作出可行域如圖， 由圖可知，使目標函數(shù) z=2x+y 取得最大值時過點 B， 聯(lián)立 ，解得 ， 故 z 的最大值是： z=2 5+2=12， 故答案為： 12 14在 ，若 ，則 值等于 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 由已知向量的坐標求出 的坐標，再求出 ， | |， | |，代入數(shù)量積求夾角公式得答案 【解答】 解： ， 第 11 頁（共 20 頁） = + =（ 1， 2）， =2 1+（ 1） （ 2） =4， | |= = ， | |= = ， = = ， 故答案為： 15以 = 1 的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為 【考點】 橢圓的標準方程 【分析】 由題意設所求的橢 圓方程為 ，且 ，由此能求出所求的橢圓的方程 【解答】 解： = 1 的標準方程為 ， 該雙曲線的焦點坐標為 0， 4）， 0， 4）， 頂點坐標為 0， 2 ）， 0， 2 ）， 由題意設所求的橢圓方程為 ， 且 ， 2 =4， 所求的橢圓的方程為 故答案為： 16已知函數(shù) f（ x） =x+）（ 0），若 f（ x）的圖象 向左平移 個單位所得的圖象與 f（ x）的圖象向右平移 個單位所得的圖象重合，則 的最小值為 4 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 由條件利用函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，終邊相同的角的特征，求得 的最小值 第 12 頁（共 20 頁） 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =x+）（ 0），把 f（ x）的圖象向左平移 個單位所得的圖象為 y=（ x+ ） +=x+ +）， 把 f（ x）的圖象向右平移 個單位所得的圖象為 y=（ x ） +=x +）， 根據(jù)題意可得， y=x+ +）和 y=x +）的圖象重合， 故 +=2+，求得 =4k，故 的最小值為 4， 故答案為： 4 三 答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17已知等差數(shù)列 前 n 項和 足 ， 5 （ ）求 通項公式； （ ）設 ， 求數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式 【分析】 （ I）利用等差數(shù)列的前 n 項和公式即可得出 （ 用 “錯位相減法 ”與等比數(shù)列的前 n 項和公式即可得出 【解答】 解：（ I）設等差數(shù)列 公差為 d， ， 5 =6， =15， 解得 a1=d=1 +（ n 1） =n （ = ， 數(shù)列 前 n 項和 + + ， = + + + ， + = =1 18某市組織高一全體學生參加計算機操作比賽，等級分為 1 至 10 分，隨機調閱了 A、 0 名學生的成績，得到樣本數(shù)據(jù)如表： B 校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計表： 第 13 頁（共 20 頁） 成績（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人數(shù)（個） 0 0 0 9 12 21 9 6 3 0 （ ）計算兩校樣本數(shù)據(jù)的均值和方差，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)進行比較 （ ）從 A 校樣本數(shù)據(jù)成績分別為 7 分、 8 分和 9 分的學生中按分層抽樣方法抽取 6 人，若從抽取的 6 人中任選 2 人參加更高一級的比賽，求這 2 人成績之和大于或等 于 15 的概率 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖 【分析】 （ ）分別求出 A 校樣本的平均成績、方差和 B 校樣本的平均成績、方差，從而得到兩校學生的計算機成績平均分相同， A 校學生的計算機成績比較穩(wěn)定，總體得分情況比較集中， （ ）根據(jù)分成抽樣求出故抽取的 7 分有 4 人即為 A， B， C， D， 8 分和 9 分的學生中各為1 人，記為 a， b，一一列舉所有的基本事件，再找到滿足條件的基本事件，根據(jù)概率公式計算即可 【解答】 解：（ ）從 A 校樣本數(shù)據(jù) 的條形圖知： 成績分別為 4 分、 5 分、 6 分、 7 分、 8 分、 9 分的學生分別有： 6 人、 15 人、 21 人、 12 人、 3 人、 3 人 A 校樣本的平均成績?yōu)椋?= （ 4 6+5 15+6 21+7 12+8 3+9 3） =6（分）， A 校樣本的方差為 6（ 4 6） 2+15（ 5 6） 2+21（ 6 6） 2+12（ 7 6） 2+3（ 8 6）2+3（ 9 6） 2= 從 B 校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計表知： B 校樣本的平均成績?yōu)椋?= （ 4 9+5 12+6 21+7 9+8 6+9 3=6（分）， B 校樣本的方差為 9（ 4 6） 2+12（ 5 6） 2+21（ 6 6） 2+9（ 7 6） 2+6（ 8 6）2+3（ 9 6） 2= = ， 兩校學生的計算機成績平均分相同， A 校學生的計算機成績比較穩(wěn)定，總體得分情況比較集中 （ ） A 校樣本數(shù)據(jù)成績分別為 7 分、 8 分和 9 分的學生中按分層抽樣方法抽取 6 人，由于7 分、 8 分、 9 分的學生分別有 12 人， 3 人， 3 人， 第 14 頁（共 20 頁） 故抽取的 7 分有 6 =4 人即為 A， B， C， D， 8 分和 9 分的學生中各為 1 人，記為a， b， 故從抽取的 6 人中任選 2 人參加更高一級的比賽，共有 a， 有 15 種， 其中 2 人成績之和大于或等于 15 的分的有 9種， 故這 2 人成績之和大于或等于 15 的概率 P= = 19如圖， 平行四邊形，已知 ， E，平面 平面 （ ）證明： （ ）若 ，求三棱錐 B 高 【考點】 平面與平面垂直的性質 【分析】 （ I）根據(jù)勾股定理的逆定理可證 面面垂直的性質可得 平面 （ 點 F，連接 平面 用勾股定理求出 F， 出 S 據(jù)等體積法計算棱錐的高 【解答】 證明：（ I） 四邊形 平行四邊形， B=4， ， ， 又平面 平面 面 面 C， 平面 平面 平面 （ 中點 F，連接 C， 平面 平面 面 面 C， 平面 E= ， ， ， = ， = ， = ， = = =2 第 15 頁（共 20 頁） = ， S = = 設 B 到平面 高為 h， 則 = =2 ， h= 三棱錐 B 高位 20已知點 2， 3）， 0， 1），圓 C 是以 中點為圓心， |半徑的圓 （ ）若圓 C 的切線在 x 軸和 y 軸上截距相等，求切線方程； （ ）若 P（ x， y）是圓 C 外一點，從 P 向圓 C 引切線 M 為切點， O 為坐標原點，且有 |求使 |小的點 P 的坐標 【考點】 直線和圓的方程的應用 【分析】 （ ）求出圓心與半徑，可得圓 C 的方程，再分類討論，設出切線方程，利用直線是切線建立方程， 即可得出結論； （ ）先確定 P 的軌跡方程，再利用要使 |小，只要 |小即可 【解答】 解：（ ） 點 2， 3）， 0， 1），圓 C 是以 中點為圓心， |半徑的圓 C（ 1， 2）， | 圓 C 的方程為（ x+1） 2+（ y 2） 2=2， 當切線過原點時，設切線方程為 y= = ， k=2 ，即切線方程為 y=（ 2 ） x 當切線不過原點時，設切線方程為 x+y=a，則 = ， a= 1 或 a=3，即切線方程為 x+y+1=0 或 x+y 3=0 綜上知，切線方程為 y=（ 2 ） x 或 x+y+1=0 或 x+y 3=0； （ ）因為 |+，所以 =（ ） 2+（ 2） 2，即 24=0 要使 |小，只要 |小即可 當直線 直于直線 2x 4y+3=0 時，即直線 方程為 2x+y=0 時， |小， 第 16 頁（共 20 頁） 此時 P 點即為兩直線的交點，得 P 點坐標（ ， ） 21已知函數(shù) f（ x） =（ a ） x2+g（ x） =f（ x） 2a R） （ 1）當 a=0 時，求 f（ x）在區(qū)間 ， e上的最大值和最小值； （ 2）若對 x （ 1， +）， g（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范圍 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的導數(shù)，通過討論 b 的范圍，確定函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值； （ 2）求出 g（ x）的導數(shù)，通過討論 a 的范圍，確定函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出 a 的范圍 【解答】 解：（ 1）函數(shù) 的定義域為（ 0， +）， 當 a=0 時， ， ； 當 ，有 f（ x） 0；當 ，有 f（ x） 0， f（ x）在區(qū)間 ， 1上是增函數(shù)，在 1， e上為減函數(shù)， 又 ， ， ， ， （ 2） ， 則 g（ x）的定義域為（ 0， +）， 若 ，令 g（ x） =0，得極值點 ， ， 當 ，即 時， 在（ 0， 1）上有 g（ x） 0，在（ 1， 有 g（ x） 0， 在（ +）上有 g（ x） 0， 此時 g（ x）在區(qū)間（ +）上是增函數(shù)， 并且在該區(qū)間上有 g（ x） （ g（ +），不合題意； 當 ，即 a 1 時，同理可知， g（ x）在區(qū)間（ 1， +） 上， 有 g（ x） （ g（ 1）， +），也不合題意； 若 ，則有 2a 1 0，此時在區(qū)間（ 1， +）上恒有 g（ x） 0， g（ x）在（ 1， +）上是減函數(shù)； 第 17 頁（共 20 頁） 要使 g（ x） 0 在此區(qū)間上恒成立， 只須滿足 ， a 的范圍是 ， 綜合 可知，當 時，對 x （ 1， +）， g（ x） 0 恒成立 選修 4何證明選講 22如圖所示， O 的直徑， O 的切線， B、 D 為切點 （ 1）求證： （ 2）若 O 的半徑為 1，求 C 的值 【考點】 圓的切線的性質定理的證明