第 1 頁（共 16 頁） 2015年廣東省汕頭市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1設(shè)集合 A=x|0 x 2， B=x|x2+x 2 0，則 AB=（ ） A（ 0， 1 B 1， 2） C 2， 2） D（ 0， 2） 2 （ ） A B C D 3下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ ） A y=x R B y=x R C y= x， x R D y=（ ） x， x R 4已知 ，并且 =（ 3， x）， =（ 7， 12），則 x=（ ） A B C D 5若 ，則 于（ ） A B C 1 D 6某市重點(diǎn)中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有 14 人，分為兩個小組，在一次階段考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是 88，乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是 89，則 m+ ） A 10 B 11 C 12 D 13 7已知 0 x y a 1，則有（ ） A 0 B 0 1 C 1 2 D 2 8要得到 y= 2x+ ）的圖象，只需將 y= 2x）的圖象（ ） A向左平移 個單位 B向右平移 個單位 C向左平移 個單位 D向右平移 個單位 9已知平面向量 、 滿足： 2| |=| |=|2 | 0，則 與 的夾角為（ ） A B C D 10如果執(zhí)行如圖所示的框圖，輸入 N=5，則輸出的數(shù)等于（ ） 第 2 頁（共 16 頁） A B C D 11已知 a， b 均為正數(shù)，且 a+b=1，則 + 的最小值為（ ） A 24 B 25 C 26 D 27 12已知 x R，用 A（ x）表示不小于 x 的最小整數(shù)，如 A（ ） =2， A（ 1， 2） = 1，若 A（ 2x+1） =3，則 x 的取值范圍是（ ） A 1， ） B（ 1， C ， 1） D（ ， 1 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分。 13高一（ 4）班有 5 位同學(xué)參加夏令營植樹活動，其中男生 2 人，女生 3 人，從這 5 人中任意選出 2 人去澆水，選出的 2 人都是男生的概率是 14已知 x， y 滿足不等式 ，且函數(shù) z=2x+y a 的最大值為 8，則常數(shù) a 的值為 15已知函數(shù) f（ x） =的一條對稱軸方程為 x= ，則函數(shù) f（ x）的最大值為 16定義一種運(yùn)算 ab= ，令 f（ x） =（ 3x） （ 2x+3 則函數(shù) f（ x）的最大值是 三、解答題（共 6 小題， 滿分 70 分） 17已知 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，且 15， 55 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）若不等式 t 對于任意的 n N*恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 第 3 頁（共 16 頁） 18在 ，角 A、 B、 C 所對的邊分別是 a、 b、 c，且滿足 （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 c=2，求 面積 S 的最大值 19從某大學(xué)一年級女生中，選取身高分別是 150155160165170學(xué)生各一名，其身高和體重數(shù)據(jù)如表所示： 身高 /x） 150 155 160 165 170 體重 /y） 43 46 49 51 56 （ 1）求 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程； （ 2）利用（ 1）中的回歸方程，計算身高為 168，體重的估計值 為多少？ 參考公式：線性回歸方程 = x+ ，其中 = ， = 20設(shè)函數(shù) f（ x） = a+1） x+1 （ 1）若不等式 f（ x） 解集為 x|1 x 2，求實(shí)數(shù) a、 m 的值； （ 2）解不等式 f（ x） 0 21已知 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，且 an+n 4 （ 1）求 值； （ 2）若 bn=1，試證明數(shù)列 等比數(shù)列； （ 3）求數(shù)列 通項(xiàng)公式，并證明： + + 1 22對于函數(shù) y=f（ x），若 足 f（ =稱 函數(shù) f（ x）的一階不動點(diǎn)，若 ff（ =稱 函數(shù) f（ x）的二階不動點(diǎn)， （ 1）設(shè) f（ x） =2x+3，求 f（ x）的二階不動點(diǎn) （ 2）若 f（ x）是定義在區(qū)間 D 上的增函數(shù)，且 函數(shù) f（ x）的二階不動點(diǎn)，求證： f（ x）的一階不動點(diǎn)； （ 3）設(shè) f（ x） =ex+x+a， a R，若 f（ x）在 0， 1上存在二階不動點(diǎn) 實(shí)數(shù) a 的取值范圍 第 4 頁（共 16 頁） 2015年廣東省汕頭市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1設(shè)集合 A=x|0 x 2， B=x|x2+x 2 0，則 AB=（ ） A（ 0， 1 B 1， 2） C 2， 2） D（ 0， 2） 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出 B 中不等式的解集確定出 B，找出 A 與 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式變形得：（ x 1）（ x+2） 0， 解得： x 2 或 x 1，即 B=（ ， 2 1， +）， A=（ 0， 2）， AB=1， 2）， 故選： B 2 （ ） A B C D 【考點(diǎn)】 兩角和與差的余弦函數(shù)；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【分析】 由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，求得所給式子的值 【解答】 解： 20+10） = ， 故選： C 3下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ ） A y=x R B y=x R C y= x， x R D y=（ ） x， x R 【考點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷 【分析】 根據(jù)奇函數(shù)的定義，冪函數(shù)和一次函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng) 【解答】 解： A y=定義域 R 上是增函數(shù)， 該選項(xiàng)錯誤； B y=定義域上沒有單調(diào)性， 該選項(xiàng)錯誤； C y= x 是奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)， 該選項(xiàng)錯誤； D. 的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)， 該選項(xiàng)錯誤 故選： C 4已知 ，并且 =（ 3， x）， =（ 7， 12），則 x=（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【分析】 根據(jù)向量垂直得到關(guān)于 x 的方程，解出即可 第 5 頁（共 16 頁） 【解答】 解： ， =（ 3， x）， =（ 7， 12）， 21+12x=0，解得： x= ， 故選： A 5若 ，則 于（ ） A B C 1 D 【考點(diǎn)】 二倍角的余弦；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用 【分析】 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，求得 值 【解答】 解： ，則 = = = ， 故選： B 6某市重點(diǎn)中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有 14 人，分為兩個小組 ，在一次階段考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是 88，乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是 89，則 m+ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【考點(diǎn)】 莖葉圖 【分析】 利用平均數(shù)求出 m 的值，中位數(shù)求出 n 的值，解答即可 【解答】 解： 甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是 88， 由莖葉圖可知 78+86+84+88+95+90+m+92=88 7， m=3 又乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是 89， n=9， m+n=12 故選： C 7 已知 0 x y a 1，則有（ ） A 0 B 0 1 C 1 2 D 2 【考點(diǎn)】 對數(shù)值大小的比較 【分析】 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較 1 的大小，可得結(jié)論 【解答】 解： 0 x y a 1 ， =2 故選 D 第 6 頁（共 16 頁） 8要得到 y= 2x+ ）的圖象，只需將 y= 2x）的圖象（ ） A向左平移 個單位 B向右平移 個單位 C向左平移 個單位 D向右平移 個單位 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 利用函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論 【解答】 解： y= 2x+ ） = 2（ x ） ， 將 y= 2x）的圖象向右平移 個單位，可得 y= 2（ x ） = 2x+ ）的圖象， 故選： D 9已知平面向量 、 滿足： 2| |=| |=|2 | 0，則 與 的夾角為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 對條件 的兩邊平方即可得出，這樣即可求出 的值，從而得出向量的夾角 【解答】 解：根據(jù)條 件， ，且 ； ； ； ； 與 的夾角為 故選： A 10如果執(zhí)行如圖所示的框圖，輸入 N=5，則輸出的數(shù)等于（ ） 第 7 頁（共 16 頁） A B C D 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是計算出輸出S= 的值 【解答】 解： n=5 時， k=1， S=0， 第一次運(yùn)行： S=0+ = ， k=1 5， 第二次運(yùn)行： k=1+1=2， S= = ， k=2 5， 第三次運(yùn)行： k=2+1=3， = ， k=3 5， 第四次運(yùn)行： k=3+1=4， S= = ， k=4 5， 第五次運(yùn)行： k=4+1=5， S= = ， k=5， 結(jié)束運(yùn)行，輸出 S= 故選： D 11已知 a， b 均為正數(shù)，且 a+b=1，則 + 的最小值為（ ） A 24 B 25 C 26 D 27 【考點(diǎn)】 基本不等式 【分析】 運(yùn)用 1 的代換和基本不等式即可求得 + 的最小值 【解答】 解： 已知 a， b 均為正數(shù)，且 a+b=1， + =（ + ）（ a+b） =4+ + +9 13+2 =13+12=25， 第 8 頁（共 16 頁） 當(dāng)且僅當(dāng) 2b=3a 時取得等號， 故 + 的最小值為 25 故選： B 12已知 x R，用 A（ x）表示不小于 x 的最小整數(shù)，如 A（ ） =2， A（ 1， 2） = 1，若 A（ 2x+1） =3，則 x 的取值范圍是（ ） A 1， ） B（ 1， C ， 1） D（ ， 1 【考點(diǎn)】 進(jìn)行簡單的合情推理 【分析】 由 A（ 2x+1） =3 可得 2 2x+1 3，從而解得 x 的取值范圍 【解答】 解： A（ 2x+1） =3， 2 2x+1 3， 解得， x （ ， 1， 故選： D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分。 13高一（ 4）班有 5 位同學(xué)參加夏令營植樹活動，其中男生 2 人，女生 3 人，從這 5 人中任意選出 2 人去澆水，選出的 2 人都是男生的概率是 【考點(diǎn)】 古典概型及其概率計算公式 【分析】 先求得所有的取法總數(shù)為 ，再求出選出的 2 人中都是男生的取法數(shù)是 ，從而求得選出的 2 人都是男生的概率 【解答】 解：由題意得， 選出的 2 人都是男生的概率是： = ； 故答案為： 14已知 x， y 滿足不等式 ，且函 數(shù) z=2x+y a 的最大值為 8，則常數(shù) a 的值為 4 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可 【解答】 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分） 由 z=2x+y a 得 y= 2x+z+a， 平移直線 y= 2x+z+a， 由圖象可知當(dāng)直線 y= 2x+z+a 經(jīng)過點(diǎn) C 時，直線 y= 2x+z+a 的截距最大， 第 9 頁（共 16 頁） 此時 z 最大 由 ，解得 ，即 C（ 5， 2）， 代入目標(biāo)函數(shù) z=2x+y a 得 z=2 5+2 a=8 得 12 a=8，則 a=4， 故答案為： 4 15已知函數(shù) f（ x） =的一條對稱軸方程為 x= ，則函數(shù) f（ x）的最大值為 1 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的對稱性 【分析】 本題運(yùn)用離對稱軸遠(yuǎn)近相同的點(diǎn)函數(shù)值相等求 出 a 值，再求三角函數(shù)的最值 【解答】 解： f（ x） = ， 是對稱軸， f（ 0） =f（ ）， ， ，最大值為 1 故答案為 1 16定義一種運(yùn)算 ab= ，令 f（ x） =（ 3x） （ 2x+3 則函數(shù) f（ x）的最大值是 4 【考點(diǎn)】 函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】 運(yùn)用分段函數(shù)的形式，求得 f（ x）的解析式，分別求得 f（ x）在兩段上的最大值，注意運(yùn)用二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系 【解答】 解： ab= ， f（ x） =（ 3x） （ 2x+3 = ， 第 10 頁（共 16 頁） 當(dāng) x 時， f（ x） =3x=3（ x+1） 2 3， 可得 f（ x）在 x= 1 處取得最小值 3；在 x= 處取得最大值 ； 當(dāng) x 或 x 時， f（ x） = x+3=（ x 1） 2+4， 當(dāng) x=1 時， f（ x）取得最大值 4 綜上可得， f（ x）的最大值為 4 故答案為： 4 三、解答題（共 6 小題，滿分 70 分） 17已知 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，且 15， 55 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）若不等式 t 對于任意的 n N*恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ 1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式即可得出 （ 2）利用等差數(shù)列的求和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】 解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d， 則由 15， ， 得 15 5+10d= 55， 解得 d=2， 15+（ n 1） 2=2n 17， 數(shù)列 通項(xiàng)公式為 n 17 （ 2）由（ 1）得 ， ， 對于任意的 n N*， 64 恒成立， 若不等式 t 對于任意的 n N*恒成立，則只需 t 64， 因此所求實(shí)數(shù) t 的取值范圍為（ ， 64） 18在 ，角 A、 B、 C 所對的邊分別是 a、 b、 c，且滿足 （ 1）求角 C 的大??； （ 2）若 c=2，求 面積 S 的最大值 【考點(diǎn)】 正弦定理 【分析】 （ 1）由正弦定理化簡已知等式可得 ，結(jié)合 0，可求 ，結(jié)合范圍 0 C ，即可求得 C 的值 （ 2）由已知及余弦定理得 4=a2+合基本不等式可求 4，根據(jù)三角形的面積公式即可得解 【解答】 解：（ 1） ， 由正弦定理得 ， 0 A ， 0， 第 11 頁（共 16 頁） ， 0 C ， （ 2）由余弦定理得 c2=a2+2 c=2， ， 4=a2+ a 0， b 0， =a2+2 4，當(dāng)且僅當(dāng) a=b=2 時等號成立， ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b=2 時等號成立， 面積 S 的最大值為 19從某大學(xué)一年級女生中，選取身高分別是 150155160165170學(xué)生各一名，其身高和體重數(shù)據(jù)如表所示： 身高 /x） 150 155 160 165 170 體重 /y） 43 46 49 51 56 （ 1）求 y 關(guān)于 x 的線性回 歸方程； （ 2）利用（ 1）中的回歸方程，計算身高為 168，體重的估計值 為多少？ 參考公式：線性回歸方程 = x+ ，其中 = ， = 【考點(diǎn)】 線性回歸方程 【分析】 （ 1）先求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，得到這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，代入樣本中心點(diǎn)求出 a 的值，寫出線性回歸方程； （ 2）由回歸直線方程，計算當(dāng) x=168，即可求得體重的估計值 【解答】 解：（ 1）由已知數(shù)據(jù)，可得 ， 第 12 頁（共 16 頁） （ 51 49） +（ 56 49） =155， ， ， y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 y= （ 2）由（ 1）知，當(dāng) x=168 時， （ 因此，當(dāng)身高為 168，體重的估計值 為 20設(shè)函數(shù) f（ x） = a+1） x+1 （ 1）若不等式 f（ x） 解集為 x|1 x 2，求實(shí)數(shù) a、 m 的值； （ 2）解不等式 f（ x） 0 【考點(diǎn)】 一元二次不等式的解法；二次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 （ 1）根據(jù)一元二次不等式的解集，利用根與系數(shù)的關(guān) 系，即可求出實(shí)數(shù) a、 m 的值； （ 2）不等式化為（ 1）（ x 1） 0，討論 a=0 和 a 0、 a 0 時，求出不等式 f（ x） 0的解集即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = a+1） x+1， 不等式 f（ x） 價于 a+m+1） x+1 0， 依題意知不等式 a+m+1） x+1 0 的解集為 x|1 x 2， a 0 且 1 和 2 為方程 a+m+1） x+1=0 的兩根， ， 解得 ， 實(shí)數(shù) a、 m 的值分別為 a=1、 m=0， （ 2）不等式 f（ x） 0 可化為（ 1）（ x 1） 0， （ ）當(dāng) a=0 時，不等式 f（ x） 0 等價于 x+1 0，解得 x 1， 故原不等式的解集為 x|x 1， （ ）當(dāng) a 0 時，不等式 f（ x） 0 等價于 ， 第 13 頁（共 16 頁） 當(dāng) 0 a 1 時 ，不等式 的解集為 ， 即原不等式的解集為 ， 當(dāng) a=1 時，不等式 的解集為 ， 即原不等式的解集為 ， 當(dāng) a 1 時 ，不等式 的解集為 ， 即原不等式的解集為 ， （ ）當(dāng) a 0 時，不等式 f（ x） 0 等價于 ， a 0， ， 不等式 的解集為 x|x 或 x 1， 即原不等式的解集為 x|x 或 x 1， 綜上所述，當(dāng) a 1 時不等式 f（ x） 0 的解集為 ， 當(dāng) a=1 時不等式 f（ x） 0 的解集為 ， 當(dāng) 0 a 1 時不等式 f（ x） 0 的解集為 ， 當(dāng) a=0 時不等式 f（ x） 0 的解集為 x|x 1， 當(dāng) a 0 時不等式 f（ x） 0 的解集為為 x|x 或 x 1 21已知 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，且 an+n 4 （ 1）求 值； （ 2）若 bn=1，試證明數(shù)列 等比數(shù)列； （ 3）求數(shù)列 通項(xiàng)公 式，并證明： + + 1 【考點(diǎn)】 數(shù)列與不等式的綜合；等比關(guān)系的確定 【分析】 （ 1）直接令 n=1 代入計算即可； （ 2）通過 an+n 4 與 1=21+n 5 作差、變形可知 1，進(jìn)而整理即得結(jié)論； （ 3）通過（ 2）放縮可知 ，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論 【解答】 （ 1）解： an+n 4， 1=2 4，即 ； （ 2）證明： an+n 4， 當(dāng) n 2 時， 1=21+n 5， 兩式相減得： 21+1，即 1， 第 14 頁（共 16 頁） 變形，得： 1=2（ 1 1）， 由（ 1）可知 b1=1=2， 故數(shù)列 首項(xiàng)、公比均為 2 的等比數(shù)列； （ 3）證明：由（ 2）可知 n+1， = ， + + + + = 1 22對于函數(shù) y=f（ x），若 足 f（ =稱 函數(shù) f（ x）的一階不動點(diǎn)，若 ff（ =稱 函數(shù) f（ x）的二階不動點(diǎn)， （ 1）設(shè) f（ x） =2x+3，求 f（ x）的二階不動點(diǎn) （ 2）若 f（ x）是定義在區(qū)間 D 上的增函數(shù)，且 函數(shù) f（ x）的二階不動點(diǎn)，求證： f（ x）的一階不動點(diǎn)； （ 3）設(shè) f（ x） =ex+x+a， a R，若 f（ x）在 0， 1上存在二階不動點(diǎn) 實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 函數(shù)與方程的 綜合運(yùn)用；函數(shù)的值