第七章 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及性質(zhì)一、選擇題1給出以下命題，其中錯誤的是 ()A如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個平面B垂直于同一平面的兩條直線互相平行C垂直于同一直線的兩個平面互相平行D兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面解析：一條直線可以垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線，但這條直線不垂直這個平面答案：A2設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是 ()A若lm，m，則lB若l，lm，則mC若l，m，則lmD若l，m，則lm解析：根據(jù)定理：兩條平行線中的一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面可知B正確答案：B3若m、n是兩條不同的直線，、是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是()A若m，則mB若m，n，mn，則C若m，m，則D若，則解析：對于A，由m，顯然不能得知m；對于B，由條件也不能確定；對于C，由m得，在平面上必存在直線lm.又m，因此l，且l，故；對于D，垂直于同一平面的兩個平面不一定垂直，因此D也不正確答案：C4(2020皖南八校聯(lián)考)已知，是三個不同的平面，命題“，且”是真命題，如果把，中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有 ()A0個B1個C2個 D3個解析：若，換為直線a，b，則命題化為“ab，且ab”，此命題為真命題；若，換為直線a，b，則命題化為“a，且abb”，此命題為假命題；若，換為直線a，b，則命題化為“a，且bab”，此命題為真命題，故選C.答案：C5(2020宿遷模擬)已知兩條直線m，n，兩個平面，給出下面四個命題：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn.其中正確命題的序號是 ()A BC D解析：對于，由于兩條平行線中的一條直線與一個平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直，因此是正確的；對于，分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線必沒有公共點(diǎn)，但它們不一定平行，因此是錯誤的；對于，直線n可能位于平面內(nèi)，此時結(jié)論顯然不成立，因此是錯誤的；對于，由m且得m，又mn，故n，因此是正確的答案：C6如圖，四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則下列結(jié)論正確的是 ()AACBDBBAC90CCA與平面ABD所成的角為30D四面體ABCD的體積為解析：取BD的中點(diǎn)O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面BCD，CDBD，OC不垂直于BD.假設(shè)ACBD，OC為AC在平面BCD內(nèi)的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD，A錯誤；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD內(nèi)的射影為AD，ABAD1，BD，ABAD，ABAC，B正確；CAD為直線CA與平面ABD所成的角，CAD45，C錯誤；VABCDSABDCD，D錯誤答案：B二、填空題7已知直線l，m，n，平面，m，n，則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)解析：若l，則l垂直于平面內(nèi)的任意直線，故lm且ln，但若lm且ln，不能得出l.答案：充分不必要8正四棱錐SABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在表面上運(yùn)動，并且總保持PEAC，則動點(diǎn)P的軌跡的周長為_解析：如圖，取CD的中點(diǎn)F、SC的中點(diǎn)G，連接EF，EG，F(xiàn)G，設(shè)EF交AC于點(diǎn)H，易知ACEF，又GHSO，GH平面ABCD.ACGH.又GHEFH，AC平面EFG.故點(diǎn)P的軌跡是EFG，其周長為.答案：9如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫個你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：由PABD，ACBD可得BD平面PAC，所以BDPC.所以當(dāng)DMPC(或BMPC)時，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC等)三、解答題10.三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBCAA12，ACB90，E為BB1的中點(diǎn)，A1DE90，求證：CD平面A1ABB1.證明：ACBC2，ACB90，AB2.設(shè)ADx，則BD2x，A1D24x2，DE21(2x)2，A1E2(2)21.A1DE90，A1D2DE2A1E2.x.D為AB的中點(diǎn)CDAB.又AA1CD且AA1ABA，CD平面A1ABB1.11.如圖，三棱錐ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點(diǎn)，且(01)(1)求證：不論為何值，總有平面BEF平面ABC；(2)當(dāng)為何值時，平面BEF平面ACD.解：(1)AB平面BCD，ABCD.CDBC，且ABBCB，CD平面ABC.又(01)，不論為何值，恒有EFCD.EF平面ABC，EF平面BEF.不論為何值恒有平面BEF平面ABC.(2)由(1)知，BEEF，平面BEF平面ACD，BE平面ACD.BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，BD，ABtan 60.AC.由AB2AEAC，得AE.12 (2020鄭州模擬)如圖，直角三角形BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，其中DCCB，PA平面ABC，DCBC2PA，E、F分別為DB、CB的中點(diǎn)(1)證明：AEBC；(2)求直線PF與平面BCD所成的角解：(1)證明：連接EF，AF.因為E、F分別是BD、BC的中點(diǎn)，所以EFDC.又DCBC，所以EFBC.因為ABC為等邊三角形，所以BCAF.EFAFF所以BC平面AEF，又AE平面AEF，故BCAE.(2)連接PE.因為平面BCD平面ABC，DCBC，AFBC，所以DC平面ABC，AF平面BCD.因為PA平面ABC，PADC，所以PA