2.2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)皰丁巧解牛知識(shí)巧學(xué)升華一、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.對(duì)數(shù)函數(shù) 一般地，函數(shù)y=logax（a0，a1）叫對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）. 因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)變化而來的，對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量x恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值y，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+），指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域是互換的. 只有形如y=logax（a0，a1，x0）的函數(shù)才叫對(duì)數(shù)函數(shù).像y=loga（x+1），y=2logax，y=logax+3等函數(shù)，它們是由對(duì)數(shù)函數(shù)變化而得到的，都不是對(duì)數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)同指數(shù)函數(shù)一樣都是基本初等函數(shù)，它來自于實(shí)踐.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) （1）下面先畫指數(shù)函數(shù)y=log2x及y=log1/2x圖象 列出x,y的對(duì)應(yīng)值表，用描點(diǎn)法畫出圖象：X1/81/41/21248y=log2x-3-2-10123y=log1/2x3210-1-2-3 描點(diǎn)即可完成y=log2x，y=的圖象，如下圖. 0 1 2 4 8 x -1 -2 y=log1/2x -3s 由表及圖可以發(fā)現(xiàn)： 我們可以通過函數(shù)y=log2x的圖象得到函數(shù)y=log0.5x的圖象利用換底公式可以得到：y=log0.5x=-log2x，點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(x,-y)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以y=log2x的圖象上任意一點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)(x,-y)在y=log0.5x的圖象上，反之亦然根據(jù)這種對(duì)稱性就可以利用函數(shù)y=log2x的圖象畫出函數(shù)y=log0.5x的圖象 方法點(diǎn)撥 注意此處空半格作對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，其關(guān)鍵是作出三個(gè)特殊點(diǎn)（，-1），（1，0），（a，1）一般情況下，作對(duì)數(shù)函數(shù)圖象有這三點(diǎn)就足夠了.不妨叫做“三點(diǎn)作圖法.”函數(shù)y=logax與y=的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.（2）對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax在底數(shù)a1及0a1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示：a10a1圖 象定義域（0，+）值 域R性 質(zhì)（1）過點(diǎn)（1，0），即x=1時(shí)，y=0（2）在（0，+）上是增函數(shù)，在（0，+）上是減函數(shù)，（3）當(dāng)00(a-1)(b-1)0；logab0(a-1)(b-1)0，且a1）在R上是單調(diào)函數(shù)，它的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a0，且a1），反之對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù). 課本上只要求知道指數(shù)函數(shù)y=ax（a0且a1）和對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a0且a1）互為反函數(shù)，不要求會(huì)求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù).4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)照表名 稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax（a0，a1）y=logax（a0，a1）定義域（-，+）（0，+）值域（0，+）（-，+）函數(shù)值變化情況當(dāng)a1時(shí)，ax當(dāng)a1時(shí)，logax當(dāng)0a1時(shí)，logax單調(diào)性當(dāng)a1時(shí)，y=ax是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，y=logax是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，y=logax是減函數(shù)圖 象y=ax與y=logax的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱 聯(lián)想發(fā)散 注意此處空半格(1)反函數(shù)也是函數(shù)，它具有函數(shù)的一切特性；反函數(shù)是相對(duì)于原函數(shù)而言的，函數(shù)與它的反函數(shù)互為反函數(shù).(2)若是已知f（x）的解析式，求f-1（x0）的值，不必去求f-1（x），只需列方程f（x）=x0，得出x的值即為所求.(3)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).它們的定義域與值域相互對(duì)稱，單調(diào)性相同，圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,由于對(duì)數(shù)函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)關(guān)于直線y=x變化而得到的，也可以在用描點(diǎn)法作對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象時(shí)，對(duì)調(diào)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值里的x、y即可.所以在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，要緊扣指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).問題思路探究問題1 在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=log3x，y=，y=log2x，y=的圖象，比一比，看它們之間有何區(qū)別與聯(lián)系. 思路：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可比較底數(shù)相同，真數(shù)不同的對(duì)數(shù)值的大?。豢杀容^底數(shù)不同，真數(shù)相同的對(duì)數(shù)值的大?。灰部杀容^底數(shù)與真數(shù)都不同的對(duì)數(shù)值的大小. 一般地，如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)不同而真數(shù)相同，如y=x與y=x的比較（a10，a11，a20，a21）.當(dāng)a1a21時(shí)，曲線y1比y2的圖象（在第一象限）上升得慢，即當(dāng)x1時(shí)，y1y2； 當(dāng)0x1時(shí)，y1y2.而在第一象限內(nèi)，圖象越靠近x軸的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.當(dāng)0a2a11時(shí)，曲線y1比y2的圖象（在第四象限內(nèi)）下降得快，即當(dāng)x1時(shí)，y1y2；當(dāng)0x1時(shí)，y1y2，即在第四象限內(nèi)，圖象越靠近x軸的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小.當(dāng)0a21a1時(shí)，曲線y1和y2的圖象分布在不同象限. 即當(dāng)x1時(shí)， y200y1探究:從圖象可以看到：所有圖象都跨越一、四象限，任何兩個(gè)圖象都是交叉出現(xiàn)的，交叉點(diǎn)是（1，0），當(dāng)a1時(shí)，圖象向下與y軸的負(fù)半軸無限靠攏，在點(diǎn)（1，0）的右側(cè)，函數(shù)值恒大于0，對(duì)同一自變量x而言，底數(shù)越大，函數(shù)值越小，在點(diǎn)（1，0）的左側(cè)，函數(shù)值恒小于0，對(duì)同一自變量x而言，底數(shù)越大，函數(shù)值越大；當(dāng)0a1時(shí)，圖象向上與y軸的正半軸無限靠攏，在點(diǎn)（1，0）的左側(cè)，函數(shù)值恒大于0，對(duì)同一自變量x而言，底數(shù)越大，函數(shù)值越大，在點(diǎn)（1，0）的右側(cè)，函數(shù)值恒小于0，對(duì)同一自變量x而言，底數(shù)越大，函數(shù)值越小；由此我們知道，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax，當(dāng)y=1時(shí)，x=a，而a恰好又是對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，這就啟發(fā)我們，不妨作直線y=1，它同各個(gè)圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好就是對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，以此可比較底數(shù)的大小.同時(shí)，根據(jù)不同圖象間的關(guān)系，也可比較真數(shù)相同，底數(shù)不同的對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小，如log23log1.53，log20.5 log0.62等. 問題2 怎樣畫對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0, a1)的圖象？至少要描出哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)？思路：（1）要善于對(duì)照指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系來畫圖象;（2）從聯(lián)系的角度研究畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的方法，對(duì)深化理解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)很有幫助.探究:畫對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0, a1)的圖象依據(jù)它與指數(shù)函數(shù)y=ax(a0, a1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，用找對(duì)稱點(diǎn)作對(duì)稱圖形的方法來畫，也可以用列表、描點(diǎn)、連線的方法來畫畫圖象時(shí)首先要分清底數(shù)a1還是0a log66=1, log76log76；(2)因?yàn)閘og38 log31=0, log20.7log20.7. 深化升華 注意此處空半格利用對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小,當(dāng)不能直接比較時(shí),經(jīng)常在兩個(gè)對(duì)數(shù)中間插入1或0等,間接比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小.利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性可解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式.例2 已知（1）log2（2x-1）1，（2）已知log1/2（2x-1）0，試分別求x的取值范圍.思路解析：利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性可解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式.解：（1）log2（2x-1）1，即log2（2x-1）log22，2x-12，解得x， 即x的范圍是x（，+）.（2）由已知得log2（2x-1）lg1，02x-11，0x1. 誤區(qū)警示 注意此處空半格解對(duì)數(shù)不等式的關(guān)鍵是善于把真數(shù)視為一個(gè)整體，用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式.但一定要注意真數(shù)大于零這一隱含條件.例3 求函數(shù)y=的定義域.思路解析：定義域是使解析式的各部分有意義的交集.解：要使函數(shù)有意義，必須且只即-3x-2，或-2x1.函數(shù)的定義域?yàn)椋?3，-2）（-2，1. 深化升華 注意此處空半格求函數(shù)定義域時(shí)，常見的限制條件有：分母不為零，開偶次方時(shí)被開方數(shù)非負(fù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1等.例4 試求滿足不等式2（log0.5x）2+9log0.5x+90的x的范圍.思路解析：把log0.5x看作一個(gè)變量t，原不等式即變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式，可求出t的取值范圍，進(jìn)而再求出x的取值范圍.解：令t=log0.5x，則原不等式可化為2t2+9t+90，解得-3t-， 即-3log0.5x-.又-3=log0.50.5-3，-=.x0.5-3，即2x8. 深化升華 注意此處空半格求復(fù)合函數(shù)的最值時(shí)，一般要注意函數(shù)有意義的條件，來決定中間變量的取值范圍，并綜合運(yùn)用求最值的各種方法求解.例5 求函數(shù)y=log0.3（2x+8-x2）的單調(diào)區(qū)間和值域.思路解析：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則(同增異減),而求值域的關(guān)鍵是先求出對(duì)數(shù)的真數(shù)的取值范圍,再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得對(duì)數(shù)值的范圍.解：因?yàn)?x+8-x20，即x2-2x-80,解得-2x4，所以此函數(shù)的定義域?yàn)椋?2,4）， 又令u=2x+8-x2,則y=log0.3u.因?yàn)閥=log0.3u為定義域上的減函數(shù), 所以y=log0.3（2x+8-x2）的單調(diào)性與u=2x+8-x2的單調(diào)性相反. 對(duì)于函數(shù)u=2x+8-x2,x（-2,4）. 當(dāng)x（-2，1時(shí)為增函數(shù);當(dāng)x1，4)時(shí)為減函數(shù). 所以函數(shù)y=log0.3（2x+8-x2）的增區(qū)間為1，4),減區(qū)間為（-2，1， 又因?yàn)閡=2x+8-x2=-（x-1）2+9， 所以當(dāng)x（-2,4）時(shí), 0uqlog0.3ulog0.39, 即函數(shù)y=log0.3（2x+8-x2）的值域?yàn)?log0.39,+) 拓展延伸 注意此處空半格考查對(duì)數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)時(shí),要注意利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則和函數(shù)單調(diào)性的定義;考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問題時(shí),要注意只有當(dāng)對(duì)數(shù)的真數(shù)取到所有的正數(shù)時(shí),對(duì)數(shù)值才可能取到所有的實(shí)數(shù).例6 作出下列各函數(shù)的圖象,并說明它們的圖象可由y=log3x的圖象經(jīng)過怎樣變換得到：(1) y=log3|x|;（2）y=|log3x|.思路解析：作含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)圖象,可先由絕對(duì)值定義去絕對(duì)值,寫成分段函數(shù)的形式,也可依翻折變換的規(guī)律變換得出.解：（1）原函數(shù)可化為y=它的圖象如圖(1)所示. 先作出函數(shù)y=log3x的圖象,再將所得圖象沿y軸對(duì)稱到y(tǒng)軸左側(cè),所