寧夏石嘴山市第三中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)四?？荚囋囶} 文（含解析）一選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1.的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式， ，故選D.2.已知集合，則下列關(guān)系中正確的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)真子集的定義可判斷出結(jié)果.【詳解】，且 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3.已知是純虛數(shù)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等，即可得到結(jié)論【詳解】是實(shí)數(shù)，設(shè)a，a是實(shí)數(shù)，則z+1a（2i）2aai，z2a1ai，z為純虛數(shù)，2a10且a0，即a，z2a1ai，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵4.已知等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)都不為，且、成等比數(shù)列，則（ ）A. 7B. 5C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列可構(gòu)造出關(guān)于和的方程，解方程得到；根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，利用和表示出所求式子，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為、成等比數(shù)列 即，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用、等比中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被一個(gè)平面截去部分后，余下部分的三視圖如圖所示，則截去部分與剩余部分體積的比為（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可【詳解】解：由題意可知：幾何體被平面ABCD平面分為上下兩部分，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，上部棱柱的體積為：；下部為：，截去部分與剩余部分體積的比為：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關(guān)系，棱柱的體積的求法，考查計(jì)算能力.6.已知數(shù)列中，若利用下面程序框圖計(jì)算該數(shù)列的第2020項(xiàng)，則判斷框內(nèi)的條件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：該數(shù)列的第2020項(xiàng)，即，是，否，判斷框內(nèi)的條件是考點(diǎn)：算法與程序框圖7.中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩兩直角邊分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出直角三角形內(nèi)切圓半徑，計(jì)算內(nèi)切圓和三角形的面積，從而利用幾何概型概率公式得出結(jié)論.【詳解】直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，內(nèi)切圓的面積為，豆子落在其內(nèi)切圓外部的概率是，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí) , 忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤.8.若圓與圓公共弦長(zhǎng)為，則圓的半徑為（）A. B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】?jī)蓤A方程作差可得公共弦所在直線，利用直線被圓截得弦長(zhǎng)公式可構(gòu)造關(guān)于半徑的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】?jī)蓤A方程作差可得：公共弦所在直線方程為：則圓的圓心到公共弦所在直線距離：，解得：，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查兩圓公共弦長(zhǎng)的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠通過兩圓方程作差求得公共弦所在直線.9.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈若直線ax-y=0上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意作出可行域，利用直線過定點(diǎn)，結(jié)合直線的斜率，求得滿足直線ax-y=0上存在區(qū)域D上的點(diǎn)時(shí)的a的范圍【詳解】解：由不等式組作出可行域如圖，直線ax-y=0過定點(diǎn)O（0，0），要使直線ax-y=0上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則直線ax-y=0的斜率akOB，kOA，聯(lián)立，得A（1，3），聯(lián)立，得B（2，1），a，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題10.已知曲線向左平移個(gè)單位，得到曲線經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. 函數(shù)的最小正周期B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增C. 曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D. 曲線關(guān)于直線對(duì)稱【答案】C【解析】【分析】根據(jù)左右平移和可求得解析式；根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性和對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的判斷方法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由題意知：則 ，最小正周期，可知錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，可知錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，且，所以為的對(duì)稱中心，可知正確；當(dāng)時(shí)，且，所以為的對(duì)稱中心，可知錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查圖象平移變換、余弦型函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性的相關(guān)問題.判斷余弦型函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性的關(guān)鍵是能夠通過整體對(duì)應(yīng)的方式，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象來(lái)進(jìn)行判斷.11.已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若為直角三角形，則雙曲線的離心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線方程，代入雙曲線方程求得y，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知FAB為等腰直角三角形，進(jìn)而可求得A或B的縱坐標(biāo)為2，進(jìn)而求得a，利用a，b和c的關(guān)系求得c，則雙曲線的離心率可得【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立雙曲線，解得，由題意得，所以，所以，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)解題的關(guān)鍵是通過雙曲線的對(duì)稱性質(zhì)判斷出FAB為等腰直角三角形12.函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都與成立，并且當(dāng)時(shí)，.則方程的根的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意明確函數(shù)的周期性，數(shù)形結(jié)合即可得到方程的根的個(gè)數(shù).【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x+2）f1+（1+x）f1（1+x）f（x），由于f（x）為偶函數(shù)，f（x）f（x）f（x+2）f（x）函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，且值域?yàn)榉匠痰母膫€(gè)數(shù)即函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線無(wú)交點(diǎn)，由圖像可得二者的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2020個(gè)故選：A點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的圖象，方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，難度中檔二填空題.13.函數(shù)的圖象在處的切線斜率為_【答案】1【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，求導(dǎo)后代入即可得到結(jié)果.【詳解】由得：，即所求切線斜率為本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)向量的模分別為1,2，它們的夾角為，則向量與的夾角為_【答案】【解析】【分析】分別求解出和，利用向量夾角的計(jì)算公式求解得到夾角余弦值，從而得到所求夾角.【詳解】又向量與的夾角為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過向量數(shù)量積運(yùn)算求得公式各個(gè)構(gòu)成部分的值，代入公式求得結(jié)果.15.若函數(shù) 是奇函數(shù)，則=_【答案】【解析】【分析】利用解析式求出，根據(jù)奇函數(shù)定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：為奇函數(shù) 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求解問題，關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用奇偶性的定義來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.16.以下四個(gè)命題：設(shè)，則是的充要條件；已知命題、滿足“或”真，“或”也真，則“或”假；若，則使得恒成立的的取值范圍為或；將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得，則三棱錐的體積為. 其中真命題的序號(hào)為_.【答案】【解析】【分析】中，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可判定；中，根據(jù)復(fù)合命題的真假判定方法，即可判定；中，令，轉(zhuǎn)化為在恒成立，即可求解；中，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和椎體的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，中，當(dāng)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，反證，當(dāng)時(shí)，可得，所以“”是“”成立的充要條件，所以是正確的；中，若命題“或”真”，可得命題中至少有一個(gè)是真命題，當(dāng)為真命題，則假命題，此時(shí)若“或”真，則命題為真命題，所以“或”真命題，所以不正確；中，令，則不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在恒成立，則滿足，即，解得或，所以是正確的；中，如圖所示，O為AC的中點(diǎn)，連接DO，BO，則都是等腰直角三角形，其中也是等腰直角三角形，平面，為三棱錐的高，且，所以三棱錐體積為，所以是正確的，綜上可知真命題的序號(hào)為【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定問題，其中解答中涉及到充要條件的判定、復(fù)合命題的應(yīng)用，不等式的恒成立問題的求解，以及折疊問題求幾何體的體積等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知，（1）求的最大值、最小值；（2）為的內(nèi)角平分線，已知，求【答案】(1) 見解析 (2) 【解析】分析：（1）由三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)得，單調(diào)函數(shù)在在上單增，上單減，即可求解函數(shù)的最值；（2）在和，由正弦定理得，再分別在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小詳解：(1)在上單增，上單減，；（2）中，中，中，中，點(diǎn)睛：本題考查了解三角形的綜合應(yīng)用，高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來(lái)命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到 18.十八大以來(lái)，我國(guó)新能源產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.以下是近幾年某新能源產(chǎn)品的年銷售量數(shù)據(jù)：年份20202020202020202020年份代碼12345新能源產(chǎn)品年銷售（萬(wàn)個(gè)）1.66.217.733.155.6（1）請(qǐng)畫出上表中年份代碼與年銷量的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：與中哪一個(gè)更適宜作為年銷售量關(guān)于年份代碼的回歸方程類型；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)2020年某新能源產(chǎn)品的銷售量（精確到0.01）.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）見解析（2）79.59萬(wàn)個(gè)【解析】【分析】（1）以年份代碼為軸,以年銷量為軸,作散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖，更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程；（2）利用最小二乘法求出關(guān)于的回歸方程為,再利用回歸方程預(yù)測(cè)2020年某新能源產(chǎn)品的銷售量.【詳解】（1）以年份代碼為軸,以年銷量為軸,作散點(diǎn)圖， 根據(jù)散點(diǎn)圖，更適宜作為年銷售量關(guān)于年份代碼的回歸方程；（2）依題意， 所以關(guān)于的回歸方程為 令，故預(yù)測(cè)2020年新能源產(chǎn)品的銷售量為79.59萬(wàn)個(gè).【點(diǎn)睛】本題主要考查散點(diǎn)圖，考查利用最小二乘法求回歸方程，考查利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19.如圖，長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別為， 的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與平面平行，且與長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)幾何圖形.（1）在圖1中，畫出這個(gè)幾何圖形，并求這個(gè)幾何圖形的面積（不必說明畫法與理由）；（2）在圖2中，求證：平面.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）為的中點(diǎn)，連接，、，從而可知四邊形為所求幾何圖形；根據(jù)可知所求圖形為梯形，利用勾股定理可求出梯形的高，根據(jù)梯形面積公式可求得結(jié)果；（2）連接，交于，連接；根據(jù)線面垂直判定定理可得平面，得到；再利用可證得，根據(jù)線面垂直判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，、，如下圖所示：則四邊形為所求幾何圖形； 四邊形為梯形，且過作于點(diǎn)，梯形的面積 （2）連接，交于，連接則為的中點(diǎn)，且為的四等分點(diǎn)由平面可知：又，平面 由得，即：，又平面【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的截面問題、線面垂直關(guān)系的證明，考查學(xué)生的空間想象能力，要求學(xué)生對(duì)于平面間的關(guān)系和線面關(guān)系有較好的掌握，屬于常規(guī)題型.20.已知橢圓的離心率為，分別是它的左、右焦點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的上頂點(diǎn)作斜率為，的兩條直線，兩直線分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】【分析】（1）由題意，結(jié)合的關(guān)系即可求解。（2）設(shè)直線,，聯(lián)立方程可得，又，結(jié)合韋達(dá)定理可得，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解?！驹斀狻浚?）因?yàn)?，所以，又，所以，橢圓的方程為；（2）因?yàn)?，所以直線斜率存在設(shè)直線,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得，所以直線定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線恒過定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的理解程度和掌握水平，屬中檔題。21.已知函數(shù).（1）討論單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可得f（x）的單調(diào)性.（2）將已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到在上有解，分離參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求得值域，可得a的范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或.令，解得，則在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，所以，在上有零點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程在上有解，即在上有解.因?yàn)?，所?令，則令，解得；令，解得，則 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以 ，則， ，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與