20202020學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)(理科)試題一、選擇題 (本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.設(shè)集合，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】確定出集合，再求的交集即可?！驹斀狻?，故選【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。2.在中， “”是“”的 （ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先判定充分性，然后判定必要性【詳解】在中，三角形中大邊對(duì)大角，則由正弦定理可得，充分性成立，由正弦定理可得，則三角形中大邊對(duì)大角，則，必要性也成立故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件和必要條件的成立，在三角形中運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解，注意在三角形內(nèi)角的取值范圍。3.函數(shù)的定義域?yàn)?（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意中的限制條件計(jì)算函數(shù)定義域【詳解】函數(shù)的定義域滿足，即故函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域求法，在解答此類題目時(shí)注意限制條件，如根號(hào)、對(duì)數(shù)函數(shù)等自身的限制條件，然后計(jì)算出結(jié)果。4.已知向量. 若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)A. B. C. 0 D. 【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積表示出向量點(diǎn)乘結(jié)果，然后求出的值【詳解】，根據(jù)題意可得：即兩邊平方化簡(jiǎn)可得故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題。5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則，故選C.6.已知，則的大小關(guān)系為 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)計(jì)算出結(jié)果，結(jié)合和比較數(shù)的大小【詳解】故故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算，然后構(gòu)造數(shù)比較大小，屬于基礎(chǔ)題。7.設(shè)兩個(gè)平面，直線，下列三個(gè)條件：；.若以其中兩個(gè)作為前提條件，另一個(gè)作為結(jié)論，則可構(gòu)成三個(gè)命題，這三個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)為()A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】【分析】列出，判斷三者的正誤即可得到答案【詳解】即，正確即，可能是平面內(nèi)的直線，故不正確即，同樣可能是平面內(nèi)的直線，故不正確故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題以及線面位置關(guān)系和面面位置關(guān)系的相關(guān)定理，熟練掌握各個(gè)定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。8.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其體積即可?！驹斀狻恳字搸缀误w是一個(gè)多面體，由上下兩個(gè)全等的正四棱錐組成其中正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，棱錐的高為1，則多面體的體積為：故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的體積，考查了學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算。9.已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：先畫出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象，又為偶函數(shù)，故將軸右側(cè)的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得軸左側(cè)的圖象，如下圖所示，直線與函數(shù)的四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左到右依次為，由圖象可知，或，解得，選A考點(diǎn)：、分段函數(shù)；2、函數(shù)的圖象和性質(zhì)；3、不等式的解集視頻10.函數(shù)的圖象大致是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，根據(jù)定義在上的奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可以排除，再求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呈周期性變化，分析四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果【詳解】當(dāng)時(shí)，故函數(shù)圖像過原點(diǎn)，排除又，令則可以有無數(shù)解，所以函數(shù)的極值點(diǎn)有很多個(gè)，故排除故函數(shù)在無窮域的單調(diào)區(qū)間呈周期性變化結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，只有符合要求故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了由函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)圖像的大體形狀，解決此類問題，主要從函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性以及奇偶性，極值等方面考慮，有時(shí)也用特殊值代入驗(yàn)證。11.如圖,一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖均為直角邊為1的等腰直角三角形，俯視圖為正方形,那么這個(gè)幾何體的外接球表面積為（ ）. A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三視圖得到幾何體的圖形，然后將其補(bǔ)成正方體，求出外接球的半徑，繼而得到外接球表面積【詳解】由三視圖得幾何體為四棱錐，可將幾何體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體則外接球半徑幾何體的外接球表面積為故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的表面積，由已知條件根據(jù)三視圖得到幾何體，然后將其補(bǔ)成正方體即可求解，此類題目需要注意解題方法。12.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意都有，當(dāng)，且時(shí)，給出如下命題：； 直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸；函數(shù)在上為增函數(shù)；函數(shù)在上有四個(gè)零點(diǎn).其中所有正確命題的序號(hào)為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性，然后逐一進(jìn)行判定【詳解】令，則由，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得：，故，故正確由可得：，故函數(shù)是周期等于6的周期函數(shù)是偶函數(shù)，軸是對(duì)稱軸，故直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，故正確當(dāng)，且時(shí)，故在上為增函數(shù)是偶函數(shù)，故在上為減函數(shù)函數(shù)是周期等于6的周期函數(shù)故在上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤函數(shù)是周期等于6的周期函數(shù)故函數(shù)在上有四個(gè)零點(diǎn)，故正確綜上所述，則正確命題的序號(hào)為故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、周期性以及單調(diào)性，在求解過程中熟練運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行解題，注意零點(diǎn)問題的求解。二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算 .【答案】【解析】試題分析：考點(diǎn)：定積分點(diǎn)評(píng)：定積分用于求曲邊梯形的面積。若，則。14.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由約束條件畫出可行域，然后運(yùn)用線性規(guī)劃來求解最小值【詳解】由題意約束條件作出可行域，用陰影部分表示，如圖所示當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)取得最小值最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃，解題步驟為：畫出可行域、改寫目標(biāo)函數(shù)、運(yùn)用幾何意義求出最值，注意在判定可行域時(shí)的方法。15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，解方程組即可得到公差。進(jìn)而表示出，再根據(jù)即可求解?！驹斀狻吭O(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意有 ，解得 ，數(shù)列的前n項(xiàng)和，裂項(xiàng)可得，所以【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式的用法，裂項(xiàng)求和的綜合應(yīng)用，屬于中檔題。16.已知向量,滿足,則的最大值是_【答案】【解析】【分析】運(yùn)用向量絕對(duì)值不等式，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)故當(dāng)時(shí)，的最大值是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，向量絕對(duì)值不等式，利用基本不等式求最值，需要掌握解題方法。三、解答題(本大題共6小題, 共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.（1）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示，求的最小值；（2）已知對(duì)任意的正實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（2）【解析】【分析】由函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，代入后求得，結(jié)合基本不等式求出結(jié)果分別解出不等式左右兩邊的最值情況，即可求出結(jié)果【詳解】函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)令，當(dāng)時(shí)，遞增當(dāng)時(shí)，遞減代入時(shí)，令，綜上所述，的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的最值問題及運(yùn)用基本不等式求出最值結(jié)果，在計(jì)算過程中要熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和基本不等式求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)。18.已知函數(shù)（）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的值域【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）運(yùn)用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，然后求函數(shù)遞增區(qū)間（）根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換求出函數(shù)的表達(dá)式，然后求出值域【詳解】（）令即故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）由題可得當(dāng)時(shí)，則的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，運(yùn)用倍角公式和輔助角公式來化簡(jiǎn)，在求值域時(shí)進(jìn)行分步求解，注意求解時(shí)最值的取值問題。19.設(shè)的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且有（）求角A的大小；（) 若，求周長(zhǎng)【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（）根據(jù)正弦定理與三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)題中的等式得到，從而得出，可得（)由已知條件求出向量的點(diǎn)乘結(jié)果，然后運(yùn)用余弦定理得到數(shù)量關(guān)系【詳解】（），結(jié)合為正數(shù)，可得，則（)，則，由可得，則周長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理解三角形，在求三角形周長(zhǎng)時(shí)，運(yùn)用余弦定理求出邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，解題時(shí)需要掌握方法。20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且=，.遞增的等比數(shù)列滿足.（）求數(shù)列,的通項(xiàng)公式； （）求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（）由已知條件分別解出數(shù)列,的通項(xiàng)公式（）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)也成立，則設(shè)等比數(shù)列的公比為，且為遞增等比數(shù)列，則，解得，（舍去），（） - 可得：則【點(diǎn)睛】本題主要考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由已知條件結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和推出通項(xiàng)公式，在遇到形如的形式求和時(shí)需要運(yùn)用錯(cuò)位相減法得到結(jié)果。21.如圖，四邊形為矩形，四邊形為梯形，平面 平面， ，,為中點(diǎn).()求證：平面；()求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）略；（2） .【解析】【分析】()連接，交于，連接，則，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得到答案()建立空間坐標(biāo)系，求出法向量，運(yùn)用空間向量求出結(jié)果【詳解】()連接，交于，連接，在中，分別為兩腰，的中點(diǎn)又面，面，平面()以為空間坐標(biāo)系原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)平面的法向量為則即，取，則，設(shè)直線與法向量的夾角為，直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行及運(yùn)用空間向量求出線面夾角問題，在求解過程中熟練掌握解題方法，然后運(yùn)用法則來求出結(jié)果。22.已知函數(shù)，對(duì)任意的，滿足，其中為常數(shù)（）若,求在處的切線方程；（）已知,求證；（）當(dāng)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍【答案】（）；（）詳見解析；（）.【解析】【分析】（）代入，然后求出函數(shù)在處的切線方程（）寫出的表達(dá)式，令，根據(jù)的取值范圍，得到的單調(diào)性，即可得證（）對(duì)求導(dǎo)，討論在不同的的取值范圍下的單調(diào)性，進(jìn)而討論其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求出存在三個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)的取值范圍?！驹斀狻浚ǎ┰谥?，取，得，又,所以.從而，,，又切點(diǎn)為，所以切線方程為.（）證明：令，則所以，時(shí)，單調(diào)