江蘇省如皋市2020屆高三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試題（三）（含解析）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）1.若集合，集合，則_【答案】【解析】【分析】由集合A和集合B列舉的元素，找出兩個(gè)集合的公共元素，組成集合即為所求【詳解】由集合，集合，所以且，所以【點(diǎn)睛】考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，要了解集合里面的元素種類及范圍，再進(jìn)行運(yùn)算2.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，則以為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_【答案】【解析】分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得雙曲線右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，寫出以為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即為所求【詳解】因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，雙曲線的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，則，得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，要求對(duì)雙曲線及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程里的數(shù)值對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系，如焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程，準(zhǔn)線方程等熟練掌握3.如下圖是一個(gè)算法的偽代碼，其輸出的結(jié)果為_【答案】【解析】由題設(shè)提供的算法流程圖可知:，應(yīng)填答案。4.某中學(xué)高中部有三個(gè)年級(jí)，其中高一年級(jí)有學(xué)生400人，采用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為45的樣本，高二年級(jí)抽取15人，高三年級(jí)抽取10人，那么高中部的學(xué)生數(shù)為_【答案】900【解析】【分析】由樣本容量為45，及高二年級(jí)抽取15人，高三年級(jí)抽取10人，得在高一年級(jí)抽取樣本容量為20，又因?yàn)楦咭荒昙?jí)有學(xué)生400人，故高中部學(xué)生人數(shù)為人【詳解】因?yàn)槌槿颖救萘繛?5，且高二年級(jí)抽取15人，高三年級(jí)抽取10人，那么高一年級(jí)抽取人，設(shè)高中部學(xué)生數(shù)為，則，得人【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的定義和方法，用樣本容量除以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于個(gè)體的總數(shù)5.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則_【答案】【解析】【分析】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，得，所以，由兩角和的正切公式，求得【詳解】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，所以【點(diǎn)睛】已知角終邊上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，得，6.正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，已知，則_【答案】【解析】【分析】由正項(xiàng)等比數(shù)列中，得，所以，求得【詳解】由正項(xiàng)等比數(shù)列中，所以，又因?yàn)?，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的有關(guān)計(jì)算，要求對(duì)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式熟練掌握7.已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則的值為_【答案】-1【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，則：，據(jù)此有：，令可得：，故：,.8.如圖所示的幾何體是一個(gè)五面體，四邊形為矩形，且，與都是正三角形，則此五面體的體積為_【答案】【解析】【分析】將五面體補(bǔ)全為直三棱柱，根據(jù)五面體的幾何特征，求三棱柱底面積，再用割補(bǔ)法求五面體體積【詳解】如圖，將五面體補(bǔ)全為直三棱柱，因?yàn)?，且，與都是正三角形，所以，所以，取中點(diǎn)，則，所以，故五面體的體積為： 【點(diǎn)睛】不規(guī)則幾何體體積的求法，關(guān)鍵是將幾何體看作是多個(gè)規(guī)則幾何體如柱、錐、臺(tái)、球的組合體，利用割補(bǔ)法求解，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性9.已知，若，滿足，且，則的最小值為_【答案】【解析】分析】由，且，所以，得，所以，所以【詳解】由，且，所以，即，所以，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，綜上，的最小值為【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式10.在平行四邊形ABCD中，邊AB、 AD的長(zhǎng)分別為2,1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是_【答案】【解析】試題分析：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)， 即可得到的坐標(biāo)，有向量坐標(biāo)運(yùn)算可得到關(guān)于的一元二次函數(shù)，進(jìn)而求得范圍試題解析：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B，C（，），D令，則，考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算11.如圖，已知為等腰直角三角形，其中，且，光線從邊上的中點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)，反射后又回到點(diǎn)（反射點(diǎn)分別為，），則光線經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)_【答案】【解析】【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC分別為x軸y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求P關(guān)于直線BC及y軸的對(duì)稱點(diǎn)，兩點(diǎn)間距離即為所求【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC分別為x軸y軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，其中，且，則，點(diǎn)，所以點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則且，解得，則【點(diǎn)睛】本題考查直線與點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題，涉及直線方程的求解以及光線的反射原理的應(yīng)用，要根據(jù)光線的反射原理，將折現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題求解12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：與曲線從左至右依次交于、三點(diǎn)，若直線：上存在滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】或【解析】【分析】由曲線及直線：的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B為原點(diǎn)，且為AC中點(diǎn)， ，因?yàn)橹本€：上存在滿足，所以直線上存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，得，解得k的取值范圍【詳解】因?yàn)榍€及直線：的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B為原點(diǎn)，且B為AC中點(diǎn)，所以 ，因?yàn)橹本€：上存在滿足，即，所以直線上存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，得，解得或【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，理解題目問(wèn)題的幾何意義，建立不等關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，且，則滿足上述條件的所有直線斜率之和為_【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，且，所以，得，又由，且，得或，得直線斜率為或，斜率之和為【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，且，所以，即，得，代入，且，得或，又因?yàn)?，直線斜率為或，斜率之和為【點(diǎn)睛】根據(jù)題設(shè)幾何特征，建立未知量的方程式，通過(guò)計(jì)算解出未知數(shù)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決14.已知，為曲線：上在軸兩側(cè)的點(diǎn)，過(guò)，分別作曲線的切線，則兩條切線與軸圍成的三角形面積的最小值為_【答案】【解析】分析】因?yàn)镻，Q為曲線：上在軸兩側(cè)的點(diǎn)，設(shè)，且，又因?yàn)榍€：在點(diǎn)的切線斜率為，得曲線在P，Q兩點(diǎn)處的切線和，求出直線與x軸交點(diǎn)，直線和的交點(diǎn)，所求圖形面積，求最小值即為所求【詳解】因?yàn)镻，Q為曲線：上在軸兩側(cè)的點(diǎn)，設(shè)，且，又因?yàn)榍€：在點(diǎn)的切線斜率為，所以曲線在P，Q兩點(diǎn)處的切線分別為和，與x軸交點(diǎn)分別為，直線和的交點(diǎn)為，所求圖形面積，即，令 ，假設(shè)時(shí)，才能取最小值，令，則，當(dāng)，即時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)且時(shí)，最小，解得，【點(diǎn)睛】本題以拋物線為背景考查三角形面積的最值，綜合直線方程，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)，要將求最值的幾何量表示為某個(gè)參數(shù)的函數(shù)式，然后用函數(shù)或不等式知識(shí)求最值二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.在中，（1）求角的大??；（2）設(shè)，其中，求取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，得，因?yàn)?，所?解得，由余弦定理，得，得C；（2）由（1），因?yàn)?，得取值范圍【詳解】?）因?yàn)椋?，所?，又因?yàn)?，所?，解得，由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2） ，因?yàn)椋?，所以取值范圍?【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，及三角恒等變換，三角函數(shù)求值域，要根據(jù)題設(shè)條件判斷選擇正弦定理還是余弦定理解決三角形中的邊角關(guān)系，三角恒等變換時(shí)一看“角”，二看三角函數(shù)名，三看式子的形式，三角函數(shù)求值域要將函數(shù)用一個(gè)自變量表示，再根據(jù)定義域求值域16.如圖在六面體中，平面平面，平面平面（1）若，求證：；（2）求證：平面【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）因?yàn)?，平面，所以，同理，所?（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線，且，分別垂直于和，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以，同理，則平面.【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，同理，所?（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線，且，分別垂直于和，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面，所以平面，平面，所以，同理，平面，則平面.【點(diǎn)睛】空間中直線、平面的平行或垂直的證明，要根據(jù)題設(shè)條件，判定定理及性質(zhì)定理，將線線、線面、面面之間的平行或垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，要求靈活掌握線面平行及垂直關(guān)系17.如圖，為某開發(fā)商設(shè)計(jì)的陽(yáng)光房屋頂剖面圖，根據(jù)實(shí)際需求，的面積為，且.（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）根據(jù)客戶需求，當(dāng)至少才能符合陽(yáng)光房采光要求，請(qǐng)問(wèn)該開發(fā)商設(shè)計(jì)的陽(yáng)光房是否符合客戶需求?【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，的最小值是. 該開發(fā)商設(shè)計(jì)的陽(yáng)光房符合客戶需求【解析】【分析】（1）因?yàn)?，所以，在中由余弦定理解得（2）設(shè)，所以，.在中由余弦定理得 ，令，求得的最小值與4比較大小，可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，在中由余弦定理得，所以.（2）設(shè)，所以，.在中由余弦定理得 ，令，令，-0+減小增當(dāng)時(shí)，的最小值是.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，三角形面積公式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，在使用三角形面積公式，一般考查哪個(gè)角就使用哪一個(gè)公式，與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化，解決最值問(wèn)題時(shí)可先利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，在求最值18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，使，延長(zhǎng)，分別交橢圓于，（1）求橢圓離心率的最小值；（2）當(dāng)橢圓的離心率取最小值時(shí)，求直線的斜率【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，則，因?yàn)椋?，得在上有解，得離心率取值范圍；（2）方程變?yōu)?，即?由點(diǎn)差法得.【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)?，所以A在以O(shè)F為直徑的圓上，所以，得在上有解.，.（2）方程變，即，.，因?yàn)椋詢墒较鄿p得：，.【點(diǎn)睛】求解離心率問(wèn)題關(guān)鍵是建立關(guān)于，的關(guān)系式（等式或不等式），并且最后要把用， 表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的關(guān)系式19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)，的值；（2）若函數(shù)在和兩處取得極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由題意得：，解得，.（2）由題意知：有兩個(gè)零點(diǎn)，令，而.對(duì)時(shí)和時(shí)分類討論，解得：.經(jīng)檢驗(yàn)，合題；（3）由題意得，即.所以，令，即，令，求導(dǎo)，得在上單調(diào)遞減，即.，.令，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，得的取值范圍.【詳解】（1），由題意得：，即，即，所以，.（2）由題意知：有兩個(gè)零點(diǎn)，令，而.當(dāng)時(shí)，恒成立所以單調(diào)遞減，此時(shí)至多1個(gè)零點(diǎn)（舍）.當(dāng)時(shí)，令，解得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，解得：因?yàn)?，且，而在上單調(diào)遞減，所以在上有1個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)椋ㄒ鬃C），則且，而在上單調(diào)遞增，所以在上有1個(gè)零點(diǎn).綜上：.（3）由題意得，即.所以，令，即，令，令，而，所以在上單調(diào)遞減，即，所以在上單調(diào)遞減，即.因?yàn)椋?令，而恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以.【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)的極值情況求參數(shù)的要領(lǐng)：1.列式，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；2.驗(yàn)證，求解后驗(yàn)證根的合理性，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小20.設(shè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮子數(shù)列，使對(duì)一切均成立?若存在，請(qǐng)寫出數(shù)列的所有通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）；（3）不存在數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮子數(shù)列，使，對(duì)一切均成立.【解析】【分析】（1）令，則，解得.（2），兩式相減得，又因?yàn)?，故?shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故.（3）假設(shè)存在數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮子數(shù)列，使對(duì)一切均成立，則，因?yàn)闉闊o(wú)窮子數(shù)列，則存在使得.所以整理得，與為遞增數(shù)列矛盾，故假設(shè)不成立，即不存在數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮子數(shù)列，使，對(duì)一切均成立.【詳解】（1）令，（2），兩式相減得，整理得，又因?yàn)?，故?shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故.（3）假設(shè)存在數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮子數(shù)列，使對(duì)一切均成立，則，因?yàn)闉闊o(wú)窮子數(shù)列，則存在使得.所以整理得，由（2）得，數(shù)列為數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮子數(shù)列，則為遞增數(shù)列，這與矛盾，故假設(shè)不成立，即不存在數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮子數(shù)列，使，對(duì)一切均成立.【點(diǎn)睛】已知，求的步驟：1.當(dāng)時(shí)，2.當(dāng)時(shí)，3.對(duì)時(shí)的情況進(jìn)行檢驗(yàn)，若適合的通項(xiàng)公式則可以合并，若不適合則寫成分段形式當(dāng)存在性問(wèn)題不好證明時(shí)可以使用反證法，假設(shè)問(wèn)題的反面成立，利用題設(shè)條件和已有知識(shí)推出矛盾，假設(shè)不成立，則原命題得證21.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合若直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為，求曲線被直線截得的弦長(zhǎng)【答案】【解析】【分析】因?yàn)?，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為圓，由圓心到直線的距離，及半徑，求得弦長(zhǎng)【詳解】因?yàn)?，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為圓，直線，圓心到直線的距離是，所以弦長(zhǎng)是.【點(diǎn)睛】直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式，直接代入并化簡(jiǎn)；極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難些，常通過(guò)變形，進(jìn)行整體代換；消去參數(shù)的方法一般有三種：（1）利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入消去參數(shù)（2）利用三角恒等式消去參數(shù)（3）根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去參數(shù)22.已知，求【答案】見解析【解析】【分析】先利用矩陣的乘法公式求AB，然后利用逆矩陣公式求解【詳解】.【點(diǎn)睛】對(duì)矩陣的乘法公式和逆矩陣公式的考查，要求熟記公式，將數(shù)據(jù)代入即可解決23.四棱錐中，面，底面為菱形，且有，是線段上一點(diǎn)（1）求與所成角的余弦值；（2）若二面角的平面角的余弦值為，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）過(guò)作，則，同理，以，為基底建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算，所以與所成角的