14.12 博弈論-期末考試 14.12 博弈論-期末考試 提示提示：這是開卷考試；你可以使用任何書面資料。考試時(shí)間為 2 小時(shí) 50 分鐘。每題 20 分。 祝你好運(yùn)！ 1. 考慮下面的擴(kuò)展式博弈。 (a) 找出該博弈的標(biāo)準(zhǔn)式表示式。 答案答案： (b) 找出所有理性化的純策略。 (c) 找出所有純策略納什均衡。 (d) 哪些策略與下面所有假定一致？ （i）1 是理性的。 (ii) 2 是連續(xù)理性的。 (iii) 在她行動(dòng)的節(jié)點(diǎn)，2 知道（i） 。 (iv) 1 知道(ii)和(iii)。 答案答案：由（i）可知 1 不會(huì)選擇 IR。于是，由（iii）可知，在她行動(dòng)的節(jié)點(diǎn)，2 知道 1 不會(huì)選擇 IR，這樣他知道 IL。然后，由（ii）可知，2 必須選擇 L。因此，由（i） 和（iv）可知，1 必須選擇 IL。答案是（IL,L） 。 2. 該問題涉及一個(gè)送奶人和一個(gè)消費(fèi)者。在任何一天，都以下列順序進(jìn)行， 送奶人在一個(gè)容器中加入 m0,1升牛奶和 1-m 升水，并把容器蓋上，產(chǎn)生成本 cm，其中 c0； 消費(fèi)者在不知道 m 的情況下決定是否以價(jià)格 p 購買該液體。如果她購買，那么她的 收益為 vm-p,送奶人的收益為 p-cm。如果她不購買，那么她的收益為 0，送奶人的 收益為-cm。如果她購買，她就知道 m。 (a）假定該博弈重復(fù) 100 天，每個(gè)參與者都試圖使自己的階段收益之和最大化。找出該 博弈的所有完美子博弈均衡。 答案答案：階段博弈只有唯一一個(gè)納什均衡，即 m0 而消費(fèi)者不購買。因此，這個(gè)有限次 重復(fù)博弈有唯一一個(gè)完美子博弈均衡，即重復(fù)階段均衡。 (b) 假定該博弈重復(fù)無限多次， 每個(gè)參與者都試圖使其階段收益的貼現(xiàn)和最大化， 其中 貼現(xiàn)率（0，1） 。找出價(jià)格 p 的范圍，從而存在一個(gè)完美子博弈均衡，使得每 天在均衡選擇路徑上送奶人會(huì)選擇 m=1 而消費(fèi)者會(huì)購買。 答案答案：通過總是選擇 m0，送奶人可以確保他得到 0。于是，送奶人在任何博弈歷 史上的連續(xù)價(jià)值至少為 0。于是，在最壞的均衡中，如果他背離，消費(fèi)者永遠(yuǎn)不會(huì) 購買牛奶，從而使送奶人剛好得到其連續(xù)價(jià)值 0。因此，我們尋求的完美子博弈均 衡就是：送奶人總是選擇 m1 而消費(fèi)者購買牛奶直到有人背離，其后送奶人選擇 m0 而消費(fèi)者不購買。如果送奶人不背離，那么他的連續(xù)價(jià)值就是 。 他的最佳背離（在均衡選擇路徑上的任何博弈歷史）是選擇 m0（其后就再無人 購買） 。這種情況下，他將得到 。 要使它成為一個(gè)均衡，我們必須使VVd；即， 即， 。 為了使消費(fèi)者在均衡路徑上購買，我們也必須使 pv。因此， 。 3. 對(duì)問題 2.(a)中的博弈，假定有 0.001 的概率，送奶人會(huì)強(qiáng)烈相信存在某種知道他所 作所為并將在第 101 天對(duì)他每次稀釋牛奶（選擇 m1的行為作出嚴(yán)厲懲罰的實(shí)體。 我們稱該類型為非理性的。假定這是公共信息。如果 vpc,找出該博弈的一個(gè)完美 貝葉斯均衡。如果你覺得這樣更簡單，你可以認(rèn)為不同日期的顧客是不同的，但必須 假定每個(gè)顧客知道他之前的顧客所知道的一切信息。 答案答案：要嚴(yán)密解答這個(gè)問題是非常困難的，所以，只要你的非正規(guī)答案表明你能夠從 不完全信息角度理解聲譽(yù)，你就可獲得大部分有些偏向的分?jǐn)?shù)。 要嚴(yán)密解答這個(gè)問題是非常困難的，所以，只要你的非正規(guī)答案表明你能夠從 不完全信息角度理解聲譽(yù)，你就可獲得大部分有些偏向的分?jǐn)?shù)。 非理性類型總是選 擇 m1。由于不管送奶人何時(shí)選擇 m1 而消費(fèi)者購買了，消費(fèi)者都會(huì)發(fā)現(xiàn)，所以理性 類型要么選擇 m1 要么選擇 m0。我們尋求的均衡是：在博弈關(guān)系的早期，理性送奶 人總是選擇 m1 而消費(fèi)者一直購買，但在關(guān)系接近結(jié)束時(shí)，送奶人將在 m1 和 m0 之間混合，而消費(fèi)者則在購買和不購買之間混合。 在這種均衡中，如果在任何時(shí)期t送奶人選擇m1 或者消費(fèi)者選擇不購買，那么理 性送奶人將選擇在每個(gè)日期st選擇m0。在這種情況下，如果消費(fèi)者還在 t+1,t+2,s-1這段時(shí)期中某個(gè)日期購買了， 而且如果送奶人在這段時(shí)期中每天都選 擇m1，那么消費(fèi)者會(huì)以 1 的概率認(rèn)為送奶人是非理性的，并且在日期s購買牛奶；否 則，他不會(huì)購買。在這種選擇的路徑上，如果在任何日期t送奶人選擇m1 或者消費(fèi)者 不購買，那么理性送奶人會(huì)選擇m0，而消費(fèi)者在每個(gè)日期st都不購買。要使這成為 一個(gè)均衡，在這種博弈歷史上送奶人是非理性的概率t必須滿足 其中，第一項(xiàng)是試驗(yàn)的預(yù)期收益（如果送奶人碰巧是非理性的） ，第二項(xiàng)是成本（如果 他是理性的） 。那就是 現(xiàn)在，我們要確定在送奶人總是選擇 m1 而消費(fèi)者一直購買時(shí)情況會(huì)怎樣。在最 后一天，理性的送奶人會(huì)選擇 m0，非理性的送奶人會(huì)選擇 m1；于是，消費(fèi)者購買 的充分必要條件是： 即， 由于我們希望他選擇混合策略，我們令 利用貝葉斯法則和消費(fèi)者選擇混合所必須的無所謂條件，我們可推出前些日期的t。 將理性送奶人在日期t選擇m1 的概率記為t ，而at t+（1-t）t表示在日期t 選擇m1 的總概率。由于消費(fèi)者在日期t+1 對(duì)購買和不購買無所謂，所以他在t+1 的預(yù) 期收益為 0。于是，他在日期t購買牛奶的預(yù)期收益為 要保證消費(fèi)者無所謂，這必須等于 0，于是 另一方面，由貝葉斯法則可知， 因此， 即是說， 注意 假設(shè)。于是，我們便得到一個(gè)日期t 滿足 在每個(gè)日期tt,我們有，且所有參與者會(huì)選擇混合并使。 在每個(gè)日期tt，送奶人將選擇m1 而消費(fèi)者將購買。在日期t，理性送奶人將選擇 混合并使 于是 注意，因此在日期t消費(fèi)者肯定會(huì)購買。 將消費(fèi)者在日期t購買的概率記為t。在第 99 天，如果理性消費(fèi)者選擇m1，那 么他將獲得 其中，第一項(xiàng)是第 99 天的銷售利潤，第二項(xiàng)是第 100 天（他將選擇m0）的利潤，最 后一項(xiàng)是消費(fèi)者在第 99 天不購買時(shí)的損失。如果他選擇m0，他將得到99p（來源于 第 99 天的銷售，之后他將得到 0） 。因此，他將選擇m1 的充分必要條件是 即， 由于我們正尋找一個(gè)無所謂狀態(tài)，所以我們要求 同樣，在第 98 天理性送奶人將選擇 m1 的充分必要條件是 其中，第二項(xiàng)是由于在第 99 天他在選擇 m0 和 m1 之間無所謂。要保證無所謂，我 們要求 只要我們要求送奶人選擇混合，我們會(huì)繼續(xù)這樣做。即是說，我們有： 正如我們之前提及的那樣，。于是，。于是，。 即是說， 附加題附加題：10 分如果人們知道，非理性類型偶然稀釋牛奶具有較小但正的概率，討論 這種情況下會(huì)發(fā)生什么。 4. 找出下面博弈的一個(gè)完美貝葉斯均衡。 答案答案： 。 5. 一風(fēng)險(xiǎn)中性的企業(yè)家有一個(gè)需要100,000 投資的項(xiàng)目，該項(xiàng)目有 1/2 的概率產(chǎn)生收 益300,000， 1/2 的概率產(chǎn)生收益 0。 現(xiàn)有兩種類型的企業(yè)家： 富的有財(cái)富1,000,000， 窮的只有 0。出于某種原因，富的企業(yè)家不能使用他的財(cái)富對(duì)該項(xiàng)目投資。同時(shí)，存在 一家可以利率貸款的銀行。也就是說，如果企業(yè)家借入100,000 用于投資，那么在 該項(xiàng)目完成后，他需要支付100,000（1+）如果他有那么多錢的話。如果在項(xiàng)目 結(jié)束時(shí)他的財(cái)富少于該數(shù)目，那么他將以自己所有的財(cái)富來支付。事件的順序如下： 首先，銀行貼出利率。 其次，企業(yè)家決定是否借錢（100,000）和投資。 再次，不確定性消除。 (a) 計(jì)算當(dāng)財(cái)富是公共信息時(shí)的完美子博弈均衡。 答案答案：富的企業(yè)家總是將全額償還貸款，于是，他投資（從不投資轉(zhuǎn)變而來）的預(yù)期 收益為 。 于是，他將投資的充分必要條件是這個(gè)量是非負(fù)的，即， 因此，銀行將把利率設(shè)定為 窮的企業(yè)家只有在該項(xiàng)目成功時(shí)才會(huì)償還貸款。于是，他投資的預(yù)期收益為 他將投資的充分必要條件是