8.4平行關(guān)系,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.直線與平面平行的判定與性質(zhì),知識(shí)梳理,a,a，b，ab,a,a，a，b,a,ab,2.面面平行的判定與性質(zhì),a，b，abP，a，b,，a，b,重要結(jié)論：(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a，a，則；(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a，b，則ab；(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若，則.,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.()(2)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線.()(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(),(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()(5)若直線a與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a.()(6)若，直線a，則a.(),1.(教材改編)下列命題中正確的是A.若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B.若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D.若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則b,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,A中，a可以在過(guò)b的平面內(nèi)；B中，a與內(nèi)的直線可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知，b，正確.,2.設(shè)l，m為直線，為平面，且l，m，則“l(fā)m”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件,答案,解析,當(dāng)平面與平面平行時(shí)，兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒(méi)有交點(diǎn)，故“l(fā)m”是“”的必要條件；當(dāng)兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)平面可以相交，lm是的必要不充分條件.,3.(2016濟(jì)南模擬)平面平面的一個(gè)充分條件是A.存在一條直線a，a，aB.存在一條直線a，a，aC.存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bD.存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b,答案,解析,若l，al，a，a，則a，a，故排除A.若l，a，al，則a，故排除B.若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除C.故選D.,4.(教材改編)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為_(kāi).,答案,解析,平行,連接BD，設(shè)BDACO，連接EO，在BDD1中，O為BD的中點(diǎn)，所以EO為BDD1的中位線，則BD1EO，而B(niǎo)D1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.,5.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi).,答案,解析,平行四邊形,平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，EFHG.同理EHFG，四邊形EFGH的形狀是平行四邊形.,題型分類深度剖析,例1如圖，四棱錐PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).(1)求證：AP平面BEF；,題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì),命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定,證明,連接EC，ADBC，BCAD，BC綊AE，四邊形ABCE是平行四邊形，O為AC的中點(diǎn).又F是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)OAP，F(xiàn)O平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.,(2)求證：GH平面PAD.,證明,連接FH，OH，F(xiàn)，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)HPD，F(xiàn)H平面PAD.又O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，OHAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.,例2(2016長(zhǎng)沙模擬)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2.點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)證明：GHEF；,命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì),證明,因?yàn)锽C平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.,(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積.,解答,如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK.因?yàn)镻APC，O是AC的中點(diǎn)，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO底面ABCD.又因?yàn)槠矫鍳EFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因?yàn)槠矫鍼BD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，,從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB8，EB2得EBABKBDB14，,所以GK3.,思維升華,判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，a，aa).,跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CDAB.求證：四邊形EFGH是矩形.,證明,CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCDEF，CDEF.同理HGCD，EFHG.同理HEGF，四邊形EFGH為平行四邊形.CDEF，HEAB，HEF為異面直線CD和AB所成的角或其補(bǔ)角.又CDAB，HEEF.平行四邊形EFGH為矩形.,題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì),例3如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；,證明,G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點(diǎn)共面.,(2)平面EFA1平面BCHG.,證明,E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.,引申探究,1.在本例條件下，若D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD平面A1B1BA.,證明,如圖所示，連接HD，A1B，D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.,2.在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1平面AC1D.,證明,如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，四邊形A1ACC1是平行四邊形，M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，D為BC的中點(diǎn)，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，四邊形BDC1D1為平行四邊形，,DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D.,思維升華,證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.,跟蹤訓(xùn)練2(2016許昌三校第三次考試)如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：(1)BE平面DMF；,證明,如圖所示，設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O，連接AE，則AE必過(guò)點(diǎn)O，連接MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO.因?yàn)锽E平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.,(2)平面BDE平面MNG.,證明,因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DEGN.因?yàn)镈E平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MN為ABD的中位線，所以BDMN.因?yàn)锽D平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因?yàn)镈E與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE平面MNG.,題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用,例4如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，問(wèn)在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE平面AB1C1？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.,解答,方法一存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE平面AB1C1.下面給出證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，則DFB1C1，AB的中點(diǎn)為E，連接EF，ED，則EFAB1，B1C1AB1B1，平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，DE平面AB1C1.,方法二假設(shè)在棱AB上存在點(diǎn)E，使得DE平面AB1C1，如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，EF，ED，則DFB1C1，又DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，DF平面AB1C1，又DE平面AB1C1，DEDFD，平面DEF平面AB1C1，EF平面DEF，EF平面AB1C1，,又EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1，EFAB1，點(diǎn)F是BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).即當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，DE平面AB1C1.,思維升華,利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫(huà)法中，常用來(lái)確定交線的位置，對(duì)于最值問(wèn)題，常用函數(shù)思想來(lái)解決.,跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問(wèn)截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？,解答,幾何畫(huà)板展示,AB平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG，EH.ABFG，ABEH，F(xiàn)GEH，同理可證EFGH，截面EFGH是平行四邊形.設(shè)ABa，CDb，F(xiàn)GH(即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角).,x0，ax0且x(ax)a為定值，,即當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí)截面面積最大.,SEFGHFGGHsin,典例(12分)如圖，在四棱錐SABCD中，已知底面ABCD為直角梯形，其中ADBC，BAD90，SA底面ABCD，SAABBC2，tanSDA.(1)求四棱錐SABCD的體積；(2)在棱SD上找一點(diǎn)E，使CE平面SAB，并證明.,立體幾何中的探索性問(wèn)題,答題模板系列5,規(guī)范解答,答題模板,解(1)SA底面ABCD，tanSDA，SA2，AD3.2分由題意知四棱錐SABCD的底面為直角梯形，且SAABBC2，,(2)當(dāng)點(diǎn)E位于棱SD上靠近D的三等分點(diǎn)處時(shí)，可使CE平面SAB.8分,證明如下：取SD上靠近D的三等分點(diǎn)為E，取SA上靠近A的三等分點(diǎn)為F，連接CE，EF，BF，,BC綊EF，CEBF.10分又BF平面SAB，CE平面SAB，CE平面SAB.12分,返回,解決立體幾何中的探索性問(wèn)題的步驟：第一步：寫(xiě)出探求的最后結(jié)論；第二步：證明探求結(jié)論的正確性；第三步：給出明確答案；第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.,返回,課時(shí)作業(yè),1.(2016保定模擬)有下列命題：若直線l平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則直線l；若直線a在平面外，則a；若直線ab，b，則a；若直線ab，b，則a平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線.其中真命題的個(gè)數(shù)是A.1B.2C.3D.4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,命題：l可以在平面內(nèi)，不正確；命題：直線a與平面可以是相交關(guān)系，不正確；命題：a可以在平面內(nèi)，不正確；命題正確.故選A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016濱州模擬)已知m，n，l1，l2表示直線，表示平面.若m，n，l1，l2，l1l2M，則的一個(gè)充分條件是A.m且l1B.m且nC.m且nl2D.ml1且nl2,答案,解析,由定理“如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行”可得，由選項(xiàng)D可推知.故選D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.對(duì)于空間中的兩條直線m，n和一個(gè)平面，下列命題中的真命題是A.若m，n，則mnB.若m，n，則mnC.若m，n，則mnD.若m，n，則mn,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,對(duì)A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，m與n垂直而非平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.如圖，L，M，N分別為正方體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系是A.垂直B.相交不垂直C.平行D.重合,答案,解析,如圖，分別取另三條棱的中點(diǎn)A，B，C，將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，因?yàn)镻QAL，PRAM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR平面AMBNCL，即平面LMN平面PQR.,5.(2016全國(guó)甲卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有_.(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)),答案,解析,當(dāng)mn，m，n時(shí)，兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.設(shè)，是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“m，n，且_，則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.，n；m，n；n，m.可以填入的條件有_.,答案,解析,或,由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)n，m時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平行，正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件_時(shí)，有平面D1BQ平面PAO.,答案,解析,Q為CC1的中點(diǎn),假設(shè)Q為CC1的中點(diǎn).因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QBPA.連接DB，因?yàn)镺是底面ABCD的中心，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，且PAPO于P，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQB于B，所以平面D1BQ平面PAO.故Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ平面PAO.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.將一個(gè)真命題中的“平面”換成“直線”、“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”.給出下列四個(gè)命題：垂直于同一平面的兩直線平行；垂直于同一平面的兩平面平行；平行于同一直線的兩直線平行；平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是_.(填命題的序號(hào)),答案,解析,由線面垂直的性質(zhì)定理可知是真命題，且垂直于同一直線的兩平面平行也是真命題，故是“可換命題”；因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬善矫婵赡芷叫谢蛳嘟?，所以是假命題，不是“可換命題”；由公理4可知是真命題，且平行于同一平面的兩平面平行也是真命題，故是“可換命題”；因?yàn)槠叫杏谕黄矫娴膬蓷l直線可能平行、相交或異面，故是假命題，故不是“可換命題”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如圖，空間四邊形ABCD的兩條對(duì)棱AC、BD的長(zhǎng)分別為5和4，則平行于兩條對(duì)棱的截面四邊形EFGH在平移過(guò)程中，周長(zhǎng)的取值范圍是_.,答案,解析,(8,10),GH5k，EH4(1k)，周長(zhǎng)82k.又0k1，周長(zhǎng)的取值范圍為(8,10).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.在三棱錐SABC中，ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，如果直線SB平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為_(kāi).,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接SG，BG.易知SGAC，BGAC，SGBGG，故AC平面SGB，所以ACSB.因?yàn)镾B平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，則SBHD.同理SBFE.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以四邊形DEFH為平行四邊形.又ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四邊形DEFH為矩形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點(diǎn).求證：(1)EG平面BB1D1D；,證明,取B1D1的中點(diǎn)O，連接GO，OB，易證四邊形BEGO為平行四邊形，故OBEG，由線面平行的判定定理即可證EG平面BB1D1D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)平面BDF平面B1D1H.,證明,由題意可知BDB1D1.如圖，連接