1、第12章 多元函數微分學的MATLAB求解編者 Outlinen12.1 多元函數的根本概念多元函數的根本概念n12.2 偏導數偏導數n12.3 全微分全微分n12.4 多元函數微分學的幾何運用多元函數微分學的幾何運用n12.5 方導游數與梯度方導游數與梯度n12.6 多元函數的極值多元函數的極值n12.7 多元函數的泰勒公式多元函數的泰勒公式n12.8 最小二乘法及其最小二乘法及其MATLAB實現實現12.1 多元函數的根本概念1.1.平面點集與平面點集與n n元空間元空間 坐標平面上具有某種性質坐標平面上具有某種性質 P P 的點的集合，稱為平面點集，記作的點的集合，稱為平面點集，記作 我

2、們用我們用 表示表示 n n 元有序實數組元有序實數組 的全體的全體所構成的集合，為了在集合所構成的集合，為了在集合 中的元素之間建立聯絡，在中的元素之間建立聯絡，在 中定義線性運中定義線性運算如下：設算如下：設 為為 中恣意兩個元素，中恣意兩個元素， ，規(guī)定，規(guī)定這樣定義了線性運算的集合這樣定義了線性運算的集合 稱為稱為 n n 維空間。維空間。2.2.多元函數的定義多元函數的定義設設 D D 是是 的一個非空子集的一個非空子集, ,稱映射稱映射 為定義在為定義在 D D 上的二上的二元函數，通常記為元函數，通常記為 ，或，或其中點集其中點集 D D 稱為該函數的定義域，稱為該函數的定義域，

3、x x，y y 稱為自變量，稱為自變量，z z 稱為因變量。稱為因變量。普通地，將上述定義中的平面點集普通地，將上述定義中的平面點集 D D 換成換成 n n 維空間維空間 內的點集內的點集 D D ，映射，映射 就稱為定義在就稱為定義在 D D 上的上的 n n 元函數，通常記為元函數，通常記為或簡記為或簡記為 3.3.多元函數的極限多元函數的極限 設二元函數設二元函數 在點在點 的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義 可以除外，假設對于恣意給定的正數可以除外，假設對于恣意給定的正數 ，總存在一個正數，總存在一個正數 ，使當，使當 時，恒有時，恒有 成立，那么稱當成立，那么稱當 時，函數時，函數

4、以常數以常數 A A 為極限，記作為極限，記作 或或 為了區(qū)別于一元函數的極限，我們將二元函數的極限叫做二重極限。為了區(qū)別于一元函數的極限，我們將二元函數的極限叫做二重極限。4.4.多元函數的延續(xù)性多元函數的延續(xù)性 設二元函數設二元函數 滿足以下條件：在點滿足以下條件：在點 的某鄰域內有定義；極限的某鄰域內有定義；極限 存在；存在；那么稱函數那么稱函數 在點在點 延續(xù)。假設函數延續(xù)。假設函數 在其定義域在其定義域 D D 的每一點都延續(xù)，那么就成函數的每一點都延續(xù)，那么就成函數 在在 D D 上延續(xù)上延續(xù)，或者稱，或者稱 是是 D D 上的延續(xù)函數。二元延續(xù)函數在圖形上表現為一個上的延續(xù)函數。

5、二元延續(xù)函數在圖形上表現為一個無空隙、無裂痕的曲面。無空隙、無裂痕的曲面。與閉區(qū)間上一元延續(xù)函數的性質相類似，在有界閉區(qū)域上延續(xù)的多元函數具有如下與閉區(qū)間上一元延續(xù)函數的性質相類似，在有界閉區(qū)域上延續(xù)的多元函數具有如下性質。性質。有界性與最大最小值定理有界性與最大最小值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 上的多元延續(xù)函數，必定在上的多元延續(xù)函數，必定在 上有上有界，且能獲得它的最大值和最小值。界，且能獲得它的最大值和最小值。介值定理介值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 上的多元延續(xù)函數必獲得介于最大值和最小值之間的上的多元延續(xù)函數必獲得介于最大值和最小值之間的任何值。任何值。12.2 偏導數1.1.

6、偏導數的定義偏導數的定義 設函數設函數 在點在點 的某一領域內有定義，的某一領域內有定義，當當 固定在固定在 而而 在在 處有增量處有增量 時，相應的函數有增量時，相應的函數有增量假設假設 存在，那么稱此極限存在，那么稱此極限為函數為函數 在點在點 處對處對 x x 的偏導數，記作的偏導數，記作 或或 2.2.偏導數的幾何意義偏導數的幾何意義 以二元函數以二元函數 為例，其在點為例，其在點 的偏導數的偏導數有下屬幾何意義。設有下屬幾何意義。設 為曲面為曲面 上的一點，過上的一點，過 作作平面平面 ，截此曲面得一曲線，此曲線在平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面 上的方程為上的方程為 ，那么導數

7、，那么導數 ，即偏導數，即偏導數 ，就是這曲線在點，就是這曲線在點 處的切線處的切線 對對 x x 軸的斜率軸的斜率如下圖。如下圖。 圖圖 偏導數的幾何意義偏導數的幾何意義 3.3.偏導數的偏導數的MATLABMATLAB符號求解符號求解在在MATLABMATLAB中，求解多元函數的偏導數依然采用中，求解多元函數的偏導數依然采用diffdiff函數。函數。例：設例：設 ，求，求 及及 。 假設函數假設函數 的兩個二階混合偏導數的兩個二階混合偏導數 在區(qū)域在區(qū)域 內延續(xù)，那么在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數必相等。內延續(xù)，那么在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數必相等。4. 4. 隱函數的偏導數隱函數的

8、偏導數 設函數設函數 在點在點 的某一鄰域內具的某一鄰域內具有延續(xù)偏導數，且有延續(xù)偏導數，且 ， 那那么方程么方程 在點在點 的某一領域內能的某一領域內能獨一確定一個延續(xù)且具有延續(xù)偏導數的函數獨一確定一個延續(xù)且具有延續(xù)偏導數的函數 ，它滿足條，它滿足條件件 ，并且，并且類似地，擴展到類似地，擴展到 n n 元隱函數元隱函數 ，那么可以經，那么可以經過隱函數求出自變量之間的偏導數。詳細可以用下面的公式求出過隱函數求出自變量之間的偏導數。詳細可以用下面的公式求出 ：12.3 全微分1. 1. 全微分的定義全微分的定義 設函數設函數 在點在點 的某鄰域內有定義，假設的某鄰域內有定義，假設函數在點函數

9、在點 , , 的全增量的全增量 可表示為可表示為其中其中 不依賴于不依賴于 而僅與而僅與 有關，有關， ，那么稱函數，那么稱函數 在點在點 可微分，而可微分，而 稱為函數稱為函數 在點在點 的全微分，記作的全微分，記作 ，即，即 假設函數假設函數 在區(qū)域在區(qū)域 內各點處都可微，那么稱這函數在內各點處都可微，那么稱這函數在 內可內可微分。下面討論函數微分。下面討論函數 ， 在點在點 可微分的必要條件和充分條件?？晌⒎值谋匾獥l件和充分條件。必要條件必要條件 假設函數假設函數 在點在點 可微分，那么可微分，那么該函數在點該函數在點 的偏導數的偏導數 必存在，且函數必存在，且函數 在點在點 的全微分為

10、的全微分為充分條件充分條件 假設函數假設函數 的偏導數的偏導數 在點在點 延續(xù)，那么函數在該點可微分。延續(xù)，那么函數在該點可微分。2.2.全微分的運用全微分的運用 由二元函數的全微分的定義及關于全微分存在的充分條件由二元函數的全微分的定義及關于全微分存在的充分條件可知，當二元函數可知，當二元函數 在點在點 的兩個偏導數的兩個偏導數 延續(xù)，并且延續(xù)，并且 都較小時，就有近似等式都較小時，就有近似等式上式也可以寫成上式也可以寫成12.4 全微分1.1.空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設空間曲線設空間曲線 的參數方程為的參數方程為 這里假定上述方程的三個函數都在這里假定上述方程的三個函

11、數都在 上可導，且三個導數不同時上可導，且三個導數不同時為零。如今要求曲線為零。如今要求曲線 在其上一點在其上一點 處的切線處的切線及法平面方程。及法平面方程。設與點設與點 對應的參數為對應的參數為 ，記，記 ，那么向量，那么向量 就是曲線就是曲線 在點在點 處的一個切向量，從而曲線處的一個切向量，從而曲線 在點在點 ， 處的切線方程為處的切線方程為 經過點經過點 且與切線垂直的平面稱為曲線且與切線垂直的平面稱為曲線 在點在點 的法平面，它的法平面，它是經過點是經過點 且以且以 為法向量的平面，因為法向量的平面，因此法平面方程為此法平面方程為 2.2.曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 我們

12、先討論由隱式給出曲面方程我們先討論由隱式給出曲面方程 的情形。設曲面的情形。設曲面 由上述隱式方程給出，由上述隱式方程給出， 是該曲是該曲面面 上的一點，并設函數上的一點，并設函數 的偏導數在該點延續(xù)且不同時為零。在的偏導數在該點延續(xù)且不同時為零。在該曲面該曲面 上，經過點上，經過點 M M恣意引一條曲線恣意引一條曲線 。曲線上經過點。曲線上經過點 M M 的一切曲線在的一切曲線在點點 M M 的切線都在同一個平面上，這個平面稱為曲面的切線都在同一個平面上，這個平面稱為曲面 在點在點 M M 的切平面。經的切平面。經過點過點 M M 且垂直于上述切平面的直線稱為曲面在該點的法線。且垂直于上述切

13、平面的直線稱為曲面在該點的法線。切平面方程：切平面方程：法線方程法線方程 ： 12.5 方導游數與梯度1.1.方導游數方導游數 設設 是是 平面上以平面上以 為始點的一條射線，為始點的一條射線， 是與是與 同方向的單位向量，射線同方向的單位向量，射線 的參數方程為的參數方程為設函數設函數 在點在點 的某個鄰域的某個鄰域內有定義，內有定義， 為為 上另一點，且上另一點，且 P P 在該鄰域內。假設函數增量在該鄰域內。假設函數增量： 與與 P P 到到 的間隔的間隔 的比值的比值 當當 P P 沿著沿著 趨向于趨向于 時極限存在，那么稱此極限為函數時極限存在，那么稱此極限為函數 在點在點 沿沿方向

14、方向 的方導游數，記作的方導游數，記作 那么：那么：2.2.梯度梯度 與方導游數有關聯的一個概念是函數的梯度，在二元函數的情形與方導游數有關聯的一個概念是函數的梯度，在二元函數的情形，設函數，設函數 ： 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D D 內具有一階延續(xù)偏導數，那么對于每內具有一階延續(xù)偏導數，那么對于每一點一點 ，都可定義出一個向量，都可定義出一個向量 這向量稱這向量稱為函數為函數 在點在點 的梯度的梯度記作記作 或或 即即12.6 多元函數的極值1.1.多元函數的極值及其求法多元函數的極值及其求法 設函數設函數 的定義域為的定義域為 D D ， 為為 D D內一點，假設存在內一點，假設存在 的某個

15、鄰域的某個鄰域 ，使得對于該鄰域內異于，使得對于該鄰域內異于 的任何點的任何點 ，都有，都有那么稱函數那么稱函數 在點在點 有極大小值有極大小值 ，點，點 稱稱為函數為函數 的極大小值點。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使得函數獲得極的極大小值點。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使得函數獲得極值的點稱為極值點。值的點稱為極值點。具有二階延續(xù)偏導數的函數具有二階延續(xù)偏導數的函數 的極值的求法：的極值的求法：第一步第一步 解方程解方程 求得一真實數求得一真實數解，即求得一切駐點；解，即求得一切駐點；第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點 ，求出二階偏導數的值，求出二階偏導數的值 ；第三步第三步 定出定出

16、的符號，按照函數獲得極值的充分條件斷定的符號，按照函數獲得極值的充分條件斷定 是不是極值，是極大值還是極小值。是不是極值，是極大值還是極小值。2.2.條件極值條件極值 對于對自變量有附加條件的極值稱為條件極值。對于有些條對于對自變量有附加條件的極值稱為條件極值。對于有些條件極值，我們可以經過代入手段將其化為無條件極值，但很大一部分是不能轉化件極值，我們可以經過代入手段將其化為無條件極值，但很大一部分是不能轉化的，此時我們可以采用拉格朗日乘數法求解。的，此時我們可以采用拉格朗日乘數法求解。要找函數要找函數 在附加條件在附加條件 下的能下的能夠極值點，可以先作拉格朗日函數夠極值點，可以先作拉格朗日函數 其中其中 為參數，求其對為參數，求其對 的一階偏導數，并使之為零，然后與的一階偏導數，并使之為零，然后與 聯立起來：聯立起來： 由該方程組解出由該方程組解出