1、歷年自主招生試題分類匯編解析幾何題5（ 2012年北約）已知點A 20 ,B 0,2，若點C是圓x2 _2x - y2 =0上的動點，求厶ABC面積的最小值。解：AB所在的直線方程為 x-y2=0，圓心C 1,0，半徑為r =133C至煩線AB的距離為 一，圓C上的點到直線 AB的距離的最小值為 一:-1 ,72返二 S閱BC27?2-11=3 ,ABC min21 .'2評析：此題涉及到直線，圓與三角形的面積等概念，應充分挖掘圓的幾何性質(zhì)，使問題得到 簡化，以考查學生思維的靈活性。2.求過拋物線y =2x2 -2x -1和y - -5x2 2x 3的交點的直線方程【解】聯(lián)立兩方程，消

2、去x2,得6x 7y-0.此方程即為所求6. （ 2011年北約）G和C2是平面上兩個不重合的固定圓，C是平面上的一個動圓，C與G ,C2都相切，則c的圓心的軌跡是何種曲線 ？說明理由.【解】設圓心C1, C2的半徑分別為r1, r2;（1）若 口 = r2. 若兩圓相離，則C的圓心軌跡為線段 C1C2的垂直平分線； 若兩圓相切，則C的圓心軌跡為線段 C1C2的垂直平分線（即兩圓的內(nèi)分切線）和直線C1C2， 去掉切點； 若兩圓相交，則C的圓心軌跡為線段C1C2的垂直平分線和以C1，C2為焦點，長軸長為 r1 a的橢圓，去掉交點.若口 =2 若兩圓外離，則C的圓心軌跡為以G，C2為焦點，長軸長為

3、|1-2|的雙曲線的一支（小圓圓心在開口內(nèi)）； 若兩圓外切，則C的圓心軌跡為以G，C2為焦點，長軸長為|1-2I的雙曲線的一支（小圓圓心在開口內(nèi)）和直線C1C2,去掉切點； 若兩圓相交,則C的圓心軌跡為以 Ci,C2為焦點，長軸長為|1 一2 |的雙曲線的一支（小圓圓心在開口內(nèi)）和以Ci,C2為焦點,長軸長為ri - d的橢圓,去掉交點. 若兩圓內(nèi)切,則C的圓心軌跡為以 G,C2為焦點,長軸長為r1 r2的橢圓和直線 C1C2,去掉 切點； 若兩圓內(nèi)含，則C的圓心軌跡為以C1,C2為焦點,長軸長為r1 r2的橢圓.依據(jù)橢圓、雙曲線的定義即可證明,這兒不再贅述.AB的切線與x軸圍成面積的最3.

4、（ 2010年北約）AB為y =1 X2上在y軸兩側(cè)的點，求過小值.（25分）【解析】不妨設過A點的切線交x軸于點C ,過B點的切線交x軸于點D , BD相交于點E .如圖.設B（X1 , yj, A（x?，歸,y2 =1 _x22, yt =1 x , X! 0 x2.y'： =_2x ,AC的方程為2x2x =2 _y2 -y :且有由于于是BD 的方程為 2X1X =2 % y .聯(lián)立AC, BD的方程，解得 E（ % 一丫2 , 1 - xx）.2（X2 X1）2 Vcy =0,得 C（2,0）;2x2對于，令對于，令y =0 ,得 D(2 y12 y2于是CD =2x12x2

5、12 -y2x2 21 X11 x22為2x2,0).直線AC與直線S EcdCD (1X2).不妨設 x a 0 , -x2 = b 0，則211a21 b2=(4 a b4a= ：(a b)(2 ab 丄)> -2 ab (2 ab 丄) “ab 4abs 0，則有3S ecd2 2)(1 ab) (2a 2b 亠亠亠 a b ab )14 不妨設 ab二S Ecd 二1(S? 2s(s2-門+丄)39s 9s13 1 、61 9一 16 ds '(-s)(一 )3 9s仝一 a, X231空1 -=8 16 =8 -）233又由當X!=b = -, s二一時，處的等號均可取

6、到.33(S ECD ) min 9 -3 .注記：不妨設g(s!(s3 2s )，事實上，其最小值也可用導函數(shù)的方法求解.2s由 g (s) = 1 (3s2 2-)知當 0 : s2 : 1 時 g (s) : 0 ;當 1 :：: s2 時 g (s) . 0 .2s33s =身 時g(s)取得最小值.3曰Alz是當則g(s)在(0,)上單調(diào)減，在(乜，：)上單調(diào)增.于332 25.(2014年華約)已知橢圓x2 y2 =1與圓x2y2=b2,過橢圓上一點M作圓的兩切線，a b切點分別為P,Q ,直線PQ與x,y軸分別交于點E,F ,求seof的最小值【解】設 M(acosbsinv)(

7、y 0,2二)，直線PQ為點M關(guān)于圓x2 y2二b2的切點弦,其方2b2程為(acosv)x (bsin v)y =b ,從而 Xe, yFacosTsinO33于是S.eof冷刈以十詰J牛,當且僅當M(_a,-b)時，上述等號成立.2 23.(2013 年華約)點 A 在 y=kx 上，點 B 在 y - -kx 上,其中 k 0, |OA| |OB1 k2,且A B在y軸同側(cè).(1) 求AB中點M的軌跡C ;2(2) 曲線C與x =2py(p 0)相切,求證：切點分別在兩條定直線上，并求切線方程【解】(1)設 A(X1,yJ,B(X2, y2), M (x,y),x-i x2y1 y2k(

8、xx?)則 二kx12 =kx2,x2,y121-,2 2 2由 |OA| |OB| = k2 1 得，屜=1 ,顯然( x2)2 -(花-x2)2 =4x2 =4,2 于是得X2 -吿=1(k 0),于是AB中點M的軌跡C是焦點為(_、k2 1,0), k實軸長為2的雙曲線.2將 x2 =2py(p 0)與 x2 -占=1(k 0)聯(lián)立得 y2 -2pk2y k2 = 0 ,k由曲線C與拋物線相切，故厶=4p2k4 -4k2 =0,即pk=1,所以方程可化為y2 -2ky k2 =0,即切點的縱從標均為 y =k ,代入曲線C得橫坐標為一、,2即求.因此切點分別在定直線 x =曲2, x =

9、 72上,兩切點為D（2,k）,E（-、2, k）,又因為目二'P在D（、2,k）處的切線方程為y_k同理在E（-'、2, k）處的切線方程為（6） （ 2012年華約）橢圓長軸長為4,左頂點在圓（x-4）22+（y1）=4上，左準線為y軸,則此橢圓離心率的取值范圍是（） _84(B)(C)_8,2(D)解：設左頂點為嗔:眾皆【°勿），則對稱中心為6 2cost,1 2sin t ，令u =x 6 -2costi,則在uv坐標系中，v =y -1 2sin ta24 c16 2 ct e 二c ca 3 亠 c to ;其左準線為u - -6 -2cost ，因此4選

10、B.（12） （ 2012年華約）已知兩點A -2,0 , B 2,0，動點P在y軸上的射影是 H，且T T T2PA PB = 2 PH求動點P的軌跡C的方程已知過點B的直線交曲線C于x軸下方不同的兩點 M,N，設MN的中點為R，過R于點Q 0,-2作直線RQ,求直線RQ斜率的取值范圍。解：設 P(x,y),則 H(0, y),由 AP BP = 2PH 2 得(x 2,y) (x-2,y) = 2x2,即y2-x2 =4(1)令 CD：x =my 2(m =0)代入 y2 _x2 =4，整理得(1 _ m2)y2 _4my _8 = 0因為直線在x軸下方交P點軌跡于C（x1,yj , D（

11、X2,y2）兩點所以上式有兩個負根，由< 21 m 式0心=16m2 +32(1 m2)0* % + y2 = 4m2 (On 1mj21 -m i-8 xyM =0i 1 -m根據(jù)韋達定理，得 CD中點M的坐標為M(j單)221 -m2 1 -m2代入直線MQ的方程y+2=kx,(k為其斜率)得2m小2k22牙1 -m1-m所以，k= m2 m 1 - -（m 一1）2 舟（2 -1,1） ,（1 m . 2）.8、（ 2011年華約）AB為過拋物線y2 = 4x焦點F的弦，O為坐標原點，且 為拋物線準線與.OFA =135： , CA 2、, 2x軸的交點，貝U . ACB的正切值為

12、（）B遼 c遼533（1, 0）, C （-1 , 0）, AB方程y = x - 1，與拋物線方程解法一：焦點F得 A ： 2 2. 2） , B 1-2.2 二-2.2），于是匕2 °=遼,匕= _2Z-Z tan.ACBB 2 2 2 - -2 2 2案A解法二：如圖，利用拋物線的定義，將原題轉(zhuǎn)化為：在直角梯形EF/ DA EF= 2 , AF = AD, BF = BC,求/ AEBy2 = 4x聯(lián)立，解= 242，答1kCAkCBABCDK/ BAD= 45 ° ,Atan AEF 二 tanEADDE GF AF吟。類似的，有AD22 ， tan AEB 二 t

13、an2 AEF =2、2，答案 A2 214、（2011年華約）已知雙曲線 C-Ta 0,b 0）, F1, F2分別為C的左右焦點.P a b為C右支上一點，且使 FfF2二一，又F1PF2的面積為3. 3a2.3tan _ BEF 二 tan _EBCAEB "AEFBEF 二 2 AEF ,(I) 求C的離心率e ；(II) 設A為C的左頂點，Q為第一象限內(nèi)C上的任意一點，問是否存在常數(shù)入(入>0),使得.QF?A = . QAF2恒成立。若存在，求出入的值；若不存在，請說明理由解答：如圖，利用雙曲線的定義，將原題轉(zhuǎn)化為：在 P Fi F2中，F(xiàn) P的面積為332, E為

14、PF上一點,PE = PR, E Fi =2a, Fi F2 = 2 c,求-.a73 設 PE = PF2 = EF2 = x, F F2 =x2 ，S F1PF2 冷 PF1LFF2 = 2(x 2a) f x = 3.3a22tt E F1 F2為等腰三角形，ZEF1F32 2,x 4ax - 12a = 0 , x = 2a /(I)由 S EPF2 二 b2cotQ.F1PF2,2, Q22222,2,2b cot 3、3a ,即卩 b = 3a , c = a b = 4a 22-2 -1 ,先研究 一 QF2 A = 90 時，Q(2a,3a),得 一QAF2 = 45 , b因

15、此，右存在 '；、，也應有，=2.下面求M (x, y)的軌跡，M滿足.MF2A =2 MAF2.(II)雙曲線方程:2x2atan _ MAF2,tan 一 MF2A = y-，由 tan 2ax ac x2ax2tana2得:1 - ta n a2A與雙曲線議程完全2 x2 a2y止化簡為：3/-宥-=0，即x +a 1一丄2x a一致.存在=2，使 QF2A=2 QAF2恒成立.:使 QF2A 二QAF2 ；注：(1)此結(jié)論對于離心率 e是其它值的情形不不一定存在(2 )此題應先從特殊情形時，尋找出的值，再行證明；(3) 也可以分析 Q點在二遠處的極限情形，即：AQ L 漸近線，

16、_QAF2= 60 , QF2L 漸近線，一 QF2 120 ,，=2.2222& (2010年華約)設雙曲線 G :令- k(a 2,k 0)，橢圓C2 : 1 1 .若C2的a 4a 4短軸長與 g的實軸長的比值等于 c2的離心率，則 G在C2的一條準線上截得線段的長為(D )(A) 2 FJk( B) 2( C) 4( D) 412. (2010年華約)設A、B、C、D為拋物線x2=4y上不同的四點，A, D關(guān)于該拋物線的對 稱軸對稱，BC平行于該拋物線在點D處的切線丨設D到直線AB，直線AC的距離分別為 d!,d2，已知 a +d2 =Q|AD .(I)判斷 ABC是銳角三角形

17、、直角三角形、鈍角三角形中的哪一種三角形，并說明理由；(H)若:ABC的面積為240,求點A的坐標及直線 BC的方程.1 2 1 2 1 2 1 2解: (I)設 A(Xo, Xo), B(X1, X1),C(X2, X2),則 D(Xo, x°)44441 1由y x可知的斜率kx0,2 21因此可以設直線BC方程為y丄x0x b.21把y x2代入，整理得x2 2x040,4 所以x2 = -2xd因為AB, AC都不平行于y軸， 所以直線AB, AC斜率之和為1 / 2 2、 1 , 2 2、(旨 -Xo)區(qū) - Xo)kAB ' kAC 二(X1 X2 2xo)二 0

18、X1 -XoX2Xo可知直線AB, AC的傾角互補，而 AD平行于x軸，所以AD平分.CAB.作 DE _ AB, DF _ AC, E, F 為垂足則 L ADEADF 可得 DE| = DF由已知 DE| -|DF 2 AD ,可得 DE = .2 AD ,，所以 DAE =/DAF =45 所以 CAB =90丄ABC為直角三角形(n)如圖，根據(jù)的結(jié)果，可以設直線的方程分別為y Xo - -(X -Xo), yXo =X-Xo,44把 y =1 x2 分別代入，得 x2 4x - x： - 4x0 =0, x2 - 4x -爲 4x 0,4所以 AB| =2問x0 +2 , AC| =2

19、V2|x0 2.1由已知可知一 AB| AC =240,21 2所以一漢 8 X)-4 = 240,解得 x = ±8,2所以 A(8,16)或 A( -8,16)1當取A(-8,16)時，求得B(4,4)，又BC斜率-丄x。= 4,2 所以直線BC方程為y-4=4(x-4),即4x-y-12=0. 同理，當取 A(8,16)時，直線BC方程為4x y 12 =0.2 27.（2014年卓越聯(lián)盟）已知雙曲線$ -篤=1的兩條漸近線斜率之積為-3a b（1）若A, B在雙曲線上，且過點D（0,5a）,kAB =1,ADDB,求;b2【解】（1）由題知_篤a A關(guān)于x軸的對稱點為 M,I

20、ab與x軸交于P,Imb與x軸交于Q,求證:|OP| |OQHa2.=-3,即b = 3a ,所以雙曲線方程為 3x2 一 y2二3a2,=0,得 Xi =7a,或 X2 = -2a ;又直線AB:y =x 5a代入雙曲線方程得 x 5ax14a?x又因 AD = DB ：二(XA,5a '丫人)= (xb, y 5a),所以Xa =，Xb ：，Xb 若 B(-2a,3a),A(7a,12a),則 M (7a, -12a),又 AB: x 5a,得 P(-5a,0),5a2又直線 Imb :y =-5(x 2a) 3a ,得 Q(-a,0),所以 |OP|OQa2;35若 B(7a,1

21、2a),A(-2a,3a),則 M (-2a, -3a),又 AB : y 二 x 5a ,得 P(-5a,0),5a2又直線 Imb : y = (x 2a) -3a,得 Q(-,0),所以 |OP| |OQ| = a ;3 51、（2013年卓越聯(lián)盟）已知拋物線y2 =2px （ p 0）的焦點是雙曲線2y -1的p一個焦點，則雙曲線的漸近線方程是答案：y ='x .設橢圓-1 a 2的離心率為，斜率為k的直線I過點E 0, 1，且與橢圓相交于a 43C、D兩點.求橢圓方程； 若直線l與x軸相交于點G,且玄忌，求k的值;設A為橢圓的下頂點，kAc、kAD分別為直線 AC、AD的斜率

22、，證明對任意的 k，恒有 kAC kAD = -2 .答案:（本小問3 分）Ja2 _b2 J3L由已知得離心率 e = '- , b =2，從而a = .6 .a 32 2所以橢圓的方程為1 .64（本小問5分）直線 l 的方程為 y 二 kx 1，設 c X1 , y1 , D X2, y2 ,f 22l2L +Z =1由方程組64 ，消去y得2 3k2 X2 6k-0.y 二 kx 1于是xiX2 -又 GC =DE，所以6k 22 +3k-6k 2，由直線I與x軸交于點G , 2 3kf 1可得 lx -, %= _X2, 1 -72 ，故，解得k =.kG，0 I.k1XiX

23、2 ：k(本小問5分)因為A 0,2，得 kACy12Xiy2亠2-，又9XM2 = 2 ,2 +3kk k % 2 y2 2AC AD 一k為3 kx2 32k x1x2 3k x1 x2 i亠 9XiX2XiX2XiX2-18k2門292 3k2-9722 3k(2012年卓越聯(lián)盟)若以橢圓短軸的兩個端點和長軸的一個端點為頂點的三角形是等(1)邊三角形，則橢圓的離心率 為【解答】根據(jù)條件知 a = 3b(10) (2012年卓越聯(lián)盟)設拋物線y2 =2px(p 0)的焦點是F , A , B是拋物線上互異的兩點，直線 AB與x軸不垂直，線段AB的垂直平分線交x軸于點D(a,0)，記m AF

24、 | | BF |。(I)證明a是p與m的等差中項；(H)設m =3p，直線l平行y軸，且I被以AD為直徑的動圓截得的弦長恒為定值，求直 線I方程。p ,0 ，設線段AB中點為C ,過A作AP _ j于P，過B作BQ _ j于Q ,過C作CR _ j于R ,解答：(I)如圖，根據(jù)條件知，拋物線準線j:x = -_2，F(xiàn)設 A(2 ptA2,2 ptA),B(2 ptB2,2 ptB),，則 C p(tA2tB2), p(tA tB)，易知CR =p(tA2 tB2)號二.m p 二 AF BF p 二 AP BQ p = 2CR p =2p(tA2 tB2 1),曰是，又 kAB- 一=t：

25、kcD 二- tA tB , tA t B易知直線 CD：y=-tA tB i(x-p(tA2 tB2) p(tA tB),jiil yP乙R廣/.QOD從而知 a=p(tA2 tB2) - p，于是 2a=2p(tA2 疔 1)綜上所述知，a是p與m的等差中項.()由(I)知，當 m =3p 時，d 坐標為(2 p,0)，令 A(2 ptA2,2 ptA)則以AD為直徑的E，圓心坐標為E p(tA T),ptA，半徑r = p. tA4 -tA2設直線I :x =k，做EG丄I于G ,則EG = p(tA2 +1) k，于是知直線l被LI E所截得的線段長度為：-EG2 =2. p tA4 -tA2 | p(tA2 1) -k=2- p(2k _3p)tA2 2pk -k233由于此截得的線段長度恒為定值，所以2k -3p =0= k =- p，于是I : x = - p .2 2(2011年卓越聯(lián)盟)已知拋物線的頂點在原點，焦點在 x軸上， ABC三個頂點都在拋物線上，且厶ABC的重心為拋物線的焦點， 若BC邊所在直線的方程為 4x+y-20=0，則拋物線方程 為(A )2 2 2 2(A) y =16x(B)y =8x(C)y =-16 x( D) y =-8x(13) ( 2011年卓越聯(lián)盟)已知橢圓的兩個焦點為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且橢圓與直線y