1、1.I整除的概念：兩個(gè)整數(shù)相除，余數(shù)為零（沒有余數(shù)）我們就說被除數(shù)能被除數(shù)整除， 即整數(shù) 除以整數(shù)b （b 0）,除得的商正好是整數(shù)，我們就說 a能被b整除（也可以說 b能整除a）,記為b|a ,如15能被3整除，即為3|15 。2.整除的性質(zhì):知識概述O（1）如果數(shù)a數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么他們的和或差也能被c整除，即如果c |a , c| b ,那么 c |（a b）;（2）如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或者c整除，即如果 bc| a ,那么 b | a , c| a ;（3）如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù) c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a 定能被b與c的乘積整除，即如果

2、b | a , c | a ,且（b,c） 1 ,那么bc | a。（4）如果c能整除b , b能整除a ,那么c能整除a。即：如果c|b , b|a ,那么 c | a。/I 3.整除的特征：°,特征1:能被2整除的數(shù)為個(gè)位數(shù)字是 0、2、4、6、8的整數(shù)。“特征”包含 兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（包括0）的整數(shù)，必能被2整除，另 一方面，能被2整除的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括0）。（下同）特征2:能被5整除的數(shù)的個(gè)位是 0或5。特征3:能被3 （或9）整除的數(shù)，各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3 （或9）整除,特征4:能被4 （或25）整除的數(shù)其末兩位數(shù)能被 4 （或25）整除

3、。I特征5:能被8 （或125）整除的數(shù)其末三位數(shù)能被 8 （或125）整除。人特征6: 一個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和的差（大減小）能被0 整除，這個(gè)數(shù)也能被 11整除。名師點(diǎn)題數(shù)的整除是數(shù)論的基礎(chǔ)，而數(shù)論又是數(shù)學(xué)競賽必考知識點(diǎn)，所以掌握好數(shù)的整除有關(guān)的性質(zhì)和結(jié)論對競賽很有幫助。/令基礎(chǔ)闖關(guān)例1請用數(shù)字9、7、2、5、1寫出一個(gè)能被2整除的最大三位數(shù)?！窘馕觥?這些數(shù)字組成的最大三位數(shù)是 975,但是它不能被2整除，能被2整除的數(shù)末位數(shù)一定是“ 0、2、 4、6、8”。所以能被2整除的最大三位數(shù)為 972。例2在下面的數(shù)中，哪些能被 2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？234、

4、 79、 775、 885、 378、 864、 63、 75、 26、 40【解析】 能被2整除的數(shù)有234、378、864、26、40;能被3整除的數(shù)有234、 885、 378、 864、 63、 75;能被5整除的數(shù)有775、885、40。小華讓小明猜一個(gè)四位數(shù)，小李用手擋住了其中的十位數(shù)字，小明看到這個(gè)四位數(shù)為56口2,但是小李告訴小明這個(gè)四位數(shù)字能被9整除，那么被蓋住的十位數(shù)字等于幾？【解析】如果56口2能被9整除，那么5 6 口 2 13 口應(yīng)能被9整除，所以十位數(shù)是 5。例4在四位數(shù)56口2中，被蓋住的十位數(shù)等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)能被8整除？【解析】如果56口2能被8整除，那么6

5、口2應(yīng)能被8整除，所以十位數(shù)是 3或7。+ - X + + - x + + - 乂： + 乂彳 + 乂- + 乂 + + - X + + - X : + - X + + - X + 【鞏固拓展】1 .四位數(shù)“ 3AA1”是9的倍數(shù)，那么 A=.【解析】已知四位數(shù)3AA1正好是9的倍數(shù) 則其各位數(shù)字之和 3+A+A+1 一定是9的倍數(shù)，可能是 9的1 倍或2倍，可用試驗(yàn)法試之.設(shè)3+A+A+1=9,則A=2.5,不合題意。再設(shè) 3+A+A+1=18,則A=7, 符合題意。事實(shí)上，3771 9=419。2 .用1-9這九個(gè)數(shù)碼各一次，組成 3個(gè)分別能被2、3、5整除的三位數(shù)，并要求這三個(gè)三位數(shù)的和

6、要盡 量的小。那么這個(gè)和是多少？【解析】百位數(shù)選1、2、3,根據(jù)能被5整除的性質(zhì)，個(gè)位必須有 5,所以個(gè)位可以選 9、8、5,十位為4、 6、7,這三個(gè)數(shù)可以為 168、249、375。3 .求各位數(shù)字都是7,并能被63整除的最小自然數(shù)?！窘馕觥课覀儾环猎O(shè)這個(gè)數(shù)由n個(gè)7組成，那么這個(gè)數(shù)77247711231,而7724763112 319,n個(gè)7n個(gè)1n個(gè)7n個(gè)1要使這個(gè)數(shù)能被 9整除，只要n能被7整除，為了讓其最小，那么 n可以取9。出令拓梭培優(yōu)六位數(shù)2009能被25整除，那么它的最后兩位數(shù)有幾種可能？【解析】我們可以把這個(gè)數(shù)寫為 2009口口 200900 口口，可以看出200900 一定

7、能夠被25整除，所以只 需要能被25整除，那么原數(shù)也可以被 25整除。共有4種可能00、25、50、75。+ - X -T + X "T 4" - X -7 + - X -T + - X 'T + - X "T + - X "T + X"r + - X -r + - X"T【鞏固拓展】六位數(shù)2010能被4整除，那么它的最后兩位數(shù)有幾種可能？【解析】201000能被4整除，所以只要最后兩位數(shù) 能被4整除，那么原數(shù)就可以被 4整除。共有25 種可能 00、04、08、92、96。個(gè)位數(shù)是6,且能被3整除的3位數(shù)有多少個(gè)？【解析】6

8、是3的倍數(shù)，如果百位和十位數(shù)字的和能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除，而百位和十位數(shù)字所組成的兩位數(shù)是從10-99,這90個(gè)數(shù)中共有90與=30 （個(gè)）數(shù)，所以個(gè)位數(shù)是 6,且能被3整除的3位數(shù)有30個(gè)。+ - X + + - x： + - X-H + -X-b + - XW" + 一 x "r + X r + - x-r + - X-r + - X'r【鞏固拓展】在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使所成的數(shù)符合要求：1308口2能被4整除，并且除以9余5?！窘馕觥?308口2能被4整除，所以只要最后兩位數(shù)口2能被4整除，那么原數(shù)就可以被4整除?？谥锌梢蕴?、3、5、7、9。一

9、個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)。所以1+3+0+8+口+2=14+除以9余5,所以方框中填的是 9。例3（第三屆小數(shù)報(bào)競賽試題）為了打開保險(xiǎn)箱，需要先輸入密碼，密碼由7個(gè)數(shù)字組成，它們不是 2就是3。在密碼中2的數(shù)目比3多，而且密碼能被 3整除，也能被4整除。試找出密碼打開保險(xiǎn)箱?！窘馕觥恳?yàn)槊艽a中的2比3要多，所以2可能有4、5、6或7個(gè)。當(dāng)2有4個(gè)時(shí)，密碼的數(shù)字和為 17;當(dāng)2有5個(gè)時(shí)，數(shù)字和為16;當(dāng)2有6個(gè)時(shí)，數(shù)字和為15;當(dāng)2有7個(gè)時(shí)，數(shù)字和為14。我們知道如果一個(gè)數(shù)能被3整除，那么它的數(shù)字和也能被3整除，所以2應(yīng)當(dāng)有6個(gè)，這樣3就只能有1個(gè)。另外，一個(gè)數(shù)

10、能被 4整除，那么它的末兩個(gè)數(shù)也應(yīng)當(dāng) 能被4整除，所以末兩位數(shù)必定為 32,所以，密碼是 2222232。+ - X + + X： + + X + + - X - + 乂 + + X + + - X + + X + + X +【鞏固拓展】（第二屆希望杯全國邀請賽試題）若四位數(shù)9a8a能被15整除，則a代表的數(shù)字是多少？【解析】因?yàn)?5是3和5的倍數(shù)，所以9a8a既能被3整除，也能被5整除。能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5,能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)。當(dāng)a=0時(shí)，9a8 a 17 ,不是3的倍數(shù)；當(dāng)a=5時(shí)，9a8 a 27 ,是3的倍數(shù)。所以a代表的數(shù)字是5。已知45 |x1993

11、y ,求滿足條件的六位數(shù) x1993 y?！窘馕觥恳?yàn)?5=5X9,所以x1993y既能被5整除，也能被9整除。能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是 0或5,能被9整除的數(shù)的各位數(shù)字的和是 9的倍數(shù)。所以y=0或5, x+y=5或14,經(jīng)枚舉嘗試，可 知x=5, y=0,或者x=9, y=5,所以滿足條件的六位數(shù)是519930或919935。+ - X -T + X+ - X-r + - X-r + -+ - X "r + X "r + - X"r + - X-r + - X"r【鞏固拓展】W2004W被 99 整除。(第二屆走美杯解題大賽試題)在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)

12、字，使所成的數(shù)符合要求:【解析】因?yàn)?9=9X11,所以只要滿足 皿004慚歸同日被9和11整除即可。根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征可知，W2004W件兩個(gè)口中的數(shù)字之和為 3或12,而根據(jù)能被11整除的特征，可知兩個(gè)方框中的 數(shù)字差為2或者9,經(jīng)嘗試驗(yàn)證可知，兩個(gè)方框中的數(shù)字和為12,差為2,可知這兩個(gè)方框中的數(shù)字是5和7, 200047即為所求。例5能同時(shí)被2、3、5整除的最大三位數(shù)是 ?！窘馕觥恳瑫r(shí)能被2和5整除，這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位一定是0。要能被3整除，又要是最大的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)是990。I+ XH- + X4-HX-F + X4- + X-?+ X X + X-?+ X【鞏固拓展】從0、2

13、、5、7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被 2、5、3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排 列?！窘馕觥恳?yàn)榻M成的三位數(shù)能同時(shí)被 2、5整除，所以個(gè)位數(shù)字為 0。根據(jù)三位數(shù)能被 3整除的特征，數(shù)字 和2+7+0與5+7+0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270、570、720、750。¥今天才競技在865后面補(bǔ)上3個(gè)數(shù)，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被2、3、5整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能小。【解析】設(shè)補(bǔ)上數(shù)字后的六位數(shù)是 865abc,因?yàn)檫@個(gè)數(shù)能分別被 2、3、5整除，所以他應(yīng)滿足以下三個(gè)條 件：(1)數(shù)字和(8 6 5 a b c)是3的倍數(shù)；(2)個(gè)位數(shù)字只能是 0、2、4、6、8;(3

14、)個(gè)位數(shù)字只能是 0、5。由(2) (3)只，c=0,又31865ab0,且(8 6 5)除以3余1,所以a b除以3余2。為滿足題 意“數(shù)值盡可能小”，只需取a=0, b=2o所要求的六位數(shù)是 8650200六位數(shù)3ABABA是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？【解析】因?yàn)?=2X3,且2與3互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被 2整除，推知A可取0、2、4、6、8這五個(gè)值。再由六位數(shù)能被3整除，推知3ABABA3 3A 2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0、3、6、9這4個(gè)值。由于B可以取4個(gè)值，A可以取5個(gè)值，題目沒有要求 AWB,所 以符合條件的六位數(shù)共有 5&

15、gt;4=20 （個(gè)）。要使六位數(shù)15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，問 A、B、C各代表什么數(shù)字?【解析】因?yàn)?6=4X9,且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)15ABC6能被4整除，就要C6能被4整除，因此C可取1、3、5、7、9。要使所得的商最小， 就要使15ABC6 這個(gè)六位數(shù)盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是 B盡量小，最后是 C盡量小。先試取 A=0。六位數(shù)150BC6的各位數(shù)字之和為12+B+C。它應(yīng)能被9整除，因此B+C=6或B+C=15。因?yàn)锽、 C應(yīng)盡量小，所以 B+C=6,而C只能取1、3、5、7、9,所以要使150BC6盡可能小,應(yīng)取

16、 B =1 , C=5。當(dāng)A=0, B =1, C=5時(shí)，六位數(shù)能被 36整除，而且所得商最小，為150156+36=4171。例4小明買了 73支同樣的鉛筆，可是發(fā)票不慎落水浸濕，單價(jià)已無法辨認(rèn)，總價(jià)數(shù)字也不全，只能認(rèn)出：6口口 8元（口表示不明數(shù)字）。你能幫助小明找出不明數(shù)字嗎？【解析】（方法一）6口口 8是73的倍數(shù)，而且6口口8除以73的商是一個(gè)兩位數(shù)，并且末位是6,當(dāng)T位是8時(shí)，73X86=6278,當(dāng)十位數(shù)字為 9時(shí)，73X96=7008,不滿足條件，所以發(fā)票上的單價(jià)是 6278 元。（方法二）6口口 8是73的倍數(shù)，所以商的末位數(shù)字一定為 6,而6008 73 82 22 , 6

17、998 73 95 63,所以商一定大于 82小于等于95,這中間末位數(shù)字為 6的只有86, 73X86=6278,所以發(fā)票上的數(shù)字為 6278元。國美家電購買36臺同規(guī)格的洗衣機(jī)，但發(fā)票總價(jià)的萬位和個(gè)位數(shù)字被弄污不好辨認(rèn)了，是口 711口。已知進(jìn)價(jià)每臺洗衣機(jī) 2千多元，請你補(bǔ)滿總價(jià)?！窘馕觥恳?yàn)槊颗_洗衣機(jī)2千多元，36臺的總價(jià)應(yīng)該在 7萬以上，因此口711面首位應(yīng)填7, 8或9。而 36=4X9,故末兩位應(yīng)為12或16,且各位數(shù)字之和應(yīng)為 9的倍數(shù)。經(jīng)試驗(yàn)，只有77112符合條件, 每臺洗衣機(jī)價(jià)格為 77112與6=2142 （元）例6只能修改970404的末兩個(gè)數(shù)字，使修改后的六位數(shù)能被2

18、25整除，修改后的六位數(shù)是多少？【解析】225=9X25,能被225整除，就是同時(shí)能被 9和25整除，而根據(jù)能被 25整除的特征，這個(gè)六位 數(shù)可能為970400, 970425, 970450, 970475,而根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征知，這個(gè)六位數(shù)只能 是 970425。學(xué)戰(zhàn)訓(xùn)練,【練習(xí)1】七位數(shù)2009口口能被125整除，那么它的最后三位數(shù)有有幾種可能情況？【解析】只要最后3位數(shù)能被125整除就可以了， 1000 + 125=8 （種）。所以它的最后三位數(shù)有 8種可能情況?！揪毩?xí)2】用1-9這九個(gè)數(shù)碼各一次，組成 3個(gè)分別能被2、3、5整除的三位數(shù)，并要求這三個(gè)三位數(shù)的 和要盡量的大。那么

19、這個(gè)和是多少？【解析】百位數(shù)選9、8、7,根據(jù)能被5整除的性質(zhì)，個(gè)位必須有 5,所以個(gè)位可以選1、2、5,十位為3、 4、6,這三個(gè)數(shù)可以為 945、831、762。它們的和為 2538?！揪毩?xí)3】已知四位數(shù)7AA1能被9整除，問：A代表數(shù)字幾？【解析】根據(jù)性質(zhì)7+A+A+ 1能被9整除，所以A=1。【練習(xí)4】在8264的左右各添一個(gè)數(shù)字，使新得到的六位數(shù)能被45整除，新數(shù)可能是多少？【解析】 這個(gè)數(shù)能被5整除，所以右邊只能添。或者5。當(dāng)右邊添0時(shí)，8+2+6+4+0=20,為了能被9整除，左邊應(yīng)該添 7;當(dāng)右邊添5時(shí)，8+2+6+4+5=25 ,左邊應(yīng)該添 2。新數(shù)可能是782640或者282645?！揪毩?xí)5】五位數(shù)A329B能被72整除，問：A與B各代表什么數(shù)字?【解析】已知A329B能被72整除。因?yàn)?2=8X9, 8和9是互質(zhì)數(shù)，所以A329B既能被8整除，又能9被 整除。根據(jù)能被 8整除的數(shù)的特征，要求 29B能被8整除，由此可確定 B=6。再根據(jù)能被9整除 的數(shù)的特征，A329B的各位數(shù)字之和為A3 2 9 B A 20 ,因?yàn)?