1、人教版高中數(shù)學(xué) 必修五 3.4.1根本不等式第一課時«§ 3.4.1根本不等式?的教學(xué)設(shè)計一、教材解析本節(jié)選自人教版必修五的第三章第四節(jié)的第一課時,它是在學(xué)生學(xué)習(xí)完“不等關(guān)系與不等式“一元二次不等式及其解法及“二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題的根底上對不等式的進(jìn)一步研究.在不等式的證實和求最值過程中有著廣泛的應(yīng)用.求最值又是高考的熱點.同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想,有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).,一二、學(xué)生學(xué)情分析對于高一的學(xué)生,不等式并不陌生,前面學(xué)習(xí)了不等式及不等式的性質(zhì),能夠進(jìn)行簡單的數(shù)與式的比擬,本節(jié)所學(xué)內(nèi)容就用到了不等式的性質(zhì),所以學(xué)生可以

2、在穩(wěn)固不等式性質(zhì)的前提下學(xué)習(xí)根本不等式,接受上是容易的,但是在利用根本不等式求最值方面暴露對“一正,“二定,“三相等不理解.三、教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo)：1.探索并了解根本不等式的證實過程；2 . 了解根本不等式的代數(shù)及幾何意義；3 .會用根本不等式解決簡單的最大小值問題 水平目標(biāo)：1.通過對根本不等式的探究,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的水平和語言表達(dá)水平；2.通過了解根本不等式的證實,提升學(xué)生邏輯推理的水平和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式.情感目標(biāo)：通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、合作探究、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和勇于探索精神 .重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解根本不等式,并掌握根本不等式的證實過程;難

3、點：應(yīng)用根本不等式 Vab M -求最值2四、教學(xué)策略分析本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式,即在教學(xué)過程中,在教師的引導(dǎo)下, 以學(xué)生的自主探究與合作交流為前提,通過設(shè)置的不同問題, 引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn),逐步加深對根本不等式的理解.在探究的過程中為學(xué)生提供自由表達(dá)、 質(zhì)疑、探究、討論問題的時機(jī),讓學(xué)生在知識的形成、開展過程中展開思維, 逐步提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的水平.五、教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情境、體會感知:第24屆國際數(shù)學(xué)家大會于 2002年8月在北京舉行,大會會標(biāo)看上去像一個旋轉(zhuǎn)的風(fēng)車,它的人教版高中數(shù)學(xué) 必修五 3.4.1根本不等式第一課時趙爽弦圖設(shè)計根底是公元 3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家趙爽弦

4、圖.ICM 2002BeringAugust 2.溫 20022002年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)通過創(chuàng)設(shè)情境、體會感知,學(xué)生深切感受到會標(biāo)背后的數(shù)學(xué)故事,以及我國的數(shù)學(xué)成就對世界當(dāng)a=b時,圖像會發(fā)生怎樣變 化？4.巖s有什么樣的關(guān)系?數(shù)學(xué)文明的影響和開展做出的卓越奉獻(xiàn),激發(fā)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué),學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情.探究1 :觀察：會標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形?思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系?1.正方形ABCD的面積S =2.四個直角三角形的面積 S1-3.S與S有什么樣的不等關(guān)系?【設(shè)計意圖】1 .培養(yǎng)學(xué)生識圖和分析數(shù)據(jù)的水平,并通過對數(shù)量關(guān)系的分析得出根本不等式的雛形,進(jìn)而逐 步發(fā)現(xiàn)根本不等

5、式的本質(zhì)和成立條件.2 .鼓勵學(xué)生獨立思考,充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新和想象水平,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并理解根本不等式的實質(zhì).師：會標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形構(gòu)成？生：四個全等直角三角形圍成正方形師：你能否在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？關(guān)于面積或者邊長的.師：那么面積之間又有怎樣的關(guān)系呢？師：在直角三角形 AHD43, AH=a,DH=b,貝U AD=生：AD = a2 b2人教版高中數(shù)學(xué)必修五 3.4.1根本不等式第一課時師：獨立完成上述三個問題,不會可以小組討論.生：大正方形面積 a2+b2,四個直角三角形面積 2ab,并且a2+b2>2ab.師：當(dāng)a = b時,圖像會發(fā)生怎樣變 化？生：a2 b

6、2 =2ab教師通過幾何畫板展示取等號的條件,證實學(xué)生的想法是正確的.結(jié)論：a2+b2之2ab 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取等號師：你能給出證實嗎？此問題學(xué)生口述即可生：由a2+b222ab,那么a2+b2 2ab20口ab22 0恒成立.那么a = b時取等號.探究2：當(dāng) a > 0,b > 0,在 a2 + b2 至 2ab中以百,而分別彳t替a,b能得到什么結(jié)果？小組合作：能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證實？要證：五2只要證：a+b之只要證：a b -_ 0只要證：_-_ 220顯然上式成立.根本不等式,ab - a- a 0, b 02工也叫算術(shù)平均數(shù),相叫幾何平均數(shù)21.代數(shù)意義：幾何

7、平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)根本不等式有沒有幾何解釋呢？【設(shè)計意圖】用代數(shù)的方法證實根本不等式,進(jìn)而使學(xué)生加深對根本不等式的理解,理解根本不等式中不等 號和等號成立的條件；引導(dǎo)學(xué)生自己動手寫出證實過程,并自我總結(jié)歸納根本不等式運用的條件, 有利于學(xué)生準(zhǔn)確、靈活應(yīng)用.生：a +b >2>/aba >0,b >0當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.師：很好,還可以寫成一 a b ,Vab Ma>0,b>0,小組合作能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證實？23人教版高中數(shù)學(xué) 必修五 3.4.1根本不等式(第一課時)a 工 b 生投影展不：要證 至JOF ,只要證 a + b至2面,只要證 a

8、+ b 2«b至0 ,只要證2(Va-7b)2之0,顯然式子成立,當(dāng)且僅當(dāng) a = b取等號.師：根據(jù)以上代數(shù)證實,同學(xué)們已掌握 a+b之2向(a>0,b>0)成立的.a ' b ,我們通吊記作： jab <(a > 0, b > 0)這個不等式叫做根本不等式.2叱b叫算術(shù)平均數(shù),JOB叫幾何平均數(shù).那位同學(xué)能說出根本不等式的代數(shù)意義？2生：幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù) 探究3：如右圖,AB是圓的直徑,點C是AB上的一點,AC=a, BC = b.過點C作垂直于 AB的弦DE ,連接AD、BD.如何用a, b表示OD? OD=如何用a, b表示CD

9、? CD=OD與CD的大小關(guān)系怎樣？ OD CD你能利用這個圖形,得出 疝 E亙二(a A0,b A0)的幾何解釋嗎?2【設(shè)計意圖】對圖形進(jìn)一步分析,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾幾何不等式的幾何意義,讓學(xué)生體會不僅能以數(shù)證形,尋 找數(shù)量關(guān)系的幾何解釋,還可以通過對圖形的觀察分析以形識數(shù),進(jìn)而完善前面的代數(shù)結(jié)論.(學(xué)生口述證實過程,教師給以引導(dǎo))證實：由于 AACD ABCD ,所以CD =同.由于CD小于或等于圓的半徑,用不等式表示為.ab <ab(a 0,b 0)2顯然不等式當(dāng)且僅當(dāng)點 C與圓心結(jié)合,即當(dāng)a=b時,等號成立結(jié)論：(教師投影展示學(xué)生口述結(jié)果)幾何解釋為半弦不大于半徑.獨立思考,比照提升

10、.填表比擬:定理名稱定理形示適用范圍“=成立條件注意從不同角度熟悉根本不等式4人教版高中數(shù)學(xué) 必修五 3.4.1根本不等式第一課時牛刀小試,判斷對錯.1對任意 a,b R, a2 十b2 >2ab,a+b >2A/ab'均成立.兩個不等式a2+b2±2ab與世之痛等號成立的條件是相同 的式 2 23111aA0,b >0那么ab E lab.4(4)右a =0,那么a +之2a.4 =4.【設(shè)計意圖】通過填表比照,加深對重要不等式和根本不等式的理解,牛刀小試考查學(xué)生對所學(xué)知識點掌握 的情況,是否真正理解了根本不等式并能注意運用公式時需要注意的條件,從而真正意

11、義上理解不 等式的含義.學(xué)生先獨立思考,組內(nèi)再探討,最后小組派代表解答.初步運用,歸納提升師：根本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用,是解決最值問題的有力工具,看下面的例題.題型一：假設(shè)x、y為正數(shù),且滿足xy = 100.當(dāng)x、y分別 取什么值時x+y取最小值,最小值是多少？結(jié)論1 ：兩個正變量積為定值,那么和有最小值,當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時取最值.簡記“積定和最小.、一,1變式1:x>0,求x+-,當(dāng)x為何值取取值,并求取值. x. 1變式2:右將變式1中的x>0改為x<0,求x+-取值.一xx -3思考：假設(shè)x>3,函數(shù)y = x + ',當(dāng)x為何值時,函

12、數(shù)有最值,并求其最值.合作探究：題型二：假設(shè)x、y為正數(shù),且滿足x + y=18.當(dāng)x、y分別取什么值時xy取最大值,最大值是多 少？結(jié)論2:兩個正變量和為定值,那么積有最大值,當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時取最值簡記“和定積最大變式1:m >0, n > 0.m+n =8,求mn的最值.變式2:假設(shè)x A0, y >0,且滿足2x +3y =12.求xy的最值.【設(shè)計意圖】1 .通過兩種題型,培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想,提升解題水平.2 .題型一由老師分析講解板書,題型二由學(xué)生根據(jù)題型一分析小組合作探究.人教版高中數(shù)學(xué)必修五 3.4.1根本不等式第一課時3 .變式練習(xí)層層遞進(jìn).穩(wěn)固題型.師

13、：此題做完你又有什么想法呢？生：和定積最大.由上面的題引導(dǎo)學(xué)生會很快得出結(jié)論師：由上面例題,同學(xué)們,能總結(jié)一下運用根本不等式解題需要滿足的條件嗎？根據(jù)前面學(xué) 習(xí)學(xué)生會說出至少兩點生：a,b都為正數(shù),取最值的條件是 a=b師：例題中運用公式取到最值的前提必須有什么？通過教師引導(dǎo)學(xué)生會想到定值生：有一個是定值.師：好,那我們給運用根本不等式滿足的條件一個口訣吧？生嘗試去說,但不一定簡便,但用自己的思維方式說印象會更深師：一正、二定、三相等.師：那我們?nèi)绾芜\用根本不等式都能求哪些最值得題型呢？下節(jié)課我們再研究.五、反思總結(jié),培養(yǎng)水平1、本節(jié)課你學(xué)到了什么？2、你還有哪些疑問？【設(shè)計意圖】 通過提問讓

14、學(xué)生在頭腦中形成自己的知識體系,自己總結(jié)檢驗本節(jié)課的聽課效果,是否還有自己沒聽懂的問題一下就清楚了.六、課后分層作業(yè)必做題P100A組第一題1、2.選做題假設(shè)0<x<0.5 , 求函數(shù)y=x1-2 x的最大值.【設(shè)計意圖】穩(wěn)固練習(xí)本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容并且給學(xué)生一個完整的獨立思考,自主學(xué)習(xí)的時機(jī).分層作業(yè)有利于因材施教.照顧各層次學(xué)生.人教版高中數(shù)學(xué) 必修五 3.4.1根本不等式第一課時七、教學(xué)設(shè)計說明不等式對高中的學(xué)生來說不陌生,但根本不等式那么是一個新的知識點出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中,讓學(xué)生又學(xué)會一種求函數(shù)最值得方法,所以學(xué)生只有真正理解了才會用起來得心應(yīng)手.根本不等式公式的引出利用了兩種方法：代數(shù)法和幾何法.代數(shù)學(xué)通過圖形展示,讓學(xué)生自己找出不等式關(guān)系,從而引