1、相似三角形添加輔助線的方法舉例例 1: ：如圖, ABC 中,AB=AC, BD± AC于 D.求證： BC2 = 2CD - AC.例2.梯形 ABCD中,AD / BC , BC =3AD , E是腰AB上的一 點,連結(jié)CE(1)如果 CE_LAB, AB=CD, BE = 3AE ,求 / B 的度數(shù)；(2)設(shè)ABCE和四邊形AECD的面積分別為S1和S2,且2& =3S2 ,試求BEBE的值A(chǔ)EAFAD例3.如圖4-1,平行四邊 ABCD中,E是AB的中點,3 ,連E、F交AC于G.求AG: AC的值.例4、如圖45, B為AC的中點,E為BD的中點,那么 AF: A

2、E=.例5、如圖4-7,平行四邊形 ABCD中,對角線 AC、BD交于O點,E為AB延長線上一點,OE交BC于F,假設(shè) AB=a, BC=b, BE=c,求 BF 的長.AB _ BD例6、在 ABC中,AD是/BAC的平分線.求證： AC CD相似三角形添加輔助線的方法舉例答案例 1: ：如圖, ABC 中,AB=AC, BD± AC于 D.求證：BC2 = 2CD AC.°BC AC 分析：欲證BC2 = 2CD- AC,只需證 上二=22.但由于結(jié)論中有“ 2,無法2CD BC直接找到它們所在的相似三角形,因此需要結(jié)合圖形特點及結(jié)論形式,通過添加輔助線,對其中某一線段

3、進(jìn)行倍、分變形,構(gòu)造出單一線段后,再證實三角形相似.由“2所放的位置不同,證法也不同.證法一構(gòu)造2CD:如圖,在 AC截取DE= DC, BD± AC 于 D, .BD是線段CE的垂直平分線,BC=BE / C=/ BEC, 又 AB=AC, .C=/ ABC. . BC%A ACB.BCACBCAC=, =CEBC2CDBCBC2=2CD- AC.證法二構(gòu)造2AC:如圖,在CA的延長線上截取 AE=AC,連結(jié)BE, AB=AC,AB=AC=AE. / EBC=90° , 又; BD±AC. / EBC=Z BDC=/ EDB=90° ,/ E=/ DB

4、C, . EBC BDC,BCCEBC2AC''=即=CDBCCDBCBC2=2CD- AC.11 證法三構(gòu)造 BC :如圖,取 BC的中點E,連結(jié)AE,那么EC=- BC .22又 AB=AC, AE± BC, / ACE=/ C ./ AEC=Z BDC=90° . ACE BCD.1 BC,CEAC2AC-=即=.CDBCCDBCBC2= 2CD - AC. , 1 1 證法四構(gòu)造一BC ：如圖,取 BC中點E,連結(jié)DE,那么CE=- BC .22BD±AC,BE=EC=EB1 / EDC=/ C又 AB=AC,/ ABC=/ C, .ABC

5、s EDC.BCACBCAC-=J 即=.CDECCD1 BC2BC2=2CD- AC.說明：此題充分展示了添加輔助線,構(gòu)造相似形的方法和技巧.在解題中方法要靈活,思路要開闊. 例2.梯形 ABCD中,AD/BC , BC=3AD, E是腰AB上的一點,連結(jié) CE(1)如果 CE_LAB, AB=CD, BE = 3AE ,求 / B 的度數(shù)；BF(2)設(shè)ABCE和四邊形AECD的面積分別為S1和S2,且2sl =3S2 ,試求的值 AE(1)設(shè) AE =k,那么 BE =3k解法1 如圖,延長BA、CD交于點F"AD/BC , BC=3AD,- BF =3AF AF=2k, E為

6、BF 的中點又CE_LBF BC=CF,又CF=BF 二&B C網(wǎng)等邊三角形 故/B = 60° 解法2 如圖作DFAB分別交CE、CB于點G、F那么CE -LDF ,得平行四邊形 ABFD同解法1可證彳C ACDF為等邊三角形故 B »1 =60解法3 如圖作AF EC交CD于G ,交BC的延長線于F作GI / AB ,分別交CE、BC于點H、IBC BEAF/CE那么CE GI ,得矩形AEHGCF AE又 BC=3AD 二 CF =AD ,故 G為 CD、AF 的中點以下同解法1可得ACGI是等邊三角形故.B = . 1 =60解法4 如圖,作AFCD,交BC

7、于F ,作FG/CE,交AB于G ,得平行四邊形 AFCD,且FG _L AB讀者可自彳f證得 AABF是等邊三角形,故 ZB = 60°解法5 如圖延長CE、DA交于點F ,作AG/CD ,分別交BC、CE于點G、H ,得平行四邊形 AGCD可證得A為FD的中點,那么AH =2k ,故N1 =60白得AABG為等邊三角形,故 / B = 603解法6 如圖補形法,讀者可自彳f證實 ACDF是等邊三角形,得. B = . F =60注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等2設(shè) SaCE =3S ,那么S四邊形AECD =2S解法1 補形法如圖補成平行四邊形 ABCF ,

8、連結(jié)AC,那么DF =2AD設(shè) S&CD =X,那么 S由CE 2S X , S#DF 2x5由 S.ABC= S&CF得,3s+2s-x = x+2x, x = s解法2(補形法)如圖,延長 BA、CD交于點F , =1S.ABC 9一 55-21二 SAD =：s,SZfEC = _ s 2s = s,又 SBC =3s 888設(shè) BE =8m,那么 EF =7m , BF=15m, AF =5m八BEAE = 2m ,= = 4AE解法3 (補形法)如圖連結(jié)AC ,作DF /AC交BA延長線于點F連結(jié)FC那么 AFAD s AABC ,故 AB = 3AF (1)SaCD

9、 =S&CF ,SI邊形 AECD = S. FEC故 2BE =3EF =3(AE +AF) =3AE+3AF (2)_ BE由1、 2兩式得BE=4AE 即=4AE解法4 割補法如圖連結(jié)A與CD的中點F并延長交BC延長線于點 G,如圖,過 E、A分別作高h(yuǎn)h2,那么CG=AD且S四邊形AECD =甌邊形AECG ' ' " S&BG = S梯形ABCD = 5sS EBCS ABG1 BC A2 ,又吟31 BG h2 BG 44hT - 5BEAB 5一AE2說明 此題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),解題關(guān)鍵是作輔助線,構(gòu)造相

10、似三 角形.1AF = AD例3.如圖4-1,平行四邊 ABCD中,E是AB的中點,3 ,連E、F交AC于G.求AG: AC的值.解法1 : 延長FE交CB的延長線于 H,四邊形 ABCD 是平行四邊形,. AD/BC, ./h=/ AFE, / DAB=/HBE又 AE=EB,AAEF3 BEH,即 AF=BH,11 _1 _AF = AD AF BC AF = CH3,3,即 4.AD/ CH, / AGF=/ CGH, / AFG=/BHE,AAFG CGH.AG: GC=AF: CH,AG: GC=1: 4,AG: AC=1: 5.解法2:如圖4 2,延長EF與CD的延長線交于 M,由

11、平行四邊形 ABCD可知,ABDC ,即ab/ MC ,1AF ADAF: FD=AE: MD, AG: GC=AE MC.:3, : AF: FD=1: 2,AE: MD=1 : 2.1 1AE = -AB = - DC2 2.AE: MC=1 : 4,即 AG: GC=1: 4,AG: AC=1: 5例4、如圖45, B為AC的中點,E為BD的中點,那么 AF: AE=.解析：取CF的中點G,連接BG. B為AC的中點,BG: AF=1: 2,且 BG/AF,又 E為 BD 的中點,F為DG的中點.EF: BG=1: 2.故 EF: AF=1: 4, AF: AE=4: 3.例5、如圖4-

12、7,平行四邊形 ABCD中,對角線 AC、BD交于O點,E為AB延長線上一點, OE交BC于F,假設(shè) AB=a, BC=b, BE=c,求 BF 的長.解法1 : 過O點作 OM / CB交AB于M , O 是 AC 中點,OM / CB,1MB =-aM是AB的中點,即2,八 1-1OM = -BC = bOM是 ABC的中位線,22且 OM II BC, / EFB=/ EOM, / EBF=/ EMO.BF BE BEa A MOE,OM EM ,BF c即2bBFbca 2c解法2: 如圖4-8,延長EO與AD交于點G,那么可得 AOG仁 COFBF BEBFAG=FC=b-BFBF/

13、 AG, . AG AE .即 b BF a+c,BF _ cb - a 2cbcBF 二a 2c.BF _ BE解法3: 延長EO與CD的延長線相交于 N,那么 BEF與 CNF的對應(yīng)邊成比例,即 CF CNBF解得bca 2cAB BD例6、在 ABC中,AD是/BAC的平分線.求證： AC CD .分析1比例線段常由平行線而產(chǎn)生,因而研究比例線段問題,常應(yīng)注意平行線的作用,在沒有平行線時,可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生.此題中AD為AABC內(nèi)角A的平分線,這里不存在平行線,于是可考慮過定點作某定直線的平行線,添加了這樣的輔助線后,就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段,再比擬所證的 比

14、例式與這個比例式的關(guān)系,去探求問題的解決.證法1: 如圖4 9,過C點作CE/ AD,交BA的延長線于 E.BD BA在ABCE中,: DA/ CE,DC AE又 CE/ AD,/1 = /3, /2=/4,且 AD平分/ BAC,/1 = /2,于是/ 3=/4,BD _ ABAC=AE.代入式得 DC AC .分析2由于BD、CD是點D分BC而得,故可過分點 D作平行線.證法2:如圖4 10,過D作DE/ AC交AB于E,那么/ 2=/3.- / 1 = / 2,/ 1 = / 3 .于是EA=ED.BE _ BD AB _ BE _ BEAB _ BD又.EA DC , AC ED EA ,AC CD分析3 欲證式子左邊為 AB: AC,而AB、AC不在同一直線上,又不平行,故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置.證法3:如圖4 11,過B作BE/ AC,交AD的延長線于 E,那么/ 2=/E./1 = /2,/ 1