1、現(xiàn)代控制理論試卷答案與解析文檔編制序號(hào)：KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08現(xiàn)代控制理論試卷作業(yè)一.圖為R-L-C電路，設(shè)為控制量，電感L上的支路電流y20RKU和電容C上的電壓4為狀態(tài)變量，電容C上的電壓/為輸出量，試求：網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程(注意指明 參考方向)。解：此電路沒(méi)有純電容回路，也沒(méi)有純電感電路，因有兩個(gè)儲(chǔ)能元件，故有獨(dú)立變量。以電感L上的電流和電容兩端的電壓為狀態(tài)變量,即令：二=禮%=占，由基爾霍夫電壓定律可得電壓方程為：從上述兩式可解出；一二,即可得到狀態(tài)空間表達(dá)式如下：Ji01RR?網(wǎng)R + R? /?| + R二、考慮下列系統(tǒng)：(a)給出這個(gè)系統(tǒng)狀

2、態(tài)變量的實(shí)現(xiàn)；(b)可以選出參數(shù)K (或“)的某個(gè)值，使得這個(gè)實(shí)現(xiàn)或者喪失能控性,或者喪失能觀性，或者同時(shí)消失。解：(a)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：則可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式:(b) 因?yàn)?3 0kA= 00-k2/3 1/31b= 10所以：當(dāng) =1時(shí)，該系統(tǒng)不能控；當(dāng)。W1時(shí)，該系統(tǒng)能控。又因?yàn)?C = 2/3 1/3 0所以：當(dāng)攵=0或4 = 1時(shí)，該系統(tǒng)不能觀；當(dāng)狂。且“W1時(shí)，該系統(tǒng)能觀。綜上可知：當(dāng)4 = 1時(shí)或女=0且，=1時(shí)，該系統(tǒng)既不能控也不能觀。三、已知系統(tǒng)；=不的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：(1)試確定矩陣A ,并驗(yàn)證/確為上式。(2)已知A求*,以下采用三種方法計(jì)算小,并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行討論。

3、解：(1)利用書上P53狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)四：對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，有3(f) = A。) =即eAt = AeAt = eA,Adt當(dāng) t=0 時(shí) 0(0) = /-，(0) = /驗(yàn)證*'：(利用P59的公式(2-24)來(lái)驗(yàn)證)解得：4=4=-2, A=-l,有一對(duì)復(fù)根，重根部分按公式(2-24)處理，非重根部分的仍按公式(2-23)計(jì)算。且= aQI + axA + a2A2所以：帕)=* =四、有兩個(gè)能控能觀的單輸入一單輸出系統(tǒng)： 0 1 0S為=。 M +% 乃=2 1k3 一4LS2 . xi = -2x2 + U2 y2 = x2(1)按圖把跖、S2串聯(lián),針對(duì)x =退 句推導(dǎo)

4、狀態(tài)方程。(2)判斷以上系統(tǒng)的能控性和能觀性。(3)把串聯(lián)系統(tǒng)的連接順序顛倒過(guò)來(lái)，再推算系統(tǒng)的狀態(tài)方程及能控、能 觀性。(4)求，、S?及串聯(lián)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，并對(duì)(2)和(3)討論。解：所以注=82Gxi + 4工2因而得狀態(tài)方程:1-4100-2.A二1-4100-2所以M =/?AbA2b =1-11-419-41-40-4190rank(M) = 2 <3所以該系統(tǒng)不能控。所以01-41-24rank(N) = 3所以該系統(tǒng)是能觀的。所以“0B,AbA2b =03001-2而"=1-211所以此時(shí)該系統(tǒng)能控。01-40-20rank（N） = 2 <3所以此時(shí)該

5、系統(tǒng)不能觀。（4） W1（5）= C（sl - A）-1 B + d = 2 if S f f°Ui（s）l 3 s + 4Lkr 11 s + 4 iTol 1 r p + 4 iTo-=2 12 1廣+4s_3（_ 3sl5" +45-3 L 3 sj_l_當(dāng)S、S?按照（2）的連接方式串聯(lián)時(shí)，VV（5）= H,1（5）HS（5）= !-+45-3當(dāng)S、S?按照（2）的連接方式串聯(lián)時(shí)，卬（s） =卬2（s）%（s）= f7S- +45-3由上邊的傳遞函數(shù)結(jié)果可知，當(dāng)子系統(tǒng)串聯(lián)時(shí)，顛倒其先后次序，雖然傳遞函數(shù)相 同，但系統(tǒng)的能控性、能觀性則不一定相同。五、試求下列系統(tǒng)的能

6、控性分解及能觀性分解解：（a）能控性分解：rank(M) = 2,構(gòu)造非奇異矩陣-103（b）能觀性分解：所以N =4 =所以M -408故該系統(tǒng)不能控。3-10CCAC A2-1-3-7rank（N） = 2<3所以該系統(tǒng)不能觀。構(gòu)造非奇異矩陣:1 -14 -70 07/3 -1/3 -14 ,所以 R(.=4/3 -1/3 0六、試用李雅普諾夫第二法，判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)01-1 -1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下,對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論，采取什么措施可使系統(tǒng)穩(wěn)定解：原點(diǎn)a=0是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。選取標(biāo)準(zhǔn)二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)，即v(x) = xj + x22 > 0當(dāng)X=0,工2=。時(shí)

7、，y(x) = 0 ；當(dāng)X1 W0,=。時(shí)，心)=。，因此v(x)為負(fù)半 定。根據(jù)判斷，可知該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。另選一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，例如：3/2 1/2 x,1/2 1 Jx2_為正定，而 為負(fù)定的，且當(dāng)Mfs,有V(x)f s。即該系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。(2)閉(3)環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其齊次方程為 X1 =X2顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的唯一的平衡狀態(tài)，選李雅普夫函數(shù) 可見(jiàn)，儂X)在任意XW0的值均保持為0,而破幻保持為常數(shù)這表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相軌跡是一系列以原點(diǎn)為圓心，丘為半徑的圓。這時(shí)系統(tǒng)為李雅普諾夫的穩(wěn)定，但在經(jīng)典控制理論中，這種情況屬于不穩(wěn)定，這的自由解是一個(gè)等幅的正 弦

8、振蕩，要想使這個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，必須改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。七、圖示的控制系統(tǒng)，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣，使閉環(huán)系統(tǒng)輸出超調(diào)量3W5% 和峰值時(shí)間f,解：傳遞函數(shù)卬。)=-U(s) (5 + 6)(5 + 2) 5 s +8s+12s又因?yàn)槎A系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)中：根據(jù)題意要求5 <5%和 <55通過(guò)上式解答：4 = 0.684因此設(shè)計(jì)后的極點(diǎn)分別為：=。因?yàn)閭鬟f函數(shù)卬(s)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，所以原系統(tǒng)能控而且能觀。可直接寫出它的能 控標(biāo)準(zhǔn)I型實(shí)現(xiàn)。其閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：加入狀態(tài)反饋陣長(zhǎng)=卜。k七,其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：而閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為根據(jù)極點(diǎn)值，得期望特征多項(xiàng)式：比較刃和廣(各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù),可得：

9、即 K=0 7.243 10,8八、系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：x = r + ，x(0) = 10,性能指標(biāo)泛函/(黑)=a2+2)力分兩種情況求最優(yōu)控制：0)。2 J。(1)對(duì)，沒(méi)有約束解：(1)原問(wèn)題為自由終端狀態(tài)，因而4(1) =。由哈密爾頓函數(shù)H = L + Af =-(x +ir) + 2(-x + u)2又因?yàn)榈榷粚W(xué)二。 OU OU 所以“。)= 一”。) 又沿最優(yōu)軌跡線滿足正則方程： 邊界條件 40) = 10, 2(1) = 0 通過(guò)上式聯(lián)合解答：(2)由極小值原理，理與科)符號(hào)有關(guān),取/=-0.3sgn即)SglU(r)表示“f)的符號(hào),r = l,2 = 0,取d在0區(qū)間,2(

10、r)>0,取«) = 0.3。下圖表不求解結(jié)果。九、試綜述最有控制理論的內(nèi)容及方法，分析比較二次型性能指標(biāo)泛函與 經(jīng)典控制理論的性能指標(biāo)。1 .內(nèi)容：現(xiàn)代控制理論研究的對(duì)象不再局限于單變量的，線性的，常定的，連續(xù)的系統(tǒng)，而擴(kuò)展為多變量的，非線性的，時(shí)變的，離散的系統(tǒng)。現(xiàn)代控制理論以線 性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具，以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)，分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。所謂 狀態(tài)空間法，本質(zhì)上是一種時(shí)域分析方法，它不僅描述了系統(tǒng)的外部特性，而且揭示了 系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)和性能?，F(xiàn)代控制理論分析和綜合系統(tǒng)的目標(biāo)是在揭示其內(nèi)在規(guī)律的基 礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在某種意義上的最優(yōu)化，同時(shí)使控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不再限于

11、單純的閉環(huán)形式，現(xiàn)代控制理論的主要內(nèi)容包括如下五個(gè)分支：線性系統(tǒng)理論、建模和系統(tǒng)辨識(shí)、最 憂濾波理論、最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制。2 .方法：現(xiàn)代控制理論的方法本質(zhì)是一種時(shí)域方法，它是建立在狀態(tài)變量描述方法基 礎(chǔ)上的，它著眼于系統(tǒng)的狀態(tài)，能更完全的表達(dá)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，在解決最優(yōu)控制問(wèn) 題中,極大值原理和貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃是最重要的兩種方法。3 .分析比較指標(biāo)泛函與經(jīng)典控制理論的性能指標(biāo)：性能指標(biāo)在數(shù)學(xué)上成為泛函，經(jīng)典控制理論中的性能指標(biāo)一般為最大超調(diào)量、阻尼 比、幅值裕度和相位裕度等。現(xiàn)代控制理論的二次型指標(biāo)泛函的意義：花費(fèi)盡量少的控制能量,使系統(tǒng)的輸出盡 可能地跟隨期望輸出變化。常見(jiàn)的二次型性能指標(biāo)分兩類：線性調(diào)節(jié)器和線性伺服器。假定狀態(tài)方程：；«） = 4。）必）+ 8（，川"）,尋求最優(yōu)控制”，使性能指標(biāo)達(dá)到極小值=!)+ J ； /。)W) + “/(9-1)這是二次型指標(biāo)泛函，要求S, Q（f）, R"）是對(duì)稱陣，且S和。是非負(fù)定或正