1、3.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 2 理解求導(dǎo)法則的證明過(guò)程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).IT問(wèn)題導(dǎo)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)一和、差的導(dǎo)數(shù)i已知f(x) =x,g(x)=-.z.思考 1f(x) ,g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是什么?11思考 2 試求Qx) =x+x,Hx) =x-的導(dǎo)數(shù).Z.ZY梳理和、差的導(dǎo)數(shù)f(x) 士g(x) =f(X)士g(x).知識(shí)點(diǎn)二積、商的導(dǎo)數(shù)2已知f(x) =x,g(x) = sinx, $ (x) = 3.思考 1 試求f(x), g(x) , $ (x).2sinx思考 2 求Hx) =xsinx,Mx)

2、 = f ,Qx) = 3sinx的導(dǎo)數(shù).x2梳理(1)積的導(dǎo)數(shù)1f(x)g(x) =_；2Cf(x) = _ .商的導(dǎo)數(shù)f x ,=_(g(x)豐0).fxfX注意：f(x)g(x)工f(x)g(x), gx豐g-xgxg,x題型探究類型一導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例 i 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1(1)f(x) = 3ax3+bx2+c; (2)f(x) =xlnx+ 2x；3x12 x(3)f(x)=市;(4)f(x)=xe.住錄 91 渇溟及 www. 91 taoke. com)聽(tīng)名！IP *j 講諜埋導(dǎo)數(shù)的基本話算反思與感悟(1)解答此類問(wèn)題時(shí)常因?qū)?shù)的四則運(yùn)算法則不熟而失分.(2)對(duì)一個(gè)函數(shù)求

3、導(dǎo)時(shí)，要緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，當(dāng)不易直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，應(yīng)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)(恒等變換)，然后求導(dǎo)這樣可以減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過(guò)程.(3)利用導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，利用和、差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，盡量少用積、 商的求導(dǎo)法則求導(dǎo).3跟蹤訓(xùn)練 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):4(3)y= (x+ 1)(x+ 3)(x+ 5) ; (4)y=xsin類型二導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用命題角度 1 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)解析式Inx例 2(1)已知函數(shù)f(x) = 一 + 2xf (1)，試比較f(e)與f(1)的大小關(guān)系；x設(shè)f(x) = (ax+b)sinx+ (cx+d)cosx,試確定

4、常數(shù)a, b,c,d,使得f(x) =xcosx.反思與感悟(1)中確定函數(shù)f(x)的解析式，需要求出f (1)，注意f (1)是常數(shù).(2)中利用待定系數(shù)法可確定a,b,c,d的值完成(1)(2)問(wèn)的前提是熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.x跟蹤訓(xùn)練 2 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿足f(x) = 2ef (1) + 3lnx,則f(1)命題角度 2 與切線有關(guān)的問(wèn)題例 3 已知函數(shù)f(x) =ax+bx+ 3(a* 0)，其導(dǎo)函數(shù)f(x) = 2x 8.(1)求a,b的值；設(shè)函數(shù)g(x) = exsinx+f(x)，求曲線g(x)在x= 0 處的切線方程.y=2x3 3x+x+ 1x2+

5、1 ；x2+ 3 ；2cosx5反思與感悟(1)此類問(wèn)題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素.其他的條 件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系.準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問(wèn)題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務(wù)必做到準(zhǔn)確.分清已知點(diǎn)是否在曲線上，若不在曲線上，則要設(shè)出切點(diǎn)，這是解題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練 3設(shè)曲線y=在點(diǎn)(可,2)處的切線與直線x+ay+1 = 0 垂直，則a=sinx2_ 2設(shè)函數(shù)f(x) =g(x) +x,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1 ,g(1)處的切線方程為y= 2x+ 1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1 ,f(1)處切線的斜率為 _ .1.函數(shù)y=(邊+ 1)

6、(1)的導(dǎo)數(shù)等于_ .cosx2 函數(shù)y= 上的導(dǎo)數(shù)是1 xX3 .曲線y=x2 在點(diǎn)(1， 1)處的切線方程為 _nn4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若f(x) =f()sinx+ cosx，則f() =_ x+ 15 .設(shè)曲線y=-在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+1 = 0 垂直，則a=_xI規(guī)律與方法-求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.對(duì)于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式, 再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決一些切線斜率、瞬

7、時(shí)速度等問(wèn)題.當(dāng)堂訓(xùn)練6提醒：完成作業(yè)第 3 章 7問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一1思考 1f (x) = 1,g(x)=孑1 1思考 2y=(x+x)+xrX(x+X)Axx+x x+Ax丄1 Ax x x+ Ax-Q(x) = 1 1知識(shí)點(diǎn)二 思考 1f(x) = 2x,g(x) = cosx,0 (x)=0.思考 2 H(x) = 2xsinx+xcosx,2 2x1x sinx xM (x)=廠 hx2 n 2x+4x=2 2.X+(3)方法一y = (x+ 1)(x+ 3) (x+ 5) + (x+ 1)(x+ 3)(x+ 5) = (x+ 1) (x+ 3) +o(x+ 1)(x

8、+ 3) (X+ 5) + (x+ 1)(x+ 3) = (2x+4)(x+ 5) + (x+ 1)(x+ 3) = 3x+ 18x+ 23.合案精析當(dāng)AXT0時(shí),1x同理,H(x) = 1 +8x2cosx 2xsinxxcosx 2sinxQ( x) = 3cosx.梳理(1)f(x)g(x) +f(x)g(x)題型探究132例 1 解(1)f( x) = (ax+bx+c)31=(?ax3) + (bx2) +c =ax2+ 2bx.f(x) = (xlnx+ 2ii iii).x .=(xlnx) + (2 )=xInx+x(lnx) + 2xln 24iiiCf(x)x g xf x

9、 g12g x9x=Inx+ 1 + 2 In 2.(3)方法一x 1f (X) =(x+1)x+x-1x+Xx+X+I* 2x+ xX+I2、丄x 1x+ 1 2萬(wàn)法二f(x)=x+ix+1=1x+1，2f(X)=(1x+1)=(x+1o2 x+if(x)=(x2-ex) =(x2) e=ex(2x+x2).cx 2=2xe +x跟蹤訓(xùn)練 11 y=3x23+3x方法+X2(ex)3(1) y= 2x2 3xX+2 2X+X + X2+2 1 11 2X+2x x2+2x x2+1T+32 2方法二y=x+1 x+32x2+ 3x2+ 3，“ 2、，y=(1帀)(x3)x2+310,32y=

10、 (x+ 9x+ 23x+ 15)2=3x+ 18x+ 23.y= (xsinx)(S)cosx=x sinx+x(sinx)2 cosxxi12sinx=sinx+xcosx2.cosx1 In 1令x= 1，得f (1) =1+ 2f (1),即f=1.Inx所以f(x) = 2x,x/口In e1得f(e) = 2e = - 2e,eef(1) = 2,1由f(e) f(1) = - 2e+ 20, e得f(e)f(1).(2)由已知f(x) = (ax+b)sinx+ (cx+d)cosx=(ax+b)sinx + (cx+d)cosx=(ax+b) sinx+ (ax+b)(sinx

11、) + (cx+d) cos=asinx+(ax+b)cosx+ccosx (cx+d)sinx=(acxd)sinx+ (ax+b+c)cosx.又f( x) =xcosx, ad= 0,fadcx= 0,c= 0,即ax+b+c=x,a= 1,、Ib+c= 0,解得a=d= 1,b=c= 0.3跟蹤訓(xùn)練 21 2e例 3 解(1)因?yàn)閒(x) =ax2+bx+ 3(a工 0), 所以f(x) = 2ax+b,(1)由題意得f(x)=匚 1 ln x ,卜 2f (1),x+ (cx+11又f(x) = 2X 8，所以a= 1,b= 8.由(1)可知，g(x) = exsinx+x2 8x+ 3, 所以g(x) = exsinx+ exco