1、張荷觀內(nèi)容摘要：本文討論了基于多元回歸模型的季節(jié)變動分析，給出了回歸方程顯著性檢驗和回歸系數(shù)顯著性檢驗在季節(jié)變動分析中的實際意義。關(guān)鍵祠：季節(jié)變動回歸分析顯著性檢驗 一、引言時間序列分析一般可分為傳統(tǒng)時間序列分析和現(xiàn)代時間序列分析兩類，而季節(jié)變動分析則是傳統(tǒng)時間序列分析的重要內(nèi)容。季節(jié)變動是一種較為普遍的社會經(jīng)濟現(xiàn)象，例如交通運輸、旅游業(yè)、商品銷售和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等都有明顯的季節(jié)變動規(guī)律。傳統(tǒng)的季節(jié)變動分析根據(jù)數(shù)據(jù)計算季節(jié)指數(shù)，并利用季節(jié)指數(shù)之間的變動大小分析季節(jié)變動的程度（耿修林，2003；Anderson，1998）。這就是說，傳統(tǒng)的季節(jié)變動分析只采用描述統(tǒng)計方法分析季節(jié)變動，而并不進行統(tǒng)計推

2、斷。于是，當時間序列在每一時間上都取得普查數(shù)據(jù)時（例如是相應(yīng)的總體總量或總體均值等總體特征數(shù)），則應(yīng)采用傳統(tǒng)的季節(jié)變動分析。但在一般情況下，為了季節(jié)變動分析而要求取得連續(xù)多年的各季節(jié)普查數(shù)據(jù)，這既不可能，也沒必要。當時間序列在每一時間上取得的數(shù)據(jù)是樣本觀察值時，可采用回歸分析方法作推斷統(tǒng)計分析（Black，2003；Sincich，2001）。但目前只是簡單地照搬通常的回歸分析方法，這一方面對季節(jié)變動不能給出全面和深入的統(tǒng)計分析，同時還會由于誤用而得出錯誤的結(jié)論。當時間序列的數(shù)據(jù)是樣本觀察值時，本文主要討論以下幾個問題。1 如何判斷時間序列是否存在季節(jié)變動和長期趨勢。2 存在長期趨勢或不存在長

3、期趨勢時，如何判斷任意兩個季節(jié)是否存在顯著差異。3 存在長期趨勢或不存在長期趨勢時，如何給出平均的季節(jié)總體均值的置信區(qū)間，以及未來某一季節(jié)的區(qū)間預測。二、無長期趨勢時的季節(jié)變動分析設(shè)每年的各季度或月份按簡單隨機方法抽取樣本，用表示在時間t的樣本觀察值，。m表示年份數(shù)，而或12，分別表示季度或月份時間序列。為了方便，不妨設(shè)樣本數(shù)據(jù)為季度時間序列，即取。用 表示第年的第季度的樣本觀察值。則各季度樣本均值和樣本總均值為 （1）時間t的總體均值記為，即。記 （2）為各季度的個總體均值的平均，而為全部個總體均值的平均。當時間序列無長期趨勢時，傳統(tǒng)季節(jié)變動分析采用季度平均法計算季節(jié)指數(shù)，即 （3）稱為季節(jié)

4、指數(shù)，并根據(jù)季節(jié)指數(shù)之間的差別反映季節(jié)變動的程度。而樣本季節(jié)指數(shù)為 （4）時間序列數(shù)據(jù)屬j季度否則為了定量表示季度對時間序列的影響，引入季度變量，當時間序列數(shù)據(jù)為季度時，季度變量取值為1，否則季節(jié)變量取值為0。即 建立時間序列與季度變量的線性回歸模型時，由于對任一季度都有，即季度變量存在完全多重共線性，從而回歸模型中應(yīng)刪去一個季度，一般刪去第1季度。于是設(shè)時間序列滿足線性回歸模型 （5）其中為一般變量，為未知參數(shù)，相互獨立且服從。 記即為了方便假定每年的數(shù)據(jù)都包含全部4個季度。則（5）式的矩陣形式 對模型（5），求得b的最小二乘估計（6）這就是說，就是1季度的樣本均值，而則是季度與1季度的樣本

5、均值之差。且樣本回歸方程（7）即當，也就是說數(shù)據(jù)為季度時，回歸值就是季度的樣本均值。1 檢驗是否存在季節(jié)變動樣本回歸方程建立后，首先可檢驗時間序列是否存在季節(jié)變動。當不存在季節(jié)變動時，各季節(jié)指數(shù)應(yīng)相等，即。根據(jù)（2）和（3）式，等價于。而根據(jù)（2）式以及最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì)，則 （8）于是等價于。所以，時間序列是否存在季節(jié)變動可歸結(jié)為檢驗假設(shè)（9）而（9）式正好是回歸方程的顯著性檢驗問題。于是，若 （10）或概值時則在水平下拒絕，認為存在季節(jié)變動，即各季節(jié)指數(shù)不全相等。否則可認為不存在季節(jié)變動，即。實際上，接受時，根據(jù)（7）式有同樣表明這時的時間序列不受季節(jié)變動影響。2 檢驗季節(jié)指數(shù)是否有顯

6、著差異拒絕時表明時間序列受季節(jié)變動影響，即各季節(jié)指數(shù)不都相等，然而這并不能說各季節(jié)指數(shù)都不相等。由于等價于，根據(jù)（8）式又可轉(zhuǎn)化為回歸系數(shù)的顯著性檢驗。由（8）式得 （11）其中表示等價。例如表示等價于。對于假設(shè) （12） 這是通常的回歸系數(shù)顯著性檢驗，可得檢驗統(tǒng)計量 （13）其中 當 或概值 時則在水平下拒絕，認為， 即認為。對一般的回歸分析，在接受 時，可以認為解釋變量對時間序列的作用不顯著。但對于季節(jié)變動分析僅表明，或季度與1季度無顯著差異。在這一點上，季節(jié)變動分析與一般的回歸分析是不同的。而假設(shè) （14）（）這是線性約束的顯著性檢驗（方開泰， 1988）。例如，記，則由（5）式得約簡模

7、型 （15）成為一個新變量，這是一個二元線性回歸模型。把三元線性回歸方程（7）的殘差平方和記為，而約簡模型（15）的二元線性回歸方程的殘差平方和記為。若 （16）或概值 時拒絕，認為，即認為， 否則應(yīng)接受。同樣，檢驗時，應(yīng)把成為一個新變量得約簡模型。而檢驗時，應(yīng)把成為一個新變量得相應(yīng)約簡模型。3 平均的季節(jié)總體均值的置信區(qū)間根據(jù)回歸方程可以給出各個季節(jié)總體均值的平均的置信區(qū)間。由（7）式得 （17）記 則的置信區(qū)間為 （18）由于 （19）于是的置信區(qū)間為 （20）4 未來季度的區(qū)間預測無長期趨勢時，則預測區(qū)間與年份無關(guān)，即對年第季度的預測區(qū)間為 根據(jù)（19）式，得的 預測區(qū)間 （21）由于假

8、定不存在長期趨勢，（21）式表明這時的預測區(qū)間只與季度有關(guān)，而不受年份的影響。例1 某市1995-1999年各季度肉類制品的銷售額調(diào)查數(shù)據(jù)如下，試檢驗季節(jié)變動是否顯著（），并給出平均4季度銷售額的置信區(qū)間，以及2000年1季度銷售額的預測區(qū)間。 表11995-1999年各季度肉類制品的銷售額（單位：百萬元） 季度年份12 3 41995199619971998199915 11101618 13121820 14142221 16172424 182027解：本例。根據(jù)表1可得于是樣本季節(jié)指數(shù)傳統(tǒng)的季節(jié)變動分析表明4季度肉類制品的銷售額最高，而2季度肉類制品的銷售額最低。并且2、3季度肉類制品

9、的銷售額相近。但傳統(tǒng)的季節(jié)變動分析不能進一步作統(tǒng)計推斷分析。采用回歸分析方法時，首先根據(jù)表1數(shù)據(jù)建立樣本回歸方程由于，于是拒絕，認為存在季節(jié)變動，即各季節(jié)指數(shù)不全相等。為確定哪些季節(jié)指數(shù)相等和哪些季節(jié)指數(shù)不相等，應(yīng)作回歸系數(shù)的顯著性檢驗。根據(jù)（13）式，由于從而認為，但。這里雖然認為，但并不能認為4季度對時間序列的作用不重要，而只表明4季度與1季度無顯著差異。再根據(jù)（16）式，檢驗時 ，則認為。檢驗時 ，認為。而檢驗時 ，從而認為。即1、4季度及2、3季度之間無顯著差異，但其余任兩個季度之間都有顯著差異。根據(jù)（20）式得的置信區(qū)間(17.91 ，）而根據(jù)（21）式則2000年1季度銷售額的預測

10、區(qū)間 （ ， ）這兩個估計區(qū)間的精度都較低，造成這一現(xiàn)象的原因在后面的例2中給出說明，這里只是為了說明計算方法。 三、存在長期趨勢時的季節(jié)變動分析（5）式是在無長期趨勢情況下的模型，當經(jīng)濟理論或?qū)嶋H經(jīng)驗不能確定時間序列是否存在長期趨勢時，則應(yīng)選擇如下包含長期趨勢的回歸模型（22）其中為長期趨勢，即采用了常用的加法模型。而按最小二乘法建立的樣本回歸方程（23）1 檢驗時間序列是否同時存在長期趨勢和季節(jié)變動時間序列是否同時存在長期趨勢和季節(jié)變動可由回歸方程的顯著性檢驗作初步分析。當 （24）或概值時接受，認為既不存在長期趨勢，也不存在季節(jié)變動。否則，就有多種可能，必須作進一步分析。2 檢驗是否存在

11、長期趨勢當或概值時，首先可檢驗是否存在長期趨勢。這可歸結(jié)為檢驗假設(shè)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算 （25）若或概值，認為存在長期趨勢。否則可認為不存在長期趨勢，這時可選擇無長期趨勢的回歸模型（5），并只需作季節(jié)變動分析。3 檢驗是否存在季節(jié)變動當，即時間序列存在長期趨勢時，則應(yīng)先消除長期趨勢影響。記（26）則消除長期趨勢后的各季度樣本均值和樣本總均值為 而由消除長期趨勢后的建立的樣本回歸方程 （27）由（6）式得 （28）并根據(jù)最小二乘法，（27）式的與（23）式的相等，即 （29）根據(jù)（2）式， 記 （30）則 于是根據(jù)（28）和（29）式，得 （31）由于存在長期趨勢時總體和樣本的季節(jié)指數(shù)分別為 則等價

12、于，而又等價于。于是，時間序列是否存在季節(jié)變動可歸結(jié)為對（22）式檢驗假設(shè) 而當時，（22）式的約簡模型為（32）約簡模型（32）的殘差平方記為，全模型（22）的殘差平方和記為。若（33）或概值時，則拒絕，認為存在季節(jié)變動，即各季節(jié)指數(shù)不全相等。否則接受，可認為不存在季節(jié)變動。4 檢驗季節(jié)指數(shù)是否有顯著差異拒絕時表明存在季節(jié)變動，即各季節(jié)指數(shù)不全相等。還可以進一步確定哪些季節(jié)指數(shù)相等，哪些季節(jié)指數(shù)不相等。類似于（11）式有（34）對于假設(shè) 檢驗統(tǒng)計量為 （35）當時拒絕，認為，即認為。而對于假設(shè) 由得約簡模型，殘差平方記為，全模型（22）的殘差平方和記為。當 （36）或概值時，則拒絕，即認為，

13、或。5 季節(jié)總體均值的置信區(qū)間存在長期趨勢時， 由于受長期趨勢影響則不必估計平均的季節(jié)總體均值的置信區(qū)間， 而可以給出第年第季度的總體均值的置信區(qū)間。的置信區(qū)間為 （37）其中6 未來季度的區(qū)間預測第年第季度的的預測區(qū)間為 （38） 由于存在長期趨勢， 從而（38）式的預測區(qū)間長度與年份有關(guān)， 當預測年份超過越多， 則預測區(qū)間越長，即估計精度越低。例2 例1的各季度肉類制品的銷售額調(diào)查數(shù)據(jù)存在明顯的上升趨勢，試按模型（18）檢驗長期趨勢和季節(jié)變動是否顯著，并給出1999年4季度平均銷售額的置信區(qū)間，以及2000年第1季度和2001第1季度銷售額的預測區(qū)間。解：根據(jù)表1數(shù)據(jù)得樣本回歸方程由于引入

14、長期趨勢使樣本決定系數(shù)從增加到。且 ，于是拒絕，即時間序列有多種可能，應(yīng)作進一步分析。首先檢驗是否存在長期趨勢，即檢驗由于從而長期趨勢顯著。然后再檢驗是否存在季節(jié)變動，即檢驗先求得約簡模型（32）的殘差平方和，再按（29）式，從而拒絕，即認為時間序列存在季節(jié)變動。 消除長期趨勢影響后的樣本季度平均和樣本季節(jié)指數(shù)為先作回歸系數(shù)的顯著性檢驗，由于根據(jù)（31）式，認為，但。再根據(jù)（36）式，檢驗時。檢驗時。而檢驗時。于是，認為，但。即1、4季度及2、3季度的季節(jié)指數(shù)或季度平均可認為相等，而其余任兩個季節(jié)指數(shù)或季度平均都不相等。根據(jù)（37）式，得1999年4季度平均銷售額的估計值和誤差限其中。得的置信

15、區(qū)間 （ ，）預測2000年1 季度銷售額時 根據(jù)（38）式于是2000年1季度銷售額的預測區(qū)間（ ，）預測2001年1季度銷售額，則根據(jù)（38）式得2001年1季度銷售額的預測區(qū)間（ ，）由于例1的數(shù)據(jù)存在明顯的上升趨勢， 這時直接作季節(jié)變動分析的效果較差。例如對2000年1季度銷售額的預測，例2考慮了長期趨勢的影響，從而有效地提高了預測精度。四、結(jié)語本文討論了季節(jié)變動的統(tǒng)計分析，提出了利用回歸分析判斷長期趨勢和季節(jié)變動的一般原理和方法。并作以下幾點說明。1 本文只討論了線性的長期趨勢，實際上還可以推廣到非線性的長期趨勢。例如可采用多項式回歸表示非線性的長期趨勢，根據(jù)回歸系數(shù)檢驗，可以同時檢驗是否存在長期趨勢以及長期趨勢是否為非線性。2 本文假定數(shù)據(jù)滿足古典假定，否則可采用相應(yīng)的方法。例如對于時間序列，隨機項有時并不滿足序列不相關(guān)而存在自回歸，則可采用廣義最小二乘估計或迭代法等方法（Greene， 2001）。3 本文為了方便，假定每年包含全部個季節(jié)的數(shù)據(jù)。在實際應(yīng)用中， 允許每年只包含部分的季節(jié)數(shù)據(jù)，并且分析方法則完全相似。 參考文獻1 耿修林，商務(wù)經(jīng)濟統(tǒng)計學，科學出版社，20032 David R. Anderson，Dennis J. Sweeney，Thomas A. W