1、埃舍爾埃舍爾的作品的作品鳥分割的平面鳥分割的平面教學(xué)目的教學(xué)目的1,通過(guò)生活中的實(shí)例通過(guò)生活中的實(shí)例,幫助學(xué)生理解鑲嵌的數(shù)學(xué)意義幫助學(xué)生理解鑲嵌的數(shù)學(xué)意義;2,通過(guò)引導(dǎo)從具體通過(guò)引導(dǎo)從具體.特殊到一般的問(wèn)題解決特殊到一般的問(wèn)題解決,培養(yǎng)學(xué)生的觀培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力察能力.探究能力以及把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力探究能力以及把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力;3,通過(guò)學(xué)生實(shí)驗(yàn)活動(dòng)通過(guò)學(xué)生實(shí)驗(yàn)活動(dòng),搜集搜集.畫畫.設(shè)計(jì)一些平面鑲嵌圖設(shè)計(jì)一些平面鑲嵌圖,讓學(xué)讓學(xué)生體會(huì)鑲嵌在日常生活中的廣泛應(yīng)用。生體會(huì)鑲嵌在日常生活中的廣泛應(yīng)用。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：鑲嵌的含義以及它在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用重點(diǎn)：鑲嵌的

2、含義以及它在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用難點(diǎn)：如何正確理解鑲嵌難點(diǎn)：如何正確理解鑲嵌 1 1、什么是平面鑲嵌？、什么是平面鑲嵌？ 2 2、你能只用一種多邊形（如正三角形，正四、你能只用一種多邊形（如正三角形，正四邊形，正六邊形）拼成一個(gè)地面嗎？邊形，正六邊形）拼成一個(gè)地面嗎？ 3 3、你能只用一種正五邊形拼成一個(gè)地面嗎？、你能只用一種正五邊形拼成一個(gè)地面嗎？ 4 4、為什么正五邊形拼不成地面？而用正三角、為什么正五邊形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一個(gè)地面條件是什么？形可以？可以拼成一個(gè)地面條件是什么？ 5 5、試用數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)，只用一種正多邊形進(jìn)、試用數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)，只用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲

3、嵌，有幾種方法？行平面鑲嵌，有幾種方法？ 6 6、任意的三角形，任意的四邊形均可鑲嵌成、任意的三角形，任意的四邊形均可鑲嵌成一個(gè)地面嗎？一個(gè)地面嗎？閱讀課本閱讀課本P87，思考下列問(wèn)題，并用紙片進(jìn)，思考下列問(wèn)題，并用紙片進(jìn)行拼圖試驗(yàn)行拼圖試驗(yàn) 通過(guò)觀察上面的圖片，你發(fā)現(xiàn)通過(guò)觀察上面的圖片，你發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同特征？它們有哪些共同特征？【1 1】不重疊不重疊【2】完全覆蓋完全覆蓋 從數(shù)學(xué)角度看，用一些從數(shù)學(xué)角度看，用一些不重不重疊疊擺放的圖形把平面的一部分?jǐn)[放的圖形把平面的一部分完完全覆蓋全覆蓋，通常把這類問(wèn)題叫做覆，通常把這類問(wèn)題叫做覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問(wèn)題蓋平面（或平面鑲嵌）的問(wèn)題(一一

4、)提出問(wèn)題提出問(wèn)題1)回想你家里地板的鋪設(shè)情況回想你家里地板的鋪設(shè)情況,并說(shuō)說(shuō)是用什么并說(shuō)說(shuō)是用什么形狀的地磚形狀的地磚.地板鋪成的地板鋪成的?2)觀看下面地板的拼合圖案觀看下面地板的拼合圖案 3）由此你能想到：為什么這些形狀的地磚能鋪成無(wú)縫隙）由此你能想到：為什么這些形狀的地磚能鋪成無(wú)縫隙的地板呢的地板呢? 1）它們是何種正多邊形拼成的？）它們是何種正多邊形拼成的？ 2）圍繞圖中某一點(diǎn)的所有角的和是多少？）圍繞圖中某一點(diǎn)的所有角的和是多少？?jī)H用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正僅用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面？多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面？探究問(wèn)題（一）探究問(wèn)題（一）鑲嵌平面圖案需要的

5、什么條件？鑲嵌平面圖案需要的什么條件？拼接在同一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)角的和拼接在同一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于恰好等于360度度123想一想想一想。k (n-2)180n= 360。(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6 設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 k 個(gè)正個(gè)正 n 邊形的角，則有邊形的角，則有 k 為正整數(shù)，為正整數(shù)， n 為大于等于為大于等于 3 的正整數(shù)的正整數(shù)解為解為收收 集集 整整 理理 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù)正正n邊形邊形拼圖拼圖每個(gè)內(nèi)角每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的度數(shù)使用正多邊使用正多邊形的個(gè)數(shù)形的個(gè)數(shù)k結(jié)論結(jié)論能鑲嵌能鑲嵌能鑲嵌能鑲嵌不能鑲嵌不能鑲嵌不能鑲嵌不能鑲嵌能鑲嵌能鑲嵌 K

6、= 6K= 4K= 3K= 4K= 36090108108120n =3n =6n =4n =5分分 析析 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù)正正n邊形邊形拼圖拼圖每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)與與360的關(guān)系的關(guān)系結(jié)論結(jié)論n=3n=4n=5n=6能鑲嵌能鑲嵌不能鑲嵌不能鑲嵌不能鑲嵌不能鑲嵌能鑲嵌能鑲嵌 660= 360 490= 360 4108 360 3120= 360 3108 360能鑲嵌能鑲嵌得出結(jié)論：得出結(jié)論： 如果一個(gè)正多邊形可以進(jìn)行鑲?cè)绻粋€(gè)正多邊形可以進(jìn)行鑲嵌，那么內(nèi)角一定是嵌，那么內(nèi)角一定是360的約數(shù)的約數(shù)（或（或360一定是這個(gè)多邊形內(nèi)角一定是這個(gè)多邊形內(nèi)角的整數(shù)倍）！的整數(shù)倍）！用兩種正多邊

7、形鑲嵌,哪些能鑲嵌成一個(gè)平面?探究問(wèn)題（二）探究問(wèn)題（二）2m+3n=12m=3n=2 m60 +n90 =360。 。設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 m 個(gè)正三角形的角個(gè)正三角形的角,n 個(gè)正方邊形的角，個(gè)正方邊形的角，則有則有 m,n 為正整數(shù)為正整數(shù)解為解為m+2 n=6m=2n=2m=4n=1 m60 +n120 =360。 。設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 m 個(gè)正三角形的角個(gè)正三角形的角,n 個(gè)正六邊形的角，個(gè)正六邊形的角，則有則有 m,n 為正整數(shù)為正整數(shù)解為解為2 m+5 n=12m=1n=2 m60 +n150 =360。設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 m

8、個(gè)正三角形的角個(gè)正三角形的角,n 個(gè)正十二邊形個(gè)正十二邊形的角，則有的角，則有 m,n 為正整數(shù)為正整數(shù)解為解為2 m+3 n=8m=1n=2m90 +n135 =360。設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有個(gè)設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有個(gè) m 正四邊形的角正四邊形的角,n 個(gè)正八邊形個(gè)正八邊形的角，則有的角，則有 m,n 為正整數(shù)為正整數(shù)解為解為設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 m 個(gè)正五邊形的角個(gè)正五邊形的角,n 個(gè)正十邊形個(gè)正十邊形的角，則有的角，則有3 m+4 n=10m=2n=1m108 +n144 =360 。 。 。 m,n 為正整數(shù)為正整數(shù)解為解為得出結(jié)論：得出結(jié)論： 用兩種正多邊形鑲嵌的用兩種正多邊

9、形鑲嵌的規(guī)律：拼接在同一個(gè)點(diǎn)規(guī)律：拼接在同一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于的各個(gè)角的和恰好等于360（周角）。（周角）。用三種正多邊形鑲嵌,哪些能鑲嵌成一個(gè)平面？探究問(wèn)題（三）探究問(wèn)題（三）現(xiàn)在用三種正多邊形：正現(xiàn)在用三種正多邊形：正三角形、正方形、正六邊三角形、正方形、正六邊形能否進(jìn)行平面鑲嵌？如形能否進(jìn)行平面鑲嵌？如果不能鑲嵌，為什么？如果不能鑲嵌，為什么？如果能，你能把它畫出來(lái)嗎果能，你能把它畫出來(lái)嗎（草圖）？（草圖）？思考思考:思考同一種任意三角形可否鑲嵌成一個(gè)平面？ 同一種任意四邊形可否鑲嵌成一個(gè)平面？探究新知探究新知(四四)想一想想一想1）用一種普通的三角形形狀的地磚）用一種普通的三角形

10、形狀的地磚能鑲嵌成一個(gè)平面圖案嗎能鑲嵌成一個(gè)平面圖案嗎?能，因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角的能，因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角的和為和為180將三角形三個(gè)不將三角形三個(gè)不同的內(nèi)角繞一點(diǎn)可圍成一個(gè)同的內(nèi)角繞一點(diǎn)可圍成一個(gè)平角，六個(gè)內(nèi)角可圍成一個(gè)平角，六個(gè)內(nèi)角可圍成一個(gè)360周角，因此，周角，因此，任意一任意一種三角形能鋪滿平面。種三角形能鋪滿平面。2）用一種普通的四邊形地磚能鑲嵌）用一種普通的四邊形地磚能鑲嵌成一個(gè)平面圖案嗎？成一個(gè)平面圖案嗎？能，因?yàn)樗倪呅嗡膫€(gè)內(nèi)角和為能，因?yàn)樗倪呅嗡膫€(gè)內(nèi)角和為360將四邊形四個(gè)內(nèi)角將四邊形四個(gè)內(nèi)角繞一點(diǎn)可圍成一個(gè)周角，繞一點(diǎn)可圍成一個(gè)周角，因此，因此，任意一種四邊形能鋪滿平面。任意一

11、種四邊形能鋪滿平面。如果用兩種如果用兩種正多邊形進(jìn)正多邊形進(jìn)行鑲嵌需要行鑲嵌需要滿足什么條滿足什么條件？件？小小A家正在為新房子家正在為新房子裝修，在他的房間里，裝修，在他的房間里，他想用正三角形和另他想用正三角形和另一種正多邊形鑲嵌成一種正多邊形鑲嵌成地板，他有哪些選擇？地板，他有哪些選擇？你能幫他出出注意嗎？你能幫他出出注意嗎？正多邊形正多邊形拼拼 圖圖 和和 它們的內(nèi)角度它們的內(nèi)角度和和360的關(guān)系：的關(guān)系： 和和 它們的內(nèi)角度它們的內(nèi)角度和和360的關(guān)系：的關(guān)系： 正多邊形正多邊形拼拼 圖圖 和和 和和360+ 2 90= 360 360+2 90=360460+1 120=360正三角形正三角形正四邊形正四邊形正三角形正三角形正六角形正六角形想一想想一想正三角形和正五正三角形和正五邊形能否鑲嵌邊形能否鑲嵌?正三角形和正六正三角形和正六邊形能否鑲嵌邊形能否鑲嵌?正方形和正八邊正方形和正八邊形能否鑲嵌形能否鑲嵌?你能歸納出其中你能歸納出其中有什么規(guī)律嗎有什么規(guī)律嗎?收獲與啟示收獲與啟示u 用一種正多邊形鑲嵌的規(guī)律：用一種正多邊形鑲嵌的規(guī)律：正多邊形的內(nèi)角是正多邊形的內(nèi)角是360的約的約數(shù)（或數(shù)（或360是這個(gè)正多邊形是這個(gè)正多邊形的整數(shù)倍）！的整數(shù)倍）！u 用多種正多邊形鑲嵌的規(guī)律：用多種正多邊形鑲嵌的規(guī)律：拼接在同一個(gè)點(diǎn)