1、專題08數(shù)列（2）多項選擇題1 . （2019秋如陽縣校級月考）已知數(shù)列4的前n項和為S , 0242,若存在兩項am,an,使得am an 64,則下列結(jié)論正確的是 （）A.數(shù)列an為等比數(shù)列B .數(shù)列4為等差數(shù)列C. m n為定值D.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn , bn 10g2 a。，則數(shù)列 Tn為等差數(shù)列【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列為等比數(shù)列，進一步求出數(shù)列的通項公式和前 n項和公【解答】解：數(shù)列an的前n項和為0 , & 2% 2 ,當n1時,解得ai2當n2時,所以anS,Sn 1 2an 2al整理得a21 1 ,即旦2 （常數(shù)）所以數(shù)列an是以2為首項

2、，2為公比的等比數(shù)列.所以an 2g2n 1 2n （首項符合通項）.所以an 2n ,故選項A正確.由于an2n,故存在兩項am,an,使得aman64 , 2m n26 ,即m n 6 .故選項C正確.所以 bn log 2 an n,所以 Tn 1 2 3 n 1） ,T n 1 11所以二1n 1符合一次函數(shù)的形式，故該數(shù)列為等差數(shù)列.n 222故選項D正確.故選：ACD .2.（2019秋？寧陽縣校級月考）設(shè) Sn是數(shù)列%的前n項和，且a 1 , a01 && 1 ,則（）1,n 1,B. an 11n 1 nC.數(shù)列工為等差數(shù)列SnD. 15050SS2S00【分析

3、】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列為等差數(shù)列，進一步利用通項公式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式，進一步求出數(shù)列的和【解答】解：Sn是數(shù)列 %的前n項和，且&1 , an 1 SnSn 1 ,則Sn 1 Sn SSn 1 ,整理得1L L 1 （常數(shù)），Sn1 Sn1 1所以數(shù)列 是以 1為首項，1為公差的等差數(shù)列.故 C正確 sS 1所以 一 1 （n 1） n ,Sn,1故：S -. n所以當n2時，an Sn Sn1 1 （首項不符合通項）， n 1 n1,n 1,故an11故B正確n 1 n111所以一 一 一 （1 2 3100）5050,故 D 正確.SS2S00故選：BCD .3

4、. （2019春？t關(guān)區(qū)校級期末）在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列an中，Sn是數(shù)列an的前n項和，若a1ga4 32,a2 a3 12,則下列說法正確的是 （）A. q 2B.數(shù)列Sn 2是等比數(shù)列C. S8 510D.數(shù)列l(wèi)gan是公差為2的等差數(shù)列【分析】利用等比數(shù)列的前n項和公式，列出方程組，求出 & 2, q 2,由此能求出結(jié)果.【解答】解：Q在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列an中，Sn是數(shù)列an的前n項和，a1 獨 32 ,a2 a3123a1gaq322aq aq12解得ai 16,q1 2 (舍)或 3 2, q 2,故A正確,Sn2(1 2n) n 12 2 2 ,S81 2 2(1

5、 28) 1 2數(shù)列Sn 2是等比數(shù)列，故 B正確;510,故C正確;an 2n, 1gan n1g2,數(shù)列l(wèi)gan不是公差為2的等差數(shù)列，故 D錯誤.故選：ABC .4. （2019春訓(xùn)東期末）已知數(shù)列4是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（）2B. 10g2 (an)C. an an 1D. ，a。1an 2【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解.【解答】解：由數(shù)列an是等比數(shù)列，知:在A中,an 11anan 13定是等比數(shù)列,故 A正確;an在B中,假設(shè)an2n ,則 log2(an)2n10g 2 22n,不是等比數(shù)列，故B錯誤;在C中,anan 1an(1 q) ， q1 時，a

6、nan1不是等比數(shù)列，故C錯誤;在D中,anan 1an 2an(1qq2)aan 1an 2是等比數(shù)列，故D正確.故選：AD .5. （2019秋徐州市校級月考）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，前n項和為Sn,滿足a 5a3 S ,下列選項正確的有（）B. S。最小C.S7S2D.500【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的前【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列an是等差數(shù)列,n項和公式以及通項公式，依次分析選項，綜合即可得答案.a15a3S8，即a15al10d8a128d ,變形可得a19d ,又由 ana1 (n 1)d (n 10)d ,則有 a。0,故A一定正確,不能確定a1和d的符號，不能確定 

7、7;0最小,B不正確;又由S na1血A9nd皿&（n2 19n）,則有& §2,故C 一定正確,則 S20 20ai 20 19d 2180d 190d10d , 8。0,則 D 不正確,故選：AC .6. （2019秋?煙臺期中）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，其前n項和為Sn ,且2ai3a3 S6,則下列結(jié)論正確的A.ai00B. G0最小c. S7s2D.§9【分析】根據(jù)題意，由2ai3a3 S6ai0 0 ,然后逐項分析即可.【解答】解:A.因為數(shù)列an為等差數(shù)列,2ai3a3 S6,即 5ai 6d 6ai15d ,即 ai 9dai0 0 ,故A正確

8、;B.因為a100,所以S9S10，但是無法推出數(shù)列an的單調(diào)性，故無法確定So是最大值還是最小值.故B錯誤;a8a9ai0aiiai25ai00,所以 S2aa9ai0aiiai2S70S7 ,故C正確;i9ao0,所以D正確.故選：ACD .7. （20i9春？化州市期末）設(shè)* an(n N)是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和，且& S6 , &&S8 ,則下列結(jié)論正確的是（A. d 0B. a7C. S9S5D. 0與S7均為&的最大值【分析】利用結(jié)論:n2時,an,易推出a6 0, a7 0, % 0,然后逐一分析各選項，排除錯誤答案.【解答】解：由&

9、;&得aia?a3asaia6，即 a60a6aia6a7,a70,故B正確;同理由S7 S8 ,得注 0 ,Q d a7a6 0 ,故A正確;而C選項可得2（a7 a8） 0 ,由結(jié)論a7 0 , a8 0 ,顯然C選項是錯誤的.S6S7&S6與S7均為Sn的最大值，故D正確;,數(shù)列an是等差比數(shù)列故選：ABD .8. (2018春?德州期末)已知數(shù)列4是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是()2A.數(shù)列an是等比數(shù)列B .若 a32 , a732 ,則 a§8C.若口 a2 a3,則數(shù)列，是遞增數(shù)列D.若數(shù)列%的前n和Sn 3n 1 r ,則r 1【分析】在A中，數(shù)列a

10、2是等比數(shù)列；在 B中，a5 8;在C中，若ai a2 a3 ,則q 1 遞增數(shù)列；在D中，r 1.3【解答】解：由數(shù)列an是等比數(shù)列，知：在 A 中，Q an2ai2q2n 2,22 2n馬二q2是常數(shù)， an a q-2數(shù)列an是等比數(shù)列，故 A正確；在B中，若a3 2, a7 32 ,則a§ J2 32 8,故B錯誤；在C中，若ai a2 a3,則q 1 ,數(shù)列斗是遞增數(shù)列，故 C正確；在D中，若數(shù)列an的前n和Sn 3n 1 r ,則 a S 1 r ,a2ss (3 r) (1 r) 2 , a3 S3 S2 (9 r) (3 r) 6, Qa- a2, a3成等比數(shù)列，2

11、 a2 21%)4 6(1 r), 1解得r -,故D錯誤. 3故選：AC .9 .在數(shù)列an中，n N* ,若an 2 an 1 k(k為常數(shù))，則稱an為等差比數(shù)列”，下列對an 1 an的判斷正確的為（）A. k不可能為0B.等差數(shù)列-一定是 等差比數(shù)列”C.等比數(shù)列-一定是 等差比數(shù)列”D.等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為 0【分析】根據(jù)等差比數(shù)列的定義，逐項分析可得.【解答】解：對于 A, k不可能為0正確；對于B, an 1時，4為等差數(shù)列，但不是等差比數(shù)列；對于C ,若等比數(shù)列an &qn 1 ,則k an 2 an 1 q 0 ,所以4為等差比數(shù)列；a 1 an對于D ,數(shù)

12、列0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1.是等差比數(shù)列，且有無數(shù)項為0,故選：ACD .10 .關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中不正確的有 （）2A.若數(shù)列an的前n項和Sn an bn c（a , b, c為常數(shù)）則數(shù)列an為等差數(shù)列B.若數(shù)列an的前n項和Sn 2n 1 2 ,則數(shù)列an為等差數(shù)列C.數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為前n項和，則S,S2nS,S3nS2n ,仍為等差數(shù)列D .數(shù)列an是等比數(shù)列，S為前n項和，則S,S2nS,S3nS2n,仍為等比數(shù)列；【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項，綜合即可得的答案.【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A

13、,若數(shù)列an的前n項和S an2 bn c,若c 0 ,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列an為等差數(shù)列，若c 0,則數(shù)列an從第二項起為等差數(shù)列，故 A不正確；對于B ,若數(shù)列an的前n項和S 2n 1 2 ,可得 a1 4 2 2, a2 5 S 822 4,a3S3S2 16 268,則a1 , a2, a3成等比數(shù)列，則數(shù)列an不為等差數(shù)列，故 B不正確；對于C ,數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為前n項和，則S ,S2nSn,&n&n,即為a1a2an,an 1a2n , a2n 1a3n，,即為S2n Sn S S3n S2n S2n Sn n2d為常數(shù)，仍為等差數(shù)列，故C正確；對于

14、D ,數(shù)列an是等比數(shù)列，S為前n項和，則Sn , S2n Sn , S3n S2n ,不一定為等比數(shù)列，比如公比q1, n為偶數(shù)，Sn ,&nSn ,S3nS2n ,均為。，不為等比數(shù)列.故D不正確.故選：ABD . 、一 * 一 . . 一 一11.設(shè)an(n N )是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，Kn是其前n項的積，且& ( , ( & a ,則下列選項中成立的()A.0q 1B.a7 1C.K9 K5D.人與K7均為Kn的最大值【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析選項，綜合即可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：K,對于B ,若(K7 ,則a7

15、1 ,故B正確；K6對于A,由K5 K6可得注 9 1,則q 竺(0,1),故A正確； K5a6對于C ,由4是各項為正數(shù)的等比數(shù)列且q (0,1)可得數(shù)列單調(diào)遞減，則有 K9 K5,故C錯誤；對于D ,結(jié)合K5K6 K7可得D正確.故選：ABD .12.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和是S,已知S14 0, S15 0,正確的選項有()A.a1 0, d 0B.a7a80C.S6與S7均為Sn的最大值D .a80【分析】根據(jù)題意，等差數(shù)列4中，由S140可得a7a8 0 ,由S50可彳導(dǎo)a80 ,進而分析可得前7項為正數(shù)，從第 8項開始為負數(shù)，則a1 0, d 0 ；據(jù)此分析選項即可得答案.【解答】

16、解：根據(jù)題意，等差數(shù)列an的前n項和是S ,且§4 0 , &5 0 ,則 S1414(彳“4)7(a1a14)7(a7a&)0 ,即a7a80,15 (a1 * 15ag 0 即 ag 0 2則a7 0;故等差數(shù)列a。的前7項為正數(shù)，從第8項開始為負數(shù)，則 3 0, d 0.則有S7為Sn的最大值.故A, B, D正確； 故選：ABD .13.已知數(shù)列，是等差數(shù)列，其前n項和為滿足ai 3a2 S6,則下列四個選項中正確的有 ()A. a7 0B. S13 0C. S7 最小D. 1 S .【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d ,據(jù)此由等差數(shù)列的前n項和公式

17、依次分析選項，綜合即可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ,對于A ,若ai3a20 ,即4al3d6al "d,變形可得：ai6d 0 ,即a70 ,故A正確;2對于B,S131"a1a13)13a70,B 正確；2對于C, S7 7(a1 a7)7a4,可能大于0,也可能小于0,因此C不正確； 25 48 7一，對于 D, S5S (5a1d)(8a1d)3a118d 3a70 , D 正確.22故選：ABD .14.下列關(guān)于等差數(shù)列的命題中正確的有()A.若a , b , c成等差數(shù)列，則a2, b2, c2一定成等差數(shù)列B.若a, b , c成等

18、差數(shù)列，則2a, 2b, 2c可能成等差數(shù)列C.若a , b , c成等差數(shù)列，則ka2, kb 2, kc 2 一定成等差數(shù)列D.若a , b , c成等差數(shù)列，則1 , 1 , 1可能成等差數(shù)列.【分析】由題意利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.【解答】解：對于A,取a 1 , b 2 , c 3,可得a21 , b2 4,c29 ,顯然，a2,b2,c2不成等差數(shù)列，故A錯；對于B ,取a b c ,可得2a 2b 2c，故B正確；對于 C, Q a , b , c 成等差數(shù)列，a c 2b . (ka 2) (kc 2) k(a c) 4 2(kb 2),

19、即ka 2 , kb 2 , kc 2成等差數(shù)列，故 C正確；111.對于D,abc0 111,故D正確. a b c綜上可知，B, C, D正確， 故選：BCD .三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此15 .在增減算法統(tǒng)宗中有這樣一則故事:六日過其關(guān).則下列說法正確的是A.此人第二天走了九十六里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里一 ，一， 1C.此人第三天走的路程占全程的-8D .此人后三天共走了42里路1【分析】設(shè)此人第n天走a。里路，則aj是首項為a,公比為q -的等比數(shù)列，由 0 378求得首項，然 2后逐一分析四個選項得答案.1 【解答】解：設(shè)此人第n天走

20、a。里路，則4是首項為a-公比為q -的等比數(shù)列，1 a1(1 T6) 由等比數(shù)列前n項和公式得Ss 2 378 ,解得& 192,1 1 2，一，1 在A中，a2 192196,此人第二天走了九十六里路，故A正確；在B中，378 192 186 , 192 186 6 ,此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故B正確；.1481在C中，a3 192 48,，故C錯誤；4378 8111在 D 中，a4 a5 a6 192 (- 一 一) 42 ,故 D 正確.8 16 32故選：ABD .16.等比數(shù)列a。中，公比為q,其前n項積為Tn ,并且滿足口 1 . aggg。1 0,

21、四0,下列選 a1oo 1項中，正確的結(jié)論有()A. 0 q 1B.%930110C.100的值是Tn中最大的D .使Tn 1成立的最大自然數(shù)n等于198【分析】由已知 a99al00 1 0,得q 0 ,再由更0得到q 1說明A正確；再由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合 01001a1001說明B正確；由T100丁99中100，而0a1001 ,求得T100T99,說明C錯誤；分別求得工981 ,丁991說明D正確.【解答】解：對于 A , Q a99a100 1 0 ,afcq197 1,(a1gq98)2cq 1 .Q a 1 , q 0 .一 a 1又 Q0 ,a99 1 ,且 a100 1 .al

22、 0011,故A正確;對于2 q a99 9a101a1000 aw。1,0a999a1011 ,即 a999a10110 ,故 B 正確;對于由于 T100T99 9a100，而0a1001 ,故有T100T99,故C錯誤;對于Ti9ga19a2a19g(a1 9al9g )(a2 9a197 )(a99 9a100)(a99 9a100)991 ,T1994 9299(a1 93199 )(a2 9319g)(a99 9a101)由001,故D正確.不正確的是C .故選：ABD .17.已知數(shù)列4是等差數(shù)列，前4a4 S ,下列結(jié)論正確的是（）【分析】由B.S14S8D. S最小an是等差

23、數(shù)列及S14a4S9 ,求出為與d的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式即可進行判斷.【解答】解:A. Qa。是等差數(shù)列,ai 4(ai3d) 9a1 36d ,整理可得,即a70,故A正確;S8Q§3QS813(ai a13)S5a6a?S7 7a 21d13a7 0 .故B錯誤;ag3a7 0 ,2ld ,無法判斷其是否有最小值，故D錯誤.故選：AC .SgS9S7 ,有下列四個命題，其中是真命題的是 （）*1g.已知Sn是等差數(shù)列an（n N ）的前n項和，且A.公差d 0B.在所有Sn0中，S17最大D.滿足s 0的n的個數(shù)有15個【分析】由已知的不等式SgS9S7,以及$

24、 Sa9,SgS7ag,S9S7aga9,利用不等式的性質(zhì)即可得到正確選項.得出, a9及ag %的符號，進而再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式對各項進行判斷,【解答】解：Q SgS9 ,且S9Sga9 ,SgS8a9,即 a90 ,又0S7, S8S7Q S9S7又q 2S15又Q aS16又a1S17& a8 5,即 a8 0,d a9 a8 0,故選項A, C為真命題；S7 , S9 S7 a8 a9 ,a8 % S7,即a& % 0 ,ai5 2 a 8 ,15(ai ai5) 15a8 0 , 2a16 a8 a9 ?16(ai a16) 8a a9)0, 2a172 a9 517(a2 a17) 17a9 0,故選項B為真命題，選項 D為假命題；故選：ABC .19.設(shè)Sn是公差為d(d 0)的無窮等差數(shù)列an的