1、第九講第九講 定積分的計算與廣義積分定積分的計算與廣義積分定積分的換元積分法定積分的換元積分法定積分的分部積分法定積分的分部積分法利用對稱性利用對稱性/周期性周期性/遞推公式簡化計算遞推公式簡化計算用變量代換證明定積分公式用變量代換證明定積分公式廣義積分廣義積分定理定理 假假設設（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)；（3 3）當）當t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .1、換元積分法、

2、換元積分法應用換元公式時應注意應用換元公式時應注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計計算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量t的的上上、下下限限分分別別代代入入)(t 然然后后相相減減就就行行了了.（2）用用)(tx 把把變變量量x換換成成新新變變量量t時時，積積分分限限也也相相應應的的改改變變.例例1 1 計算計算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin

3、 xdxdt 例例2 2 計算計算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 例例 5 5 當當)(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù)，且且有有 )(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 aadxxf0)(.證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx

4、 , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積例例 7 7 若若)(xf在在

5、1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，證證明明（1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由由此此計計算算 02cos1sindxxxx.證證（1設設tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2設設tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin

6、00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf幾個特殊積分、定積分的幾個等式幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(二、小結二、小結思考題思考題指出求指出求 2221xxdx的解法中的錯誤，并寫出正確的解法中的錯誤，并寫出正確的解法的解法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考題

7、解答思考題解答計算中第二步是錯誤的計算中第二步是錯誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 設函數(shù)設函數(shù))(xu、)(xv在區(qū)間在區(qū)間 ba,上具有連續(xù)上具有連續(xù)導數(shù)，則有導數(shù)，則有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導推導 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv2、分部積分公式、分部積分公式例例1 1 計算計算.arcsin

8、210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 那么那么例例2 2 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例3 3 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( x

9、x 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例4 4 設設 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因為為ttsin沒沒有有初初等等形形式式的的原原函函數(shù)數(shù)，無無法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部積積分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21

10、dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv二、小結二、小結（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）思考題思考題設設)(xf 在在 1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求求 10)2(dxxfx.思考題解答思考題解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff

11、. 2 證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 即：即： 奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0 偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于對稱的偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于對稱的 部分區(qū)間上積分的兩倍部分區(qū)間上積分的兩倍 由定積分的幾何意義，這個結論也是

12、比較明顯的由定積分的幾何意義，這個結論也是比較明顯的例例2 2 計算計算.11cos21122 dxxxxx解解原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11 (4dxx 102144dxx.4 四分之一單位圓的面積四分之一單位圓的面積（1設設tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2設設tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sin dxxxf 0)sin()

13、(dttft證證,)(sin)(0 dttft 0)(sindxxxf 0)(sin dttf 0)(sin dtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf另證另證 將上式改寫為將上式改寫為 00)(sin)2(dxxfx2 xt令 220)(cos)(sin)2( dtttfdxxfx則則 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 奇函數(shù)奇函數(shù)0 例例5 設設 f(x) 是以是以L為周期的連續(xù)函數(shù)，證明為周期的連續(xù)函數(shù)，證明 Laaadxxf無無

14、關關的的值值與與)(證明證明 LaaaLLaLdxxfdxxfdxxfdxxf00)()()()( aLaLdtLtfLtxdxxf0)()()(令令 adttf0)( adxxf0)( Laaadxxfdxxf0)()(與與 a 的值無關的值無關例例11 設設 f(x) 連續(xù)，常數(shù)連續(xù)，常數(shù) a 0 證明證明 aaxdxxaxfxdxxaxf121222)()(證明證明比較等式兩邊的被積函數(shù)知，比較等式兩邊的被積函數(shù)知，2xu 令令uduuaufxdxxaxfaa2)()(2121222 uduuaufa)(21212 )()(212212uduuaufuduuaufaaa dttaatta

15、tfuatuduuaufaaa)()()()(22212222 令令tdttatfa)(12 xdxxaxfxdxxaxfaa)()(1221222 例例12 設設 f ( x ) 連續(xù)連續(xù) 10)()(dtxtfx )()(lim0常常數(shù)數(shù)且且AAxxfx 處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在并并討討論論求求0)()( xxx 解解連續(xù)知連續(xù)知及及由由)()(lim0 xfAxxfx 0)()()0(limlim00 xxxfxffxx0)0( 10)()(dtxtfx 時時0 xuxt 令令 xduufx0)(10)0()()0(lim0 xxx 200)(limxduufxx 法則法則型型L0022

16、)(lim0Axxfx 時時0 x20)()()(xduufxxfxx 2000)()()(limlimxduufxxfxxxx )()(200limxduufxxfxx 2000)()(limlimxduufxxfxxx 22AAA )0()(lim0 xx處處連連續(xù)續(xù)在在即即0)( xx 定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(幾個特殊積分、定積分的幾個等式幾個特殊積分、定積分的幾個等式 二、小結二、小結思考題思考題指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯錯誤誤，并并寫寫出出正正確確的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectant

17、dttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考題解答思考題解答計算中第二步是錯誤的計算中第二步是錯誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 定定義義 1 1 設設函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間),a上上連連續(xù)續(xù)，取取ab ，如如果果極極限限 babdxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間),a上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 adxxf)(

18、. . adxxf)( babdxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .5、無窮限的廣義積分、無窮限的廣義積分類似地，設函數(shù)類似地，設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b 上連續(xù)，取上連續(xù)，取ba ，如果極限，如果極限 baadxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間,(b 上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，

19、稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),( 上連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間),( 上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx

20、0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 證證明明廣廣義義積積分分 11dxxp當當1 p時時收收斂斂，當當1 p時時發(fā)發(fā)散散.證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當因

21、此當1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為11 p；當當1 p時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散.例例 4 4 證明廣義積分證明廣義積分 apxdxe當當0 p時收斂，時收斂，當當0 p時發(fā)散時發(fā)散.證證 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即當當0 p時時收收斂斂，當當0 p時時發(fā)發(fā)散散.定義定義 2 2 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點點a的右鄰域內無界取的右鄰域內無界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間

22、在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分類似地，設函數(shù)類似地，設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上連續(xù)，上連續(xù)，而在點而在點b的左鄰域內無界的左鄰域內無界. .取取0 ，如果極限，如果極限 badxxf)(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 badxxf)( badxxf)

23、(lim0. .當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上除點上除點)(bcac 外連外連續(xù)，而在點續(xù)，而在點c的鄰域內無界的鄰域內無界. .如果兩個廣義積分如果兩個廣義積分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收斂，則定義都收斂，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中定義中C為瑕點，以上積分稱為瑕積分為瑕點，以上積分稱為瑕積分.例例5 5 計算廣義積分計算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點點.