1、一數(shù)的整除之四大判斷法綜合 運(yùn)用（一）.教師版作者:日期:5-2-1.數(shù)的整除之四大判斷法綜合運(yùn)用（一）刖3/ 教學(xué)目標(biāo)1 . 了解整除的性質(zhì)；2 .運(yùn)用整除的性質(zhì)解題；3 .整除性質(zhì)的綜合運(yùn)用.知識(shí)點(diǎn)撥一、常見(jiàn)數(shù)字的整除判定方法1. 一個(gè)數(shù)的末位能被2或 5整除,這個(gè)數(shù)就能被2或5整除；一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或 2 5整除,這個(gè)數(shù)就能被4或25整除；一個(gè)數(shù)的末三位能被 8或1 25整除，這個(gè)數(shù)就能被8或 1 2 5整除;2.一個(gè)位數(shù)數(shù)字和能被 3整除，這個(gè)數(shù)就能被 3整除；一個(gè)數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除；1 1整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位

2、上的數(shù)字之和的差能被 除.4 .如果一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被 或13整除.5 .如果一個(gè)數(shù)能被99整除，這個(gè)數(shù)從后兩位開(kāi)始兩位一截所得的所有數(shù) 字，如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個(gè)有兩個(gè)數(shù)字還有一個(gè)是一位數(shù) 的倍數(shù)。【備注】（以上規(guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.）7、11或13整除，那么這個(gè)數(shù)能被7、11（如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個(gè)數(shù)）的和是9 9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)-一定是 9 9、整除性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c I b ,那么 c | （a±b）.如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除.即如果c I a

3、,c整除.即如果b I a,c I b,那么 c I a.用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除.即如果b c I a,那么 b I a, c I a.性質(zhì)4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a 一定能被b 與c的乘積整除.即如果b I a , c I a ,且（b, c）=1,那么bc I a.例如：如果 3 I 1 2,4 I 12，且（3,4）=1 ,那么（3 >4） 112.性質(zhì)5如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么a m也能被bm整除如果b|a,那么bm |am（m為非0整數(shù)）；性質(zhì)6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，

4、且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除.如果 b I a ,且d |c ,那么例題精講模塊一、2、5系列【例1】975 935 972 口，要使這個(gè)連乘積的最后4個(gè)數(shù)字都是0，那么在方框內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)？【考點(diǎn)】整除之 2、5系列【難度】2星【題型】填空【解析】積的最后4個(gè)數(shù)字都是0,說(shuō)明乘數(shù)里至少有 4個(gè)因數(shù)2和4個(gè)因數(shù)5.975 5 5 39,935 5 187, 972 2 2 243，共有3個(gè)5, 2個(gè)2,所以方框內(nèi)至少是 2 2 5 20 .【答案】2 2 5 20【例2】 從5 0到100的這5 1個(gè)自然數(shù)的乘積的末尾有多少個(gè)連續(xù)的0?【考點(diǎn)】整除之2、5系列【難度】4星【題型

5、】解答【解析】首先，50、60、70、80、9 0、100中共有7個(gè)0.其次，55、65、85、95和任意偶數(shù)相乘都可 以產(chǎn)生一個(gè)0,而75乘以偶數(shù)可以產(chǎn)生 2個(gè)0, 50中的因數(shù)5乘以偶數(shù)又可以產(chǎn)生 1個(gè)0,所以一共有 7 4 2 1 14個(gè) 0.【答案】14個(gè)連續(xù)的0【例3】 把若干個(gè)自然數(shù)1、2、3、連乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？【考點(diǎn)】整除之 2、5系列【難度】4星【題型】解答【解析】乘積末尾的零的個(gè)數(shù)是由乘數(shù)中因數(shù)2和5的個(gè)數(shù)決定的，有一對(duì)2和5乘積末尾就有一個(gè)零.由于相鄰兩個(gè)自然數(shù)中必定有一個(gè)是2的倍數(shù)，而相鄰5個(gè)數(shù)中才有一

6、個(gè)5的倍數(shù)，所以我們只要觀察因數(shù) 5 的個(gè)數(shù)就可以了.5 5 1,10 5 2,15 5 3, 20 5 4, 25 5 5, 30 5 6,發(fā)現(xiàn)只有25、50、75、100、這樣的數(shù)中才會(huì)出現(xiàn)多個(gè)因數(shù)5,乘到55時(shí)共出現(xiàn)11 2 13個(gè)因數(shù)5,所以至少應(yīng)當(dāng)寫到 55?！敬鸢浮? 5【例4】1 1個(gè)連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0,那么這11個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？【考點(diǎn)】整除之2、5系列【難度】4星【題型】解答【解析】因?yàn)?4 3 73,由于在11個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)中，至多只能有2個(gè)數(shù)是 7的倍數(shù)，所以其中有一個(gè)必須是 4 9的倍數(shù)，那就只能是49或98.又因?yàn)槌朔e的末 4位都是

7、0,所以這連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)至少應(yīng)該含 有4個(gè)因數(shù)5.連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)中至多只能有3個(gè)是5的倍數(shù)，至多只能有 1個(gè)是25的倍數(shù)，所以其中有一個(gè)必須是 25的倍數(shù)，那么就只能是 25、5 0或75 .所以這11個(gè)數(shù)中應(yīng)同時(shí)有4 9和5 0,且除50外還有兩個(gè)是5的倍數(shù)，只能是40, 41,42, 4 3, 44, 45, 46,4 7, 48,49, 5 0,它們 的平均數(shù)即為它們的中間項(xiàng)45.【答案】4 5【例5】201 202 203 111| 300的結(jié)果除以10,所得到的商再除以10重復(fù)這樣的操作，在第 次除以10時(shí)，首次出加余數(shù).【考點(diǎn)】整除之2、5系列【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵

8、詞】學(xué)而思杯，5年級(jí)，第7題【解析】本題其實(shí)為求原式結(jié)果末尾有多少個(gè)連續(xù)的0.0由5和2相乘得到，最關(guān)鍵在于有多少個(gè) 5.能整除 1 次 5 的數(shù)有 2 05,21 0 , 21 5 , 220, 2 3 0, 2 3 5 , 2 40,245,25 5 ,26 0 , 265, 270,280,285,290,295共16個(gè)，會(huì)乘出1 6個(gè)連續(xù)的 0;能整除2次5的數(shù)有2 2 5 ,275,3 0 0共三個(gè)，會(huì)乘出6個(gè)連續(xù)的0;能整除3次5的數(shù)有2 50,會(huì)乘出3個(gè)連續(xù)的0。所以共有16 6 3 25個(gè)連續(xù)的0,則能整除25次10,第26次首次出現(xiàn)余數(shù)?！敬鸢浮?6次【例6】 用19這九個(gè)數(shù)

9、字組成三個(gè)三位數(shù)（每個(gè)數(shù)字都要用），每個(gè)數(shù)都是 4的倍數(shù)。這三個(gè)三位數(shù)中最小的一個(gè)最大是 ?！究键c(diǎn)】整除之2、5系列【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，決賽,5年級(jí)，決賽，第8題,10分【解析】三個(gè)數(shù)都是4的倍數(shù)，個(gè)位必然都是偶數(shù)。當(dāng)個(gè)位是2或6時(shí)，十位是奇數(shù)，當(dāng)個(gè)位是4或8時(shí)，十位是偶數(shù)。因?yàn)?9中只有4個(gè)偶數(shù)，所以三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)的個(gè)位分別是2和6,另一個(gè)的后兩位是 84或48。因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)的百位都是奇數(shù)，所以最小的三位數(shù)的百位最大是5,（另兩個(gè)分別是 9和7 ）。9已被百位占用，十位最大的是8,所以三個(gè)三位數(shù)中最小的一個(gè)最大是584。注：另兩個(gè)三位數(shù)可以是 912, 736或932,

10、7 1 6或9 1 6,732或9 3 6 , 71 2?！敬鸢浮?84【例7】 若4b 2cd 32,試問(wèn)abcd能否被8整除？請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】整除之 2、5系列【難度】4星【題型】解答【解析】略【答案】由能被 8整除的特征知，只要后三位數(shù)能被8整除即可. bcd 100b 10c d ,有bcd （4b 2c d） 96b 8c 8（12b c）能被8整除，而4b 2c d 32也能被8整除，所以 礪能被 8整除.模塊二、3、9、9 9系列例8 在方框中填上兩個(gè)數(shù)字，可以相同也可以不同，使4口 32口是9的倍數(shù).請(qǐng)隨便填出一種，并檢查自 己填的是否正確?！究键c(diǎn)】整除之 3、9、9 9系

11、列【難度】1星【題型】填空【解析】一個(gè)數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是 9的倍數(shù)，即4 口 3 2 口是9的倍數(shù)，而4 329,所以只需要兩個(gè)方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù).依次填入3、6,因?yàn)? 3 3 2 6 1 8是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù)?！敬鸢浮? 3 3 26（答案不唯一）【鞏固】若9位數(shù)200 8口2008能夠被3整除，則 口里的數(shù)是【考點(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，初賽,2題【解析】根據(jù)題目知：20+口是3的倍數(shù)，所以口里填1或4或7.【答案】1或4或7例9 一個(gè)六位數(shù)2 口口 727被3除余1,被9除余4，這個(gè)數(shù)最小是

12、 ?！究键c(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,4年級(jí)，決賽，第2題，8分【解析】被9除余4的數(shù)被3除必余1,所以只需考慮被 9除余4這個(gè)條件。這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9應(yīng)余4。所以框里面最小是 04,六位數(shù)為：2 047 2 7.【答案】204727【例10】連續(xù)寫出從1開(kāi)始的自然數(shù)，寫到 20 0 8時(shí)停止，得到一個(gè)多位數(shù)：1 2345678910 1 12007 200 8,請(qǐng)說(shuō)明：這個(gè)多位數(shù)除以3,得到的余數(shù)是幾？為什么 ？【考點(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，復(fù)賽，第15題【解析】因?yàn)檫B續(xù)3個(gè)自然數(shù)

13、可以被 3整除，而且最后一個(gè)自然數(shù)都是3的倍數(shù)，因?yàn)?007是3的倍數(shù)，所以12345678910“ 1“2007 是 3 的倍數(shù)，又因?yàn)?234567891011111120072008 1234567891011|”|20070000 2007 1,所以1234567891011|20072008除以 3,得到的余數(shù)是 1。【答案】1【例11試說(shuō)明一個(gè)兩位數(shù)，如果將個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，則新數(shù)與原數(shù)的差一定能被9整除.【考點(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)為 ab,則新的兩位數(shù)為ba. ba-ab (10b a) (

14、10a b) 9(b a).因?yàn)?(b a)能被 9整除，所以它們的差能被 9整除.【例12】1234 56789101 1 121314200820 0 9除以9,商的個(gè)位數(shù)字是 ?！究键c(diǎn)】整除之 3、9、99系列【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)，第5題【解析】首先看這個(gè)多位數(shù)是否能為9整除，如果不能，它除以9的余數(shù)為多少。由于任意連續(xù)的 9個(gè)自然數(shù)的和能被9整除，所以它們的各位數(shù)字之和能被9整除， 那么把這9個(gè)數(shù)連起來(lái)寫，所得到的數(shù)也能 被 9 整除。由于 2009 9 223|2 ,所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9101 1 1213 1 4 20 0 82

15、009 這個(gè)數(shù)除 以9的余數(shù)等于 2 0 082009(或者12)除以9的余數(shù)，為 3.那么123456 7 8910 1 1121 3 14200 8 200 9除以9的商，等于這個(gè)數(shù)減去3后除以 9的商，即1 2 345 6 7 8 910 1 112131 4200820 0 6除以9的商，那么很容易判斷商的個(gè)位數(shù)字為4?！敬鸢浮?【例13 證明abcde能被6整除，那么2(a b c d) e也能被6整除.【考點(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】6232 | abcde2 | e 6|3e 1. 3| abcde3 | a+b + c+ d + e6

16、 |2 (a+b+ c+ d +e) 6| 2 ( a +b+ c + d+e) -3e 6 | 2 ( a+b+c+ d)-e【例14 試說(shuō)明一個(gè)5位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是99的倍數(shù)(如：12 3 67為原序數(shù)，那么它對(duì)應(yīng)的反序數(shù)為76321,它們的差63954 99 646是99的倍數(shù).【題型】解答【考點(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】4星【解析】略 【答案】設(shè)原序數(shù)為 abcde ,則反序數(shù)為edcba，則a)abcde - edcba (10000a 1000b 100c 10d e) (10000e 1000d 100c 10b 9999a 990b 990d 9999e

17、99(101a 10b 10d 101e)因?yàn)榈仁降挠疫吥鼙?99整除，所以abcde edcba能被9 9整除【例15】1至9這9個(gè)數(shù)字，按圖所示的次序排成一個(gè)圓圈.請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開(kāi)，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)(例如，在 1和7之間剪開(kāi)，得到兩個(gè)數(shù)是193426857和758624391).如果 要求剪開(kāi)后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么剪開(kāi)處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是多少？【考點(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】4星 【題型】解答【解析】互為反序的兩個(gè)九位數(shù)的差，一定能被99整除.而396 99 4,所以我們只用考察它能否能被4整除.于是只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末

18、兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當(dāng)剪開(kāi)處兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同時(shí)才有可能.注意圖中的具體數(shù)字，有(3, 4)處、(8, 5)處的兩個(gè)數(shù)字奇偶性均不相同，所以一 定不滿足.而剩下的幾個(gè)位置奇偶性相同，有可能滿足.進(jìn)一步驗(yàn)證，有 (9, 3)處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字 之差為43 19 24 , (4,2), (2, 6), (6,8), (5, 7),( 7 ,1),(1,9)處剪開(kāi)的末兩 位數(shù)字 之差為 62 3 28 . 86 42 44,58 26 32, 85 17 68 , 91 57 34,71 39 32 .所以從(9, 3), (4,2), (2, 6),(6, 8) ,(5, 7),(1

19、,9)處剪開(kāi)，所得的兩個(gè)互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù).(9,3), (4,2), (2, 6), (6,8), (5, 7),(1, 9)處左右兩個(gè)數(shù)的乘積為 2 7,8, 12,48,3 5,9.【答案】27,8, 1 2 ,48, 35,9【例16】六位數(shù)20口口08能被99整除，是多少？【考點(diǎn)】整除之 3、9、99系列【難度】3星【題型】填空【解析】方法一：2 0 0 0 08被9 9除商2020余2 8,所以 皿00 28能被99整除，商72時(shí)，99 72 7128, 末兩位是28,所以為71;方法二：99 9 11 , 20.08能被9 9整除，所以各位數(shù)字之和為 9的倍數(shù)，

20、所以方框中數(shù)字的和只能為 8或17;又根據(jù)數(shù)被1 1整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為 6或5,可得是7 1 .方法三：根據(jù)一個(gè)數(shù)能被99整除的特點(diǎn)知道：20 m 8=28 是 99 倍數(shù)，所以 口口=99 28=71 【答案】71 【鞏固】六位口2004口能被9 9整除，這個(gè)六位數(shù)是 ?！究键c(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，決賽， 5年級(jí)，決賽，第3題，10分【解析】 令整個(gè)六位數(shù)為a2004b ,則a2 4b必然是99的倍數(shù)，所以a=5,b=7。則這個(gè)六位數(shù)為 520047。【答案】520047 【鞏固】六位數(shù)2003口口能被9 9整除，它的最后兩位數(shù)是

21、【考點(diǎn)】整除之3、9、9 9系列【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，復(fù)賽，第3題，4分 【解析】 試除法2 0 03 99 9= 2 0 2 423,所以最后兩位是9 9- 2 3=7 6?！敬鸢浮?6 【鞏固】已知九位數(shù)2007口12口2既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)；那么,這個(gè)九位數(shù)是多少?【考點(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，迎春杯，六年級(jí)，初賽，試題【解析】方法一：設(shè)原數(shù) 2007a12b2 ,9| 2007a12b220a2 2(071b) 0 或者(a b 4b a 9根據(jù)兩數(shù)和差同奇偶，得：a b 22007a12b22007

22、31212方法二：根據(jù)一個(gè)數(shù)能被9 9整除的特點(diǎn)知道若想 必能被9 9整除,列豎式分析得2 0 7回124或者 a b 13, , 11|2007a12b20 7 1 b) (2 2 a 0 2) 11 ab2 或者a 3a b 13或者b 1b a 9211不成立.所以,2007D12D2 能被 99 整除，則 2 0 匯| 12 口202才滿足，所以答案為200731212【答案】200731212【例17】將自然數(shù)1,2,3,4依次寫下去，若最終寫到 余幾？2000，成為123Hl19992000,那么這個(gè)自然數(shù)除以99【考點(diǎn)】整除之3、9、99系列【難度】3星【題型】解答【解析】由于9

23、9 9 11，可以分別求這個(gè)數(shù)除以 9和11的余數(shù)，進(jìn)而求出它除以9 9的余數(shù).實(shí)際上求得這個(gè) 數(shù)除以9和1 1的余數(shù)均為 3,所以這個(gè)數(shù)減去 3后是9和1 1的倍數(shù)，那么也是 99的倍數(shù)，所以 這個(gè)數(shù)除以99的余數(shù)為3 .卜面介紹另一種解法.由于100a 99a a ,所以100a除以99的余數(shù)等于a除以9 9的余數(shù).同樣，10000a , 1000000a等數(shù)除以9 9的余數(shù)等于a除以9 9的余數(shù).可知，一個(gè)自然數(shù) a,如果在它后面加上偶數(shù)個(gè)0，那么這個(gè)數(shù)除以99的余數(shù)等于a除以9 9的余數(shù).根據(jù)這一點(diǎn)，可以把123 “19992000分成若干個(gè)后面帶有 偶數(shù)個(gè)0的數(shù)之和.由于123 “1

24、9992000的位數(shù)是奇數(shù)，那么對(duì)于組成123 “19992000的一位數(shù)1 ,2,3,9,可以分成100300,230訓(xùn)00, 4500|00,6700)|00, 8900 “00 ;對(duì)于其中的兩位數(shù) 10,11,12, 9,8,99,可以分成 1000|00, 1100n00, 1200|00,，9800|00 , 99001|00;對(duì)于其中的三位數(shù)100,101,102,1 0 3,99 8, 9 99,兩兩一組，可以分成10010100“00 ,10210300“00,10410500“00,998999001|00;對(duì)于其中的四位數(shù) 1000 ,10 0 1,199 9 ,20 0

25、0,可以分成 1000001|00,100100|00, 1002001|00 ,，19990000,2000.那么上面分成的所有數(shù) 中，雖然每個(gè)數(shù)后面的0的個(gè)數(shù)互不相同，但都是偶數(shù)個(gè)，且它們的和恰好為123|19992000,那么123“ |19992000除以9 9的余數(shù)就等于分成的這些數(shù)除以99的余數(shù)的和.由于這些數(shù)除以99的余數(shù)分別為1,23,45, 67,89; 10, 11, 12,；98,99;1 0 0101 ,1 0 210 3 ,1 0 41 0 5,9 98999;1 00 0,10 0 1,，1999 ,2000 ,而其中100101 ,1 0 2103,1 0 410

26、 5,，998999 是公差為200 2的等差數(shù)列，共4 50項(xiàng)，可知所有這些余數(shù)的和為：123 45 67 891011 12|99100101102103 99899910001001 何 2022510 99 90 2100101998999 450210002000 10012225 4905 247297500 1501500248804130,而24880413 0除以9 9的余數(shù)等于 2 48 80 41 30 201除以9 9的余數(shù)，為3.所以123|19992000除以9 9的余數(shù)為3.【答案】3【例18】一個(gè)五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個(gè)五位數(shù)是 .【考點(diǎn)】整除之 3、9、9 9系列【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初賽，第6題【解析】因?yàn)? 00