1、CAL環(huán)境下高中三角學(xué)的創(chuàng)意思考與學(xué)習(xí)(Creative Thinking and Learning for High School Trignometry under CAL Environment) 陳福祥 國立交通大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系 (.tw) TEL: 03-5712121-Ext 56415 FAX: 03-5724679 利用現(xiàn)有的珊瑚系統(tǒng)的架構(gòu)，配合創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的理念，我們?yōu)楦咧腥钦n程設(shè)計(jì)了網(wǎng)路上的評量教材、與創(chuàng)意思考題目的數(shù)學(xué)鷹架系統(tǒng)。並擬定了一個(gè)以CAL為輔助學(xué)習(xí)環(huán)境的教學(xué)策略。學(xué)生利用網(wǎng)路上的評量教材建立結(jié)構(gòu)性的基本概念，再利用數(shù)學(xué)鷹架系統(tǒng)

2、，輔助三角數(shù)學(xué)中證明題的創(chuàng)意思考學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)鷹架系統(tǒng)主要目的是整合一個(gè)環(huán)境，替代計(jì)算草稿紙上構(gòu)思、嘗試錯誤及整理呈現(xiàn)等三大功能，還附加以CAS為背景的恆等式推導(dǎo)驗(yàn)證第四大功能。關(guān)鍵詞: CAL、創(chuàng)意思考學(xué)習(xí)、三角學(xué)、CASBearing the ideal of creative learning, we designed a courseware for trigonometry in senior high school on network which has accessing tests, a mathematical scaffolding system and a teaching

3、 strategy that is based on the computer aided learning environment. Through web based tests to help self access of understanding on basic concepts, then a scaffolding system helps to promote higher level of thinking of subtle relations among trigonometric identities. The system is designed for subst

4、ituting of pen-and paper drafting work in try and error processes of finding path of connections, and in organizing expressions. We fortified the mathematical proof writing support by a CAS system working in the background. 1 引言本論文是受臺大洪明洲教授2創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的理論與實(shí)踐(1997)一書之啟發(fā), 利用過去四年個(gè)人參與交通大學(xué)珊瑚系統(tǒng)遠(yuǎn)距教學(xué)國科會整合型計(jì)畫累積的許多

5、成果1，也希望藉此網(wǎng)路輔助系統(tǒng)應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)的教學(xué)上,能帶出創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)。於是我們選擇了高中三角的題材，因這部份內(nèi)容份量重，在應(yīng)用上是極度重要。又有許多恆等式，特別是因?yàn)槠渲绣e綜複雜的關(guān)係，學(xué)生難於精通，被公認(rèn)是有名的學(xué)習(xí)困難部份。我們選擇和園區(qū)實(shí)驗(yàn)高中的數(shù)學(xué)老師合作。目標(biāo)是: (1)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)引進(jìn)電腦輔助學(xué)習(xí)的環(huán)境。(2)用創(chuàng)意來幫助高中老師減少學(xué)生概念學(xué)習(xí)的困難度。(3)利用網(wǎng)路來增加學(xué)生與老師互動關(guān)係。(4)利用合作的學(xué)習(xí)，與實(shí)做的成品，激發(fā)團(tuán)體的創(chuàng)造建構(gòu)過程，培養(yǎng)主動解決問題，互助的精神。以及(5)最重要的建立一個(gè)數(shù)學(xué)解題的創(chuàng)意思考鷹架統(tǒng)。利用這樣的系統(tǒng)，來幫助學(xué)生的學(xué)習(xí)三角內(nèi)部複

6、雜的關(guān)係與應(yīng)用，同時(shí)也讓老師可以透過系統(tǒng)記錄，來檢視學(xué)生創(chuàng)意思考學(xué)習(xí)成效。2. 研究方法與做法 我們利用數(shù)學(xué)教材的緊密結(jié)構(gòu)，建立起概念結(jié)構(gòu)圖，掌握住教材大致先後左右的關(guān)係之後，設(shè)計(jì)教學(xué)策略與教程。 2-1教學(xué)策略：a.利用概念結(jié)構(gòu)圖來設(shè)計(jì)：(1)基本能力測驗(yàn)題；(2)建立創(chuàng)意思考題的鷹架支援架構(gòu)。b.利用網(wǎng)站來支援：(1)BBS建立問題討論園地；(2)檔案資源下載；(3)基本能力測驗(yàn)與創(chuàng)意思考題的個(gè)人電子資料檔；(4)各種學(xué)生成果的展示櫥窗；(5)老師創(chuàng)意教材的展示，來打穿傳統(tǒng)教學(xué)要配合正規(guī)課程進(jìn)度時(shí)間、空間的束縛，爭取一些自主實(shí)踐空間。c. 設(shè)計(jì)一個(gè)專題計(jì)畫:利用寒假時(shí)間，讓同學(xué)分組合作，主

7、動學(xué)習(xí)，收集資料，尋求解決方案，做中學(xué)，並完成書面報(bào)告和成品展示。內(nèi)容要與三角有關(guān)，雖然三角要到高一下學(xué)期才要學(xué)，但可以引發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)。d.收集學(xué)習(xí)記錄: 專題作品;各個(gè)學(xué)生電子資料；本計(jì)畫實(shí)驗(yàn)前後之各種成績評量記錄，並在學(xué)年末作學(xué)生問卷調(diào)查，好檢驗(yàn)動機(jī)，基本能力，創(chuàng)意思考，成就評量之間統(tǒng)計(jì)資料之相關(guān)性，作為檢討繼續(xù)研究之用。 2-2教程設(shè)計(jì)： a. 寒假前將專題計(jì)畫書與相關(guān)軟體GSP使用，相關(guān)三角知識，互通訊息的BBS網(wǎng)站備妥(設(shè)於.tw內(nèi))。好讓出國的，在各縣市居住的同學(xué)，老師之間開始合作的機(jī)會。實(shí)行在高一某一班上，全班共33人 (高一

8、共4個(gè)班級)。b.下學(xué)期開學(xué)前，要將珊瑚三角系統(tǒng)備妥(98)，好配合三角課程的師生使用。我們的系統(tǒng)平臺是微軟的NT，可以架在PC上，內(nèi)部三角網(wǎng)頁包含上述策略b中的第三項(xiàng)內(nèi)容。c.在正規(guī)教學(xué)三角後，作習(xí)題要配合以上述三角網(wǎng)頁的基本能力測驗(yàn)及創(chuàng)意思考題習(xí)作實(shí)施。d.學(xué)期末作問卷調(diào)查:統(tǒng)計(jì)方法我們參考林清山教授的教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)3一書內(nèi)，各種方法，並使用spass軟體作計(jì)算之用。3. 重要結(jié)果1. 網(wǎng)站及三角網(wǎng)頁教材分別在98(內(nèi)含基本能力測驗(yàn)及創(chuàng)意思考題習(xí)作,學(xué)生資料檔案)..tw/y

9、lyen/ (老顏的家中三角函數(shù)專區(qū), 內(nèi)含三角教材地位表,網(wǎng)頁教材, 專題作品欣賞-美麗的家)..tw (綜合測驗(yàn)中BBS的實(shí)驗(yàn)中學(xué)討論區(qū)). 2.基本能力測驗(yàn)：每一章每一節(jié)皆設(shè)立一個(gè)單元，作為精熟基本能力部份，每人做多少次，花了多少時(shí)間都有記錄。題目設(shè)計(jì)要花費(fèi)一番功夫，使得學(xué)習(xí)效果突顯出某一基本概念。學(xué)生可重覆練習(xí)直到答案全對為止.普遍都答得不錯。 3.專題作品一樣地形及製作規(guī)格的樣本。 要求每一組學(xué)生有書面作品,成品模型作品。 因 在寒假期間,BBS上的討論內(nèi)容，顯示出合作互助的關(guān)係。 統(tǒng)計(jì)顯示有576封以上的信件組成。4.創(chuàng)意思考

10、題鷹架系統(tǒng):圖4.1是顯明創(chuàng)意思考題是在基本能力建立之後的高層思維.它要能顯示寫作數(shù)學(xué)証明恆等式題目的過程及理由.式子能在寫入系統(tǒng)後被記錄,展現(xiàn).更保證能被系統(tǒng)展示出來的恆等式經(jīng)CAS驗(yàn)證過。圖4.2是表明數(shù)學(xué)證明題可由不同區(qū)塊(思想、概念)兜在一起，形成完整思想過程,有如計(jì)算草稿容許各種半成品並列雜陳。因而藉著區(qū)塊系統(tǒng)的並呈,將容易促成新的聯(lián)想路徑. 創(chuàng)意思考是指這樣的過程。 5.電子歷程檔案: 要記明所有做過對錯之答案檔，有時(shí)間記錄，次數(shù)及訂正答案記錄。 6.期末問卷作個(gè)人情境調(diào)查。 7.成績記錄正式學(xué)業(yè)成就記錄檔案(學(xué)校資料)也放在系統(tǒng)中,可以做研究評比之用。4. 討論與結(jié)論1. 珊瑚系

11、統(tǒng)概念及架構(gòu)可以透過網(wǎng)路實(shí)際上跨過Unix及NT server等硬體平臺自由使用。其數(shù)學(xué)珊瑚不但跨過三個(gè)網(wǎng)站生長，且在高中教學(xué)中，只要老師肯開懷學(xué)習(xí)，就會很快掌握住最新科技與最佳適合學(xué)生學(xué)習(xí)的方式，設(shè)計(jì)出遠(yuǎn)距合作學(xué)習(xí)的輔助教材,形成一個(gè)共榮生動豐富的生態(tài)環(huán)境。學(xué)生透過網(wǎng)路，大幅增加師生互動關(guān)係，且利用電子資料庫，長出各種花花綠綠的學(xué)習(xí)歷程檔案。2. 應(yīng)用三角建房子的合作專題，透過BBS上的討論區(qū)與期末個(gè)人情境調(diào)查，發(fā)覺學(xué)生反應(yīng)熱烈。不但學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角知識有用，還學(xué)會了GSP軟體及網(wǎng)路BBS討論使用的溝通整合技巧。學(xué)生特別推崇合作帶來的深厚友誼，學(xué)習(xí)成就帶出的真誠喜樂，及收集相關(guān)資料的主動學(xué)習(xí)，都

12、成為他們畢生難忘的經(jīng)驗(yàn)。很自然的在正式教學(xué)前就引發(fā)了三角的學(xué)習(xí)動機(jī)。3. 基本能力測驗(yàn)題目不在乎多或難，而在乎穩(wěn)固確實(shí)的精熟教育原則，是高深思考創(chuàng)意解題的基礎(chǔ)。 創(chuàng)意思考需要鷹架扶持。鷹架理論與應(yīng)用網(wǎng)路上執(zhí)行之間有很大的鴻溝，以個(gè)人的努力，非一年半載可以成功。 但至少我們的鷹架可以秀出每個(gè)人所有走過的思考路徑與理由。因此，這個(gè)做法就是要呈現(xiàn)學(xué)生演算過程,有如一份清楚整理過的數(shù)學(xué)草稿紙，個(gè)人可以重複編輯它。如此重新整理中，可能就有新的思索路徑跳出來,因此我們是要創(chuàng)造一個(gè)適於省思,保留創(chuàng)意作數(shù)學(xué)證明題的鷹架系統(tǒng)。如此成果就我所知國內(nèi)外都還沒有人做過。因?yàn)檫@系統(tǒng)要有數(shù)學(xué)符號編輯器,能動態(tài)輸入,呈現(xiàn),儲存.還要保證所有的恆等式，只要是顯示出來的都要被驗(yàn)證過無誤。系統(tǒng)找出錯誤時(shí)要能向作者示意重作。這可以節(jié)省人工,替代平時(shí)改作業(yè)或聯(lián)考中人工閱卷時(shí)，老師驗(yàn)算學(xué)生各種複雜計(jì)算式子時(shí)的累人工夫，而不虞被濛混過關(guān)。4. 重要政策上應(yīng)用: 利用現(xiàn)代科技幫助老師在重要的改卷子，看作業(yè)等工作上可以節(jié)省部分單調(diào)又耗費(fèi)精力的工作，就有機(jī)會專注在精緻思考能力訓(xùn)練與創(chuàng)造力啟發(fā)的教學(xué)研究工作上。 老師們更新思維，掌握新科技，配合教育理論來發(fā)展CAL教學(xué)輔助環(huán)境，是非?？隙?/p>