1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)、創(chuàng)作）題目：數(shù)字圖像修復(fù)算法及其實(shí)現(xiàn) 學(xué)生姓名： 周寶健學(xué)號(hào)：E10714060 院（系）： 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 專業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)入學(xué)時(shí)間：2007年 9月導(dǎo)師姓名： 汪繼文 職稱/學(xué)位：教授導(dǎo)師所在單位：安徽大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 完成時(shí)間： 2011 年 5月數(shù)字圖像修復(fù)算法及其實(shí)現(xiàn)摘 要數(shù)字圖像修復(fù)算法是研究一幅受損圖像，利用其周圍的有用信息，按照一定的規(guī)則進(jìn)行填充，使修復(fù)后的圖像可以接近或達(dá)到人們所要求的視覺效果。首先，此算法所要解決的問題是一個(gè)病態(tài)問題，即此問題并沒有唯一的正確解法，我們只能根據(jù)幸存的已知數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)受損區(qū)域的原來(lái)數(shù)據(jù)內(nèi)容，其中修復(fù)算法的數(shù)學(xué)建

2、模是相當(dāng)重要的。本論文從目前的經(jīng)典算法中選擇其中的部分修復(fù)算法進(jìn)行分析討論和其它修復(fù)算法的簡(jiǎn)單介紹，著重分析基于偏微分方程PDE（Partial Differential Equation，PDE）的數(shù)字圖像修復(fù)問題。例如這些經(jīng)典的方法有：BSCB（Bertalmio,Sapiro,Caselles,Ballester四位圖像專家的首字母的縮寫）三階PDE模擬平滑傳輸過程、TV（Total Variation）整體變分修復(fù)模型等。首先，論文一開始從圖像的去噪方法入手，先介紹一種基于偏導(dǎo)數(shù)的圖像濾波算法，讓我們對(duì)圖像的修復(fù)處理的基本方法有一個(gè)簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)；其次，著重介紹基于PDE的一些經(jīng)典算法；再

3、次，簡(jiǎn)單的介紹基于樣本塊的修復(fù)算法；最后，詳細(xì)介紹算法的matlab實(shí)現(xiàn)方法。關(guān)鍵詞：圖像修復(fù)；偏微分方程；樣本塊；TV；BSCBDigital Image InpaintingAbstractDigital imageinpaintingalgorithm isthe algorithmofadamagedimage.The algorithm usesthe surroundinguseful informationto fillin accordance withcertain rules, so that the imagecan berestoredtothe peopleclose

4、 to orrequiredvisual effects.At the first, thealgorithmto solvetheproblem is apathologicalproblem, that is to say,this problemhas notthe onlycorrectsolution, we can only use the survive informationin thedamaged areaof knowndata to predictthe contents ofthe originaldata, the mathematical modeling ofi

5、npaintingalgorithmIs veryimportant.This paper, some classicalalgorithmsfrom the currentselectedone part ofthe algorithmdiscussed.There are otheralgorithms will be a brief,and the paper will be focusing on analysis based onpartial differential equations(PDE)of thedigital imageinpainting problem.For e

6、xample, these classical methods are: BSCB (Bertalmio, Sapiro, Caselles, Ballester four image experts acronym) third-order PDE simulation of smoothing during transmission, TV (Total Variation) inpainting model of total variation.First, the paper started from the image denoising method, introduced par

7、tial derivative based image filtering algorithms, allowing readers to the basic image processing method of repairing a simple understanding.Secondly, the highlighting some of the classicPDE-based algorithms.Again,a briefrestorationalgorithmbased on a sampleblock. Finally, thedetails ofthe algorithmm

8、atlabimplementation.Keywords: Image Inpainting；Partial Differential Equations ；SampleBlock；TV；BSCB目錄1 緒論11.1 數(shù)字圖像修復(fù)算法的研究現(xiàn)狀2數(shù)字圖像修復(fù)問題的定義2目前的圖像修復(fù)算法21.2 數(shù)字圖像修復(fù)算法的應(yīng)用前景31.3 論文具體安排42圖像處理的相關(guān)知識(shí)52.1 圖像在計(jì)算機(jī)中的表示52.2 圖像的偏導(dǎo)數(shù)和梯度52.3 偏微分方程-PDE72.3.1 偏微分方程的基本概念72.3.2 PDE的三個(gè)典型的方程7圖像處理的常用公式82.4.1 卷積定理8差分和變分82.5 圖像的濾波和

9、去噪102.6 圖像的膨脹和腐蝕102.7 圖像修復(fù)的評(píng)價(jià)方法103 一種基于偏導(dǎo)數(shù)的濾波算法123.1 線性濾波及其特點(diǎn)123.2 基于偏導(dǎo)數(shù)的濾波算法123.3 具體實(shí)現(xiàn)步驟133.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析144 基于PDE的修復(fù)模型184.1 BSCB修復(fù)模型184.1.1 BSCB模型的修復(fù)原理184.1.2 BSCB的數(shù)學(xué)模型184.1.3 數(shù)值實(shí)現(xiàn)和結(jié)果分析204.2 TV模型224.2.1 TV模型的修復(fù)原理224.2.2 TV算法的數(shù)學(xué)模型234.2.3 數(shù)值實(shí)現(xiàn)和結(jié)果分析255 算法的MATLAB實(shí)現(xiàn)295.1 MATLAB簡(jiǎn)介295.2 利用MATLAB的GUI創(chuàng)建程序界面295

10、.3 程序的界面設(shè)置和句柄的結(jié)構(gòu)305.4 程序的具體實(shí)現(xiàn)315.4.1 程序的全局變量315.4.2 圖像處理的文件和函數(shù)32圖像處理的相關(guān)系統(tǒng)函數(shù)335.4.4 BSCB的算法流程圖346 結(jié)束語(yǔ)35主要參考文獻(xiàn)36致謝371 緒論隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)也有了很大的發(fā)展。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)包括很多內(nèi)容，例如，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造、計(jì)算機(jī)輔助繪圖、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)、辦公自動(dòng)化和電子出版技術(shù)、計(jì)算機(jī)藝術(shù)、在工業(yè)控制及交通運(yùn)輸方面的應(yīng)用、醫(yī)療衛(wèi)生方面的應(yīng)用、圖形用戶界面這些都是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)所涉及的內(nèi)容?！?】數(shù)字圖像處理技術(shù)作為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要內(nèi)容，更是引起人們的重視。而數(shù)字圖像修復(fù)問題則

11、是數(shù)字圖像處理技術(shù)需要解決的一個(gè)重要問題。一般情況下，在現(xiàn)成的人們能觀察到的圖像中有很多因素會(huì)導(dǎo)致圖像上局部信息的缺失，其中主要有以下幾個(gè)方面：（1） 對(duì)原本就有劃痕或有破損的圖片掃描數(shù)字化后得到的圖像，如圖1-1。（2） 為了某種特殊的目的而移走數(shù)字圖像上的目標(biāo)物或文字信息后留下的信息空白區(qū)，如圖1-2。（3） 在數(shù)字圖像的獲取、處理、壓縮、傳輸和解壓縮過程中，因信息的丟失所留下的信息缺失區(qū)域。（4） 圖像的傳送和轉(zhuǎn)換，如成像、復(fù)制、掃描、傳輸、顯示等，會(huì)因?yàn)閳D像產(chǎn)生噪聲或圖像模糊、失真而使圖像受損（這也可以歸結(jié)為圖像的復(fù)原問題）。以上這些因素破壞了圖像的信息完整性，故我們的目標(biāo)是找出一種比

12、較好的快速修復(fù)算法對(duì)這些受損的圖像進(jìn)行填充修復(fù)。圖1-1 原圖像受損的數(shù)字化圖像 圖 1-2 原有圖像存在文字受損其實(shí)，圖像修復(fù)是一項(xiàng)古老的藝術(shù)。歐洲文藝復(fù)興時(shí)期，為了修復(fù)美術(shù)作品中丟失的或被損壞的部分，保持作品的整體效果，人們對(duì)這些受損的作品進(jìn)行修復(fù)，主要是填補(bǔ)一些裂痕。隨著計(jì)算機(jī)的普及和圖像的數(shù)字化的普遍存在，人們可以把現(xiàn)實(shí)生活中的圖像掃描到計(jì)算機(jī)中去，形成數(shù)字圖像，然后通過計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行修復(fù)。這給圖像的修補(bǔ)帶來(lái)了極大的好處，例如出現(xiàn)錯(cuò)誤我們可以在不損壞原作品的情況下進(jìn)行重新創(chuàng)作。同時(shí)，此技術(shù)將涉及到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與人的生理學(xué)和心理學(xué)等諸多方面，這也給修復(fù)問題帶來(lái)了一定的困難?？傊F(xiàn)

13、在圖像修復(fù)技術(shù)已成為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。數(shù)字圖像修復(fù)算法的研究現(xiàn)狀1.1.1 數(shù)字圖像修復(fù)問題的定義事實(shí)上，數(shù)字圖像修復(fù)是數(shù)字圖像處理技術(shù)的一個(gè)技術(shù)分支，對(duì)于數(shù)字圖像修復(fù)問題的定義一般采用以下定義：數(shù)字圖像修復(fù)是對(duì)數(shù)字圖像上的信息缺損區(qū)域進(jìn)行填充的過程，其目的是恢復(fù)有信息缺損的數(shù)字圖像，并使觀察者無(wú)法察覺數(shù)字圖像曾經(jīng)缺損或已被修復(fù)?；蛘咄ㄋ椎闹v，針對(duì)數(shù)字圖像中的遺失部分或者是損壞的部分，利用周圍的有用信息，按一定的規(guī)則填充，使修復(fù)后的圖像接近或達(dá)到原圖的視覺效果?！?】以后沒有特別的說(shuō)明，“圖像修復(fù)”是指“數(shù)字圖像修復(fù)”“，圖像”是指“數(shù)字圖像”。1.1.2 目前的圖

14、像修復(fù)算法對(duì)于一般意義上的受損圖像可以有復(fù)原和修復(fù)的區(qū)別。對(duì)于圖像的復(fù)原問題的定義是：在圖像的成像、復(fù)制、掃描、傳輸、顯示等過程中，不可避免的造成圖像的降質(zhì)，例如圖像模糊、噪聲干擾等，對(duì)這樣的圖像進(jìn)行恢復(fù)的過程可以稱之為圖像的復(fù)原。【7】圖像的復(fù)原問題主要是通過濾波實(shí)現(xiàn)的。圖像復(fù)原的有關(guān)算法是和修復(fù)的算法大部分相同，例如基于偏微分方程的修復(fù)算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、小波分析技術(shù)等?！?】圖像的修復(fù)問題，是本論文的主要討論范圍。目前的圖像修復(fù)算法中，根據(jù)受損的程度和受損區(qū)域的大小，可以分成兩大類型：【9】第一類，對(duì)于一些小尺度的圖像受損，如劃痕等。對(duì)于這類的修復(fù)問題可以采用以下兩種方法：一種，是基于偏

15、微分方程（PDE）的修復(fù)方法，該類方法主要思想是利用物理學(xué)中的擴(kuò)散方程將待修復(fù)區(qū)域周圍的信息傳播到修復(fù)區(qū)域中去，達(dá)到修復(fù)的目的。典型的方法包括BSCB（Bertalmion,Sapiro,Caselles,Ballester四人用三階PDE模擬平滑傳輸過程）、CDD（curvature driven diffusions在TV基礎(chǔ)上的變種）；另一種，是基于變分原理的修復(fù)方法，主要是建立圖像的先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛿?shù)據(jù)模型，將修復(fù)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)泛函求極值的變分問題。其中的算法就包括TV模型、Eulers elastica模型、Munford-Shah模型、Munford-Shah-Euler模型等。最常用的

16、就是全變分TV模型，因?yàn)門V模型有其完備的數(shù)學(xué)模型及其數(shù)值實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，成為一種最常見的算法。但是對(duì)于大塊的修復(fù)區(qū)域效果較差，而且迭代次數(shù)多、運(yùn)算量很大。第二類，對(duì)于一些大尺度的圖像的受損。目前有兩種算法，一種方法是基于圖像分解的修復(fù)技術(shù)，其主要思想是將圖像分解成結(jié)構(gòu)部分和紋理部分。結(jié)構(gòu)部分用小尺度的修復(fù)算法實(shí)現(xiàn)，紋理部分利用紋理合成方法填充，然后再把兩者結(jié)果進(jìn)行疊加就得到修復(fù)結(jié)果。另一種是基于樣本塊的紋理合成修復(fù)算法，它是從待修復(fù)區(qū)域選取大小合適的樣本塊，然后在待修復(fù)區(qū)域的周圍尋找與之最相近的紋理匹配塊來(lái)替代該紋理塊。這些修復(fù)算法關(guān)系可以利用圖1-3來(lái)表示。圖1-3 修復(fù)算法的整體框圖數(shù)字圖像修

17、復(fù)算法的應(yīng)用前景數(shù)字圖像技術(shù)的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只是網(wǎng)上的一些圖片和一些數(shù)字圖書館等，隨著計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展，越來(lái)越多的領(lǐng)域期望對(duì)圖像有一定的修改和加工，并達(dá)到人類視覺察覺不到的效果，正因?yàn)槿绱藞D像修復(fù)技術(shù)才能成為當(dāng)今計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺的一個(gè)研究熱點(diǎn)，它在文物保護(hù)、模式識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、甚至在天文學(xué)、遙感成像、醫(yī)療圖像、虛擬實(shí)現(xiàn)等領(lǐng)域中都有一定的應(yīng)用。早在20世紀(jì)50年代開始的空間探索中，人們希望有一種技術(shù)能夠彌補(bǔ)由于圖像獲取系統(tǒng)不完善等造成的圖像降質(zhì)和信息的缺失。例如1964年美國(guó)的“水手”4號(hào)飛船探索火星計(jì)劃耗資近1000萬(wàn)美元，其結(jié)果是得到22幅圖像，任何因素造成圖像受損都會(huì)降低圖像的科學(xué)

18、價(jià)值?！?】例如在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，圖像修復(fù)技術(shù)廣泛應(yīng)用于X光、CT等成像系統(tǒng)，用來(lái)抑制和修復(fù)各種醫(yī)學(xué)成像系統(tǒng)或圖像獲取系統(tǒng)的噪聲，改善醫(yī)學(xué)圖像的分辨率等等。又例如，1978年美國(guó)政府重新調(diào)查肯尼總統(tǒng)被刺事件時(shí)，也利用到了現(xiàn)場(chǎng)照片的修復(fù)技術(shù)進(jìn)行處理，并作為調(diào)查案件的輔助證據(jù)。以上的例子只是圖像修復(fù)的部分應(yīng)用，相信隨著計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展，圖像修復(fù)技術(shù)會(huì)得到更多的應(yīng)用。1.3 論文具體安排 本論文一共分成六個(gè)章節(jié)，第一章是緒論部分介紹圖像修復(fù)的算法概況；第二章是圖像處理的相關(guān)知識(shí)，介紹圖像在計(jì)算機(jī)中的表示，及其修復(fù)算法要用到的相關(guān)公式和術(shù)語(yǔ)等；第三章通過基于偏導(dǎo)數(shù)的濾波算法引出其它的修復(fù)算法，目的是了解圖

19、像恢復(fù)和修復(fù)的區(qū)別，以及修復(fù)的基本方法。我們也可以通過這個(gè)例子來(lái)說(shuō)明對(duì)于一幅圖像怎么用matlab來(lái)處理它；第四章是論文的重點(diǎn)，介紹基于PDE的修復(fù)模型；第五章是介紹算法的MATLAB實(shí)現(xiàn)；第六章是結(jié)束語(yǔ)。2 圖像處理的相關(guān)知識(shí)2.1圖像在計(jì)算機(jī)中的表示現(xiàn)實(shí)中的圖像通過采樣和量化后，就會(huì)形成數(shù)字圖像。對(duì)于一幅計(jì)算機(jī)中的圖像是以數(shù)字化的方式存儲(chǔ)與工作的，計(jì)算機(jī)把圖像看成M的矩陣，每個(gè)矩陣元素就對(duì)應(yīng)一個(gè)像素，故它們?cè)谟?jì)算機(jī)中的數(shù)學(xué)表示就是一個(gè)二維矩陣，例如公式2.1所示，公式中的是圖像中的一個(gè)像素點(diǎn)，如果是灰度級(jí)圖像則一個(gè)整數(shù)，如果是真彩色RGB圖像，這表示的是一個(gè)含有三個(gè)元素的向量。這三個(gè)分量值

20、分別是紅色、綠色、藍(lán)色的顏色值。根據(jù)不同的應(yīng)用可以把RGB值轉(zhuǎn)化成整數(shù)、小數(shù)等。具體的說(shuō)，對(duì)于一幅二維灰度級(jí)圖像來(lái)說(shuō)，圖像在計(jì)算機(jī)中是一個(gè)二維整數(shù)（對(duì)于8位的而言，范圍是0-255，可能還有16位的）矩陣，對(duì)于RGB的三維真彩色圖像可以看成是三張二維整數(shù)表的合成，分別是R表、G表、B表。計(jì)算機(jī)中如果把灰度圖像定義成，那么就有：（2.1）式，顯然有，以上兩個(gè)矩陣是恒等矩陣。其中當(dāng)進(jìn)行理論分析時(shí)可以把看成是一個(gè)連續(xù)的二元函數(shù)，而在數(shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí)就可以看成是連續(xù)變量函數(shù)的離散化。在一般的理論分析中，都把圖像看成一個(gè)二維閉合區(qū)域，對(duì)于這樣的圖像給出以下的數(shù)學(xué)定義：設(shè)是維數(shù)為2的閉合區(qū)域，用表示圖像定義域。

21、因此，二維灰度圖像的定義如下：（2.2）當(dāng)u為二維灰度圖像時(shí)，。對(duì)于上式，只能表示灰度級(jí)圖像（即每個(gè)像素點(diǎn)只有一個(gè)值）。通常為了方便起見。常常在表達(dá)式中省略變量 ，也就是說(shuō)用u代替u(x)。同時(shí)，為了建模的方便還是假設(shè)可以取連續(xù)空間R中的值。2.2 圖像的偏導(dǎo)數(shù)和梯度對(duì)于上式中給出的圖像的定義可以給出相應(yīng)的圖像的偏導(dǎo)數(shù)定義：（2.3）二維灰度圖像對(duì)變量x，y的導(dǎo)數(shù)稱之為圖像的梯度，用來(lái)表示：（2.4）圖像的梯度常用于對(duì)于圖像的邊緣的分析，因?yàn)閳D像的邊緣輪廓是圖像梯度值相對(duì)較大的地方。而對(duì)于圖像梯度的模也常用于圖像的分析，例如圖像的BSCB修復(fù)模型中，使用梯度的絕對(duì)值來(lái)確定修復(fù)的等照度線的方向。

22、它可以給出圖像的變分的度量和基于像素點(diǎn)的測(cè)度方法?？梢园讯x為：（2.5）在應(yīng)用時(shí)可能加上一個(gè)小增量以免使作為分母時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤。在方向上的方向?qū)?shù)定義為：（2.6）對(duì)于二維灰度圖像而言：（2.7）同樣道理，圖像的二階導(dǎo)數(shù)可以表示為：（2.8）拉普拉斯算子是最簡(jiǎn)單的各向同性微分算子，具有旋轉(zhuǎn)不變性。一個(gè)二維圖像函數(shù)的拉普拉斯變換是各向同性的二階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)拉普拉斯算子在計(jì)算上用離散的計(jì)算公式也有基于模板的計(jì)算公式，具體見第五章的matlab實(shí)現(xiàn)。拉普拉斯算子的定義為：（2.9）在方向上的二階導(dǎo)數(shù)的定義為：（2.10）對(duì)于而為灰度圖像而言：（2.11）方向v上的二階導(dǎo)數(shù)在TV模型的泛函秋季至?xí)r候要用到

23、。2.3 偏微分方程-PDE2.3.1 偏微分方程的基本概念偏微分方程早期是用于描述機(jī)械物體和流體的自然運(yùn)動(dòng)以及物理學(xué)定律。后來(lái)人們普遍研究偏微分方程，由于實(shí)踐的需要和一些數(shù)學(xué)學(xué)科（如泛函分析，計(jì)算技術(shù)）的發(fā)展，促進(jìn)了偏微分方程理論的發(fā)展，使它形成一門內(nèi)容十分豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科。偏微分方程的特點(diǎn)是變量及其導(dǎo)數(shù)同時(shí)出現(xiàn)在方程式中。簡(jiǎn)單的說(shuō)如果一個(gè)微分方程中待求解的未知函數(shù)只有一個(gè)是自變量，那么這個(gè)方程是常微分方程；如果未知函數(shù)含有多個(gè)變量，方程中出現(xiàn)多元函數(shù)對(duì)于不同自變量的各階偏導(dǎo)數(shù)，那么這樣的微分方程就是偏微分方程。以下給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義：方程，就稱為偏微分方程組。出現(xiàn)在方程或方程組中的最高階偏導(dǎo)

24、數(shù)的階數(shù)稱為方程或方程組的階數(shù)。對(duì)于未知函數(shù)和它的各階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的方程稱為線性偏微分方程。如：就是線性偏微分方程。在線性方程中，不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)，如上式的。若自由項(xiàng)不為零，稱方程為非齊次的，若自由項(xiàng)為零，則稱方程為齊次的。2PDE的三個(gè)典型的方程1. 波動(dòng)方程（）式中為已知函數(shù)。許多物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用波動(dòng)方程來(lái)描述.如弦振動(dòng)可用一維波動(dòng)方程描述；膜的振動(dòng)可用二維波動(dòng)方程描述；聲波和電磁波的振蕩可用三維波動(dòng)方程描述。2.熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程的一般形式為（）式中為連續(xù)有界函數(shù)。熱傳導(dǎo)方程是描述熱的傳導(dǎo)過程，分子的擴(kuò)散過程等物理規(guī)律的。3.拉普拉斯方程研究重力場(chǎng)、靜力場(chǎng)、磁場(chǎng)

25、以及一些物理現(xiàn)象（如振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散）的平衡或穩(wěn)定過程，通常得到橢圓型方程，最典型的方程為拉普拉斯方程 （）的極坐標(biāo)形式為 （）u=0的球坐標(biāo)形式為（）2.4圖像處理的常用公式2.4.1 卷積定理卷積定理是線性系統(tǒng)中最重要的一條定理。它構(gòu)成了空域和頻域之間的基本關(guān)系。兩個(gè)二維連續(xù)函數(shù)和的卷積被定義成： （）卷積的運(yùn)算性質(zhì)：1） 交換律 分配律 結(jié)合律2）若,則 （）卷積定理可以表述為：兩個(gè)二維連續(xù)函數(shù)在空域中的卷積可以通過求該兩個(gè)函數(shù)的Fourier變換的乘積的反變換得到。反之，頻域中的卷積可用空域中的乘積的Fourier變換而獲得。2.4.2 差分和變分用偏微分方程處理圖像問題，很難得到解

26、析解，一般都是求其數(shù)值逼近（或近似）解。常用的PDE數(shù)值解法很多，例如：有限差分法、有限單元法、邊界元法等。但是在圖像偏微分方程中，用的最多的是有限差分法?！?1】下面介紹差分法。對(duì)于一元函數(shù)f(x),我們把它的增量與自變量增量的比值稱之為一介差商。一介差商的極限為函數(shù)的微商，如： （）常用的一介差商有三種類型：（1） 向前差商：（）（2） 向后差商：（）（3） 中心差商：（）當(dāng)固定時(shí)還可以求其高階差商?！?1】對(duì)于一幅圖像來(lái)說(shuō)，如圖2-1在平面上的一以為邊界的有界區(qū)域上考慮定解問題。為了用差分法求解，分別作平行于x軸和y軸的直線族。圖 2-1 圖像的差分運(yùn)算作成一個(gè)正方形網(wǎng)格，這里h為事先指

27、定的正數(shù)，稱為步長(zhǎng)；網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)記為取一些與邊界S接近的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，用它們連成折線Sh，Sh所圍成的區(qū)域記作。稱內(nèi)的節(jié)點(diǎn)為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，位于Sh上的節(jié)點(diǎn)稱為邊界節(jié)點(diǎn)（圖2-1）。下面都在網(wǎng)格上考慮問題：尋求各個(gè)節(jié)點(diǎn)上解的近似值。在邊界節(jié)點(diǎn)上取與它最接近的邊界點(diǎn)上的邊值作為解的近似值，而在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上，用以下的差商代替偏導(dǎo)數(shù)：向后差商：（） （）二階差商： （） （） （）對(duì)于變分的概念首先應(yīng)該理解一下什么是泛函數(shù)和能量泛函的極值。其實(shí)圖像的修復(fù)問題就是根據(jù)圖像的先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛿?shù)據(jù)模型，建立能量泛函，其修復(fù)后的圖像就是該能量泛函的極值。而變分法研究的是泛函的極大值和極小值問題，因此圖像的修復(fù)問題可以看

28、成一個(gè)變分問題。變分法與用微分法研究函數(shù)極大值和極小值的方法有許多相同之處。下面給出基本概念和基本定理。泛函的定義：設(shè)y(x)為已知的某一類函數(shù)。如果對(duì)于這一類函數(shù)中的每個(gè)函數(shù)y(x)，變量v都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，那么變量v稱為這類函數(shù)y(x)的泛函，記為v=vy(x)。泛函數(shù)的宗量y(x)的微小增量稱為變分，記為。 是指y(x)跟它相近的之差，其中，y(x)就是某一函數(shù)類中的變量，顯然，是x的函數(shù)。對(duì)應(yīng)于函數(shù)f(x)的微分的定義可以給出泛函的變分定義。 （2.28）在泛函的極值曲線上，它的變分。探求泛函極值過程可以歸結(jié)為求解微分方程的問題，這就為變分的問題提供了解題的途徑。例如我們可以求解歐拉

29、-拉格朗日方程=0。2.5 圖像的濾波和去噪一幅灰度圖像，其平面亮度分布假定為某一正常值 ，那么對(duì)其接收起干擾作用的亮度分布 即可稱為圖像噪聲。噪聲是圖像質(zhì)量下降的一個(gè)重要因素，因此圖像的濾波和圖像的去噪在圖像處理技術(shù)中是很重要的。2.6 圖像的膨脹和腐蝕對(duì)于一幅圖像而言，可以對(duì)它進(jìn)行形態(tài)學(xué)的處理。【2】膨脹和腐蝕這兩種操作是形態(tài)學(xué)處理的基礎(chǔ)，許多形態(tài)學(xué)算法都是以這兩種運(yùn)算為基礎(chǔ)的。簡(jiǎn)單膨脹的是將于某物接觸的所有背景點(diǎn)合并到該物體中的過程。過程的結(jié)果是使物體的面積增大了相應(yīng)數(shù)量的點(diǎn)，如果物體是圓的，則它的直徑在每次膨脹后增大2個(gè)像素。如果兩個(gè)物體在某一點(diǎn)相隔少于三個(gè)像素，它們將在該點(diǎn)連通起來(lái)（

30、合并成一個(gè)物體）。膨脹在填補(bǔ)分割后物體中的空洞時(shí)很有用。膨脹的一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用是將裂縫橋接起來(lái)。簡(jiǎn)單的腐蝕是消除物體所有邊界點(diǎn)的一種過程，其結(jié)果是使剩下的物體沿其周邊比原物體小一個(gè)像素的面積。腐蝕的一個(gè)簡(jiǎn)單是從二值圖像中消除不相關(guān)的小的細(xì)節(jié)（根據(jù)尺寸）。【2】2.7圖像修復(fù)的評(píng)價(jià)方法人為的評(píng)價(jià)：主觀上的感覺，即主觀評(píng)價(jià)法。評(píng)價(jià)結(jié)果用一定量的觀察者的平均分得出，其平均分為： （）為圖像屬于i類的分?jǐn)?shù)；為判斷該圖像屬于i類的觀察者人數(shù)。客觀的評(píng)價(jià)方法：1. 均方差測(cè)度（MSE） （）式子中：和分別是原始圖像和復(fù)原圖像，也可以從均方差測(cè)度得到相對(duì)均方差NMSE的定義，見3.4的相關(guān)內(nèi)容。2. 信噪比測(cè)

31、度（SNR） （）3. 峰值信噪比測(cè)度：（PSNR） （）4. 信噪比改進(jìn)量測(cè)度：（ISNR）（）式子中為降質(zhì)圖像?！?】3一種基于偏導(dǎo)數(shù)的濾波算法3.1 線性濾波及其特點(diǎn)對(duì)于圖像復(fù)原中的圖像去噪問題，是通過一定的算法把降質(zhì)了的圖像恢復(fù)成原有或者接近原有圖像的一種問題。圖像的濾波一直是圖像處理中最基本、最重要的問題之一。【6】濾波的主要目的是從含有噪聲圖像中估計(jì)原始數(shù)據(jù)圖像。去噪的方法很多，例如，對(duì)于混有噪聲的圖像可以采用簡(jiǎn)單的線性濾波方法進(jìn)行處理。所謂的線性濾波其輸出包含在濾波掩膜鄰域內(nèi)像素的簡(jiǎn)單平均值。因此，這些濾波器也稱為均值濾波，它們都是低通濾波。均值濾波的處理非常直觀，它用濾波掩膜確

32、定的鄰域內(nèi)像素的平均值去代替圖像每個(gè)像素點(diǎn)的值，這種處理減小了圖像灰度的“尖銳”變化。均值濾波優(yōu)點(diǎn)是：此方法具有分析簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，但是它會(huì)使圖像的邊界變的模糊。然而傳統(tǒng)的空域?yàn)V波去噪的效果依賴于濾波窗口的大小以及中值計(jì)算像素點(diǎn)數(shù)目。不同大小的濾波窗口對(duì)輸出圖像的質(zhì)量有很大的影響。傳統(tǒng)的空域?yàn)V波算法中，噪聲的去除是以圖像的分辨率降低為代價(jià)的。中值濾波是一種非線性濾波的方法。由于這種方法運(yùn)算簡(jiǎn)單，特別是在平滑噪聲的同時(shí)能使信號(hào)的邊緣得到有效的保護(hù)?！?】3.2 基于偏導(dǎo)數(shù)的濾波算法對(duì)于線性濾波容易使圖像的邊緣信息丟失的問題，基于偏導(dǎo)數(shù)的濾波算法用于濾除椒鹽噪聲時(shí)，在速度和性能方面都達(dá)到了較

33、好的效果。其首先根據(jù)是否為極值點(diǎn)將圖像的像素分成兩類，一類是極值點(diǎn)，則認(rèn)為該點(diǎn)即為噪聲點(diǎn)，另一類是非極值點(diǎn)。對(duì)于極值點(diǎn)，根據(jù)空間的相關(guān)性將噪聲點(diǎn)由該點(diǎn)的領(lǐng)域值所取代。能保留較多的細(xì)節(jié)信息，沒有造成圖像的模糊。圖像中相鄰點(diǎn)的差別可以看成變化率，即圖像的偏導(dǎo)數(shù)。根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)性和一介泰勒公式對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行近似計(jì)算：【6】 （3.1）可以根據(jù)這個(gè)公式判斷相鄰的兩點(diǎn)的相關(guān)性。如果對(duì)于微分算子dx=1故對(duì)于濾波窗口Wvi,j的中心點(diǎn)vi,j,如表3-1所示。計(jì)算其各個(gè)點(diǎn)的方向?qū)?shù)，然后根據(jù)方向?qū)?shù)值來(lái)判斷，具體可以分四種情況：1.偏導(dǎo)數(shù)有正有負(fù)，說(shuō)明此鄰域里有比中心點(diǎn)大的，有比中心點(diǎn)小的，根據(jù)空間的

34、相關(guān)性，此時(shí)中心點(diǎn)vi,j不是噪聲點(diǎn)。2.偏導(dǎo)數(shù)只有正，vI,j中心點(diǎn)是最小值，故點(diǎn)與其鄰域值相差較大，需要修復(fù)。3.偏導(dǎo)數(shù)只有負(fù)：vi,j中心點(diǎn)是最大值，故點(diǎn)與其鄰域值相差較大，需要修復(fù)。4.都為零點(diǎn)：此時(shí)區(qū)域的像素點(diǎn)都是唯一值無(wú)需修復(fù)。表 3-1 3的濾波窗口Wvi,jVi-1,j-1Vi-1,jVi-1,j+1Vi,j-1Vi,jVi,j+1Vi+1,j-1Vi+1,jVi+1,j+1根據(jù)以上的算法原理，得出關(guān)于其中鄰域偏導(dǎo)數(shù)的求解公式：表示對(duì)函數(shù)f求x的左像素點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，表示對(duì)函數(shù)f求x關(guān)于右上方向像素點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，其它的可以以此類推。判斷這八個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，根據(jù)上面的四種情況對(duì)中心像素

35、點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的處理。具體可以得到以下的修正的方法：偏導(dǎo)數(shù)都小于0，則是極小值，用除去該點(diǎn)以及和該點(diǎn)相同的值之外的極小值進(jìn)行修正。同理，是極大值的情況下，用除去該點(diǎn)以及和該點(diǎn)相同的值之外的極大值進(jìn)行修正。3.3 具體實(shí)現(xiàn)步驟1. 讀入噪聲圖像。2. 用的像素窗口，對(duì)噪聲圖像進(jìn)行掃描，記該窗口矩陣為temp_plate3. 對(duì)窗口中心點(diǎn)vi,jones(3,3),得到一個(gè)所有元素都為vi,j的33矩陣，用該矩陣-temp_plate,得到一個(gè)新的矩陣，即為w(3,3),這也是符合公式（1）的，因?yàn)榇藭r(shí)是dx=1，故的取值就是兩個(gè)矩陣的差值。4. 對(duì)w矩陣進(jìn)行判斷，如果wi,j中除了w2,2為0外其它

36、的都為正數(shù)，說(shuō)明是最大像素點(diǎn)，周圍的次大像素點(diǎn)取代之。其它情況可以根據(jù)算法得出相應(yīng)的結(jié)論。3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析利用MATLAB 7.1實(shí)現(xiàn)，分別對(duì)圖像加上5%、10%、20%的椒鹽噪聲的圖像，進(jìn)而可以對(duì)此算法和中值濾波進(jìn)行比較之，如圖3-16所示。再通過相對(duì)均方差NMSE比較，相對(duì)均方誤差的定義為： (3.6)其中，x(i,j)是原始圖像的像素點(diǎn) y(i,j)是濾波輸出圖像。對(duì)于兩種濾波算法的運(yùn)行時(shí)間及相對(duì)誤差的比較后得出兩者的NMSE相差。圖 3-1 分別加了5%、10%、20%的椒鹽噪聲真彩色圖像圖 3-2 對(duì)應(yīng)中值濾波后的處理效果圖 3-3 對(duì)應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)濾波后的處理效果對(duì)應(yīng)的結(jié)果分析，對(duì)

37、NMSE（相對(duì)均方差）、圖像大小、運(yùn)行時(shí)間的分析。見表3-2表 3-2 對(duì)應(yīng)上圖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖像椒鹽密度圖像大小運(yùn)行時(shí)間NMSE圖3-2 a5%256256圖3-2 b10%256256圖 3-2 c20%256256圖 3-3 a5%256256圖 3-3 b10%256256圖 3-3 c20%256256圖 3-4 分別加了5%、10%、20%的椒鹽噪聲的灰度級(jí)圖像圖 3-5 對(duì)應(yīng)中值濾波后的處理效果圖 3-6 對(duì)應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)濾波后的處理效果對(duì)應(yīng)的結(jié)果分析，對(duì)NMSE（相對(duì)均方差）、圖像大小、運(yùn)行時(shí)間的分析。見表3-3表 3-3 對(duì)應(yīng)上圖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖像椒鹽密度圖像大小運(yùn)行時(shí)間NMSE圖3-5

38、a5%25625605圖3-5 b10%256256圖 3-5 c20%2562560.015圖3-6 a5%256256圖3-6 b10%256256圖 3-6 c20%256256通過以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在采用偏導(dǎo)數(shù)濾波時(shí)候?qū)?yīng)的圖像的細(xì)節(jié)和輪廓都保存的較為完好，較中值濾波有較好的輪廓線和細(xì)節(jié)部分。而且，NMSE的結(jié)果也可以看出，基于偏導(dǎo)數(shù)的濾波算法具有相對(duì)較小的均方差。這是因?yàn)椋瑐鹘y(tǒng)的中值濾波算法在消除噪聲的同時(shí)，很大程度上模糊了原始的圖像，不能很好的保持邊緣的細(xì)節(jié)，而基于偏導(dǎo)數(shù)的濾波算法在消除噪聲的同時(shí)，能很好的保留原始圖像的邊緣細(xì)節(jié)，取得了較好的處理效果，從而有以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從

39、實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的時(shí)間復(fù)雜度可以看出，系統(tǒng)中的中值濾波函數(shù)的時(shí)間需求相對(duì)較小，而偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)間需求相對(duì)較大。經(jīng)過分析，可以得出以下結(jié)論，該算法通過偏導(dǎo)數(shù)對(duì)噪聲的判定，改善了傳統(tǒng)的通過排序來(lái)判斷噪聲像素點(diǎn)，大大提高了速度，對(duì)于濾波窗口的中心點(diǎn)，如果有兩個(gè)以上的點(diǎn)同時(shí)為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)都認(rèn)為該點(diǎn)是有效點(diǎn)，不需要處理。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，算法對(duì)噪聲密度較小的圖像效果較好，但對(duì)于噪聲密度較大的圖像，細(xì)節(jié)處理還有待于改善。可以考慮，對(duì)圖像m的鄰域擴(kuò)展，且把圖像的空間域和頻率域?yàn)V波結(jié)合起來(lái)，形成更好、速度更快的算法。4 基于PDE的修復(fù)模型4.1 BSCB修復(fù)模型模型的修復(fù)原理2001年，Bertalmion ，Sa

40、piro ，Caselles 和Ballester等四人提出了基于偏微分方程的修復(fù)模型：BSCB模型。圖像的修復(fù)是一個(gè)主觀的過程，主要靠主觀感覺，因此沒有一種標(biāo)準(zhǔn)的方法，但是有一些下面的原則：1. 圖像的整體決定了如何修復(fù)破損區(qū)域，修復(fù)的目的就是要恢復(fù)圖像的完整性。2. 修復(fù)區(qū)域中不同的區(qū)域是由等照度線（在這里，所謂的等照度線就是灰度值在同一等級(jí)上的一系列點(diǎn)所組成的線）來(lái)劃分的，各區(qū)域的顏色和邊緣外的顏色一致。3. 通過延伸邊緣處的等照度線進(jìn)入修復(fù)區(qū)域，實(shí)現(xiàn)修復(fù)區(qū)域與完好區(qū)域邊緣處連續(xù)。4. 細(xì)節(jié)部分必須添加，也即必須添加紋理?！?】基于以上原則，BSCB修補(bǔ)模型就是利用偏微分方程，模擬手工修

41、復(fù)的過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像指定區(qū)域的自動(dòng)修復(fù)。但其算法主要還是體現(xiàn)了上述的第2和第3原則，而對(duì)于第1和第4原則缺少必要的算法支撐。算法通過延伸邊界區(qū)域的等照度線進(jìn)入修復(fù)區(qū)域而實(shí)現(xiàn)修復(fù)。該模型不同于一般的基于各向同性的修補(bǔ)過程，由于它考慮了等照度線，不會(huì)使邊緣結(jié)構(gòu)失真，是一種各向異性擴(kuò)散，因此修復(fù)效果更接近人的視覺感受。BSCB算法取得了良好的實(shí)際效果，但是難以對(duì)它進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解釋，即沒有一個(gè)很好的數(shù)學(xué)模型來(lái)支持此算法。4.1.2 BSCB的數(shù)學(xué)模型假設(shè)表示修補(bǔ)區(qū)域，表示區(qū)域的邊界。直觀地，BSCB模型將延長(zhǎng)到達(dá)邊界的等照度線，同時(shí)并保持與其邊界的交角，并繼續(xù)以這種方式從邊界向內(nèi)部延伸，同時(shí)避免延伸

42、線的交叉。設(shè)，且是一個(gè)離散的二維圖像。從手工修復(fù)技術(shù)的描述，選擇迭代算法，修復(fù)程序建立一個(gè)圖像函數(shù)。（4.1）其中式子中，是指算法的輸出結(jié)果，也就是修補(bǔ)后的圖像。則這種形式的任何通用算法都可以寫成，（4.2）上式中，指數(shù)n表示修復(fù)的次數(shù)；（i，j）是像素坐標(biāo)；是迭代步長(zhǎng)；表示圖像的修正，方程只作用在修補(bǔ)區(qū)域內(nèi)。隨著n的增大，可以獲得效果更好的圖像，當(dāng)然也會(huì)增加算法的時(shí)間復(fù)雜度。當(dāng)n增大到一定程度后，輸出圖像不再有明顯的改變，即，此時(shí)算法可以停止。根據(jù)手工修復(fù)技術(shù)，延續(xù)到達(dá)修補(bǔ)區(qū)域的邊界的線，就是要平滑地將區(qū)域外的信息延伸到內(nèi)。設(shè)表示延伸的信息，表示信息的延伸方向，則有：（4.3）式子中，是變化

43、的量度。根據(jù)這一方程，估計(jì)圖像的信息，并計(jì)算沿著N方向的變化。在穩(wěn)定的情況下，由于以及式子（4.2）和（4.3）可以得到，這就是說(shuō)信息L已經(jīng)沿著方向N延伸。因?yàn)橄Ｍ畔⑵交由炀褪菆D像平滑的評(píng)估因子。通過簡(jiǎn)單的離散拉普拉斯方程就很容易達(dá)到這一目的，即可以設(shè)定：（4.4）當(dāng)然也可以用其他的平滑因子。然后，在沿著N方向要計(jì)算的變化。定義二維信息延伸的方向N：如果是N沿著邊界有向曲線的法線方向，也就是說(shuō)，在上的每一點(diǎn)(i,j)，向量都與(i,j)所在的垂直。這一定義是由這樣的思想產(chǎn)生的，即沿著垂直邊界的法線方向延伸信息可以使得在邊界上的等照度線連續(xù)。等照度線與N平行，N的最好選擇就是等照度線方向。因

44、為可以很容易的根據(jù)等照度線走勢(shì)恢復(fù)灰度級(jí)圖像，那么知道內(nèi)部的等照度線走勢(shì)也就知道如何修補(bǔ)圖像了。對(duì)于某等照度線上的任意一點(diǎn)（i,j），離散梯度向量表示灰度變化的最大方向，也就是該點(diǎn)的法線方向N。而其旋轉(zhuǎn)90度后得到的表示邊緣的方向，也就是等照度線的切線方向。所以向量表示了在該點(diǎn)的等照度線的方向。在進(jìn)行迭代修復(fù)的過程中，等照度線方向與迭代次數(shù)有關(guān)。由開始的粗略估計(jì)逐步完成邊界的連續(xù)性。方向N的變化由時(shí)間變量給定。方向N的選擇是非正則化的，N的模就是梯度的模。因此通過正則化，方向選擇為，這已選擇有助于算法的穩(wěn)定性。因?yàn)檠刂日斩染€的方向進(jìn)行修復(fù)，沿著順時(shí)針或者是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，在這兩種情況下，

45、在這個(gè)方向上的變化都是最小的。為了確保方向場(chǎng)的正確演化，將圖像修復(fù)過程交叉進(jìn)行。每隔若干步的修補(bǔ)，進(jìn)行幾步反復(fù)擴(kuò)散是為了避免曲線交叉。為了在修復(fù)過程中達(dá)到不丟失清晰度的目的，使用各向異性擴(kuò)散以保持邊緣的光滑。這里使用的各向異性擴(kuò)散方程為：（4.5）式子中，是以為圓心，以為半徑的圓域擴(kuò)散；k是等照度線的歐幾里得（Eu-clidean）曲率；是上的平滑函數(shù)。在Dirichlet邊界的前提下方程滿足：在上，=0；并且在上，=1。4.1.3 數(shù)值實(shí)現(xiàn)和結(jié)果分析在具體的計(jì)算過程中，進(jìn)化方向可以表示為： （4.6）其中， （4.7）（4.8）等照度線方向的矢量為： （4.10）在計(jì)算梯度絕對(duì)值時(shí)，可能導(dǎo)致

46、迭代過程的不穩(wěn)定，因此，Bertalmion等人使用坡度限制（Slope-limited）方法，其定義為： （4.11）（4.12）為了方便起見，上式中的（i,j）都被省略。下標(biāo)b和f分別表示向前差分與向后差分，即： （4.13） （4.14） （4.15） （4.16）下標(biāo)m和M分別表示微分和零之間的最小和最大值?！?】 （4.17） （4.18） （4.19） （4.20）具體的程序?qū)崿F(xiàn)步驟可以有以下幾部分：1. 讀入待修復(fù)的圖像。2. 然后對(duì)圖像的受損區(qū)域進(jìn)行擴(kuò)散。3. 利用周圍的未受損區(qū)域的信息進(jìn)行修復(fù)，修改受損區(qū)域內(nèi)的像素值。4. 對(duì)于受損區(qū)域內(nèi)的像素值利用周圍填充好的區(qū)域信息進(jìn)行擴(kuò)

47、散。5. 對(duì)以上的3、4步驟進(jìn)行迭代直到與上一次的圖像只差小于某一個(gè)值時(shí)才結(jié)束，結(jié)束后輸出修復(fù)后的圖像。在設(shè)計(jì)程序時(shí)我們對(duì)于給定的受損區(qū)域進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)效果可以如圖4-1所示：圖 4-1 分別是原圖像、受損圖像、BSCB修復(fù)圖像的比較對(duì)于程序?qū)崿F(xiàn)而言，原圖像采用白色作為待修復(fù)色，對(duì)應(yīng)的bmp格式的24位圖是R：255、G： 255、B： 255（轉(zhuǎn)換成了8位整數(shù)）。從時(shí)間的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，算法存在以下的不足之處：第一，仔細(xì)從圖像中可以看出，相對(duì)于原來(lái)的圖像而言，BSCB修復(fù)后在受損區(qū)域邊緣具有明顯的模糊效果，所以BSCB的修復(fù)缺點(diǎn)是不能很好的保留受損圖像周圍的幾何信息，例如邊緣。第二，算法相對(duì)于

48、其他的算法而言算法的收斂速度相對(duì)較慢，因?yàn)?，以上的圖像（256）在修復(fù)過程中，時(shí)間復(fù)雜度達(dá)到了287.75s，令人難以容忍。但是算法總體給人的感覺還是良好，畢竟圖像的信息大部分修復(fù)成功了。如圖 4-2所示，BSCB算法模型對(duì)于修復(fù)文字和一些細(xì)小的劃痕還是有很好的效果。圖 4-2 分別是原圖像、受損圖像、BSCB修復(fù)圖像的比較對(duì)于以上圖像（256），用綠色作為待修復(fù)色，對(duì)應(yīng)的bmp格式的24位圖是R：0、G： 255、B： 0（轉(zhuǎn)換成了8位整數(shù)）。對(duì)應(yīng)的時(shí)間復(fù)雜度是s從效果上看，修復(fù)的較為理想。從以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，BSCB還是適合對(duì)于小劃痕的受損修復(fù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可以由下表看出。表 4-1 B

49、SCB的運(yùn)行時(shí)間復(fù)雜度和誤差分析圖像圖像大小運(yùn)行時(shí)間NMSE圖 4-1256256圖 4-2256256s4.2 TV模型4.2.1 TV模型的修復(fù)原理Rudin等【13】將圖像看成一個(gè)分段平滑函數(shù)，在有界差變空間上對(duì)圖像建模，所提出的TV模型，能夠起到延長(zhǎng)圖像邊緣的作用，從而非常合適圖像的修復(fù)。Chan等【14】將該模型推廣到圖像的修復(fù)，他們建立了全變分圖像修復(fù)模型 （4.21）式中，為L(zhǎng)agrange乘子。根據(jù)變分原理，可以求得與之對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程 （4.22）式子中，=（4.23）其中（4.24）因此，求解泛函數(shù)（4.21）的最小值，等價(jià)于求解偏微分方程（4.22）

50、。另外，還可以引入一個(gè)時(shí)間變量t，利用最陡下降法來(lái)求解式子（4.22），其表達(dá)式為（）也就是說(shuō)，隨著時(shí)間變量t的變化，當(dāng) 時(shí)，得到所要求的最小值u。就數(shù)值計(jì)算的觀點(diǎn)來(lái)看，因?yàn)樵谄交瑓^(qū)域，將會(huì)很小，甚至?xí)呌?，所以，在以上的兩個(gè)偏微分方程中，為避免分母為0，一般用代替，其中，a為一個(gè)小的正參數(shù)。因此，最優(yōu)化問題變成 （4.25）4.2.2 TV算法的數(shù)學(xué)模型圖4-3 待修復(fù)區(qū)域及鄰域示意圖如圖4-3所示，記為受損區(qū)域，為受損區(qū)域周圍的已知信息部分，一般為環(huán)狀。記修復(fù)后區(qū)域內(nèi)的圖像值為，變分模型就是在擴(kuò)展的修復(fù)區(qū)域上找到一個(gè)函數(shù)，使得它最小化一個(gè)合適的正則化泛函：（4.26）其中，是圖像函數(shù)，為

51、一個(gè)在輸入為非負(fù)數(shù)時(shí)輸出也為非負(fù)數(shù)的實(shí)函數(shù)，即，當(dāng)時(shí)，為梯度。為了對(duì)邊緣也有良好的修復(fù)效果，必須選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。對(duì)于一個(gè)階躍邊緣，在邊緣上是一個(gè)沖擊函數(shù)，因此要求代價(jià)函數(shù)有限,即: （4.28）把函數(shù)展開成如下形式：+低階展開項(xiàng)，這里要求時(shí)有限,因此,選取,此時(shí)可得到圖像恢復(fù)鄰域中的TV模型。運(yùn)用Lagrange乘子法將有約束條件的極值問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件的極值問題，新代價(jià)函數(shù)為:（4.30）上述模型中的第一項(xiàng)稱之為正則化項(xiàng)，第二項(xiàng)稱為度量項(xiàng),是一個(gè)Lagrange乘數(shù)，它是預(yù)先定義的一個(gè)數(shù)，作為度量項(xiàng)和正則化項(xiàng)之間的平衡。根據(jù)計(jì)算函數(shù)極值的變分方法可知，在計(jì)算二維最簡(jiǎn)泛函：（4.31）的極值

52、時(shí)，根據(jù)Euler-Lagrange方程，函數(shù)應(yīng)滿足：（4.32）對(duì)于TV模型有：（4.33）對(duì)于()式有，（4.34）將（）代人（）得到（4.35）其中，為梯度算子。即TV模型的Euler-Lagrange方程為：（4.36）其中用梯度下降法解方程（）可得：（4.37）在零點(diǎn)處不可微，這種情況在圖像處理中經(jīng)常遇到，需將正則化為：（4.38）其中為足夠小的正數(shù)。于是得到迭代方程：（4.39）4.2.3 數(shù)值實(shí)現(xiàn)和結(jié)果分析（4.40）其中 （向前差分） （4.41） （向后差分） （4.42）（4.43）表示象素間隔，取,表示由的四個(gè)相鄰象素組成的集合(如圖4-4)。圖4-4四鄰域圖（4.44）

53、（4.45）（4.46）（4.47）按此離散方法可將方程（）離散化為：（4.48）是時(shí)間步長(zhǎng)，是像素間隔，整理得：（4.49）大多數(shù)包含閥值的處理任務(wù)中（例如去噪與邊緣檢測(cè)），參數(shù)a通常可以看成做閥值。在平滑區(qū)域，可以采用調(diào)和修補(bǔ)模型；而在邊緣區(qū)域，可以采用TV模型。圖 4-5視覺連通原理 (a)待修復(fù) (b)l<w (c)l>w TV模型的主要優(yōu)點(diǎn)是，保持邊緣和數(shù)值PDE實(shí)現(xiàn)方便，其主要不足之處是破壞了視覺理論的連通原理(connectivity principle)。如圖4-5所示，無(wú)論w和l的比率是多少，根據(jù)視覺心理學(xué)，人們會(huì)認(rèn)為圖(b)是最好的修復(fù)結(jié)果，但對(duì)于TV模型，當(dāng)l

54、<w時(shí)，其修復(fù)結(jié)果為(b)圖，當(dāng)l>w其修復(fù)結(jié)果為(c)圖，這時(shí)就破壞了連通原理。因?yàn)樵赥V模型中，擴(kuò)散強(qiáng)度（diffusion strength）僅僅依賴等照度線的對(duì)比度或強(qiáng)度，它由傳導(dǎo)系數(shù)來(lái)反映。因此擴(kuò)散強(qiáng)度不依賴于等照度線的幾何信息。對(duì)于平面曲線，標(biāo)量曲率k可以反映它的幾何信息。當(dāng)l>w時(shí)，從TV修復(fù)模型的結(jié)果來(lái)看，在4個(gè)角a,b,c,d處k=。相反，按視覺心理學(xué)得出的結(jié)果，這四個(gè)角處得曲率應(yīng)該為0，也就是說(shuō)在進(jìn)行圖像修復(fù)時(shí)應(yīng)盡可能的使曲率k較小，才能使得到符合人類視覺觀察的圖像。根據(jù)以上分析，文獻(xiàn)【15】提出了CDD（Curvature Driven Diffusio

55、n）模型。算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4-6所示圖 4-6 原始受損圖像 N=1000的修復(fù)圖像 N=2000的修復(fù)圖像對(duì)于圖4-6受損圖像的RGB值是255、0、0。.當(dāng)步數(shù)N=1000時(shí)時(shí)間復(fù)雜度是92.953s，當(dāng)?shù)牟綌?shù)N=2000時(shí)時(shí)間復(fù)雜度為191.235s。從這些結(jié)果可看出，修復(fù)一幅圖像時(shí)隨著步數(shù)的增加，時(shí)間增加的很快，效果也較為差，可以明顯的看出修復(fù)痕跡。圖 4-7 a原始受損圖像 b N=500的修復(fù)圖 c N=1000的修復(fù)圖像又如圖4-7所示對(duì)于劃痕(RGB值是0、255、0)的處理一般采用較小的步數(shù)N就可以獲得較好的修復(fù)效果。這也說(shuō)明了TV也是適合于修復(fù)劃痕類的受損圖形?？傊?，它適