1、第第2章章 投影的基本知識投影的基本知識內(nèi)容提要內(nèi)容提要：本章主要介紹投影法，點、線、面及其相對位置的投影規(guī)律。應(yīng)重點掌握投影法的基本概念，三面投影的形成，點的投影規(guī)律，直線的投影，平面內(nèi)的點和直線，直線與平面、兩平面相對位置等內(nèi)容。2.1 投影的形成投影的形成2.1.1 投影的概念投影的概念 投影現(xiàn)象：空間物體在光線的照射下，會在墻面或地面產(chǎn)生影子，這就是投影現(xiàn)象。光源光源承影面承影面光線光線物體物體影子影子 投射線通過物體，向選定的平面進行投射，并在該面上得到圖形的方法投影法投射中心投射中心S投射線投射線投影面投影面形體形體投影投影( (圖圖) ) 投影三要素：形體、投影方向（或投射中心）

2、、投影面投影：由投影法得到的圖形。投影面：選定的平面叫作投影面。其中，物體用大寫字母表示，其投影用小寫字母表示。2.1.2 投影法的種類投影法的種類根據(jù)投射線的類型，投影法可分為中心投影法和平行投影法。（一）中心投影法S 投射中心aba形體物體的中心投影投射線 中心投影法一般不反映物體各部分的真實形狀和大小，投影大小隨投射中心、物體和投影面之間的位置改變而改變；但是中心投影圖立體感較好，常用來做建筑物的透視圖和產(chǎn)品效果圖。（二）平行投影法斜投影法正投影法形體形體投影面投影面投射方向投射方向投射線投射線投影投影( (圖圖) )投投射射方方向向形體形體投影面投影面投射線投射線投影投影( (圖圖)

3、)a) 斜投影法b) 正投影法 正投影的大小可真實地反映輪廓的長度或表面的形狀大小。因此,國家標準“圖樣畫法”(GB/T4458.1-2002)規(guī)定，機件的圖樣按正投影法繪制，而用斜投影法來繪制軸測圖。（三）正投影的基本特性 正投影圖具有平行性、從屬性、定比性、實形性、積聚性和類似性等基本特性。 如下表所示為正投影的基本特征：（四）投影法的工程應(yīng)用1.中心投影法透視圖(把物體投射到單一投影面上得到的具有立體感的圖形)2.斜投影法斜軸測圖(在物體上設(shè)定直角坐標系,再用平行投影法把物體及 坐標系沿不平行于任何一坐標面的方向投射到一個投影面上)3.多面正投影法多面正投影圖（把物體投射到兩個或兩個以上

4、互相垂直投影面上，再按規(guī)定將這些面展開成一個平面得到的投影）NoImage4. 標高投影法標高投影圖(在物體的水平投影上加注某些特征面、線及控制點的高程數(shù)值的單面正投影）正軸測圖2.2.1 問題的提出問題的提出2.2 投影體系的形成投影體系的形成 在工程上用的投影圖，必須能正確、唯一地反映空間幾何關(guān)系。但是，只憑一個投影并不能反映唯一的空間情況。 因此，要想投影圖能確切、唯一地反映空間的幾何關(guān)系，就需要再引入一些條件，由此發(fā)展出多面投影。2.2.2 三面投影體系三面投影體系（一）三面投影體系的建立一個三維坐標可以確定一個點的空間位置。 兩兩垂直的三個坐標軸分別構(gòu)成了XOY、XOZ、YOZ三個互

5、相垂直的平面。由這三個互相垂直的平面組成的投影面體系稱為三面投影體系XOZ：稱正立投影面，也稱V 面XOY：稱水平投影面，也稱H 面 YOZ：稱側(cè)立投影面，也稱W 面 機械制圖規(guī)定工程圖樣采用第一角畫法，即將物體置于第分角內(nèi)，使其處于觀察者與投影面之間得到正投影的方法。 畫投影圖時，需要將三個投影面展開到同一平面上，展開方法是V面不動，H面和W面分別繞OX軸或OZ軸向下或向右旋轉(zhuǎn)90與V面重合。NoImage（二）視圖 所謂視圖實際上就是物體的多面正投影。物體在V 、H 和W 面上的三個投影，通常稱為物體的三視圖。其中，正面投影稱為主視圖；水平投影稱為俯視圖；側(cè)面投影稱為左視圖。三面投影的形成

6、a) 立體圖b) 三面投影的展開圖c) 三面投影NoImageNoImageV面投影：即從前往后投射，在V面上所得的投影，反映長和高(x、z)；H面投影：即從上往下投射，在H面上所得的投影，反映長和寬(x、y)；W面投影：即從左往右投射，在W面上所得的投影，反映高和寬(y、z)。 （三）三面投影的投影規(guī)律NoImagea) 坐標及方位關(guān)系 NoImageb) 方位及對應(yīng)關(guān)系 c) 投影規(guī)律V面投影與H面投影共同反映立體的長，其投影在長度方向互相對正，簡稱長對正；V面投影與W面投影共同反映立體的高，其投影在高度方向互相平齊，簡稱高平齊；H面投影與W面投影共同反映立體的寬，其投影在寬度方向一一對應(yīng)

7、，且保持相等，簡稱寬相等。左右左右長對正xxyyzz下上下上高平齊后前后前寬相等NoImagea) 立體圖b) 三面投影圖（四）作立體的三面投影（五）投影軸的恢復(fù)（六）基本體 立體:平面立體、曲面立體（按圍成體的面的類型分）； 基本體、組合體（按復(fù)雜程度分）。 基本立體的三視圖、尺寸注法及投影特性請見P84-85。 視圖中的投影線條有立體表面的交線及回轉(zhuǎn)體的輪廓線。2.3 點的投影點的投影2.3.1 點的三面投影點的三面投影 點在一個面上的投影是唯一的，但是根據(jù)一個投影不能唯一確定點的空間位置，因此需要增加投影面。 空間點及其投影的標記規(guī)定為：空間點用大寫字母A、B、C表示，在水平面H上的投影

8、用相應(yīng)的小寫字母a、b、c表示，在正面V上的投影用相應(yīng)的小寫字母加一撇表示，如a、b、c，在側(cè)面W上的投影用相應(yīng)的小寫字母加兩撇表示，如a、b、c。 注意：投影面展開后Y軸有兩個位置，隨H面旋轉(zhuǎn)的標記為YH，隨W面旋轉(zhuǎn)的標記為YW，兩者都代表Y軸。2.3.2 點的投影特性點的投影特性 1.點的V 面與H 面的投影連線垂直于OX 軸，aaOX ，反映空間點X的坐標； 2.點的V 與W 投影連線垂直于OZ 軸，aaOZ ，反映空間點的Z 坐標； 3.點的H 面投影到OX 軸的距離等于點的W 面投影到OZ 軸的距離，反映空間點的Y 坐標。 4.點的投影與坐標滿足一下關(guān)系：（1）aaz = aay =

9、Aa = xA（2）aax = aaz =Aa =yA（3）aax =aay =Aa=zA 2.3.2 點的投影特性點的投影特性 【例2-1】 已知點A 的兩面投影和點B 的坐標為（25，20，30），求點A 的第三面投影及點B 的三面投影（見圖2-8a）。各種位置點的投影各種位置點的投影空間點：空間點：點的三個坐標均不為零，其三個投影都不在投影軸上。點的三個坐標均不為零，其三個投影都不在投影軸上。投影面上的點：投影面上的點：點的某一個坐標為零，其一個投影與投影面重點的某一個坐標為零，其一個投影與投影面重合，另外兩個投影分別在投影軸上。合，另外兩個投影分別在投影軸上。投影軸上的點：投影軸上的點

10、：點的兩個坐標為零，其兩點的兩個坐標為零，其兩個投影與所在投影軸重合，另一個投影在個投影與所在投影軸重合，另一個投影在原點上。原點上。與原點重合的點：與原點重合的點：點的三個坐標均為零，點的三個坐標均為零，三個投影面都與原點重合。三個投影面都與原點重合。2.3.3 兩兩點的相對位置和重影點點的相對位置和重影點1.兩點的相對位置 兩點間上、下、左、右和前、后的關(guān)系，可以用兩點間的相對位置和坐標來判斷。a a ab b bBA 兩點中x值大的點在左；y 值大的點在前；z 值大的點在上2.重影點 若空間兩點的某一投影重合在一起，則該點稱為對該投影面的重影點。重影點的可見性由兩點的相對位置判別。 cd

11、(c)dCDa(b)abAB 從投影方向看，重影點必有一點的投影被另一點的投影遮住而不可見。判斷可見性時，需要重影點在另一投影面對上的投影，坐標值大的點投影可見。不可見點的投影加上括號。 動畫演示2.4 直線的投影直線的投影2.4.1 直線直線投影投影 直線的投影一般仍為直線（特殊）。由幾何學(xué)知道，空間兩點決定一直線，因此要作直線的投影，只需作出直線段上兩點的投影（兩點在同一投影面上的投影稱為同面投影）。 2.4.2 直線的直線的投影特性（各種位置直線的投影）投影特性（各種位置直線的投影）一、特殊位置直線1.直線平行于一個投影面 (1) 水平線 (2) 正平線 (3) 側(cè)平線2.直線垂直于一個

12、投影面 (1) 鉛垂線 (2) 正垂線 (3) 側(cè)垂線3.從屬于投影面的直線二、一般位置直線(1) 水平線 只平行于水平投影面的直線投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真實大小（2）正平線只平行于正面投影面的直線投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 ab=AB 3 反映、角的真實大?。?）側(cè)平線只平行于側(cè)面投影面的直線投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真實大小投影特性：1 a b 積聚成一點 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB（1）鉛垂線 垂直于水平投影面的直線（2）

13、正垂線 垂直于正面投影面的直線投影特性： 1 ab 積聚成一點 2 ab OX; ab OZ 3 ab = ab =AB（3）側(cè)垂線 垂直于側(cè)面投影面的直線投影特性： 1 ab 積聚成一點 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =ABZXabaOYHYWabbZYWbXaba(b)OYHa 從屬于V面的直線 從屬于V面的鉛垂線ZXabaOYHYWabb 從屬于OX的直線從屬于投影面的直線二、一般位置直線ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1 a b、 ab、a b均小于實長 2 a b、ab、a b均傾斜于投影軸 3不反映 、 、 實角一般位置直線實長及其與投影面夾

14、角的求解 求解一般位置線段的實長及傾角是畫法幾何經(jīng)常遇到的基本問題之一，也是工程上經(jīng)常用到的問題。直角三角形法是較方便的。 直角三角形法的作圖要領(lǐng)：用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對于投影面的坐標差作為另一條直角邊，所作直角三角形斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角 直角三角形的四要素：實長、投影長、坐標差及直線相對于投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。 解題時，直角三角形畫在任何位置都不影響解題結(jié)果。但用哪個長度來作直角邊不能搞錯。直線的實長及對水平投影面的夾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|ABab|yA-

15、yB|yA-yB|直線的實長及對正投影面的夾角角直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角 角ABbbabaa|xA-xB|例：直線的實長及對水平投影面的夾角角.如圖所示，求直線AB的實長及對H面的傾角。并在直線AB上取一點C ，使線段AC=12mm。2.4.3 直線上的直線上的點點 點在直線上，由正投影的基本性質(zhì)可知，應(yīng)有下列投影特性：（1）點的投影必在直線的同面投影上（從屬性）。（2）點分線段之比等于其投影之比（定比性）。 判斷點是否在直線上的方法：一般可通過兩個投影面上的投影來判斷；但當(dāng)直線為投影面平行線時，通常還需要求出第三個面的投影進行判斷。例 已知線段AB 和點K 的投影，試判斷點K 是否屬于

16、AB2.4.4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置因此，空間兩直線的相對位置有三種：平行、相交和異面。如兩直線處于一般位置，一般由兩面投影即可判斷，若直線處于特殊位置，則需要利用三面投影或定比性等方法判斷。 異面直線與直線 相交 共面 平行（一）平行兩直線投影特征 空間兩直線相互平行，則其同面投影必相互平行，且具有定比性。 判斷兩直線是否平行，一般情況下只需判斷兩直線的任意兩對同面投影是否平行；但當(dāng)兩直線為投影面的平行線時，空間兩直線不一定平行，需兩直線的三個同面投影分別相互平行。（二）相交兩直線投影特征 空間兩直線相交，則其同面投影必互相相交，且其交點必符合空間點投影特性；反之亦然。 判斷兩直

17、線是否相交，一般情況下只需判斷投影圖中兩直線的交點是否符合空間點的投影特征。（三）兩直線異面 即不平行又不相交的兩條直線稱為兩異面直線。 兩異面直線在空間不存在交點，在投影面中兩空間直線投影所產(chǎn)生的交點是點的同面重影造成的。（四）直角投影定理 垂直相交的兩直線，若其中一直線平行于某投影面，則二直線在該投影面上的投影反映直角。2.5 面的投影面的投影2.5.1 平面的表示法平面的表示法 在投影圖上，通常可以由幾何元素來表示一個平面，稱為幾何元素法。a)不在同一直線上的三個點b)一直線及直線外一點c)相交兩直線e)任意的平面圖形，如三角形、四邊形d)兩平行直線2.5.2 各種位置平面的投影特征各種

18、位置平面的投影特征 平面對投影面的投影特性取決于平面與投影面的相對位置，有三種情況： 垂直一個投影面，且傾斜于另外兩個投影面的平面稱為投影面垂直面；又分為正垂面、鉛垂面和側(cè)垂面。（一）投影面垂直面 根據(jù)平面在三投影面體系中所處的位置，可將平面分為三類：投影面垂直面 、投影面平行面、一般位置平面 。 實形性：平面平行于投影面時，它的投影反映平面的實形。 積聚性：平面垂直于投影面時，它的投影積聚成一條直線。 類似性：平面傾斜于投影面時，它的投影與平面類似。 1）正面投影積聚成一直線，并反映真實傾角、。2）水平投影和側(cè)面投影仍為平面圖形，但面積縮小。1.正垂面投影特征：2.鉛垂面投影特征： 1）水平投影積聚成一直線