1、2.1曲線與方程2.1.1曲線與方程2.1.2求曲線的軌跡方程幾種常見求軌跡方程的方法1直接法由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a，o)作圓Ox2+y2=R2(aRo)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡2定義法利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些

2、條件直平分線l交半徑OQ于點P(見圖245)，當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程3相關點法若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程這種方法稱為相關點法(或代換法)例3 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BPPA=12，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程4待定系數(shù)法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求例4 已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲曲線方程(三)鞏固練習1ABC一邊的兩個端點是B(0，

3、6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的2 點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是12，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？3求拋物線y2=2px(p0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程作業(yè)1 兩定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程2 動點P到點F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點的軌跡3 已知圓x2+y2=4上有定點A(2，0)，過定點A作弦AB，并延長到點P，使3|AB|=2|AP|，求動點P的軌跡方程2.2 橢 圓2.2.1橢圓及其標準方程把平面內與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓其中這兩

4、個定點叫做橢圓的焦點，兩定點間的距離叫做橢圓的焦距即當動點設為時，橢圓即為點集類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的橢圓的標準方程例1 已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，并且經過點，求它的標準方程例2 如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？例3如圖，設，的坐標分別為，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程引申：如圖，設的兩個頂點，頂點在移動，且，且，試求動點的軌跡方程引申目的有兩點：讓學生明白題目涉及問題的一般情形；當值在變化時，線段的角色也是從橢圓的長軸圓的直徑橢圓的短軸 212橢圓的簡單幾何性質 （ii）橢圓的簡單幾何性質 范圍：由橢圓

5、的標準方程可得，進一步得：，同理可得：，即橢圓位于直線和所圍成的矩形框圖里；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究橢圓的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心；頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率（），； 例4 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標例5如圖，設與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程補充： 1橢圓的長軸長為 ，短軸長為 ，半焦

6、距為 ，離心率為 ，焦點坐標為 ，頂點坐標為 ，（準線方程為 ）.2短軸長為8，離心率為的橢圓兩焦點分別為、，過點作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為 . 橢圓的方程為，M1，M2為橢圓上的點 求點M1（4，2.4）到焦點F（3，0）的距離 2.6 . 若點M2為（4，y0）不求出點M2的縱坐標，你能求出這點到焦點F（3，0）的距離嗎？【推廣】你能否將橢圓上任一點到焦點的距離表示成點M橫坐標的函數(shù)嗎？解：代入消去 得【引出課題】橢圓的第二定義當點與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點的軌跡是橢圓定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)是橢圓的離心率對于橢圓，相應于焦點的

7、準線方程是根據對稱性，相應于焦點的準線方程是對于橢圓的準線方程是可見橢圓的離心率就是橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線距離的比，這就是離心率的幾何意義由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為典型例題例1、求橢圓的右焦點和右準線；左焦點和左準線；例2、橢圓上的點到左準線的距離是，求到左焦點的距離為 .變式：求到右焦點的距離為 .例1、 點P與定點A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點P的軌跡；解法一：設為所求軌跡上的任一點，則由化簡得，故所的軌跡是橢圓。解法二：因為定點A（2，0）所以，定直線所以解得，又因為故所求的軌跡方程為問題1：求出橢圓方程和的長半軸長、短半軸長

8、、半焦距、離心率；問題2：求出橢圓方程和長軸頂點、焦點、準線方程；解：因為把橢圓向右平移一個單位即可以得到橢圓所以問題1中的所有問題均不變，均為長軸頂點、焦點、準線方程分別為：，；長軸頂點、焦點、準線方程分別為：，；例4、設AB是過橢圓右焦點的弦，那么以AB為直徑的圓必與橢圓的右準線（ ）A.相切 B.相離 C.相交 D.相交或相切解：設AB的中點為M，則M即為圓心，直徑是|AB|；記橢圓的右焦點為F，右準線為；過點A、B、M分別作出準線的垂線，分別記為由梯形的中位線可知又由橢圓的第二定義可知即又且故直線與圓相離例5、已知點為橢圓的上任意一點，、分別為左右焦點；且求的最小值分析：應如何把表示出

9、來解：左準線：，作于點D，記F1AMD由第二定義可知： 故有所以有當A、M、D三點共線時，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是變式1：的最小值；變式2：的最小值；1已知 是橢圓 上一點，若 到橢圓右準線的距離是 ，則 到左焦點的距離為_2若橢圓 的離心率為 ，則它的長半軸長是_3. 已知 ， 為橢圓 上的兩點， 是橢圓的右焦點若 ， 的中點到橢圓左準線的距離是 ，試確定橢圓的方程思考：1方程表示什么曲線？ 2. 橢圓中焦點三角形的性質及應用定義：橢圓上任意一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形。性質一：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形中則。性質二：已知橢圓方程為左右兩焦點分別為設焦

10、點三角形，若最大，則點P為橢圓短軸的端點。證明：設,由焦半徑公式可知：，在中， = 性質三：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形中則證明：設則在中，由余弦定理得： 命題得證。（2000年高考題）已知橢圓的兩焦點分別為若橢圓上存在一點使得求橢圓的離心率的取值范圍。簡解：由橢圓焦點三角形性質可知即 ,于是得到的取值范圍是性質四：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形，則橢圓的離心率。 由正弦定理得： 由等比定理得：而， 。已知橢圓的焦點是F1(1，0)、F2(1，0)，P為橢圓上一點，且F1F2是PF1和PF2的等差中項(1)求橢圓的方程；(2)若點P在第三象限，且PF1F2120°，

11、求tanF1PF2 解：(1)由題設2F1F2PF1PF22a，又2c2，b 橢圓的方程為1(2)設F1PF2，則PF2F160°橢圓的離心率 則，整理得：5sin(1cos) 故，tanF1PF2tan 2.3雙曲線 221雙曲線及其標準方程 把平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距即當動點設為時，雙曲線即為點集例1 已知雙曲線兩個焦點分別為，雙曲線上一點到，距離差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程解題剖析：這表面上看是圓與圓相切的問題，實際上是雙曲線的定義問題具體解：設動圓的半徑為 與內

12、切，點在外，因此有，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，即的軌跡方程是； 與、均外切，因此有，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支，的軌跡方程是； 與外切，且與內切，因此，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支，的軌跡方程是例2 已知，兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點的軌跡方程解法剖析：因正西、正北同時聽到巨響，則巨響應發(fā)生在西北方向或東南方向，以因正東比正西晚，則巨響應在以這兩個觀察點為焦點的雙曲線上如圖，以接報中心為原點，正東、正北方向分別為軸、軸方向，建立直角坐標系，設、分別是西、東、北觀察點，則， 設為巨響發(fā)生點，、同時聽到巨響，所在直線為，又因點比點晚聽到巨響聲

13、，由雙曲線定義知，點在雙曲線方程為聯(lián)立、求出點坐標為即巨響在正西北方向處探究：如圖，設，的坐標分別為，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程，并與§21例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？探究方法：若設點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關系式，即得到點的軌跡方程222雙曲線的簡單幾何性質 （ii）雙曲線的簡單幾何性質 范圍：由雙曲線的標準方程得，進一步得：，或這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心；頂點：圓錐曲線

14、的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點因此雙曲線有兩個頂點，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點所在的對稱軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸；漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；離心率： 雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率（）例3 求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標、離心率、漸近線方程擴展：求與雙曲線共漸近線，且經過點的雙曲線的標準方及離心率分類討論，但只有一種情形有解，事實上，可直接設所求的雙曲線的方程為例4 雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為試選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出雙

15、曲線的方程（各長度量精確到）解法剖析：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設雙曲線的標準方程為，算出的值；此題應注意兩點：注意建立直角坐標系的兩個原則；關于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定引申：如圖所示，在處堆放著剛購買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場中去鋪墊，已知，能否在足球場上畫一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側的區(qū)域應該選擇怎樣的線路？說明理由解題剖析：設為“等距離”線上任意一點，則，即（定值），“等距離”線是以、為焦點的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為理由略例5 如圖，設與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程分

16、析：若設點，則，到直線：的距離，則容易得點的軌跡方程 3.課題:雙曲線第二定義111111111111111111111111111F2F1HHxoy1、引例：點M(x,y) 與定點F(5,0)距離和它到定直線的距離之比是常數(shù),求點M的軌跡方程.解:設是點M到直線的距離,根據題意,所求軌跡就是集合P=M|, 即 所以，點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線。由例題可知:定點F(5,0)為該雙曲線的焦點,定直線為,常數(shù)為離心率>1.2、 雙曲線第二定義:當動點M(x,y) 到一定點F(c,0)的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)時,這個動點M(x,y)的軌跡是雙曲線。其中定點F(c,

17、0)是雙曲線的一個焦點，定直線叫雙曲線的一條準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。雙曲線上任一點到焦點的線段稱為焦半徑。例如PF是雙曲線的焦半徑。三、1.求的準線方程、兩準線間的距離。2、已知雙曲線 3x 2y 2 = 9，則雙曲線右支上的點 P 到右焦點的距離與點 P 到右準線的距離之比等于( )。(A) (B) (C) 2(D) 43、如果雙曲線上的一點P到左焦點的距離為9，則P到右準線的距離是 4、雙曲線兩準線把兩焦點連線段三等分，求e. 5. 雙曲線的 ，漸近線與一條準線圍成的三角形的面積是 . 四、鞏固練習：1已知雙曲線= 1(a0，b0)的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于A，OAF面積為

18、（O為原點），則兩條漸近線夾角為（ ）A30°B45°C60°D90°2.作業(yè)： 1、雙曲線的一條準線是y=1,則的值。2、求漸近線方程是4x,準線方程是5y的雙曲線方程3、已知雙曲線的離心率為2,準線方程為,焦點F(2,0),求雙曲線標準方程.2.4拋物線定義：平面內與一個定點F和一條定直線l (l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。 （1）拋物線上任一點到焦點的距離(即此點的焦半徑)等于此點到準線的距離可得焦半徑公式設P(x0，這個性質在解決許多有關焦點的弦的問題中經常用到，因此必須熟練掌握(2)由焦半徑不難得出焦點弦長公式：設AB是過拋物線焦點的一條弦(焦點弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)則有|AB|=x1+x2+p特別地：當ABx軸，拋物線的通徑|AB|=2p2.4.1拋物線及標準方程由于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形(列表如下)：例1 已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點