1、2019-8-52008年第25屆全國中學生物理競賽復賽試卷本卷共八題，滿分160分一、（15 分）1、（5分）蟹狀星云脈沖星的輻射脈沖周期是 0.033s。假設它是由均勻分布的物質(zhì)構成的球體，脈 沖周期是它的旋轉周期，萬有引力是唯一能阻止它離心分解的力，已知萬有引力常量G =6.67Ml0,1m3 kg ° s2,由于脈沖星表面的物質(zhì)未分離，故可估算出此脈沖星密度的下限是 一kg m 。2、（5分）在國際單位制中，庫侖定律寫成 F =卜華，式中靜電力常量k = 8.98x109 N m2 C, r電荷量q1和q2的單位都是庫侖，距離r的單位是米，作用力F的單位是牛頓。若把庫侖定律寫

2、成 更簡潔的形式F= 華，式中距離r的單位是米，作用力F的單位是牛頓。若把庫侖定律寫成更簡 r潔的形式F=qq2,式中距離r的單位是米，作用力F的單位是牛頓，由此式可這義一種電荷量 q r的新單位。當用米、千克、秒表示此新單位時，電荷新單位=;新單位與庫侖的關系為1新單位=C。 3、（5分）電子感應加速器（betatron）的基本原理如下：一個圓環(huán)真空室處于分布在圓柱形體積 內(nèi)的磁場中，磁場方向沿圓柱的軸線，圓柱的軸線過圓環(huán)的圓心并與環(huán)面垂直。圓中兩個同心的實 線圓代表圓環(huán)的邊界，與實線圓同心的虛線圓為電子在加速過程中運行的軌道。已知磁場的磁感應強度B隨時間t的變化規(guī)律為B = B0cos（2

3、nt/T）,其中T為磁場變化的周期。Bo為大于0的常量。當B為正時，磁場的方向垂直于紙面指向紙外。若持續(xù)地將初速度為vo的電子沿虛線圓的切線方向注入到環(huán)內(nèi)（如圖），則電子在該磁場變化的一個周期內(nèi)可能被加速的時間是從1=到1=。二、（21分）嫦娥1號奔月衛(wèi)星與長征3號火箭分離后，/二二進入繞地運行的橢圓軌道，近地點離地面高H n =2.05 M 102 km，遠地點離地面高Hf=5x 4 ，周期約為16小岫 稱為16ml、時軸力）道（如圖中加線1所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來越遠，星載發(fā)動機先在遠地點點火，使衛(wèi)星進入新軌道（如圖中曲線2所示），以抬高近地點。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點點火

4、，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠地點，相繼進入24小時軌道、48小時軌道和地月轉移軌道（分別如圖中曲線3、4、5所示）。已知衛(wèi)星質(zhì)量m = 2.350M103kg ,地球半徑R=6.378M 130km,地面重力加速度 g=9.81m/s2,月 球半徑 r = 1.738父 103km。1、試計算16小時軌道的半長軸a和半短軸b的長度，以及橢圓偏心率 e。2、在16小時軌道的遠地點點火時，假設衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同， 而且點火時間 很短，可以認為橢圓軌道長軸方向不變。設推力大小 F=490N,要把近地點抬高到600km,問點火行周期。200km ,周 比值。時間應持續(xù)多長？3、試根據(jù)題

5、給數(shù)據(jù)計算衛(wèi)星在16小時軌道的實際運4、衛(wèi)星最后進入繞月圓形軌道，距月面高度Hm約為期Tm=127分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之三、（22分）足球射到球門橫梁上時，因速度方向不同、射在橫梁上的位置有別，其落地點也是不 同的。已知球門的橫梁為圓柱形，設足球以水平方向的速度沿垂直于橫梁的方向射到橫梁上，球與橫梁間的滑動摩擦系數(shù)0 =0.70 ,球與橫梁碰撞時的恢復系數(shù)e=0.70o試問足球應射在橫梁上什么位置才能使球心落在球門線內(nèi)（含球門上）？足球射在橫梁上的位置用球與橫梁的撞擊點到橫梁軸線的垂線與水平方向（垂直于橫梁的軸線）的夾角 0 （小于90）來表示。不計空氣及重力的影響。四、（20分

6、）圖示為低溫工程中常用的一種氣體、蒸氣壓聯(lián)合溫度計的原理示意圖， M為指針壓力 表，以Vm表示其中可以容納氣體的容積；B為測溫飽，處在待測溫度的環(huán)境中，以 Vb表示具體 積；E為貯氣容器，以Ve表示其體積；F為閥門。M、E、B由體積可忽略的毛細血管連接。在 M、E、B均處在室溫T0=300K時充以壓強P0 =5.2>d05Pa的氫氣。假設氫的飽和蒸氣仍遵從理想氣體狀態(tài)方程?，F(xiàn)考察以下各問題：1、關閉閥門F,使E與溫度計的其他部分隔斷，于是 M、B構成一簡易的氣體溫度計，用它可測 量25K以上的溫度，這時B中的氫氣始終處在氣態(tài)，M處在室溫中。試導出B處的溫度T和壓力 表顯示的壓強p的關系。

7、除題中給出的室溫 T0時B中氫氣的壓強P0外，理論上至少還需要測量幾 個已知溫度下的壓強才能定量確定 T與p之間的關系？2、開啟閥門F,使M、E、B連通，構成一用于測量2025K溫度區(qū)間的低溫的蒸氣壓溫度計， 此時壓力表M測出的是液態(tài)氫的飽和蒸氣壓。由于飽和蒸氣壓與溫度有靈敏的依賴關系，知道了 氫的飽和蒸氣壓與溫度的關系，通過測量氫的飽和蒸氣壓，就可相當準確地確定這一溫區(qū)的溫度。在設計溫度計時，要保證當 B處于溫度低于TV =25K時，B中一定要有液態(tài)氫存在，而當溫度高于TV =25K時，B中無液態(tài)氫。到達到這一目的，Vm +Ve與Vb間應滿足怎樣的關系？已知TV=25K時，液態(tài)氫的飽和蒸氣壓

8、 囚=3.3Ml05Pa。態(tài)氫體積的800:回沿垂直于平行板速運動的低速電 度包含n個電子,3、已知室溫下壓強pi =1.04Ml05Pa的氫氣體積是同質(zhì)量的液倍，試論證蒸氣壓溫度計中的液態(tài)氣不會溢出測溫泡Bo五、（20分）一很長、很細的圓柱形的電子束由速度為 v的勻 子組成，電子在電子束中均勻分布，沿電子束軸線每單位長每個電子的電荷量為 y（e>0）,質(zhì)量為m。該電子束從遠處電容器極板的方向射向電容器，其前端（即圖中的右端）于t=0時刻剛好到達電容器的左極板。電容器的兩個極板上各開一個小孔，使電子束可以不受阻礙地穿過電容器。兩極板A、B之間加上了如圖所示的周期性變化的電壓 Vab （V

9、ab=Va-Vb,圖中只畫出了一個周期的圖線），電壓的最大值和最小值分別為V。和一V。，周期為To若以丁表示每個周期中電壓處于最大值的時間問隔，則電 壓處于最小值的時間間隔為 T7。已知七的值恰好使在Vab變化的第一個周期內(nèi)通過電容器到達 電容器右邊的所有的電子，能在某一時刻tb形成均勻分布的一段電子束。設電容器兩極板間的距離很小，電子穿過電容器所需要的時間可以忽略，且 mv2=6eV0,不計電子之間的相互作用及重力作用。1、滿足題給條件的7和tb的值分別為t=T, tb=T02、試在下圖中畫出t=2T那一時刻，在0 2T時間內(nèi)通過電容器的電子在電容器右側空間形成的 電流I,隨離開右極板距離x

10、的變化圖線，并在圖上標出圖線特征點的縱、橫坐標（坐標的數(shù)字保留到小數(shù)點后第二位）。取x正向為電流正方向。圖中x=0處為電容器的右極板B的小孔所在的位 置，橫坐標的單位$=,蹊。（本題按畫出的圖評分，不須給出計算過程）一 m六、（22分）零電阻是超導體的一個基本特征，但在確認這一事實時受到實驗測量精確度的限制。為克服這一困難，最著名的實驗是長時間監(jiān)測浸泡在液態(tài)氮（溫度 T=4.2K）中處于超導態(tài)的用鉛 絲做成的單匝線圈（超導轉換溫度Tc=7.19K）中電流的變化。設鉛絲粗細均勻，初始時通有I=100A 的電流，電流檢測儀器的精度為& =1.0mA,在持續(xù)一年的時間內(nèi)電流檢測儀器沒有測量到

11、電流的 變化。根據(jù)這個實驗，試估算對超導態(tài)鉛的電阻率為零的結論認定的上限為多大。設鉛中參與導電的電子數(shù)密度n =8.00xl020m3,已知電子質(zhì)量m = 9.11 m 10,1kg ,基本電荷e = 1.60父10,七。（采用的估算方法必須利用本題所給出的有關數(shù)據(jù)）七、（20分）在地面上方垂直于太陽光的入射方向，放置一半徑R=0.10m、焦距f=0.50m的薄凸透鏡，在薄透鏡下方的焦面上放置一黑色薄圓盤（圓盤中心與透鏡焦點重合） ，于是可以在黑色圓盤 上形成太陽的像。已知黑色圓盤的半徑是太陽像的半徑的兩倍。 圓盤的導熱性極好，一圓盤與地面之 間的距離較大。設太陽向外輻射的能量遵從斯特藩 玻爾

12、茲曼定律：在單位時間內(nèi)在其單位表面積上向外輻射的能量為 W =仃丁4 ,式中仃為斯特藩一玻爾茲曼常量，T為輻射體表面的的絕對溫度。對太而言，取其溫度ts =5.50父103匕。大氣對太陽能的吸收率為久=0.40。又設黑色圓盤對射到其上的太陽能全部吸收，同時圓盤也按斯特藩玻爾茲曼定律向外輻射能量。如果不考慮空氣的對流， 也不考慮雜散光的影響，試問薄圓盤到達穩(wěn)定狀態(tài)時可能達到的最高溫度為多少攝氏度？八、（20分）質(zhì)子數(shù)與中子數(shù)互換的核互為鏡像核，例如3He是3H的鏡像核，同樣3H是3He的鏡像核。已知3H和3 He原子的質(zhì)量分別是m3H =3.016050u和m% =3.016029u ,中子和質(zhì)

13、子質(zhì)量分別是 mn =1.008665u 和 mp式中e為電子的電荷量。931.5= 1.007825u , 1u =-2- c1.44MeV，式中c為光速，靜電力吊重k=-2- MeV fm , e1、試計算3H和3He的為多少MeV。2、已知核子間相互作 與電荷幾乎沒有關系， 中子的半徑近似相等， 所求的結合能差主要 因造成的。并由此結合 計核子半徑rNo3、實驗表明，核子可 看成是半徑小恒定的結合能之差用的核力” 又知質(zhì)子和 試說明上面 是由什么原 能之差來估以被近似地 球體；核子數(shù)A較大的原子核可以近似地被看成是半徑為 R的球體。根據(jù)這兩點，試用一個簡單模型找出 R與A的關系式；利用本

14、題第2問所求得的rN的估計值求出此關系式中的系數(shù)；用所求得的關系式計算208 Pb核的半徑Rpb第25屆全國中學生物理競賽復賽理論試題參考解答 一、答案141.1.3 102.kg 2 m3.3TTs,1.06x10 '(答 1.05x10 亙也給)二、參考解答：1 .橢圓半長軸a等于近地點和遠地點之間距離的一半，亦即近地點與遠地點矢徑長度(皆指衛(wèi) 星到地心的距離)rn與0的算術平均值，即有111a=2(rn+1f ) = 2(Hn +R)+(Hf +R)卜(Hn +Hf )+R(1)代入數(shù)據(jù)得a =3.1946 104 km(2)橢圓半短軸b等于近地點與遠地點矢徑長度的幾何平均值，即

15、有 b = 而"(3)代入數(shù)據(jù)得 b = 1.942父104 km (4)橢圓的偏心率e=、a2 了 (5) a代入數(shù)據(jù)即得e =0.7941(6)2 .當衛(wèi)星在16小時軌道上運行時，以Vn和Vf分別表示它在近地點和遠地點的速度，根據(jù)能量 守恒，衛(wèi)星在近地點和遠地點能量相等，有12 GMm 12 GMmmvn -= mvf(7)272rf式中M是地球質(zhì)量，G是萬有引力常量.因衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂 直，根據(jù)角動量守恒，有 mvnrn =mvfrf(8)注意到GRM =g(9)由(7)、(8)、(9)式可得Vn= f0R(10).，rn rf - rnrnVf

16、Vnrfrn 2g R(11)。0 rn當衛(wèi)星沿16小時軌道運行時，根據(jù)題給的數(shù)據(jù)有 7 = R + Hn f =R + Hf由(11)式并代入有關數(shù)據(jù)得Vf =1.198 km/s(12)依題意，在遠地點星載發(fā)動機點火，對衛(wèi)星作短時間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同， 加速后長軸方向沒有改變，故加速結束時，衛(wèi)星的速度與新軌道的長軸垂直， 衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠地點.所以新軌道遠地點高度Hf = Hf = 5.0930父104 km ,但新軌道近地點高度H； =6.00 x102km.由(11)式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠地點處的速度為F的沖量，設發(fā)動機點火時間為有vf =1.230km/s

17、(13)衛(wèi)星動量的增加量等于衛(wèi)星所受推力m vf -vf =F.：t(14)由(12)、(13)、(14)式并代入有關數(shù)據(jù)得&=1.5父102s(約2.5分)(15)這比運行周期小得多.3.當衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時，以r表示它所在處矢徑的大小，v表示其速度的大小，日表示矢 徑與速度的夾角，則衛(wèi)星的角動量的大小L = rmvsine =2mj (16)1其中仃=rvsin日(17)2是衛(wèi)星矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積，即衛(wèi)星的面積速度.由于角動量是守恒的，故仃是恒量.利用1遠地點處的角動重，得二=212(18)又因為衛(wèi)星運行一周掃過的橢圓的面積為S= gb(19)所以衛(wèi)星沿軌道運動的周期T

18、= S (20)由(18)、(19)、(20)式得 T =2(21)rfvf代入有關數(shù)據(jù)得T =5.678義104s(約15小時46分)(22)注：本小題有多種解法.例如，由開普勒第三定律，繞地球運行的兩T衛(wèi)星的周期T與T0之比的平方等于它們的軌道半長軸a與a0之比的立方，即若a0是衛(wèi)星繞地球沿圓軌道運動的軌道半徑，則有_ 222在To4九4冗后32ao GMgR從而得丁 27a 5T = 不一 q 一代入有關數(shù)據(jù)便可求得(22)式.4.在繞月圓形軌道上，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律有GM mm2 陽22 =mrm(-) (23) rmTm ' '這里rm = r + Hm是衛(wèi)星

19、繞月軌道半徑，M m是月球質(zhì)量.由(23)式和式，可得2 34萬rMm =加22M (24)代入有關數(shù)據(jù)得三、參考解答：Mm= 0.0124(25).圖中B表示橫梁的橫截面，Oi為橫足球射到球門橫梁上的情況如圖所示（圖所在的平面垂直于橫梁軸線）梁的軸線；O1O1為過橫梁軸線并垂直于軸線的水平線；A表示足球，O2為其球心；O點為足球與橫梁的碰撞點,碰撞點。的位置由直線O1OO2與水平線Oi。'的夾角a表示.設足球射到橫梁上時球心速度的大小為vo,方向垂直于橫梁沿水平方向，與橫梁碰撞后球心速度的大小為 V,方向用它與水平方向的夾角 中表示（如圖）以碰撞點。為原 點作直角坐標系Oxy,y軸與

20、O2OO1重合.以出示碰前速度的方向與 y軸的夾角，以ct表示碰后速度的方向與 y軸（負 方向）的夾角，足球被橫梁反彈后落在何處取決于反彈后的速度方向，即角 口的大小.以Fx表示橫梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，F(xiàn)y表示橫梁作用于足球的力在 y方向的分量的大小，劣表示橫梁與足球相互作用的時間，m表示足球的質(zhì)量，有Fx ：t =mvox -mvx（1）Fy t : mvy mvoy （2）式中Vox、Voy、Vx和Vy分別是碰前和碰后球心速度在坐標系Oxy中的分量的大小.根據(jù)摩擦定律有 Fx = F y （ 3）由（1）、 （ 2）、 （ 3）式得 N -oxVx （4） Vy - Voy

21、根據(jù)恢復系數(shù)的定義有 Vy =eV0y （5）因 tanUoM（6） tanu =9 VoyVy由（4）、（ 5）、（ 6）、 （7）各式得1, 1 1tan口 =tann0 -1 1 +- i （8） e< e>由圖可知中=8 +a （9）若足球被球門橫梁反彈后落在球門線內(nèi)，則應有9至90,（ 10）在臨界情況下，若足球被反彈后剛女?落在球門線上，這時 邛=90.由（9）式得，I,1 Ltan 90 - - - tan :（11）因足球是沿水平方向射到橫梁上的，故口0 =日，有1111 =tane 1+- i(12)tan 0 e、e )這就是足球反彈后落在球門線上時入射點位置日

22、所滿足的方程.解(12)式得eN j +1 ± Je2. .A +1 1 + 4etan1二：e:e(13)2代入有關數(shù)據(jù)得tanu -1.6(14)即 U =580(15)現(xiàn)要求球落在球門線內(nèi)，故要求 9之58"(16)四、參考解答：1.當閥門F關閉時，設封閉在M和B中的氫氣的摩爾數(shù)為ni,當B處的溫度為T時，壓力表顯示的壓強 為p,由理想氣體狀態(tài)方程，可知B和M中氫氣的摩爾數(shù)分別為PVbnIB 二RTpV M (Q、(1) nIM(2)RTo式中R為普適氣體恒量.因n1B +n1M =n1(3)解(1)、(2)、(3)式得T :P1 _辿1VMniRVM,T 一 Vb

23、pVbTo或 VbVbToP()(4)式表明，1與1成線性關系，式中的系數(shù)與儀器結構有關.在理論上至少要測得兩個已知溫度 T p下的壓強，作1對1的圖線，就可求出系數(shù).由于題中己給出室溫T0時的壓強加,故至少還要測定另 T p一己知溫度下的壓強，才能定量確定T與p之間的關系式.2.若蒸氣壓溫度計測量上限溫度 Tv時有氫氣液化，則當B處的溫度TMTv時，B、M和E中氣態(tài)氫的總摩爾數(shù)應小于充入氫氣的摩爾數(shù).由理想氣體狀態(tài)方程可知充入氫氣的總摩爾數(shù)n2 =Po Vb VM VeRT0(6)假定液態(tài)氫上方的氣態(tài)氫仍可視為理想氣體，則B中氣態(tài)氫的摩爾數(shù)為n2BPVVBRTv在(7)式中，已忽略了 B中液

24、態(tài)氫所占的微小體積.由于蒸氣壓溫度計的其它都分仍處在室溫中, 其中氫氣的摩爾數(shù)為_ P，(VM +VE)(8)n2M%e Z8 8)RT0根據(jù)要求有n2B +n2M +n2E n2 (9)解(6)、( 7)、( 8)、(9)各式得pv0p0V VM VEVB ( 10)Po - Pv Tv代入有關數(shù)據(jù)得Vm Ve _ 18VB (11)五、答案與評分標準：2-1. = 2、2= 0.59 (3 分)2(2 分)2 12.如圖(15分.代表電流的每一線段3分，其中線段端點的橫坐標占1分，線段的長度占1分，線段的縱坐標占1分)t I/ne4-11111sliH | 1i r r I 1Illi!

25、n n T ° r i 11li |i|i|iH1llll1111 V li 1llll1 11 1I ii iifiiri111IH1I13|V1II|-t t r hh1iii1>lilInriiiii1i1111 - r iu r x iii «i " i iI a1i - T1111 1b T - hN|i11rrii111i i i-rrIIiiii T T - n11il1jii1r r t r afi1 i r aIIiiiiiii|iiI|i1"rTTT-F-Iihi1111-i -i2 .Rli1kKII1 1 II 1 1 1N

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29、vi1)1111H1廠q - i i-3pN|iQH - 1ikiikhi卜卜11111 r -iIniiii1Ir r - iiiiii*11J1 t""i 1 <1 , i I-IR 11T p iL|l -IT|i h Jiiirrii>i11i i i r i i1 L i-i- ii a1 A1 Xii1i-|1iiiii|111ilii|Ta1111111rli ""i""i""i""i""mpI)ppIIi>jiII1JLii i-4六、參考解

30、答：如果電流有衰減，意味著線圈有電阻，設其電阻為R,則在一年時間t內(nèi)電流通過線圈因發(fā)熱而損失的能量為E =I 2Rt (1)以P表示鉛的電阻率，S表示鉛絲的橫截面積，l表示鉛絲的長度，則有 lR = P(2)S電流是鉛絲中導電電子定向運動形成的，設導電電子的平均速率為v,根據(jù)電流的定義有I =Svne(3)所謂在持續(xù)一年的時間內(nèi)沒有觀測到電流的變化，并不等于電流一定沒有變化，但這變化不會超過電流檢測儀器的精度白，即電流變化的上限為 AI =1.0mA.由于導電電子的數(shù)密度 n是不變的，電流的變小是電子平均速率變小的結果，一年內(nèi)平均速率由v變?yōu)関-Av,對應的電流變化 & =neSiv

31、(4)導電電子平均速率的變小，使導電電子的平均動能減少，鉛絲中所有導電電子減少的平均動能為L- 12 12Ek =lSn mv - m v-. .v k 22fclSnmviv(5)由于&<<1 ,所以Av<<v,式中加的平方項已被略去.由(3)式解出v,(4)式解出加，代入(5)式得AEklmI ： I2 ne S(6)鉛絲中所有導電電子減少的平均動能就是一年內(nèi)因發(fā)熱而損失的能量，即Ek =AE (7)由(1)、(2)、(6)、(7)式解得p=rn± ne2It式中 t =365 黑 24 m3600s=3.15 M107S (9)在(8)式中代入有關數(shù)據(jù)得P =1.4 父10,6 Q m (10)所以電阻率為0的結論在這一實驗中只能認定到PW1.4m10,6Q m(11)七、參考解答：按照斯特藩-玻爾茲曼定律，在單位時間內(nèi)太陽表面單