1、2182020-20212020-2021 學年新教材人教 B B 版必修第二冊第四章 指數函數、對數函數與幕函數單元測試（時間：120 分鐘滿分 150 分）一、單項選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的）1.若 n N , a R,給出下列式子： J 42n:彳一 41 2昉:荷；需5.其中恒 有意義的式子的個數是（B ）A . 1B. 2C. 3D. 4解析根據根指數是偶數時，被開方數非負，可知無意義；當a 0,1,-0 lg 0.2C.0.20.1lg 0.1解析Ig 0.1 0 ,.Q20.1 Ig 0.1，故選

2、 C.Iog3x x01-2ogx 3,.xwB. 0.20.1 0.20.2D. 0.1.2 b 1,0vcv1，則(C )A.acvbcB.abcvbacC.alogbcvblogacD.logacvlogbc1解析令 a= 4, b= 2, c= 2，1 1則 ac= 42= 2, bc= 22= .：2 ,ac bc,排除 A ;abc= 4 2 bac= 4 ,abc bac,排除 B;1 1 1 logac= Iog42= 2， logbc= Iog22= 1,logac logbC,排除 D，故選 C.解析因為函數 y= log2x 的反函數是 y= 2x，所以 f(x) = 2

3、x.故 f(1 x) = 2I x,因為此函 數在 R上是減函數，且過點(0,2).因此選 C.7.下列函數中，滿足“ f(x+ y)= f(x)f(y)”的增函數是(B )A . f(x)= x3B. f(x)= 3x11C.f(x)=x2D.f(x)= -x解析對于函數 f(x) = X3, f(x+ y) = (x+ y)3,f(x)f(y) = x3y3，而(x+ y)3豐x3y3,所以 f(x) = x3不滿足 f(x + y)= f(x)f(y),故 A 錯誤；對于函數 f(x)= 3x, f(x+ y) = 3x+y= 3x3y= f(x)f(y)，因此 f(x)= 3x滿足 f

4、(x+ y) = f(x)f(y),1 11 1(xy)2，而(x+ y)2豐(xy)2，所以 f(x)= x2不滿足 f(x+ y) = f(x)f(y)，故 C 錯誤；對于函數I1 1 1f(x)=2x，f(x+y)=2x+y=2x-；y=f(x)f(y),且 f(x)= 3x是增函數，故 B 正確；對于函數1 1 1,f(x+ y) = (x+ y)2, f(x)f(y)= x2y2=6.已知 f(x)是函數 y = log2x 的反函數，貝Uy= f(1 x)的圖像是(C )的取值范圍是2,+m,故選 C.C. a1+ava1：因此 f(x) = 2x滿足 f(x+ y)=f(x)f(

5、y)，但 f(x)=1x不是增函數，故 D 錯誤.3x1xv18.設函數 f(x) = 2xx 1，則滿足 ff(a) = 2f(a)的 a 的取值范圍是(C )2A. 2, 1B 0,1C. 3，+m)D.1,+s)解析由 ff(a) = 2f(a)可得 f(a) 1,故有或3a 1 1a 12a 1，二者取二、多項選擇題(本大題共 4 小題,每小題 5 分，共 20 分，在每小題給出的四個選項中,5 分，選對但不全的得 3 分，有選錯的得 0 分)9.已知實數 a, b 滿足等式 3a= 6b,給出下列四個關系式： a = b，0vbva :avbv0 :bv0vA.其中可能成立的是(AB

6、C )有多項是符合題目要求的全部選對的得A .B .C.D .解析在同一個坐標系中畫出函數 y= 3x, y= 6x的圖象如圖所示.J?7卜45/r1LVlr/-1 O12由圖像，可知當 a= b= 0 時，3a= 6b,故可能成立；作出直線y= k,如圖所示，當 k 1 時，若 3a= 6b,貝U0vbva，故可能成立；當0vkv1 時，若 3a= 6b,則 avbv0,故可能成立故選 ABC .10.對于 0vav1,下列四個不等式中成立的是(BD )1A.Ioga(1+a)vloga1+：aloga(1 + a) loga11 +一a1+a1+a1 a a1ai11解析因為 0vav1,

7、所以 av,從而 1 + av1 + -，所以 loga(1 + a)loga1 +aaa i又因為 OvaV1,所以介a介由圖可得：函數 f(x)在區(qū)間(1,2)上單調遞增，A 正確；函數 y= f(x)的圖像關于直線 x= 2對稱，B 正確；若 XiMX2,但 f(Xi)= f(X2),則當 Xi, X2 2 時，Xi+ X2 4, C 錯誤；函數 f(x)有且僅有兩個零點， D 正確.三、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在題中的橫線上)13.設函數 f(x)= . x a(其中 a 為常數)的反函數為 f x),若函數 f tx)的圖像經過點11.設函數

8、 f(x)= 2x,對于任意的 Xi,X2(X1工 X2),下列命題中正確的是(ACDA . f(xi+ X2) = f(xi) f(X2)f X1f X2Xi+X2f Xi+f X20D.f -v解析2xi2x2= 2xi+ X2,所以 A 成立，2xi+ 2x2 2xiX2，所以 B 不成立，函數f(x)=2X,在 R 上是單調遞增函數，若f X1 f X2Xi X2則 f(Xi) f(X2),則 0，若 XivX2，貝Uf(Xi)Xi X2f Xi f X2vf(x2)，則 0，故 C 正確;Xi X2X1+x2f Xi+ f X2丁v說明函數是凹函數,而函數 f(x)= 2X是凹函數，

9、故 ACD 正確.12.關于函數 f(x)= |ln |2 刈，下列描述正確的有(ABD )A .函數 f(x)在區(qū)間(1,2)上單調遞增B .函數 y= f(x)的圖像關于直線x= 2 對稱C.若 X1工 X2,但 f(xi)= f(X2)，貝 y Xi+ X2= 4D .函數 f(x)有且僅有兩個零點解析函數 f(x)=|ln |2 x|的圖像如圖所示:B.f(xiX2)=f(xi)+f(X2)C. Xi-X2(0,1)，則方程 f1(x)= 2 的解為 1解析由 y = f(x)=- x- a，得 x- a = y2(y 0)把點(0,1)代入得 a = 1. 所以 f-1(x)= x2

10、+ 1(x0).由 f-1(x) = 2,得 x2+ 1 = 2,即卩 x= 1.16.下列說法中，正確的是 _.1任取 a 0，均有 3a 2a,2當 a0,且 1,有 a3a2,3y= ( ,3 廠x是增函數，4在同一坐標系中，y= 2x與 y = 2x的圖像關于 y 軸對稱.解析幕函數 y= xa,當 a0 時，14.設 f(x) =2ex-1,xv2log32x-1,x2，貝 V ff(2) = _2解析因為 f(2)= log3(22- 1) = 1,所以 ff(2) = f(1) = 2e1-1= 2.b 215.已知函數 f(x)=歹百為定義在區(qū)間2a,3a- 1上的奇函數，貝

11、Ua= _12 衛(wèi)-3_ .解析因為 f(x)是定義在2a,3a 1上的奇函數.所以定義域關即一 2a+ 3a- 1 = 0，所以 a = 1,b 2x因為函數 f(x)=為奇函數,2x+ 1b 2-xb 2x- 1 b 2x所以 f( - x)=-=-,2-x+ 11 +21 + 2x即 b 2x- 1 = - b+ 2x，所以 b = 1,1- 2x1 - 22+1-=2,2 - 3.1 + .2在(0,+s)上是增函數,3 2, /3a 2a,故正確;當 a = 0.1 時，0.13v0.12，故錯；函數 y= ( .3)-x=-3x是減函數，故錯；31在同一坐標系中，y= 2x與 y=

12、 2-x= )x的圖像關于 y 軸對軸，故正確.四、解答題(本大題共 6 個小題，共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分 10 分)計算下列各式的值.2_272(1)2-2+(1- 2)+23；2lg 2 + lg 3 -.1 + 為 0.36 + lg 8227-99 11解析2-2+(1 - .2)。+ 63=9+ 1 +9=亍2lg 2 + lg 3 廠1 + ig 0.36 + ig 8lg 4 + lg 3= igjg =1 + lg 0.6 + lg 2lg 1218.(本小題滿分 12 分)已知函數 f(x) = 2x-1+ a(a 為常數，且

13、a R)恒過點(1,2).(1) 求 a 的值；若 f(x) 2x，求 x 的取值范圍.解析(1)f(1) = 20+ a= 1 + a = 2,解得 a= 1.(2) 由 f(x)= 2x-1+ 1 = 2；+ 1 2x，得 2-三 1，即 2x-1 1 = 20,即卩 x- 1 0,1)在區(qū)間16,36上的最大值比最小值大1,求實數 a的值.解析由題意，y= f(x)是幕函數，設 f(x) = xa,圖像過點(8, m)和(9,3)可得 9a= 3,11所以a=2,故 f(x)= x2，所以 m= f(8) = 2 2,故 m 的值為 2 2.(2)函數 g(x)= logaf(x),即為

14、 g(x) = logaX,因為 x 在區(qū)間16,36上，所以 xq4,6,當 0 av1 時，g(x)min= loga6, g(x)max= loga4,2由 loga4 loga6 = loga = 1,解得323解得 a= 2 綜上可得，實數 a 的值為2或-.21.(本小題滿分 12 分)一片森林原來的面積為a,計算每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到森林面積的一半時，所用時間是10 年為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的1，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的卡.(1) 求每年砍伐面積的百分比；(2) 到今年為止，該森林已被砍伐了多少年？(3) 今后最多還能砍

15、伐多少年？1 1解析(1)設每年砍伐面積的百分比為x(0 x 1 時,g (x)min= loga4 , g(x)max= loga6,3由 loga6 loga4= loga = 1,1-2212m-10!71-25=m則 n 年后剩余面積為 #a(1 x)n.令 #a(1 x)n4a,即(1 x)。*2 3,1 上 13n3(2)10(礦,局三2解得nw15.故今后最多還能砍伐15 年.122.(本小題滿分 12 分)已知函數 f(x) = Iog2去+ a .(1) 若函數 f(x)是 R 上的奇函數，求 a 的值；(2) 若函數 f(x)的定義域是一切實數，求a 的取值范圍；若函數 f(x)在區(qū)間0,1上的最大值與最小值的差不小于2，求實數 a 的取值范圍.解析(1)函數 f(x)是 R 上的奇函數，貝Uf(0) = 0，求