1、第六屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題岀題學(xué)校：清華大學(xué)滿分：120分時(shí)間：3小時(shí)、聲東擊西的射擊手(30分)射擊的最高境界，不僅是指哪打哪，還要知道往哪兒指。歡迎來到這個(gè)與眾不同的射擊場。在這里， 共有10個(gè)小球Pi (號碼從0到9)，你需要把某個(gè)小球放在圓弧的適當(dāng)位置上，然后靜止釋放小球即 可。假設(shè)系統(tǒng)在同一豎直平面內(nèi)(如圖所示)，不考慮摩擦。圓弧 AB的半徑為R, B點(diǎn)與地面的高度為H。均質(zhì)細(xì)桿CD的質(zhì)量為M，長為L=0.5H ，懸掛點(diǎn)C與B處于同一水平位置，BC距離為S。小球Pi 質(zhì)量均為m,不計(jì)半徑，小球iP與CD桿或地面碰撞的恢復(fù)因數(shù)均為 ei ，且滿足社二 Jf 9 (f 二 0,1

2、,2J)。(1 )為使小球1 P擊中桿上D點(diǎn)，試確定靜止釋放時(shí)的 9 ，距離S有何限制？(2) 假設(shè)某小球擊中CD桿上的E點(diǎn)，為使E點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離D點(diǎn)，試確定該小球的號碼及靜止釋放時(shí)的9 ， 此時(shí)CE的距離是多少？(3) 假設(shè)某小球擊中CD桿上的E點(diǎn)，為使懸掛點(diǎn)C處的沖量盡可能小，試確定該小球的號碼及靜止釋放 時(shí)的9 ，此時(shí)CE的距離是多少？沖量有多大?、驕傲自滿的大力士（35 分）有位大力士總是自命不凡，他夫人決定找機(jī)會教訓(xùn)他一下。正好附近足球場的球門壞了一半，剩下的半邊球門如圖：立柱 0A垂直固定于水平地面上，沿 x軸方向，高為H =2.4m，橫梁AB平行于地面，沿z 軸負(fù)方向，長為L=H。

3、立柱和橫梁均為實(shí)心圓柱，直徑均為D = 0.06m 。夫人經(jīng)過計(jì)算后想出了主意：和丈夫比賽，看誰能把球門拉倒。比賽規(guī)則是：通過系在橫梁B端中點(diǎn)的繩索，只能用靜力拉球門；繩索上有且只有B點(diǎn)系在與地面固定的物體上。繩索的重量不計(jì)，長度不限。球門不計(jì)自重，采用第三強(qiáng)度理 論，材料的屈服應(yīng)力b s =57MPa。大力士認(rèn)為自己肯定不會輸，因?yàn)樗纼扇诵着c地面摩擦系數(shù)都是卩=0.5 ，自己重量為Gi =700N，夫人重量為G2 = 700N。為了顯示自己的大度，他允許夫人享受一點(diǎn)點(diǎn)優(yōu)惠條件。于是夫人以B在地面的投影C為圓心，在地面上畫了一個(gè)半徑R =0.8m的圓圈，要求丈夫身體在地面的投影不能進(jìn)該圓

4、圈，但她自己不受限制。大力士認(rèn)為這么個(gè)小圓圈沒什么了不起，就同意了。大力士抽簽先上場，他決定讓繩索與xy平面平行，但繩索與地面的夾角9不知多大為好，于是他在不同的角度試了多次，盡管每次都用了最大力氣，但是球門居然紋絲不動(dòng)，也看不出有明顯的變形。而夫人上場后一用力就把球門拉倒 了,（1）當(dāng)大力士讓繩索與地面成 9角度，繩索中的拉力最大為多大？該最大拉力與大力士拉繩的姿勢有無 關(guān)系？（2）當(dāng)大力士讓繩索與地面成 9角度，球門中最危險(xiǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)值是多少？（3 ）在限制條件下，9角為多少時(shí)大力士最接近把球門拉倒？夫人可能采用什么方式把球門拉倒？三、顧此失彼的挑戰(zhàn)者（30分）魔術(shù)正式開始前，魔術(shù)師邀請觀眾

5、上臺了解道具，并體驗(yàn)如何讓水晶球在板上平衡，有位觀眾自告奮 勇要挑戰(zhàn)魔術(shù)師的問題。魔術(shù)師首先介紹道具 （如圖所示）：兩個(gè)透明的水晶圓球 Oi和。2 ; 個(gè)滾軸D; 個(gè)透明的水 晶平板AB，A端水平固定在墻中，不考慮自重時(shí) AB板與水平面平行。在表演時(shí)，滾軸 D可以根據(jù)需要安 裝在AB板的任意位置，且 A與D總在同一高度。假設(shè)水晶板是均質(zhì)等截面板，長度為 I，單位長度重量 為q，彎曲剛度為EI。兩均質(zhì)水晶圓球的半徑均為 r，重量均為P=ql。假設(shè)表演中板的撓度和轉(zhuǎn)角都是小量，球與板之間有滑動(dòng)摩擦，但不考慮球與板的接觸變形和滾動(dòng)摩擦。觀眾發(fā)現(xiàn)，水晶板由于自重而微微彎曲，如果不安裝滾軸D,水晶球在板

6、上可以擺放的任意位置都不能平衡。魔術(shù)師的問題如下:（1）如果把滾軸D安裝在AB板的B處，此時(shí)AB板由于自重所導(dǎo)致的最大撓度在何處？（2） 如果把滾軸D安裝在AB板之間的某處， 有可能使水晶球Oi在板上靜止，且球與板的接觸點(diǎn) 恰好是B點(diǎn)。如果不需要具體計(jì)算，如何說明滾軸D是更靠近A點(diǎn)還是更靠近B點(diǎn)？定性畫出此時(shí) AB 板撓度的示意圖。（3）如果把滾軸D安裝在AB板的中點(diǎn)，能否讓水晶球 Oi在AD之間某位置平衡，接觸點(diǎn)為 Ci；同 時(shí)讓水晶球O2在DB之間某位置平衡，接觸點(diǎn)為 C2。觀眾試著擺弄了很久，總是顧此失彼，最終也沒有成功。如果你認(rèn)為本問題有解，ACi和AC2的水平距離是多少？如果沒有解，

7、如何證明？四、技高一籌的魔術(shù)師（25分）魔術(shù)正式開始，仍用上一題中的道具（板和球的具體參數(shù)見第三題）。魔術(shù)師首先撤去了滾軸 D,觀眾看到兩個(gè)水晶球在板上任意位置靜止釋放，都會從板的B端掉下去。但是細(xì)心的觀眾發(fā)現(xiàn)，即使兩水晶球放在板的相同位置，掉下去所需時(shí)間卻明顯不同。魔術(shù)師解釋說，雖然兩水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一個(gè)水晶球的表面涂了透明的新型材料， 很光滑。說完在后落下的水晶球 O1表面貼上了小紙片以示區(qū)別（假設(shè)小紙片的尺寸和重量相對水晶球均是小量）。只見魔術(shù)師對兩個(gè)水晶球吹了吹，聲稱已經(jīng)把魔力注入其中，然后小心地把貼有紙片的 O1球靜止放在板上（接觸點(diǎn)為 B點(diǎn)），同時(shí)讓紙片遠(yuǎn)離接觸位置

8、，松手后水晶球01竟然真的可以一直穩(wěn)穩(wěn)地停留在板上B點(diǎn)。在觀眾的掌聲中，魔術(shù)師撤走了 01球，把02球拿了起來。 “這個(gè)水晶球不太聽話，我的魔力只能 管1分鐘。”魔術(shù)師說完把 02球轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)，然后更加小心地把 02球也放在板上（接觸點(diǎn)為 B點(diǎn)）。 眾發(fā)現(xiàn)，02球在B點(diǎn)停留了大約1分鐘，然后在沒有外界干擾的情況下突然從板上 B端掉了下來,（1）根據(jù)題目敘述，試判斷哪個(gè)水晶球涂了新型材料？（2）水晶球01可在B點(diǎn)一直穩(wěn)穩(wěn)地停留，簡要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參 數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。（3）水晶球02只能在B點(diǎn)停留很短的時(shí)間，簡要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各 參數(shù)

9、應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。注：第四題解答中所用的參數(shù)都應(yīng)在第三、第四題中提及過。6D第六屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題參考答案清華大學(xué)航天航空學(xué)院高云峰、聲東擊西的射擊手（30分）(1)16BDaElAz心 iiiO*、驕傲自滿的大力士(35 分)(2)危險(xiǎn)點(diǎn)坐標(biāo)®抄皿心DW)(3)大力士在0 9 =時(shí)最接近拉壞球門：b 1 - b 2 =56.0Mpa ;夫人進(jìn)入圓圈內(nèi)，9 =90 °時(shí)可以有 b 1 - b 3= 57.9MPa .三、顧此失彼的挑戰(zhàn)者(30 分)(2)滾軸D更靠近B點(diǎn)；撓度示意圖如下:(3 )解不存在，證明見解題過程四、技高一籌的魔術(shù)師(25分)(1)水

10、晶球02涂了新型材料亍、(1) 0 arccos I:2HR,(2>=1 C號碼為9)： CE = 0： arccosA A面的碰捧存：說厝(號碼為CE = j/ ； 7c = 0；心前g；大力士拉繩的姿勢不影響繩中最大拉力的大小。(1)最大撓度處:G 2-sin(3)關(guān)鍵參數(shù):初始角速度M月G】 cosfl- z/sinfl(2)關(guān)鍵參數(shù):乂 -出！"八:' ;紙片重量第七屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題岀題學(xué)校：西北工業(yè)大學(xué)滿分：120分時(shí)間：3小時(shí)、小球在高腳玻璃杯中的運(yùn)動(dòng) （20分）一半球形高腳玻璃杯，半徑r =5cm，其質(zhì)量m1=0.3 kg，杯底座半徑R =5

11、 cm，厚度不計(jì)，杯腳高度h =10 cm。如果有一個(gè)質(zhì)量1 . 0 2 = m kg的光滑小球自杯子的邊緣由靜止釋放后沿杯的內(nèi)側(cè)滑下， 小球的半徑忽略不計(jì)。已知杯子底座與水平面之間的靜摩擦因數(shù)fs = 0.5 o試分析小球在運(yùn)動(dòng)過程中：（1）高腳玻璃杯會不會滑動(dòng)；（2）高腳玻璃杯會不會側(cè)傾（即一側(cè)翹起）。-2R、雜耍圓環(huán)（40分）1. 雜技演員將一個(gè)剛性圓環(huán)沿水平地面滾出，起始圓環(huán)一跳一跳地向前滾動(dòng)，隨后不離開地面向前滾動(dòng)，為什么？2. 雜技演員拿出一個(gè)勻質(zhì)圓環(huán)，沿粗糙的水平地面向前拋出，不久圓環(huán)又自動(dòng)返回到演員跟前。設(shè)圓環(huán)與地面接觸瞬時(shí)圓環(huán)中心 0點(diǎn)的速度大小為V。，圓環(huán)的角速度為 30

12、,圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為m,圓環(huán)與地面間的靜摩擦因數(shù)為 s f ，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試問：（1）圓環(huán)能自己滾回來的條件是什么?(2 )圓環(huán)開始向回滾動(dòng)直到無滑動(dòng)地滾動(dòng)，在此運(yùn)動(dòng)過程中，圓環(huán)所走過的距離是多少?(3 )當(dāng)圓環(huán)在水平地面上無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，其中心的速度大小為vi，圓環(huán)平面保持在鉛垂平面內(nèi)。試分ftfft < )析圓環(huán)碰到高為2的無彈性臺階后，能不脫離接觸地爬上該臺階所應(yīng)滿足的條件。3. 演員又用細(xì)鐵棍推動(dòng)題 2中勻質(zhì)圓環(huán)在水平地面上勻速純滾動(dòng)，假設(shè)圓環(huán)保持在鉛垂平面內(nèi)滾動(dòng)，如圖所示。又知鐵棍與圓環(huán)之間的靜摩擦因數(shù)為f t ,圓環(huán)與地面間的滾動(dòng)摩阻系數(shù)為5。試求為使鐵棍的推力(鐵棍對圓

13、環(huán)的作用力)最小，圓環(huán)上與鐵棍的接觸點(diǎn)的位置。三、趣味單杠(30分)單杠運(yùn)動(dòng)是奧運(yùn)會、世界體操錦標(biāo)賽、世界杯體操比賽中男子體操比賽項(xiàng)目之一。單杠是體操比賽中最具觀賞性的項(xiàng)目，也是觀眾最喜歡的運(yùn)動(dòng)，在學(xué)校和健身場所擁有眾多的愛好者， 小李和小張就是其中之一。 一天，他們準(zhǔn)備在單杠上進(jìn)行大回環(huán)比賽。假設(shè)單杠的橫桿和立柱均為直徑D=28mm的鋼桿，彈性模量E=200GPa許用應(yīng)力b =160MPa,橫桿長L=2.4m，立柱高H=2.6m。立柱與地面、橫桿與立柱之間均為固 定聯(lián)結(jié)。假設(shè)兩人旋轉(zhuǎn)到單杠所在平面內(nèi)時(shí)的慣性載荷均為F=1000N，不計(jì)人的自重。1. 試分析兩人同步旋轉(zhuǎn)到單杠所在平面內(nèi)時(shí)，結(jié)構(gòu)

14、中的最大應(yīng)力。2. 若兩人相差180。旋轉(zhuǎn)到單杠所在平面內(nèi)，對結(jié)構(gòu)中的最大應(yīng)力有什么影響。3. 為提高結(jié)構(gòu)承載能力，有人提出在單杠距地面0.6m處增加一個(gè)直徑20mm的拉桿。試定性分析該桿對上述兩種情況的影響。四、跳板跳水（30分）舉世矚目的第29屆北京奧林匹克運(yùn)動(dòng)會上，具有“夢之隊(duì)”之稱的中國跳水隊(duì)獲得了跳水比賽8枚金牌中的7枚， 囊括了 3m跳板跳水的4枚金牌。Duraflex 的Maxiflex Model B跳水板是奧林匹克跳水比賽和國際級跳水比賽唯一指定使用的產(chǎn)品，它的具體尺寸如圖所示，其中橫截面尺寸為 b=0.5m，h= 0.05m,跳板的彈性模量E=70GPa，比重丫 = 25k

15、N/m3， a=3.2m ，l=m 1.6 。運(yùn)動(dòng)員從跳板上上躍至距地面最 高點(diǎn)后落至跳板端點(diǎn) C，再從跳板上彈起至空中完成動(dòng)作后落水。若運(yùn)動(dòng)員體重G=700N，最大彈跳高度H= 0.6m，取 g =9.8m/s 2。1. 根據(jù)所學(xué)知識，建立相應(yīng)的力學(xué)分析模型。2. 為保證運(yùn)動(dòng)員落水安全，運(yùn)動(dòng)員從空中落入水中時(shí)，在跳板所在平面處，運(yùn)動(dòng)員質(zhì)心距跳板C端最小距離s應(yīng)大于0.5m。試求運(yùn)動(dòng)員從跳板上躍時(shí)所需最小水平速度（假設(shè)水平方向?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)）？3. 不計(jì)跳板質(zhì)量，將運(yùn)動(dòng)員視為剛體時(shí)，運(yùn)動(dòng)員沖擊跳板時(shí)，跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力為多少？4. 如運(yùn)動(dòng)員為彈性體，定性說明在沖擊時(shí)跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力增大還是減??？

16、5. 如考慮跳板質(zhì)量，試計(jì)算跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力第七屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題參考答案I 率|時(shí)，高腳玻璃杯側(cè)傾、小球在高腳玻璃杯中的運(yùn)動(dòng) （20分）當(dāng)小球自杯子的邊緣由靜止釋放后沿杯子的內(nèi)側(cè)滑下到與鉛垂方向夾角（一側(cè)翹起）、雜耍圓環(huán)（40分）1.圓環(huán)不是勻質(zhì)的，質(zhì)心不在圓環(huán)的中心。開始滾動(dòng)角速度大，圓環(huán)一跳一跳地向前滾動(dòng)；隨后角速度減 小，所以圓環(huán)不離開地面向前滾動(dòng)。2.（ 1）圓環(huán)自己滾回的條件為:（2）距離:(3)圓環(huán)能不脫離接觸地爬上臺階所應(yīng)滿足的條件為4r'h<vf(2r-h): <4r:r-h3.當(dāng)接觸點(diǎn)A與圓環(huán)中心C的連線與鉛垂線間的夾角a = arutari