1、2013年北京市高考數學試卷（文科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1（5分）已知集合A=1，0，1，B=x|1x1，則AB=（）A0B1，0C0，1D1，0，12（5分）設a，b，cR，且ab，則（）AacbcBCa2b2Da3b33（5分）下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間（0，+）上單調遞減的是（）ABy=exCy=lg|x|Dy=x2+14（5分）在復平面內，復數i（2i）對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5（5分）在ABC中，a=3，b=5，sinA=，則sinB=（）ABCD16（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖

2、，輸出的S值為（）A1BCD7（5分）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（）ABm1Cm1Dm28（5分）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為對角線BD1的三等分點，P到各頂點的距離的不同取值有（）A3個B4個C5個D6個二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9（5分）若拋物線y2=2px的焦點坐標為（1，0），則p= ；準線方程為 10（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為 11（5分）若等比數列an滿足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q= ；前n項和Sn= 12（5分）設D為不等式組表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值為 13（5分

3、）函數f（x）=的值域為 14（5分）已知點A（1，1），B（3，0），C（2，1）若平面區(qū)域D由所有滿足（12，01）的點P組成，則D的面積為 三、解答題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13分）已知函數f（x）=（2cos2x1）sin2x+cos4x（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若（，），且f（）=，求的值16（13分）如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖空氣質量指數小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天（）求此人到達當日空氣質量優(yōu)良的概率；（）求

4、此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；（）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數方差最大？（結論不要求證明）17（13分）如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAADE和F分別是CD和PC的中點，求證：（）PA底面ABCD；（）BE平面PAD；（）平面BEF平面PCD18（13分）已知函數f（x）=x2+xsinx+cosx（）若曲線y=f（x）在點（a，f（a）處與直線y=b相切，求a與b的值；（）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，求b的取值范圍19（14分）直線y=kx+m（m0）與橢圓相交于A，C兩點，O是坐標原點（

5、）當點B的坐標為（0，1），且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；（）當點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形20（14分）給定數列a1，a2，an對i=1，2，n1，該數列前i項的最大值記為Ai，后ni項ai+1，ai+2，an的最小值記為Bi，di=AiBi（）設數列an為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；（）設a1，a2，an1（n4）是公比大于1的等比數列，且a10證明：d1，d2，dn1是等比數列；（）設d1，d2，dn1是公差大于0的等差數列，且d10證明：a1，a2，an1是等差數列2013年北京市高考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題共8

6、小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1（5分）已知集合A=1，0，1，B=x|1x1，則AB=（）A0B1，0C0，1D1，0，1【考點】1E：交集及其運算菁優(yōu)網版權所有【專題】5J：集合【分析】找出A與B的公共元素，即可確定出兩集合的交集【解答】解：A=1，0，1，B=x|1x1，AB=1，0故選：B【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵2（5分）設a，b，cR，且ab，則（）AacbcBCa2b2Da3b3【考點】R3：不等式的基本性質菁優(yōu)網版權所有【專題】59：不等式的解法及應用【分析】對于A、B、C可舉出反例，對于D利用不

7、等式的基本性質即可判斷出【解答】解：A、32，但是3×（1）2×（1），故A不正確；B、12，但是，故B不正確；C、12，但是（1）2（2）2，故C不正確；D、ab，a3b3，成立，故D正確故選：D【點評】熟練掌握不等式的基本性質以及反例的應用是解題的關鍵3（5分）下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間（0，+）上單調遞減的是（）ABy=exCy=lg|x|Dy=x2+1【考點】3E：函數單調性的性質與判斷；3K：函數奇偶性的性質與判斷；3N：奇偶性與單調性的綜合菁優(yōu)網版權所有【專題】51：函數的性質及應用【分析】利用基本函數的奇偶性、單調性逐項判斷即可【解答】解：A中，y=為奇函

8、數，故排除A；B中，y=ex為非奇非偶函數，故排除B；C中，y=lg|x|為偶函數，在x（0，1）時，單調遞減，在x（1，+）時，單調遞增，所以y=lg|x|在（0，+）上不單調，故排除C；D中，y=x2+1的圖象關于y軸對稱，故為偶函數，且在（0，+）上單調遞減，故選：D【點評】本題考查函數的奇偶i性、單調性的判斷證明，屬基礎題，定義是解決該類題目的基本方法，熟記基本函數的有關性質可簡化問題的解決4（5分）在復平面內，復數i（2i）對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考點】A4：復數的代數表示法及其幾何意義菁優(yōu)網版權所有【專題】5N：數系的擴充和復數【分析】首先進行復數

9、的乘法運算，得到復數的代數形式的標準形式，根據復數的實部和虛部寫出對應的點的坐標，看出所在的象限【解答】解：復數z=i（2i）=i2+2i=1+2i復數對應的點的坐標是（1，2）這個點在第一象限，故選：A【點評】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，本題解題的關鍵是寫成標準形式，才能看出實部和虛部的值5（5分）在ABC中，a=3，b=5，sinA=，則sinB=（）ABCD1【考點】HP：正弦定理菁優(yōu)網版權所有【專題】58：解三角形【分析】由正弦定理列出關系式，將a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值【解答】解：a=3，b=5，sinA=，由正弦定理得：sinB=故選：B【點評】此題考查

10、了正弦定理，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵6（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A1BCD【考點】EF：程序框圖菁優(yōu)網版權所有【專題】5K：算法和程序框圖【分析】從框圖賦值入手，先執(zhí)行一次運算，然后判斷運算后的i的值與2的大小，滿足判斷框中的條件，則跳出循環(huán)，否則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足為止【解答】解：框圖首先給變量i和S賦值0和1執(zhí)行，i=0+1=1；判斷12不成立，執(zhí)行，i=1+1=2；判斷22成立，算法結束，跳出循環(huán)，輸出S的值為故選：C【點評】本題考查了程序框圖，考查了直到型結構，直到型循環(huán)是先執(zhí)行后判斷，不滿足條件執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足結束循環(huán)，是基礎題7（5分）雙曲線

11、的離心率大于的充分必要條件是（）ABm1Cm1Dm2【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件菁優(yōu)網版權所有【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程；5L：簡易邏輯【分析】根據雙曲線的標準形式，可以求出a=1，b=，c=利用離心率e大于建立不等式，解之可得 m1，最后利用充要條件的定義即可得出正確答案【解答】解：雙曲線，說明m0，a=1，b=，可得c=，離心率e等價于 m1，雙曲線的離心率大于的充分必要條件是m1故選：C【點評】本題雖然小巧，用到的知識卻是豐富的，具有綜合性特點，涉及了雙曲線的標準方程、幾何性質等幾個方面的知識，是這些內容的有機融合，是一個極具考查力的小題8（5分）如圖，在正方

12、體ABCDA1B1C1D1中，P為對角線BD1的三等分點，P到各頂點的距離的不同取值有（）A3個B4個C5個D6個【考點】MK：點、線、面間的距離計算菁優(yōu)網版權所有【專題】5F：空間位置關系與距離【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長|AB|=3，即可得到各頂點的坐標，利用兩點間的距離公式即可得出【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長|AB|=3，則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），=（3，3，3），設P（x，y，z），=（1，1，1），

13、=（2，2，1）|PA|=|PC|=|PB1|=，|PD|=|PA1|=|PC1|=，|PB|=，|PD1|=故P到各頂點的距離的不同取值有，3，共4個故選：B【點評】熟練掌握通過建立空間直角坐標系及兩點間的距離公式是解題的關鍵二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9（5分）若拋物線y2=2px的焦點坐標為（1，0），則p=2；準線方程為x=1【考點】K8：拋物線的性質菁優(yōu)網版權所有【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】由拋物線的性質可知，知=1，可知拋物線的標準方程和準線方程【解答】解：拋物線y2=2px的焦點坐標為（1，0），=1，p=2，拋物線的方程為y2=4x，其標準方程為

14、：x=1，故答案為：2，x=1【點評】本題考查拋物線的簡單性質，屬于基礎題10（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為3【考點】L!：由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網版權所有【專題】5Q：立體幾何【分析】利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數據求解幾何體的體積【解答】解：幾何體為底面邊長為3的正方形，高為1的四棱錐，所以體積故答案為：3【點評】本題考查幾何體與三視圖的對應關系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計算能力11（5分）若等比數列an滿足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q=2；前n項和Sn=2n+12【考點】88：等比數列的通項公式；89：等比數列的前n項和菁

15、優(yōu)網版權所有【專題】54：等差數列與等比數列【分析】利用等比數列的通項公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比數列的前n項和公式即可得出【解答】解：設等比數列an的公比為q，a2+a4=a2（1+q2）=20a3+a5=a3（1+q2）=40兩個式子相除，可得到=2即等比數列的公比q=2，將q=2帶入中可求出a2=4則a1=2數列an時首項為2，公比為2的等比數列數列an的前n項和為：Sn=2n+12故答案為：2，2n+12【點評】熟練掌握等比數列的通項公式和等比數列的前n項和公式是解題的關鍵12（5分）設D為不等式組表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值為【

16、考點】7C：簡單線性規(guī)劃菁優(yōu)網版權所有【專題】59：不等式的解法及應用【分析】首先根據題意作出可行域，欲求區(qū)域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值，由其幾何意義為點A（1，0）到直線2xy=0距離為所求，代入點到直線的距離公式計算可得答案【解答】解：如圖可行域為陰影部分，由其幾何意義為點A（1，0）到直線2xy=0距離，即為所求，由點到直線的距離公式得：d=，則區(qū)域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值等于 故答案為：【點評】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題13（5分）函數f（x）=的值域為（，2）【考點】34：函數的值域；4L：對數函數的值域與最值菁優(yōu)網

17、版權所有【專題】51：函數的性質及應用【分析】通過求解對數不等式和指數不等式分別求出分段函數的值域，然后取并集得到原函數的值域【解答】解：當x1時，f（x）=；當x1時，0f（x）=2x21=2所以函數的值域為（，2）故答案為（，2）【點評】本題考查了函數值域的求法，分段函數的值域要分段求，最后取并集是基礎題14（5分）已知點A（1，1），B（3，0），C（2，1）若平面區(qū)域D由所有滿足（12，01）的點P組成，則D的面積為3【考點】9S：數量積表示兩個向量的夾角菁優(yōu)網版權所有【專題】5A：平面向量及應用【分析】設P的坐標為（x，y），根據，結合向量的坐標運算解出，再由12、01得到關于x、y

18、的不等式組，從而得到如圖的平行四邊形CDEF及其內部，最后根據坐標系內兩點間的距離公式即可算出平面區(qū)域D的面積【解答】解：設P的坐標為（x，y），則=（2，1），=（1，2），=（x1，y+1），解之得12，01，點P坐標滿足不等式組作出不等式組對應的平面區(qū)域，得到如圖的平行四邊形CDEF及其內部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）|CF|=，點E（5，1）到直線CF：2xy6=0的距離為d=平行四邊形CDEF的面積為S=|CF|×d=×=3，即動點P構成的平面區(qū)域D的面積為3故答案為：3【點評】本題在平面坐標系內給出向量等式，求滿足條件的點P構成的平

19、面區(qū)域D的面積著重考查了平面向量的坐標運算、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題三、解答題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13分）已知函數f（x）=（2cos2x1）sin2x+cos4x（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若（，），且f（）=，求的值【考點】GP：兩角和與差的三角函數；GS：二倍角的三角函數菁優(yōu)網版權所有【專題】57：三角函數的圖像與性質【分析】（）利用二倍角的正弦函數以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過周期公式求f（x）的最小正周期，利用三角函數的最值求出函數的最大值；（）通過，

20、且，求出的正弦值，然后求出角即可【解答】解：（）因為=T=，函數的最大值為：（）f（x）=，所以，kZ，又，【點評】本題考查二倍角的余弦函數正弦函數的應用，兩角和的正弦函數，三角函數的周期與最值的求法，以及角的求法，考查計算能力16（13分）如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖空氣質量指數小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天（）求此人到達當日空氣質量優(yōu)良的概率；（）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；（）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數方差最大？（結論不要求證明）【考點】C

21、B：古典概型及其概率計算公式菁優(yōu)網版權所有【專題】5I：概率與統(tǒng)計【分析】（）由圖查出13天內空氣質量指數小于100的天數，直接利用古典概型概率計算公式得到答案；（）用列舉法寫出此人在該市停留兩天的空氣質量指數的所有情況，查出僅有一天是重度污染的情況，然后直接利用古典概型概率計算公式得到答案；（）因為方差越大，說明三天的空氣質量指數越不穩(wěn)定，由圖直接看出答案【解答】解：（）由圖看出，1日至13日13天的時間內，空氣質量優(yōu)良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天由古典概型概率計算公式得，此人到達當日空氣質量優(yōu)良的概率P=；（）此人在該市停留期間兩天的空氣質量指數（86，25）、（25，

22、57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13種情況其中只有1天空氣重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4種情況，所以，此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率P=；（）因為方差越大，說明三天的空氣質量指數越不穩(wěn)定，由圖看出從5日開始連續(xù)5、6、7三天的空氣質量指數方差最大【點評】本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了一組數據的方差和標準差，訓練了學生的讀圖能力，是基

23、礎題17（13分）如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAADE和F分別是CD和PC的中點，求證：（）PA底面ABCD；（）BE平面PAD；（）平面BEF平面PCD【考點】LS：直線與平面平行；LW：直線與平面垂直；LY：平面與平面垂直菁優(yōu)網版權所有【專題】5F：空間位置關系與距離；5Q：立體幾何【分析】（）根據條件，利用平面和平面垂直的性質定理可得PA平面ABCD（）根據已知條件判斷ABED為平行四邊形，故有BEAD，再利用直線和平面平行的判定定理證得BE平面PAD（）先證明ABED為矩形，可得BECD 現證CD平面PAD，可得CDPD，再由

24、三角形中位線的性質可得EFPD，從而證得 CDEF 結合利用直線和平面垂直的判定定理證得CD平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理證得平面BEF平面PCD【解答】解：（）PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性質定理可得PA平面ABCD（）ABCD，ABAD，CD=2AB，E和F分別是CD和PC的中點，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BEAD又AD平面PAD，BE不在平面PAD內，故有BE平面PAD（）平行四邊形ABED中，由ABAD可得，ABED為矩形，故有BECD 由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PA

25、D，故有CDPD再由E、F分別為CD和PC的中點，可得EFPD，CDEF 而EF和BE是平面BEF內的兩條相交直線，故有CD平面BEF由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD【點評】本題主要考查直線和平面垂直的判定定理，直線和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性質定理的應用，屬于中檔題18（13分）已知函數f（x）=x2+xsinx+cosx（）若曲線y=f（x）在點（a，f（a）處與直線y=b相切，求a與b的值；（）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，求b的取值范圍【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網版權所有【專題】53：導

26、數的綜合應用【分析】（I）由題意可得f（a）=0，f（a）=b，聯立解出即可；（II）利用導數得出其單調性與極值即最值，得到值域即可【解答】解：（I）f（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），曲線y=f（x）在點（a，f（a）處與直線y=b相切，f（a）=a（2+cosa）=0，f（a）=b，聯立，解得，故a=0，b=1（II）f（x）=x（2+cosx）令f（x）=0，得x=0，x，f（x），f（x）的變化情況如表： x （，0） 0 （0，+） f（x） 0+ f（x） 1 所以函數f（x）在區(qū)間（，0）上單調遞減，在區(qū)間（0，+）上單調遞增，f（0）=1是f（x）的最小值當b1時，

27、曲線y=f（x）與直線x=b最多只有一個交點；當b1時，f（2b）=f（2b）4b22b14b2b1b，f（0）=1b，所以存在x1（2b，0），x2（0，2b），使得f（x1）=f（x2）=b由于函數f（x）在區(qū)間（，0）和（0，+）上均單調，所以當b1時曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個不同的交點綜上可知，如果曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個不同的交點，那么b的取值范圍是（1，+）【點評】熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值及其幾何意義是解題的關鍵19（14分）直線y=kx+m（m0）與橢圓相交于A，C兩點，O是坐標原點（）當點B的坐標為（0，1），且四邊形OABC為

28、菱形時，求AC的長；（）當點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形【考點】IR：兩點間的距離公式；K4：橢圓的性質菁優(yōu)網版權所有【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（I）先根據條件得出線段OB的垂直平分線方程為y=，從而A、C的坐標為（，），根據兩點間的距離公式即可得出AC的長；（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，只須證明若OA=OC，則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數設OA=OC=r，則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓的交點，從而解得，則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數于是結論得證【解答】解：（I）點B的坐標為（0，1），當四邊形OABC為菱形時，ACOB，而B（0，1），O（0，0），線段OB的垂直平分線為y=，將y=代入橢圓方程得x=±，因此A、C的坐標為（，），如圖，于是AC=2（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，利用反證法，假設四邊形OABC為菱形，則有OA=OC，設OA=OC=r，則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓的交點，故，x2=（r21），則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數從而得到點B是W的頂點這與題設矛