1、中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO)歷屆試題及解答1986-2005第一屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(198G年)天津南開大學(xué)1. C知為實(shí)數(shù).如果它們中任總兩數(shù)Z和非負(fù)那么對(duì)于滿足列+匚2= 1的任意非負(fù)實(shí)數(shù)巧円,，珀有不等式01X1 + 22 HH Hn 1屛 + 2卅 HF 5：成立.請(qǐng)證明上述命題及其逆命題.證明:顒命題的證明:由0 % w 1 # 2 0, Ti 2 xf(i = 1 2，n).(1) 若Qi 0(i = 1,2口),則顯然有引叼 +a2X2 Hanxn axx + a2x| 45比；(2) 否則至少存在一個(gè)叫 0.由對(duì)稱性不妨設(shè)心 0(? = 2,3,n).99Q5巧 + a2x2 +

2、 十 anxn - 一 a2xanx=01(X1 一#) + 切(攵2 述)十+ 5(巧-Xn) 01(1 - Xi) + (-ai)(X2 一卅)+ + (-l)(xn -比)=(ai)(Xj X2 云一巧 + 2卜 Xn)=(-引)(妤_巧十(1 _巧)_遙遵)=(-1)(1 -xi)2請(qǐng))=(-ai)(工2Hn)2 -喝)0最后一步是llj于X2,T3.,Xn 0.(T2十十兀尸=述十十此十 刀 XHj 2述晡.逆命題的證明:對(duì)于任意的1 G V j W n,令為=Xj =蘇其余珂均等于0則+幻) l(ai + aj).為+勾0,即任兩數(shù)之和非負(fù).證畢.2. 在三角形ABC.BC邊上的d

3、iAD = 12.ZA的平分線4E = 13.設(shè)BC邊上的中線4F = m.問m在什 么范碉內(nèi)取值時(shí)厶4分別為銳角.直角，鈍角？解:設(shè)O為dWC的外心.不妨設(shè) AC,ZB為銳角.則OF垂直平分線段BC,由外心的性質(zhì),ZC為銳角時(shí)Z.OAB = AOBA = |(180 - LAOB= (180 -2ZC) = 90 -ZC.乂因?yàn)?D 丄 BC,：. ACAD = 90。一 ZC. ZOAB = ADAC.類似地.當(dāng)ZC為山角或鈍角時(shí)也有ZOAB = ADAC.hAE平分Z.BAC.ABAE = Z.CAE.：. AOAE = ZDAE.(山于F. DE兩側(cè)).為銳角時(shí),0.4在C同側(cè).ZFA

4、E ZOAE = ADAE由正弦定理般雄=能X茅貞中DE = VAE2 - AD1 = 5,FE = FD- DE = /AF2 - AD2 - DE = /護(hù)必-5 0. /. m 13,且ZS為銳角等價(jià)于的于-5 X 1.m解得當(dāng)13 m需時(shí),6為鈍角.3. 設(shè)Z1,Z2,，z為復(fù)數(shù)，滿足kl| + Z2 + + Zn = 1.求證:上述個(gè)復(fù)數(shù)中必存在若干個(gè)復(fù)數(shù)，它們的和的模不小于石證明:設(shè)族=Xk + yki(Xk,yk R.Ar = 1.2.n)將所冇的“分為兩組X.Y.若以| 2 |%|則將“放入X中;若|如2 |琛|則將“放入Y中.其中必冇一組中 所冇復(fù)數(shù)模長(zhǎng)之和不小于；.不妨設(shè)為

5、X.再將X中的復(fù)數(shù)分為兩組A.B.若斗2 0.則將“放入A中:若現(xiàn)冬0.則將“一放入B中.英中必冇一組中的 所有復(fù)數(shù)摸長(zhǎng)之和不小于；不妨設(shè)為A.則S隊(duì)V即E丿喬砒zkQAzkQA而對(duì)干4 A.xl 彳 yk-x/xk + yt M v/2-rjt.52 xk 上 y2 -e- I 52 胡=丨刀叼T + i 52 J/A.-I刀班 2W4y/2 I-fc4即A中交數(shù)之和的模不小于卜證畢另證:設(shè)“ =xk + yki(xk,yk R.Ar = L2.n)則I以I = !瑰+魂2 |斗| + yk- E 1*1 + M 1k=i I E + 丨刀班I + 丨刀 yk + E 1.工少0xkoykO

6、yk .證畢.斗20工少0珂224. 己知:四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位于三角形ABC的邊Jt.求證:四個(gè)三角形必尸2丹仏卩2心2口幾心/9刊戸中至少冇一個(gè)的而積不大于 ABC的面枳 的四分之一.證明:冇兩種怙況：(1)四個(gè)頂點(diǎn)在兩條邊上;(2)卩q個(gè)頂點(diǎn)在二條邊上.不妨設(shè)幾口億43上母，巾在4C上口,灼分別在APAP3上將移至H.C移至心三角形ABC的 而積減小.歸為情形(2).不妨設(shè)B在匕D在4C上電戸在BC上舟右1C上.(2.1) 若幾幾| BC.設(shè)裁=裁 =WE = XBC.PH到“C的距離為(1 一入)為三角形4BC中C邊 上的高的長(zhǎng)度.Spip2p3 = A(1 - X)Sabc W Sab

7、c-(2.2) 若DD不平行于BC.不妨設(shè)Pi到“C的距離大于刊到BC的距離.過E作平行于BC的tL線 交4于E.交HR I D.則牡卩“”3, 5ap4p2p3中冇-個(gè)不大T5adp2p3,也就不大T5aep2p3.由(2.1)知SmaPs $ Smc則S“P2P3，S巴RE中冇一個(gè)不大 r；SaiBC.證畢.5. 能否把1.1.22. J986.1986這些數(shù)排成一行，使得兩個(gè)1之間夾著1個(gè)數(shù).兩個(gè)2之間夾著2個(gè)數(shù)，兩 個(gè)1986之間夾著1086個(gè)數(shù).請(qǐng)證明你的結(jié)論.解:不能假設(shè)可以做出這樣的丼列將已排好的數(shù)按順序編號(hào)為1.2.,3972.憐為奇數(shù)時(shí).兩個(gè)“的編匕奇偶性相同:當(dāng)“為偶數(shù)時(shí)，

8、兩個(gè)八的編號(hào)奇偶性不同.而1到1986之間冇993個(gè) 偶數(shù).所以一共冇2k + 993個(gè)編號(hào)為偶數(shù)的數(shù).仏 N*)但是1到3972之間冇1986個(gè)偶數(shù).斤=J96.5.矛 厲所以不能按耍求排成這樣一行.6. 丿|任意的方式.給平而上的每一點(diǎn)染上黑色或口色.求證:一定存在一個(gè)邊長(zhǎng)為1或蟲的正三角形.它的 三個(gè)頂點(diǎn)足同色的.證明:若平而上存在距離為2的兩個(gè)點(diǎn)4.異色.設(shè)O為它們的中點(diǎn)，不妨設(shè)4.0同色.考虜以40為一 邊的正三血形AOC. AOD.若冇一個(gè)與力.O同色側(cè)該三角形滿足題意.否則BCD為邊長(zhǎng)辺的 同色正三角形.(2)否則平而上任兩個(gè)距離為2的點(diǎn)均同色,考慮任總兩個(gè)距離為1的點(diǎn).以他們連

9、線為底.2為腰長(zhǎng)作等腰 三角形.則任一腰的兩頂點(diǎn)同色.所以三個(gè)頂點(diǎn)同色.即任兩個(gè)距離為1的點(diǎn)同色.所以平而上任意一個(gè)邊 氏為1的止二角形二個(gè)頂心冋色.證畢.3第二屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1987年)北京北京大學(xué)1設(shè)”為Il然數(shù)，求匹方程列+1 -曰- 1 =0有模為1的復(fù)根的充分必耍條件足n + 2可被6整除.證明:當(dāng) 6|n + 2 時(shí)，令 z = eG = * + 乎 i, = l,z = 1.n+1 -zn-l= e 崎 一 e詩(shī)一 1 =(； 一乎 i) 一(一; 一字i) 一 1 = 0.沖一肝- 1 = 0有模為1的復(fù)根.若日+1 一刃一 1 = 0有模為1的復(fù)根=cos61 + ic

10、osO則二n+1 一 z” _ i =(COs(n + 1)0 cos n0 1) + i(sin(n + 1)0 sin nO) = 0./. cos価 + 1)0 cos nO 一 1 = -(2 sill +10 sin $ + 1) = 0.sin(n + 1)0 sin nO = 2 cos 尹 0 sin | = 0.cos -0 = 0,sin -0 = 1,sin ( = 土*,設(shè)| = tp.(1) sin =號(hào),sin(2n + l)p = 1. ip = 2kn + 詈或2上7T + 普，人 Z.(2n + 1)卩=(2Z + f)7T(Z G Z). /. (2n +

11、l)(2Ar + J) = 2Z + |,畔=2f + 鼠 n = 6f + 4(t E Z).或(2n + 1)(2上 + 審)=2i + 宅也=2f + |?5|4t + 3.f 三 3 (mod 5)(/ G Z).設(shè) f = 5s + 3、則幾=6s + 4.總仃 6|” + 2.(2) sin c.ld小的數(shù)為cJd人的數(shù)出現(xiàn)在線段4“的任意 結(jié)點(diǎn)上.當(dāng)池為糾數(shù)時(shí)與C瑕近的為4屮點(diǎn)加短距離為乎.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)JJCM近的為4B|點(diǎn)向兩 邊偏命的點(diǎn).瑕短距離為1丿3+掃將這個(gè)三角形繞中心旋轉(zhuǎn)討.討弧度.得到的網(wǎng)個(gè)三角形也滿足題意(2).將這三個(gè)三角形對(duì)應(yīng)結(jié) 點(diǎn)的數(shù)和加形成的三角形也滿足，

12、三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)均為a + b + c.由的分析知所有結(jié)點(diǎn)上的數(shù)均 為a + b + c.共！(口 + l)(n + 2)個(gè)結(jié)點(diǎn),S = j(|(n+ 1)(口 +2)(a + B + c)=百(n + l)(n + 2)(a + b + c). 3束次體G比賽.毎兩妊F都進(jìn)行一場(chǎng)比賽.毎場(chǎng)比賽一沱決出勝負(fù),通過比賽確怎優(yōu)秀選F,選 FA被確宦為優(yōu)秀選乎的條件是:對(duì)任何其它選手B,或者A勝B,或者存在選FC,C勝B.A勝C.結(jié)果按上 述規(guī)則確定的優(yōu)秀選手只冇一名，求證:這名選手一定勝所冇It它選于.證明:假設(shè)該優(yōu)秀選T為A,且存在Jt他選戸勝A.設(shè)B為所冇勝A的人中勝的場(chǎng)次最多的一個(gè).由B不足優(yōu)

13、秀選必存在選FC使得C勝氏且不存在選 FD使得B勝D.D勝C.山B勝A.C也勝A.且C勝B勝過的所冇人.C至少比B多勝-場(chǎng).J1C勝A,與B的選取 矛厲所以A勝所有人.4. 在個(gè)面枳為1的正三角形內(nèi)部,任意放五個(gè)點(diǎn)，試證:在此正三角形內(nèi)，定可以作三個(gè)正三角形蓋住 這五個(gè)點(diǎn)，這三個(gè)正三角形的備邊分別平行于原三角形的邊，并11它們的面積之和不超過0.61證明:可將0.64換成霧+ （ 0）.在而積為1的正三角形ABC中，在43上取4i.B2.4CHM2,Ci?BC上取Z?bC2,使得= AA2 = BBi = BB2 = CC = CC2 = AB.連結(jié) 4心2,血1,交于 AQ.BC0.若4B2

14、Ci,ZBC24i,ZC42i中冇一個(gè)至少包含五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)另兩個(gè)點(diǎn)可分別用而枳為彳的 正三角形覆蓋，面積之和為（罟）2 + 2 X專=將+若.菱形AAiA BBl Z?oB2, CCiC0C2中冇兩個(gè)冇兩個(gè)點(diǎn).另一個(gè)中冇一個(gè)點(diǎn)，則可用兩個(gè)邊K 為的正三角形和-個(gè)而積為的正三角形覆蓋.而積之和為2（務(wù)）2* 0）為最優(yōu).5. 設(shè)仏血禹人足一個(gè)四而體，Si，S2j分別足以如/24344為球心的球，它們兩兩相外切如果 仔在一點(diǎn)O.以這亢為球心可作 個(gè)丫：禪為r的球與Si,S2.S3，S4都相切.還可以作-個(gè)丫潅為/的球和 四而體的棱祁相切求證:這個(gè)四而體足正四而體.證明:設(shè) S 的半徑為匚卩=1,

15、2,3,4）. WiAiAj = n + r/l 冬 ivj W 4）.設(shè)O到A2A3A4的投影為到蟲2力彳山彳兒山必?的距離相等，衍到到血加如的三邊距離相 等.即。1為厶A2A3A4的內(nèi)心.設(shè)O到應(yīng)心的投彫為，即到力2力3的投影.而蟲3 =扛加如+加九 人2血）rs.OB = R.若半徑為r的球與四個(gè)球均外切，則A3O = r + r3,（r + r3）2 = rf + /?2,廠3 = 廠 若半徑為r的球與四個(gè)球均內(nèi)切.則如0 = r-r3,（r-r3）2 =禺+圧嚴(yán)=窪竺.類似可求得均 為該值，所以該四面體條棱長(zhǎng)相等為正四而體.6. m個(gè)互不相同的正偶數(shù)與“個(gè)互不和同的正奇數(shù)的總和為19

16、87,對(duì)于所冇這樣的川加.問3m+ 4的 最大值是多少?請(qǐng)證明你的結(jié)論.解:設(shè)m個(gè)正糾數(shù)為心 2 - m,n個(gè)正偶數(shù)為加2 2i,bj 2j - 1.1987 = d + 2 + + rn + 加 + i2 + + 幾./. 1987 上 2 + 4 + F 2m + 1 + 3 + + 2 1 = m2 + m + n2.設(shè)s = 3m + 4n.m = (s 4n),(s 4n)(；(s 4n) + 1) + n2 W 1987.s2 一 8n.s + 25n2 + 3s 12n -9 x 1987 W 0s2 + (3 8n)s + 25n2 12?i 9 x 1987 W 0所以判別式

17、 = (3 - 8n)2 - 4(25/ - 12n -Ox 1987) = 26(19871 - n2) 0.s 0 |(8n 一 3 十 619871 -n2).設(shè)/(n) = 8n + 619871 - n2. f(n) = 8 - G/i(19871 一 衛(wèi))7,又n為奇數(shù).不難知ifln = 35時(shí)J(“)右故人值280 + 6丿762卜所以$ C ；(280 + 6丁762$ 一 3),由s N, s 冬 221.又當(dāng)s = 221,n = 35, m = 27.取2,4 52.60.1.3 69為和為1987的35個(gè)正奇數(shù)與27個(gè)正偶數(shù)，所以3/n + 4n的最大值為221.6第

18、三屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1988年)上海復(fù)旦大學(xué)1. 設(shè)6理2,.,陽(yáng)是給定的不全為零的實(shí)數(shù),22,，6為實(shí)數(shù)，如果不等式rl(Jl 一 1) + r2(x2 - tt2)Hrn(xn _ an) W y X1 + X2 Xn _ y al + a2 an對(duì)任何實(shí)數(shù)巧,工2,，巧成立，求心,尸2,陷的值.解:令叭=0(i =+ r2a2 + + rnan) W -J叭 + 血十+ 盛. (士 n02 S ?tl令叭=2ai(i = 1,2, n),riai + 廠2。2 HF rnan d + a參卜必.(E ri)2 M E ? i=li=l= 孑.i=li = l由Cauchy不等式,(f

19、r?)(f ?) (f r)2, f r?1.S1 ilili 又令町=r,(i = 1,2, .),刀斤一刀ZW 為尺- i-i t-iy i-i V -i由亡w = 石,、號(hào)亡於$ 1- Vi=l *=1 Vi=1 i . fr? = 1 .由6uchy不等式取等號(hào)的條件知盞=訂=羞.1=1不難解得心=.：,衛(wèi) =1.2,.,n).af + aga 盒2. 設(shè)Ci,C2為同心圓,C2的半徑是Ci的半徑的2倍.四邊形AiA2A3A4內(nèi)接于6,設(shè)延長(zhǎng)線交圓6于內(nèi)力皿2延長(zhǎng)線交C2于陰.如如延長(zhǎng)線交圓C2于3,力3創(chuàng)延長(zhǎng)線交圓6于B1.試證:四邊形的周長(zhǎng)22(卩口邊形AiA2A：iAl的周長(zhǎng)).

20、并確定等號(hào)成立的條件.證明:設(shè)圓心為O,連結(jié)OB】，034,044,設(shè)Ci的半徑為KG的半徑為2R在四邊形B4A4OBt中，由Ptolemy定理,0如 * B1B4 + OB1 x A4B4 OB4 x A4Bi，R x B1B4 十 2R x A，i 2 2R x AB ,&PZ?|2 2AB|同理B1B2 2 2A1B2 2X151,23 2 2A2B3 2A2B2.2 2A3B4 2A3B3.相加得+ B2B3 十 十 13.13 2 2(AA2 + A2A3 十 j4：Mi 十 AA).即四邊形B1B2B3B4的周長(zhǎng)22(四邊形4i424：Mi的周長(zhǎng)).等號(hào)成立時(shí) 0433+1 共圓=

21、 ZB,+i/?,O = ZB,Z?i+iO =/. AiiAi = AiAii = 1，2,3,4*5 = AiAq = Bi).AA為菱形.又為圓內(nèi)切四邊形，所以AAiA.Ai為正方形.3. 在有限的實(shí)數(shù)列創(chuàng)回,5中，如果一段數(shù)皿心+1,的算術(shù)平均值大于1988,那么我們把這段數(shù)叫做一條“龍” 并把g叫做這條龍的“龍頭”(如果某一項(xiàng)5 1988.W么單獨(dú)這一項(xiàng)也叫 龍).假設(shè)以上的數(shù)列中至少存在條龍，證明:這數(shù)列中全體可以作為龍頭的項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)也必定大于1988.證明:引理:設(shè)儀m 心+心均可作為龍頭心+協(xié)不能作為龍頭.或斤+ m - 1 = n,則5心+1,. . . ,5十皿_1的算

22、術(shù)平均值大于198&引理的證明:對(duì)皿用數(shù)學(xué)歸納法.m = 1時(shí)，設(shè)以5為龍頭的一條龍為 5“.，5+1.若Z = l,ak 1988,顯然成立.否則I 1,由屮，以+算術(shù)平均值大于1988,a屮不是龍頭,afc+iajt+i-iW術(shù)平均值不大于1988皿 198&結(jié)論成立.設(shè)小干m時(shí)結(jié)論均成立(m 2 2),設(shè)以“為龍頭的-條龍為ak.ay . ,aw_i.1 W / W m時(shí)應(yīng),十1,.心+_1算術(shù)平均值大于1988,由歸納假afc+/,.?afe+m_i3術(shù)平均值大 T1988,結(jié)論成立.I m 時(shí)，由不是龍頭,ajfc+m,ajfc+m+i,.,ajt+f_i 算術(shù)平均值不大于1988,

23、 afe.afc+i,.術(shù)平均值大于1088.結(jié)論顯然也成立.綜上所述由數(shù)學(xué)歸納法，引理成立.所右的丿乙夫?yàn)? a：i+l, , j+jj13+1 , a+j21, , Qi*,血&+1, , di*+旅1,其中 1 且 dn+l im + Jm(m = 1, 2,，上一1,懇1).由引理:,%+,的算術(shù)平均值大于1988(m = 1,2,.,町所以所有龍頭的算術(shù)平均值 也大干198&證畢.4. (1)設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足(a2 + 於 + c2)2 2(a4 + 滬 + c4).求證:a,b,c定是某個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng).(2)設(shè)n個(gè)正實(shí)數(shù)引心,滿足(a； + + + a：)? (7i

24、l)(a； + a扌十.十 a書)其中和$3.求證:這空數(shù)中任何三個(gè)一定是某個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng).證明：(1)若不然，不妨設(shè)c 2 G十b則2(a4 十滬十 c4) - (a2 + 護(hù) + c2)2=a4 + 滬 + c - 2a262 - 262c2 - 2c2a2=(a + 6 + c)(a + b c)(b + c a)(c + a b) $ 0矛盾a, b, c為某個(gè)三角形三邊長(zhǎng).(2)n = 3即為(1)|的悄況 3時(shí).若存/!： ：個(gè)不是某個(gè)三角形三條邊長(zhǎng).不妨設(shè)為5.切衛(wèi)3則由均 值不等式（n l）（oj 十 a：十 十 a：） a l +滬+(4,(啟+以十c2)2 2(a4十6

25、1十c4)./ 1 + fl2 + fl3 硏 + 邂 + 2 2但由(1)X0 4243為某個(gè)三角形三邊長(zhǎng)，矛盾所以這些數(shù)中任何三個(gè)一足是某個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng).5. 給出三個(gè)以面體4民GD(d = 1.2.3),過點(diǎn)BiG、D,作平由心,了& = 1,2,3),分別與棱A.Bt,AtCh 40垂直卩=1,2,3),如果九個(gè)平面= 1.2.3).相交于一點(diǎn)E,而三點(diǎn)AA2,A3在同一直 線2上，求三個(gè)四血體的外接球面的交集(形狀怎樣?位置如何?)解:AiBi丄于盡，而E在w上,.AiBi 在以為直徑的球上.同理CM也在以兒E為直徑的球上，竝的外接球即為在以4E為宜徑的球.若E在i上.顯然這三個(gè)

26、球的中心也都在Z上,它們必在E處兩兩相切,交集為E.否則E不俶上，三個(gè)球的球心在同一條宣線上(A4M2中位線所心宜線)，且這三個(gè)球都過點(diǎn)E.交集為 一個(gè)風(fēng)直徑為EE,其中E為E到2的垂足.6. 如71是不小于3的自然數(shù)，以幾71)表示不是n的因子的最小自然數(shù),例40/(12) = 5如果/( 3,又可 作/(J(n).類似地，如果J(/(n) 3,又可作/(/(/(n).等等.如果/(/( /(n) ) = 2.共有上個(gè)人就 把h叫做八的“長(zhǎng)度”.如果匚表示n的長(zhǎng)度試對(duì)任意自然數(shù)“3),求仁.并證明你的結(jié)論.解:設(shè)n = 2k - m(m為奇數(shù)).若k = 0,“為奇數(shù)J(n) = 2.仁=1

27、.若k 0考慮所有小于21的正奇數(shù)若它們均為八的因子，由2屮且小于2葉1的偶數(shù) = 2卩 q(p 札 g為奇數(shù))，由g|n,2P|n,gcd(g,2P) =/(n) = 2fc+1J(/(n) = 3,/(/(/(n) = 2,Zn = 3.否則取最小的必為奇數(shù)否則f必有一個(gè)奇因子不整除n.綜上所述.A /(n) = t/(/(n) = 2J=2.奇數(shù)n = 2* 為奇數(shù))所右小于2人計(jì)1的川奇數(shù)不全拈除”“ =2k 為奇數(shù))所仃小J-2A + ,的1E奇數(shù)均整除9第四屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1989年)合肥中國(guó)科技大學(xué)1在半徑為1的圓周上，任總給宦兩個(gè)點(diǎn)集4”.它們都山有限段互不相交的弧組成，M

28、1B的每 段的氏度都等于角.m是然數(shù).川如農(nóng)示將集逆時(shí)針方向在圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)辱弧度所紂的集介 (J = 1,2,.).求證:存在自然數(shù)人.使得Mg L(A)L(B).這里L(fēng)(X)21) = L(A)L(B)2設(shè)x,X2.嚴(yán)I都是正數(shù)(“ 2)且xi +2xn = 1求證:證明:不妨設(shè)Xi x2 由Chebysliev不等式Etl由Cauchy不等式nyjn(n - 1)t=l t=l3. 設(shè)S為父平血上的單位関周(即模為1的父數(shù)的集介)J為從S到S的映射.對(duì)于任總z 6 S旋 義/=/(z)J(2)(z) = f(f(z),J(k)(z) = f(/d)(z).如果 c S,使得/(c)豐 cj(

29、2)(c)豐 J(”)(c)豐cj()(c) = c.則稱c為/的n-周期慮設(shè)m是大于1的自然數(shù)，/定義為幾2)=列, 試計(jì)算/的1984周期點(diǎn)的個(gè)數(shù).解:記毎=& S|z是/的n -周期點(diǎn).“ = c 6 Sfn(z)=計(jì)為幾的不動(dòng)點(diǎn)集合.顯然幾C Bn,又fl(Z)= Zm,. fn(Z)= Zmn.Ai(z) = z 臺(tái)尹=z,又|z| = 1,. zmn- = l,|Bn| = mn - 1.我們證明Bn,4n有如下性質(zhì)：若上忸,WjBjt C鳳；事實(shí)上，令n =切，若c 6 Bk.fk(c) = c.則/“(c) = fkq(c)=幾伍(A(c) ) = :.J 一c Bn，Bk U

30、 Brtg個(gè)A Bn = Ecd(4n),gc(l.町為人與n的垠人公約數(shù).由(1).gcd(fc.n) Q Qr,gcd(A:m) C n,：. 肛d(上,n) C 坯 A Bn.反之，設(shè)c 6 Bk c Bn,fk(c) = cjn(c) = c,不妨設(shè)上 V n.則fn_k(c) = fn-k(fk(c) = /n(c) = q由輾轉(zhuǎn)相 除法知/gcd(4n)(c) = C,：. C e gcd(jt,n), H Bn C Bgcd(;. n). Bk Pl Bn = Bgcd心)(3)c E Bn An Bk n. k C N使Ar|nJlc 充分性足昭然的(由),設(shè)c Bn An.f

31、n(c) = c.且存在/ .使得力(C)= c.&.k = gcd仏八),則/t(c)= c.c 6且人 / n? Ar|n證畢.由 19E9 = 32 x 13 x 17,若上|1989且人 1989&必整除3 x 13 x 17,32 x 13.32 x 17屮至少一個(gè). BaC3663 U153U117, 41989 = 1989 ( U 。小=1989 (“663 U Z?153 U 2?117). *11989由容斥原理/的1989周期點(diǎn)個(gè)數(shù)為119891 = |1989| - I“6631531 - | + |663 介 153| + |663 門 “1 + 1617 門 1|民

32、63153 Q 11?|=119891 |B663| - |B153| 一 | 十 |民1| + 舊3譏 + |Bg| 一 |場(chǎng)|=(ml _ 1) _ rn663 _ i)_ (m153 _ i)_ (小7 _ J + (皿51 _ i)十(譏39 _ +(m9 - 1) - (m3 一 1)=m1989 - m663 - m153 - m117 十 m51 十 m39 + m9 - m3丄設(shè)點(diǎn)D. E. F分別在 ABC的三邊BC, CA. AI3h,且4EF. FD 的內(nèi)切圓冇相等的半 徑r.又以m和R分別表示4DEF和4BC的內(nèi)切関半徑.求證:r + ro = R.證明:設(shè)周長(zhǎng)為/,面

33、積為S.內(nèi)切圓為GJ.在*邊的切點(diǎn)為RQ.MDEFhF長(zhǎng)為人而積為0.厶AEFbBFDACDE的而積分別為SS2.S 切圓分別為在乞邊的切點(diǎn)為只,Qi./?& = 1,2.3).由面積公式2S = Rl、2S，= r&、2S = r(AE + EF + FA), 2S2 = r(BD + + FB), 2S3 = r(CD + DE + EC).又S = S + Si + S2 + S3, Rl = r0r + r(/ + 卩)，即(R - r)/ = (r + r0)Zz.又AQiARiBQ2BP2CPsCR3r=j =AQARBQBPCPCRR.i QiQ2 P2P3 RR3 _ r1=亓

34、又Q1Q2 十 D凡十 R R： = QiF + FQ2 + PiD + DP + RE + ERi=Pi F 十 /?2F 十 DR? + DQ3 + EQ： 十 EPi = V. ； = 1 - $.(7? - r)R =(r + r0)(/? - r), /? = r + 口).證畢.5.空間中冇1989個(gè)點(diǎn)其中任何三點(diǎn)不共線.把它們分成慮數(shù)并不相同的30組在任何三個(gè)不同的組中 各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，求三角形個(gè)數(shù)的最大值.解:由分組情況冇限，三角形個(gè)數(shù)必存在最大值，設(shè)分為30組，各組點(diǎn)數(shù)為乃 x2 . 0j#m+1/值增大類似的若存在6 1.229.?： 2巧+i-巧2,將孫調(diào)整為冬+

35、 1 巧+i調(diào)整為巧十1 一 1J值增大.所以劃取垠大值時(shí)叭,丁2丁 30中相鄰兩個(gè)的差最多有一個(gè)是2.其余均為1.如果折有的均為11989 =叼十(可+ 1)+(列+29) = 30巧+435,巧不是整數(shù)，矛盾.設(shè) xf+1 -zt =2.1 Wf W29,則 1989 =可十充 + + 工30 = 30xi + (1 + 2 + + - 1)十(f 十 1 + 十 30) = 30可 + 465 - t.30zi -t= 1524. xi =51,f = 6.此時(shí)各組的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為51,52,.,56.58.59.,81.6.設(shè)/ : (1.4-OC) (l,+oo)滿足以卜條件：對(duì)于任

36、意實(shí)數(shù)工,?/ 1.及M, U 0,有f(xuyv) C試確定所仃這樣的旳數(shù)/ 解:令E = y,u = V = (t 0),則/(卅)C (/(巧比 以卅代父,沖,KiJ/(x) c (/(*)/(/) = (/(巧)設(shè)/(e) =c,c 1,則/Xh) = /(e)=品.另外，當(dāng)/仗)=c7h(c 1)時(shí) J(xuyv)=inx + v |n y /(X)/(1/)=心“爲(wèi) + 品爲(wèi).由Cauchy不等A,(wlnx + vlni/)(T77|?r7 +而)1./.汕廳卻陰崙行十 所以所求函數(shù)為/(h) = C需(G 1).第五屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1990年)鄭州中學(xué)生數(shù)理化編輯部1. 在

37、凸四邊形ABCD,AB與CD不平行.Oi過人且與邊CD相切于只02過C.DUJj邊43相切 丁Q. GOi lj0O2相交于E.F.求證:EF平分線段PQ的充分必耍條件K1BC | AD.證明:分兩部分UE明結(jié)論.(1) EF平分PQ的充耍條件為PC PD = QA- QB.設(shè) EFl-jP Q 交線 PQ 于 QOi. QO2 分別交 丁J/. PC PD = PI PQ.QA QB = PQ QJ. KQ KI = KE KF = KF KJ.:.KQ (AT + IP) = KP (KQ + QJ), KQ IP = KP QJ.:.IP = KQIP = QJ PC PD = QA Q

38、B.(2) BC | 4D充要條件為PC PDQA- QB.設(shè)ABjDC交于S.BC |o 燙=翱.而SP2 = SA SB. SQ2 = SC SD.PC PD = QA QEo (SC 一 SP)(SP 一 SD) = (SB 一 SQ)(SQ 一 SA)o (SC + SD)SP - SP2 -SC SD = (SB + SA)SQ 一 SQ2 -SA SBo (SC + SD)SP = (SB + SA)SQo (SC + SD)2 -SA SB= (SA + SB)2 SC-SDSC 1 SD i 9 _1 SB i 9又嶷 1蛉 v 1,. PC PD = Q4 Q o 奚=黑 0

39、 C | AD.所以EF平分線段PQ的充分必要條件是C | AD.2. 設(shè) 1:是-個(gè)口然數(shù).若一串 口然數(shù)o = 1 xi X2 0. fMf(y) 滬/(刃 + *($)；(2) 存在常數(shù) 0,當(dāng)0冬工W 1時(shí).|/(z)| W M.求證:對(duì)任意龍 0 J(工)W x2.證明:令工=叢(/(工)2 W2工2/怎).令工=0.(/(0)2 w 0.-. /(0) = 0,滿足結(jié)論.假設(shè)存在工 0,使得心 坍用歸納法證明/碼) 22”-心/ w N) n = 0時(shí)顯然成立，設(shè)n = Ar時(shí)成立J(承) 225“./ x)、(/(齊)2、(22 _2fc_1r2)2 _ 22fc+1-2(fc+

40、l)-12即71 = Jt+ 1時(shí)也成立，所以對(duì)任意n NJ(去) 22n-2n-1x2.又n t +oo時(shí),2 2n 1 * 十8,黑一* 0.環(huán)當(dāng)n mi時(shí).0 齊 m時(shí)滬亠譏2 A/.嘆m = niaxfnip/nJ.O - M矛用.所以對(duì)任意r 2 0./(z) W x2.4. 設(shè)a是給定的正整數(shù).4和足兩個(gè)實(shí)數(shù)，試確定方程組：z2 + 1/2 += (13a)2(1)x2(Ajc2 + By2) + y2(Ay2 + Bz2) + z2(Az2 + Bjc1) = j(2A + Z?)(13a)4(2)冇整數(shù)解的充分必耍條件(WA.B的關(guān)系式表示.并了，以證明).解:-f x (1尸

41、,得(4 -尋)(,十滬 + )= 1(4 - f)(13a)4.若4 =筑與(2)等價(jià)，不難驗(yàn)證工=3a, y = 4a,z = 12a為一組解.若4齊尋，則2(/ + ?) = (13)4(3)2|a,設(shè) a = 2aj,z4 + y4 + 24 = 8(13i)4.若z.y.z不全為偶數(shù).則必為兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)十滬十,三2 (mod 4).矛盾.2i,2y,2z.設(shè)e = 2鞏內(nèi)= 2y、z = 2刁，則若(ar,y,z,a)為(3)的解,(巧,的,刁,a】)也為(3)的解.類似可依次得到(叼222衛(wèi)2)也為(3)的解，等等.但這個(gè)過程不能一直進(jìn)行下去.矛盾.所以方程組冇整數(shù)解的充分必要

42、條件為力=尋.5. 設(shè)X足一個(gè)冇限集介，法則/使得X的毎一個(gè)偶子集E(偶數(shù)個(gè)元素組成的子集)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)/(E), 滿足條件：存任一個(gè)偶子集D使得/(D) 1990;對(duì)于X的任意兩個(gè)不相交的偶子集4, B.n/(/lUZ?)= /(4) + f(B) - 1990.求IE：存在X的子集P.Q,滿足(1)PCQ = 0.PUQ = X;對(duì)P的任何非空偶子集S.lf(S) 1990:對(duì)Q的任何偶子集T,tj/(T) W 1990.證明:考慮X的所冇偶子集經(jīng)法則/得到的實(shí)數(shù)最大的 個(gè)為卩.若不止-個(gè)，取元素個(gè)數(shù)嚴(yán)少的一個(gè). Q = XP.則P G Q =仇 PJQ = X.令 A = B = 0.

43、則/(0) = 1990.對(duì)于VS C P.S/0J(P) = f(S) + f(P S) - 1990,顯然f(P S) 1990.對(duì)于VT C Q,若T = 0J(T) = 1990.否則 T 豐 0,由/(PUT) = f(P) +/(T) -1990 W f(F)J(T) W 1990. .P,Q滿足條件.證畢.6. 凸邊形及“ -3條在”邊形內(nèi)不相交的對(duì)角線組成的圖形稱為-個(gè)剖分圖.求i:當(dāng)J1僅當(dāng)3恆時(shí).存在個(gè)剖分圖是可以一筆劃的圖(即可以從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過圖中各線段恰一 次，最后回到出發(fā)點(diǎn)).證明:因?yàn)閹?3條任形內(nèi)互不相交的對(duì)角線將凸”邊形分為“ -2個(gè)頂點(diǎn)均足仏邊形頂點(diǎn)的小

44、區(qū)域，毎個(gè) 區(qū)域的內(nèi)角和不小于7TM邊形的內(nèi)角和為( - 2)tt.所以毎個(gè)小區(qū)域都足三角形.先UE必要性.用歸納法容易證明可將每個(gè)三角形區(qū)域涂成黑口兩色之一，使得冇公共邊的三角形不同 色.假設(shè)已按愿這樣的耍求染色.山丁剖分圖為可以一筆阿的圈.所以由毎個(gè)頂點(diǎn)引出的線段都足偶數(shù) 條.從而每個(gè)頂點(diǎn)祁是奇數(shù)個(gè)三和形的頂點(diǎn)，因此以廉多邊形外邊界為-邊的三角形區(qū)域冇著相同的顏 色，不妨設(shè)為黑色刖-方而.剖分圖的每條對(duì)角線都圧兩種不同顏色三角形的公共邊.所以設(shè)黑三角形 ffmi個(gè).口三角形冇m2個(gè).則n = 3m 1 - 3”坨,所以3|”.再證充分性.設(shè)=3m.多邊形為AA2 . . . 3mii接如加

45、“ 43皿3匚+243i+241(i = 1,2, m1)這31一 3條對(duì)角線，形成m - 1個(gè)三角形，可山41出發(fā).依次走過這些三角形，再走過凸多邊形即可 筆畫并回到 初始點(diǎn).證畢.16第六屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（1991年）武漢華中師范大學(xué)1. 平而上有一凸四邊形ABCD.(1) .如果平面上存在點(diǎn)卩.使WA4BP. ABCP. ACDP. ZXD4P|fll積都和問四邊形ABCD應(yīng)滿足什么條件？曲足的點(diǎn)P平面上垃等仃兒個(gè)?證明你的結(jié)論.解:(1)(1.1)P在如?CD內(nèi)部，若A、RC.B、P.D分別三點(diǎn)共線.顯然ABCD為平行四邊形.卩為對(duì)角線的交點(diǎn).若A. P, C不共線，由V/PAB.A

46、PAD Ifli枳MP必經(jīng)過對(duì)角線“D的|點(diǎn).同理CP過。的|點(diǎn).必 仃P(guān)為D的屮點(diǎn).所以 ABD.ABCDMI相等.即一條対角線平分ABCD的面枳.顯然也是充分條件. (1.2)P在外，不妨設(shè)卩l(xiāng)jB. CAD異側(cè)，卩必B&CD同側(cè)C,D任AB同側(cè).由厶PAI3. PADh枳相等.P4 | BDAPD | MC.設(shè)AC. BDM交于E.AEDP為平行四邊形.Saed = Sapd = Sabp + Scop + Spbc 一 Sabcd = 3S“d - Sabcd-Saed = Sabcd-這個(gè)條件也是充分條件若Smd =詁加“,作平行四邊形AEDPM然PB. PC均LAPDCB內(nèi). /. Sabp = Sard = Scdp = Saed, Spbc = Sard + Sabcd 一 Sabp 一 Scdp = Saed