1、1998年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷一、選擇題：(每小題6分，共30分)1、已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，并且 a>b>c,那么下列式子中正確的是()a b(A) ab >bc (b) a+bb+c (c) a -b >b -c (d)-c c22、如果方程x +px+1=0(p>0 )的兩根之差是1,那么p的值為()(A) 2 (B) 4 (C) 3'3 (D) 553、在 ABC中，已知 BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BDXCE, BD=4 , CE=6 ,那么 ABC的面積等于()(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 184、已知abc#0,并且

2、ab =- =- p p ,那么直線y = px+ p一定通過第()cab象限(A) 一、二(B)二、三(C)三、四(D) 一、四9x a至0, 一人、人八5、如果不等式組 )的整數(shù)解僅為1, 2, 3,那么適合這個不等式組的整數(shù)a、b的8x -b <0有序數(shù)對(a、b)共有()(A) 17 個(B) 64 個(C) 72 個(D) 81 個二、填空題：(每小題6分，共30分)6、在矩形 ABCD中，已知兩鄰邊 AD=12 , AB=5 , P是AD邊上任意一點(diǎn)， PEXBD , PFX AC, E、 F分另1J是垂足，那么 PE+PF=。7、已知直線y=2x+3與拋物線y=x2相交于A

3、、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么 OAB的面積等于。8、已知圓環(huán)內(nèi)直徑為 acm,外直徑為bcm,將50個這樣的圓環(huán)一個接一個環(huán)套地連成一條鎖 鏈，那么這條鎖鏈拉直后的長度為 cm。9、已知方程a2x2 (3a2 8a x+2a2 13a+15 = 0 (其中a是非負(fù)整數(shù))，至少有一個整數(shù)根，那么a=。10、B船在A船的西偏北450處，兩船相距1042 km,若A船向西月行，B船同時向南航行，且B船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離是 km。三、解答題：（每小題20分，共60分）11、如圖，在等腰三角形 ABC中，AB=1 , /A=900,點(diǎn) E為腰AC中點(diǎn)，點(diǎn)F在底邊BC上，且F

4、EXBE,求4 CEF的面積。12、設(shè)拋物線只有一個交點(diǎn),25 一y=x +(2a+1 x+2a+1的圖象與 x 軸13、A 市、B市和C市有某種機(jī)器10臺、10臺、8臺,現(xiàn)在決定把這些機(jī)器支援給臺，E市10臺。已知：從A市調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到 調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到 D市、E市的運(yùn)費(fèi)為300元和 運(yùn)費(fèi)為400元和500元。D市、E市的運(yùn)費(fèi)為200元和800元;700元；從C市調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到D市18從B市D市、E市的（1）設(shè)從A市、B市各調(diào)x臺到D市，當(dāng)28臺機(jī)器調(diào)運(yùn)完畢后，求總運(yùn)費(fèi)（臺）的函數(shù)關(guān)系式，并求 W的最大值和最小值。（2）設(shè)從A市調(diào)x臺到D市，B市調(diào)y臺到D市，當(dāng)28臺機(jī)器調(diào)運(yùn)完畢后, 總運(yùn)費(fèi)

5、W （元），并求 W的最大值和最小值。W （元）關(guān)于x用 x、y表不1 .根據(jù)不等式性質(zhì)，選 B. .2 .由4 =p2-4 >0及p>2,設(shè)x1, x2為方程兩根，那么有 x1+x2=-p, x1x2=1.又由(x 1-x 2) 2=(x 1 + x2)2-4x 1x2,得所以，p =君6> 2）,故選D.（1）求a的值;求a18 + 323a 6的值。3.如圖3 271,連ED,則= -BD * CE = 12.2又因?yàn)镈E是 ABC兩邊中點(diǎn)連線，所以4 45 = -S.= _ x 12 = 16昌熊C3 四地反、CDE 3故選C.4.由條件得Fa + b = pc.*

6、b + g = pa.I a + c = pb.三式相加得 2(a+b+c尸p(a+b+c),所以有p=2或a+b+c=0.當(dāng)p=2時，y=2x+2,則直線通過第一、二、三象限.當(dāng)日+b+e = O時，不妨取a + b = *于是p =所以y=-x-1 ,貝U直線通過第二、三、四象限.綜合上述兩種情況，直線一定通過第二、三象限.故選 B.,5 .由原不等式組可得在數(shù)軸上畫出這個不等式組解98的可以區(qū)間,如圖3-272.第3頁ij i1a1T口 L2一 b4可月圖 3-272不難看出0<?匕1.由得0<K9,所以2二1.iTWF2, 3,，9,共9個,由3<?<4得3Xg

7、<b<4乂&所以匕=3乂8+1, 3X8+2, 3X8+ 3,3X 8+8,共 8 個，9X 8=72（個）,故選 C.第21頁6 .如圖3273,過A作AGL BD于G.因?yàn)榈妊切蔚走吷系娜我庖稽c(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高，所以 PE+ PF=AG因?yàn)锳D=12, AB=5,所以BD=13,所12X5 60 f , 劭ULag -=,所j jJ 50 hr=T*+3圖 3-2T47 .如圖3-274 ,直線y=-2x+3與拋物線y=x2的交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(1 , 1) , B(-3 , 9).作AA,B已分別垂直于x軸，垂足為A1, B1,所以S自口用 理感日一屋外口

8、»lxg + 9）x（i + 3）-lxXi-2x9X3-6-LZa£8 .如圖3 275,當(dāng)圓環(huán)為3個時，鏈長為%x 2 = 2a + b（厘米）.當(dāng)圓環(huán)為50個時，鏈長為50a * 2 X、± = 4M + b厘米）9 .因?yàn)閍w0,解得故a可取1, 3或5.圖 3-27610 .如圖3 276,設(shè)經(jīng)過t小時后，A船、B船分別航行到 A,Bp 設(shè)AA = k,于是由AB10及，得AC=BC = 10,所以A1C=|10-x| , B1C=|10-2x| ,所以A1Bl =和0-.邛0-2蛭=小同+201當(dāng)x = 6時？人回=2而最小.11 .解法1如圖3-27

9、7,過C作CDL CE與EF的延長線交于 D.因?yàn)? AB曰 / AEB=90 ,/ CEDF / AEB=90 ,所以/ ABE之 CED于是 RtAABE RtACEtD 所以又/ ECF=/ DCF=45 ,所以CF是/ DC郎平分線，點(diǎn) F至U CE和CD的距離相等，所以所以s二 S°ACEF 3Q&CDI：解法2如圖3 278,2X ls /I%, 13 46aee 34AJ®C 2AAB& c國 3-278作Fhl± CE于H,設(shè)FH=h因?yàn)樗? ABE之 FEH于是 RtAEHFRt BAEE 因?yàn)镋lH所以HC = ：-2h.又因

10、為HC =h h 22所以= 5E(/ABE+ / AEB= 90° ,ZFEH-+Z AEB=90 ,y 工 VT -即 EH = 2h,1 Ab= FH,所以h, ii = 15 03XFH = -X-X- = 226 2412 . (1)因?yàn)閽佄锞€與x軸只有一個交點(diǎn)，所以一元二次方程V + (2a+ 1)裳 += 口有兩個相等的實(shí)根，于是A = f2a+ I)2 _4(2a * 彳)=Os HP a2 - a * 1 = 0,所以(2)a =2 -由(1)知，a2=a+1,反復(fù)利用此式可得a4=(a + 1)2=a2+2a+1=3a+2,a8=(3a + 2)2=9a2+ 12

11、a + 4=21a+ 13,a16=(21a+13) 2=441a2+ 546a + 169=987a+ 610,a18= (987a + 610)(a + 1) =987a2+ 1597a + 610=2584a + 1597.因?yàn)?a -a-1=0 ,所以 64a -64a-65=-1 ,即(8a+5)(8a-13)=-1所以a-6 - n -8a+ 13-oa所以a18+ 323a6=2584a+ 1597+ 323(-8a + 13)=5796 .13. (1)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機(jī)器臺數(shù)分別為 x, x, 18-2x ,發(fā)往E市的機(jī)器臺數(shù)分別為10-x, 10-x,

12、2x-10 .于是W=200肝 300x+400(18-2x) + 800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x + 17200.410又"04lg-2小弘所以男工所"O所以 IW=-800x+ 17200(5 <x<9, x 是整數(shù)).由上式可知，W是隨著x的增加而減少的，所以當(dāng) x=9時，W取到最小值10000元；當(dāng)x=5時，W取到最大值13200元.(2)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機(jī)器臺數(shù)分別為x, y, 18-x-y ,發(fā)往E市的機(jī)器臺數(shù)分別為10-x, 10-y , x+y-10 .于是W=200x+800(10-

13、x)+300y + 700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y+17200 .oCKio,X OqyClO,0C18 -旦18,所以io 10Cx -n 彌 13,所以W=-500x-300y+17200 ,知y為整數(shù).0<x<10, 0<yCl0» lCx + y4 18sW=-200x-300(x+y)+17200> -200 X 10-300 X 18 + 17200=9800 .當(dāng)x=10, y=8時，W=9800所以 W的最小值為 9800.又W=-200x-300(x +y) + 172000 -200

14、 X 0-300 X 10+17200=14200,當(dāng)x=0, y=10時，W=14200所以 W的最大值為14200.1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷、選擇題（本題共 6小題，每小題5分，滿分30分.每小題均給出了代號為A, B,C, D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的.請將正確答案的代號填在題后的括號里）1 . 一個凸n邊形的內(nèi)角和小于 1999。，那么n的最大值是（）.A. 11 B. 12 C. 13 D. 142 .某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過60立方米，按每立方米 0.8元收費(fèi)；如果超過 60立方米，超過部分按每立方米 1.2元收費(fèi).已知某用戶 4月份的煤氣費(fèi) 平

15、均每立方米0.88元，那么4月份該用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)（）.A. 60 元 B . 66 元 C . 75 元 D . 78 元M=1+itji3 .已知口 ，那么代數(shù)式 口 的值為（）.后 吏A.2b. ?C.君 D.右4 .在三角形 ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，已知 AC=5 AD=6, BD=10, CD=5那么三角形 ABC的面積是（）.A. 30 B. 36 C. 72 D. 1255 .如果拋物線 六一 一（七一 1）工一“一 1與x軸的交點(diǎn)為A, B,項(xiàng)點(diǎn)為C,那么三角形ABC的面積的最小值是（）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.在正五邊形ABCD所在的平面內(nèi)能找到點(diǎn)為等腰

16、三角形，這樣的不同的點(diǎn)P的個數(shù)為A. 2 B . 3 C. 4 D. 5二、填空題（本題共 6小題，每小題5分，滿P,使得 PCD與 BCD的面積相等，并且 ABP7.已知那么x + y8.如圖1,正方形 ABCD勺邊長為10cm,點(diǎn)E在邊CB的延長線上，且 EB=10cm點(diǎn)P在 邊DC上運(yùn)動，EP與AB的交點(diǎn)為F.設(shè)DP=xcm AEFB與四邊形AFPD的面積和為ycm：那么， y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 （0<x< 10）.10 .如圖2,已知邊長為1的正方形OABC&直角坐標(biāo)系中，A, B兩點(diǎn)在第I象限內(nèi)， OA 與x軸的夾角為30° ,那么點(diǎn) B的坐標(biāo)是.1

17、1 .設(shè)有一個邊長為1的正三角形，記作 Ai （如圖3）,將Ai的每條邊三等分，在中間的 線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A2 （如圖4）;將A2的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3 （如圖5）;再將A3的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作 A,那么A4的周長是 .12 .江堤邊一洼地發(fā)生了管涌， 江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等. 如果用兩 臺抽水機(jī)抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺抽水機(jī)抽水，16分鐘可抽完.如果要在10分鐘內(nèi) 抽完水，那么至少需要抽水機(jī) 臺.三、解答題（本題共 3小題，每小題20分，滿分60分）"十4s十

18、113 .設(shè)實(shí)數(shù) s, t 分別滿足 19s2 + 99s + 1 = 0, t2+ 99t + 19 = 0,并且 st w 1,求 才 的值.AC和14 .如圖6,已知四邊形 ABCErt接于直徑為3的圓O,對角線AC是直徑，對角線BD的交點(diǎn)是 P, AB=BD且PC=0.6,求四邊形 ABCM周長.15 .有人編了一個程序：從 1開始，交錯地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是 乘法）每次加法，將上次的運(yùn)算結(jié)果加 2或加3;每次乘法，將上次的運(yùn)算結(jié)果乘 2或乘3.例 如，30可以這樣得到：一4 1i E 上T1。上T前（1） （10分）證明：可以得到 22;（2） （10分）證明：可

19、以得到 2100 + 2 97- 2.1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽答案一、1. C2, B3. D4. B5. A 6 . D7. 10 8 . y = 5x + 50 9汽, (工F 11(54V12. 6三、13.解：sw0, 第一個等式可以變形為：+ 19-0I 又st W 1 ,15 , t 是一元二次方程 x2 + 99x + 19 = 0i + t = -=1955即 st + 1 = 99s, t = 19s .sf < 4s + 1 一。象+ -="j士195的兩個不同的實(shí)根，于是，有14.解：設(shè)圓心為，CD=1O,連接BO并延長交ADT H.AB=BD O是圓心

20、，BHL AD又. / ADC=90 ,BH/ CD從而4OP耿ACPDCD _ CP 即 CD _ 口 .6函=標(biāo)記=1-5-口),于是AD=Jg-5需g=2& .1又OHCD=2 ,于是AB=J>i獷十的,后,BC廣一,-,所以，四邊形 ABCM周長為.15.證明：(1)8- 10- 2022也可以倒過來考慮:222口L口上(或者(2)12-Jx2-43a2 - 2-3x22 -43 x 22 - 2-3 x 2?-43x21-2不斷乘以2r再加2)-U力產(chǎn)-4U3x*-*+產(chǎn)-33 2悶 + 2袞-1- 2項(xiàng) + 2叮一2 .或倒過來考慮：* + 2曹嚴(yán)+產(chǎn)嚴(yán)42鐘-3U3

21、k / -13TN/-4(不斷地除以Z再減去2)上-3X2 *-2=22, 22-20.注意：加法與乘法必須是交錯的，否則不能得分.2000年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題解答一、選擇題(只有一個結(jié)論正確)1、設(shè)a, b, c的平均數(shù)為M a, b的平均數(shù)為N, N, c的平均數(shù)為P,若a>b> c,則M與P的大小關(guān)系是()。(A) M= P; (B) M> P; (C) M< P; (D)不確定。(B)。a b c a b N c a b 2ca b - 2c MU , N= , P= = , Ml P=322212.a>b>c, a +b-2c > c+c-

22、2c = o ,即 w p> 0,即 g p 12122、某人騎車沿直線旅行，先前進(jìn)了 a千米，休息了一段時間，又原路返回 b千米（b<a）,再前進(jìn)c千米，則此人離起點(diǎn)的距離S與時間t的關(guān)系示意圖是（）。答：（C）。因?yàn)閳D（A）中沒有反映休息所消耗的時間；圖（B）雖表明折返后S 的變化，但沒有表示消耗的時間；圖（D）中沒有反映沿原始返回的一段路程，唯 圖（C）正確地表述了題意。3、甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，那么（）。（A）甲比乙大5歲；（B）甲比乙大10歲；（C）乙比甲大10歲；（D）乙比甲 大5歲。答：（A）。由題意知3X （甲一乙）=2510,

23、 .甲乙=5。4、一個一次函數(shù)圖象與直線 y=5x+95平行，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為 A B, 44并且過點(diǎn)（1, -25）,則在線段AB上（包括端點(diǎn)A、B）,橫、縱坐標(biāo)都是整 數(shù)的點(diǎn)有（）。（A） 4 個；（B） 5 個；（C） 6 個；（D） 7 個。答：（B）。在直線AB上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 x= 1 + 4N, y= 25+ 5N, （N是整數(shù)）.在線段AB上這樣的點(diǎn)應(yīng)滿足1+4N>0,且25+5NK0,1 一a<N<5,即 N= 1, 2, 3, 4, 5。45、設(shè)a, b, c分別是AABC的三邊的長，且- a+b ,則它的內(nèi)角/ A、ZB b a

24、 b c的關(guān)系是（）。(A) /B>2/A; ( B) /B= 2/A; ( C) / B<2/A; ( D)不確定。第37頁答：(B)。由-=a+b 得-= -b,延長 CB至 D,使 B況AB,于是 CD-a+c, b a b c b a c在ABCtDACt, ZC 為公共角，且 BC:AC= AC:DC . .AB。zDAC / BAC= /D, /BA氏 /D, ./ABC= /D+ /BAD- 2/D- 2/BAC 6、已知 ABC的三邊長分別為a, b, c,面積為S,zAiBC的三邊長分別為ai, bi,Ci面積為S,且a>ai, b>bi, c>

25、ci則S與S的大小關(guān)系一定是（）。(A)S>Si； (B)S<Si；(C)S=Si；(D)不確定。答：（D）。分別構(gòu)造 ABC與AiBG如下：作 AB6zA BG,顯然h 1,即S> s；設(shè)，貝一 ,S= io,，則 Si =xioo> io,即 S<Si；設(shè)a - b- JlCH,= 20ft = 1，S= io,ax-bY- x/29, c1 = 10,s = io,即S= Si；因此，S與Si的大小關(guān)系不確定。、填空題十二L7、已知：叮工科+加+/ ,那么Q £ Z 答-1分即標(biāo)版T331%+1一 + + =233<2 a aa_ / + 3

26、色 a + 3m +1a2-1 =口尸-1 = (1+-)3 -1 = (Vl)3 - 1 = 2 - 1 1a(i8、如圖，在梯形 ABCLfr, AB/ DC AB= 8, BC= 6,/BCD= 45° , / BA氏120° ,則梯形ABCD勺面積等于o答：66+6有（平方單位）。作AE BF垂直于DC垂足分別為E、F,由BO 6返ZBCD= 45° ,得 A已 BF= FO 6。由 / BA氏 120° ,得/ DAM 30° ,因?yàn)?A已 6得 DE= 2 2,AB= EF= 8, DC= 2+ 8 + 6=14+2Ms =1(8

27、+ 142j3)x6 = 66 + 6V3J,29、已知關(guān)于屈的方程g Th + 2'一"1二°的根都是整數(shù)，那么符合條件 的整數(shù)有個。答：5。當(dāng)己=1時，M = 1 ；當(dāng)口H1時，易知M = 1是方程的一個整數(shù)根,2十大二再由1 儀且，是整數(shù)，知±L±2，; -T023 ；、得符合條件的整數(shù) 空有5個。10、如圖，工地上豎立著兩根電線桿 AB CR它們相距15米，分別自兩桿上高出 地面4米、6米的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D; B、F點(diǎn)處，用鋼絲繩拉緊，以 固定電線桿。那么鋼絲純 AD與BC的交點(diǎn)P離地面的高度為米。答：2.4米。作PQLBD

28、于Q,設(shè)BQ=I/米，Q5,米，PO 弁米，由AB/ PQI CDh _ y h _ x5 九得4 及8工+），兩式相加得12,由此得方=2a米。即點(diǎn)1了二十，直線 3離地面的高度為2.4米。（注：由上述解法知，AR CD之間相距多遠(yuǎn)，與題目結(jié) 論無關(guān)。）11、如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC勺頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（15,6）恰好將矩形OAB分成面積相等的兩部分，那么七1 _ 1 _1 _ 1 1 y £u y /十一2。直線 3 通過點(diǎn)D (15, 5),故BA 1。當(dāng)2時，直線 32通過哈（15.51）一兩點(diǎn)，則它恰好將矩形OAB七成面積相等的兩部分。12、某商場經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)

29、貨時價格比原進(jìn)價降低了6.4%,使得利潤率增加了 8個百分點(diǎn)，那么經(jīng)銷這種商品原來的利潤率是 利潤率=銷售價-進(jìn)價（注：進(jìn)價 X10O%）答：17%。設(shè)原進(jìn)價為仔元，銷售價為y元，那么按原進(jìn)價銷售的利潤率為了y - 93.6% jX100%,原進(jìn)價降低6.4 %后，在銷售時的利潤率為93.6% P X100%,依題意得：j - x廠 93.6% ,工工 X100% +8%= 93.S%- X 100%,解得=1.17三，故這種商品 LITx-x原來的利潤率為了X100% =17%。三、解答題13、設(shè)也是不小于-1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于工的方程i + 2（k-2）x +rn" - 3m +

30、3 = 0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的,。（1）若 ''宅=6求物的值。22他吃十孫叼求1一1 一句的最大值。解：因?yàn)榉匠逃袃蓚€不相等的實(shí)數(shù)根，所以 = 4（那一以一 4（/ 一 3陽+ 3） = -4加+ 4 > 0 ,如v兒根據(jù)題設(shè)，有-1 < m < 1 O(1)因?yàn)? + 君= +a2)2 -22 =4(m-2)2- 2(/ - 3加+ 3)二 = 2m2 -10m + 10f /-2m2 - 10m +10 = 6 粗f +2 = 032叵25-JT7由于1 £冽< 1(2)油工一詞工I-必)+只Q-_詞才+短- %叼(對+巧) - - 1

31、 - Xj 1 2_ m(2m -10m+10) +(m -3m- 3)(2m -4) _ m(2m -Zm +3陰2) (m2 - 3m + 3) + (2吶-4) + 1m2 - m_ 2m(m - l)(m2 - 3m +1)=2(m2 - 3m +1)設(shè)35y = 2（/ -3+1） = 2（固-產(chǎn)-（一1« 周 < 1） .: y在 一 1 V 固 V 12122mx 十耀力上是遞減的，所以當(dāng)加二一1時，了取最大值10。故1一1 一叼 的最大值為10。題14圖14、如上圖：已知四邊形ABCE接圓。的半徑為2,對角線AC與BD的交點(diǎn)為E,AE= EC, A況 J2AE,

32、且BD= 2有，求四邊形 ABCD勺面積。解：由題設(shè)得 A戌= 2AU= AE- AG . AB：AO AE:AB,又 / EA氏 /BAG .AB曰AACB ；/ABE= / ACB 從而 AB= AD1連結(jié) AR 交 BD于 H,貝U BHhH5 V3o .O用Job2 - bh7 = y/43=1, AH= OA-。用21 = 1。$/=12Vxl = V3,;E是AC的中點(diǎn)，S四邊拗FCD2sA=工出15、一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次。對于每個人來說，他往下走一層樓梯感 到1分不滿意，往上走一層樓梯感到 3分不

33、滿意?，F(xiàn)在有32個人在第一層，并且 他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層，可以使得這 32個 人不滿意的總分達(dá)到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯而直接從樓梯 上樓） 解：易知，這32個人恰好是第2至第33層各住1人對于每個乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定大于直接走樓梯上樓的人所住 的層數(shù)。事實(shí)上，設(shè)住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，根 f 交換兩人上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分不增，現(xiàn)分別考慮如下： 設(shè)電梯停在第工層。當(dāng)X Ct時，若住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，則 這兩者不滿意總分為3t-3s-3x-3 .交換兩人上樓方

34、式，則這兩者不滿意總 分也為+ 3s - 3工-3。當(dāng)工=3 H 1f時，若住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為至-3；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分也為3t-3當(dāng)矛 乂 看時，若住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，則 這兩者不滿意總分為 曳+工-.一；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為 3L3，+3s-3,前者比后者多4a當(dāng)m工二1f時，若住第層的人乘電梯，而住第f層的人直接走樓梯上樓，則這 兩者不滿意總分為s - 3 ；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為3s-3 前者比后者多4"£)0。當(dāng) f v x時，若住

35、第歸層的人乘電梯，而住第f層的人直接走樓梯上樓，則 這兩者不滿意總分為3£+i - W-3 ；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為 3s+x-f-3,前者比后者多小一”0。今設(shè)電梯停在第工層，在第一層有 了人直接走樓梯上樓，那么不滿意總分為:S = 3(1 + 2 + + (33 幻+ 3(1 + 2 + +)+1 + 2 + 1 1)_ 3x(33 - x)(34 - a) 3y(y +1) + ( - j - 2)(x - y -1) 222二Z1-xy-102jc+2y2 +3j/ +1684 = 2x2 - (y+102)x + 22 +3>+1684二 2G -?,

36、2 y + 1 (15/ 180 j + 3068)二 2(x-/竺孕 + "(6)2 + 31631648當(dāng) x = 27, y = 6 時，s = 316。所以，當(dāng)電梯停在第27層時，這32個人不滿意的總分達(dá)到最小，最小值為 316 分。2001年TI杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 B卷姓名選擇題（30分）1、化簡 22(，得()2(2n 3)(A) 2n(B)2n+(C) 7(D)78842、如果a,b,c是三個任意整數(shù)，那么 叱b,W,3()222(A)都不是整數(shù)(B)至少有兩個整數(shù)(C)至少有一個整數(shù)(D)都是整數(shù)3、如果a,b是質(zhì)數(shù)，且a2 -13a + m = 0,b2 -13

37、b + m =0,那么b a-的值為() a b(A) 123(B) 125 或 2(C) 125(D) 123 或 2222222224、如圖，若將正方形分成k個全等的矩形，其中上、 1| 2下各橫排兩個，中間豎排若干個，則k的值為()(A) 6(B) 8(C) 10(D) 123 I 4 一5、如圖，若 PA=PB, /APB=2/ACB, AC 與 PB交于點(diǎn)D,且PB=4, PD=3,則AD DC等于() P(A) 6(B) 7(C) 12(D) 16/ DCAB6、若a,b是正數(shù),且滿足12345 =(111+a)(111 -b),則a和b之間的大小關(guān)系是()(A) a>b (

38、B) a = b(C) a<b(D)不能確定二、填空題(30分)7、已知：x = U,y=¥Y。那么斗+二 323 -2x y8、若 x2 +xy + y =14, y2 +xy + x = 28，貝U x + y 的值為9、用長為1, 4, 4, 5的線段為邊作梯形，那么這個梯形的面積等10、銷售某種商品,如果單價上漲m%,則售出的數(shù)量就將減少合。為了使該商品的銷售總金額最大，那么 m的值應(yīng)該確定為11、在直角坐標(biāo)系xOy中,x軸上的動點(diǎn)M (x,0)到定點(diǎn)P (5,5)、 Q (2, 1)的距離分別為MP和MQ,那么當(dāng)MP+MQ取最小值時， 點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x =12、已知實(shí)數(shù)

39、a, b滿足a2+ab+b2 =1,且1 = ab-a2-b2 ,那么t的取值 范圍是三、解答題(60分)0.1 環(huán)）13、某個學(xué)生參加軍訓(xùn)，進(jìn)彳f打靶訓(xùn)練，必須射擊 10次。在第6、 第7、第8、第9次射擊中，分別得了 9.0環(huán)、8.4環(huán)、8.1環(huán)、9.3 環(huán)。他的前9次射擊所得的平均環(huán)數(shù)高于前 5次射擊所得的平均環(huán) 數(shù)。如果他要使10次射擊的平均環(huán)數(shù)超過8.8環(huán)。那么他在第10 次射擊中至少要得多少環(huán)？(每次射擊所得環(huán)數(shù)都精確到14、如圖，已知點(diǎn)P是。外一點(diǎn)，PS、PT是。的兩條切線,過點(diǎn)P作。的割線PAB,交。于A,B兩點(diǎn)，并交ST于點(diǎn)C求證：四:2囁/15、已知：關(guān)于x的方程(a2 -

40、1)(3)2 Y2a 7)() 11=0x1x -1有實(shí)根。(1)求a取值范圍；(2)若原方程的兩個實(shí)數(shù)根為為？2,且一+一=旦，求a的值。x1 -1 x2 -1112002年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題(每小題5分，共30分)a b .1、設(shè) av bv 0, a + b =4ab,則的值為a - bA、V3B、V6C、2 D、32、已知 a= 1999x + 2000, b= 1999x + 2001, c= 1999x+2002,則多項(xiàng)式 a2+b2 + c2 abbc 一ca的值為A、 0B、1C、2D、33、如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形 ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)

41、G,則S四邊形ADS矩形ADA、C、56344、設(shè) a、z= c2 2a+ ,則 x、y、z 中至少3有一個值A(chǔ)、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于05、設(shè)關(guān)于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0,有兩個不等的實(shí)數(shù)根Xi、x2,且 Xi1X2,那么 a的取值范圍是A、-2<a< 275C、a v D、72B、a > 一52v a v 0116、AiA2A3一七是一一個正九邊形,AiA2= a, AiA3= b,則 A1A5等于A、% a2 +b2B、Va2 +ab + b21C、一(a +b )D、a+ b2二、填空題(每小題5分，共30分)7、設(shè)xi、X2是關(guān)于x

42、的一元二次方程 x2+ax+a = 2的兩個實(shí)數(shù)根,則(x1 2x2)(X2 2xi)的最大值為 a< b,則 a c + |c b 的8、已知a、b為拋物線y= (x- c)(x c d)2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),值為9、如圖，在 ABC 中，/ABC=60°,點(diǎn) P 是 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，使得/ APB=Z BPC = Z CPA, 且 PA=8, PC =6,貝U PB=。10、如圖，大圓 O的直徑AB = acm,分別以O(shè)A、OA為直徑作。Oi、。2,并在。O與O Oi 和。02的空隙間作兩個等圓。 03和。O4,這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形O1O2O3O4的面積為 cm

43、2。11、滿足（n2n1）n+2 = 1的整數(shù)n有個。12、某商品的標(biāo)價比成本高 p%,當(dāng)該商品降價出售時，為了不虧本，售價的折扣（即降價的百分?jǐn)?shù)）不得超過 d%,則d可以用p表示為。三、解答題（每小題20分，共60分） -2 -313、某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2天完成，需付180000兀；由乙、丙兩隊(duì)承包，3-54天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，26天完成，需付160000元。現(xiàn)在工程由一個7隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊(duì)的承包費(fèi)用最少？14、如圖，圓內(nèi)接六邊形 ABCDEF滿足AB=CD = EF,且對角線 AD、BE、CF交于一點(diǎn)Q,設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為

44、P。（2）求證:(1) 求證:15、如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的值都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方）。證明：（1） 2a、2b、c都是整數(shù)；（2） a、b、c都是整數(shù)，并且 c是平方數(shù)；反過來，如果（2）成立，是否對一切的 x 的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的值都是平方數(shù)？2003年“TRULY?信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了英文代 號的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的.請將正確結(jié)論的代號填入題后 的括號里.不填、多填或錯填，得零分）一 5x2 2y - Z21 .右 4x 3y6z=0, x+2

45、y7z=0(xyzw0),貝U-222 的值等于 ().2x -3y -10z（A） -1（B） -19（C） -15（D）-13222 .在本埠投寄平信，每封信質(zhì)量不超過 20g時付郵費(fèi)0.80元，超過20g而不超 過40g時付郵費(fèi)1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵費(fèi)0.80元（信的質(zhì)量 在100g以內(nèi)）。如果所寄一封信的質(zhì)量為 72. 5g,那么應(yīng)付郵費(fèi)（）.(A) 2.4 元 (B) 2. 8 元 (C) 3 元 (D) 3. 2 元).(D) 7203 .如下圖所示，/ A+/B+/C+/D + /E+/F+/G=( (A)360 0(B) 4500(C) 540°（

46、第3題圖）4 .四條線段的長分別為9, 5, x, 1 （其中x為正實(shí)數(shù)），用它們拼成兩個直角三 角形，且AB與CD是其中的兩條線段（如上圖）,則x可取值的個數(shù)為（）（A）2 個（B）3 個（C）4 個（D） 6 個5 .某校初三兩個畢業(yè)班的學(xué)生和教師共 100人一起在臺階上拍畢業(yè)照留念，攝影 師要將其排列成前多后少的梯形隊(duì)陣（排數(shù)3）,且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空擋處，那么，滿足上 述要求的排法的方案有（）.（A）1 種（B）2 種（C）4 種（D） 0 種、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6.已知x=1 +J3,那么2，x 2 x

47、 一4zww，則xyz的值為7.若實(shí)數(shù) x, y, z滿足 x +1 =4 , y +1 =1 yz根據(jù)圖、的規(guī)律，圖中三角形的個數(shù)為9.如圖所示，已知電線桿 AB直立于地面上， 它的影子恰好照在土坡的坡面 CD和地面BC 上，如果CD與地面成45o, /A=60o CD=4m, BC=（4<6-272 ）m ,則電線桿 AB的長為m.10.已知二次函數(shù)y= ax2+bx+c （其中a是正整數(shù)）的圖象經(jīng) 過點(diǎn)A（1, 4）與點(diǎn)B （2, 1）,并且與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，則b+c的最大值為三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11 .如圖所示，已知 AB是。的直徑，BC是。的切線

48、，OC平行于弦AD,過 點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,連結(jié)AC,與DE交于點(diǎn)P.問EP與PD是否相等？證明 你的結(jié)論.解：（第11題圖）第43頁（第12題圖）12 .某人租用一輛汽車由 A城前往B 城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城 市之間所需的時間（單位：小時）如圖 所示.若汽車行駛的平均速度為80千 米/小時，而汽車每行駛1千米需要的 平均費(fèi)用為1.2元.試指出此人從 A 城出發(fā)到B城的最短路線（要有推理 過程），并求出所需費(fèi)用最少為多少 元？解：13B.如圖所示，在 ABC中，/ACB=90°(1)當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時，求證:CD2 - BD2 _ AD - BD2="&

49、quot;BCAB(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，第(1)小題中的等式是否存在？請說明理由.(3)當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時，第(1)小題中的等式是否存在？請說明理由.(第13 B題圖)14B.已知實(shí)數(shù) a, b, c滿足：a+b+c=2, abc=4.(1)求a, b, c中的最大者的最小值；(2)求a + b + c的最小值.注：13B和14B相對于下面的13A和14A是較容易的題.13B和14B與前面的12個題組成考試 卷.后面兩頁13A和14A兩題可留作考試后的研究題。13A.如圖所示，O O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程x2+2(k2)x+k = 0 (k是整數(shù))的最大整數(shù)根.P是。外一點(diǎn)，過

50、點(diǎn)P作。的切線PA和割線PBC,其 中A為切點(diǎn)，點(diǎn)B,C是直線PBC與。的交點(diǎn).若PA, PB, PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求PA2+ PB2+PC2的值.解：14A.沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個數(shù)a, b, c, d滿足不等式(a -d)(b -c)>0,那么就可以交換b, c的位置，這稱為一次操作.(1)若圓周上依次放著數(shù)1, 2, 3, 4, 5, 6,問：是否能經(jīng)過有限次操作后， 對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a, b, c, d,都有(a-d)(b-c)&0?請說明理由.(2)若圓周上從小到大按順時針方向依次放著 2003個正整數(shù)1 , 2,20

51、03, 問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的 4個數(shù)a, b, c, d,都 有(a -d)(b-c)00?請說明理由.解：(1)(2)2003年“TRULY?信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題6分，滿分30分）1. Dx = 3z, 解得，、y=2z.,<4x-3y-6z = 0,由3，x +2y 7z =0,2. D因?yàn)?0X 3<72. 5<20X 4,所以根據(jù)題意，可知需付郵費(fèi) 0. 8X4=3. 2 (元)3. C如圖所示，/B+/BMN + /E+/G=360° , / FNM +/ F+/A+/C=360&#

52、176; :而/BMN +/FNM =/D+180° ,所以 /A+/B+/C+/D+/E+/F+/G=540° .（第4題圖）4. D顯然AB是四條線段中最長的，故 AB=9或AB=x。_(1)若 AB=9,當(dāng) CD=x 時，92 = x2 +(1 +5)2 , x=35;當(dāng) CD=5 時，92 =52 +(x+1)2, x = 2a/T4_1；當(dāng) CD=1 時，92 =12 +(x + 5)2 , x=445 -5.(2)若 AB=x,當(dāng) CD=9 時，x2=92 +(1+5)2, x=3713；當(dāng) CD=5 時，x2 =52 +(1+9)2 , x=5T5;當(dāng) CD=

53、1 時，x2 =12 十(5 +9)2 , x = J197.故x可取值的個數(shù)為6個.5. B設(shè)最后一排有k個人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為k, k+1,k+2,，k+ (n-1),由題意可知 kn + n(n -1) =100 ,即 nbk+(n 1 ?= 200.2因?yàn)閗, n都是正整數(shù)，且n>3,所以n<2k+ (n 1),且n與2k+ (n 1)的 奇偶性不同.將200分解質(zhì)因數(shù)，可知n=5或n=8.當(dāng)n=5時，k=18;當(dāng)n=8時, k=9.共有兩種不同方案.6.、3111-41-3 _-33+ - +-=2一 22-2 2x 2 x - 4 x - 2 x -4 x - 4 x - 4(1.3)-427. 1.7 1因?yàn)?4=x+1=x + 1 = x + z = x + 3 = x + 7x-3 ,y1 z -17 14x -31Iz3 x所以 4(4x -3) =x(4x3)+7x -3 ,解得x =.271725d1 d從而 Z= - -= -=y=1- =13 x 333z325.于是xyz = 1.2538.