1、2019-2020學(xué)年山東省泰安市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .命題“x R,ex X2”的否定是（）A. x R, ex x2B. x 0 R,ex0 Xo2Xo2x 2C. x 0 R,ex°D. x R,e x【答案】C【解析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)果即可【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“ x r, ex x2 ”的否定是：“ x° R ,使ex0 %2 ”，故選C.【點睛】該題考查的是有關(guān)全稱命題的否定的問題，涉及到的知識點有全稱命題的否定是特稱命題，屬于簡單題目.22.若雙曲線IS的離心率為2,則其實軸長為（）1A.石B.

2、2日C. :D.,【答案】D【解析】由雙曲線方程求得 卜，根據(jù)離心率和.列方程組，解方程組求得 機C的值，由此得到實軸2a的值.【詳解】雙曲線方程知b l,由離心率得£ =二，結(jié)合/二/4h J解得a = 平,故實軸長 浦JJ6.故選D.【點睛】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，包括離心率、實軸等知識，考查了方程的思想.在題目給定的條件中，雙曲線的方程 a是未知，|b給定；離心率的值給定，相當于給定 :的值；再結(jié)合雙曲線中固有的條件 / _/十，相當于兩個未知數(shù),兩個方程-以及 fl二/十b：,解方程可求得 u的值.值得注意的是，實軸長是22而不是不D. LJ523 .等比數(shù)列an的前

3、n項和為Sn,若Si , S3 , S2成等差數(shù)列，則an的公比為（）A .B. C. 一或 0222【答案】AS2成等差數(shù)列化簡求【解析】分別寫出S, S3, S2用ai,q表示出來，根據(jù)Si, S3,得q.【詳解】因為an是等比數(shù)列2所以 S| ai, S3 a1 a1q a1q , & ai aq由Si, S3, S2成等差數(shù)列，即2s3 Si S22、即 2（ai aiq aiq ） ai ai aiq.2.一i . 八.即 2（i q q2） 2 q ,解得：q 2或 q 0 （舍）故選：A【點睛】此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意代入式子進行計算即可，屬于簡單題

4、目.過F2的直34.已知橢圓C：b 0）的左右焦點為Fi,F2離心率為二一,3線l交C與A,B兩點,若 MFiB的周長為2“ xA . 32c XB .3y2 i2C.i22r XD .i2若AAFiB的周長為4/3第2頁共2i頁由橢圓的定義可知4a 4.3,b22,22所以方程為 二y_ i,故選a.32【考點】橢圓方程及性質(zhì)rr5 .已知向量a (N, 3,1), br(2,0,4) , c ( W, 6,2),則下列結(jié)論正確的是r r r rA. a/b， a/cr r r r C. a/b， b/cr r r r D. a b, a/c【答案】Dr r【解析】由已知a b【詳解】1r

5、r r Wc，可知 a/c. rrr 一因為a b 2 2 4 1 0，所以a，b垂直。r11r r r又 a(2 3,1)-( 4,6,2)-c,所以 a/c.故選：D此題考查根據(jù)向量坐標判斷向量的平行和垂直,代入公式進行計算即可，屬于簡單題目6 .已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a12 , an 1 Sn,那么 a5(A.4B.8C.16D.32n 2 時，an 1 Sn , a n【解析】利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式即可得出.Sn 1 ,可得：an 1 an Hn ,化為 Hn 1n 1 時，a2 a12.數(shù)列an從第二項起為等比數(shù)列，公比為 2,首項為 2.一 ，3那么2 216

6、.故選：C.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中 檔題.7.如圖，在平行六面體ABCD ABiCiDi中，AC與BDuuruuir交于點M,設(shè)AB a , AD b，uuiruuuir舟AAc，則 BM第16頁共21頁*J.*3A. 1a 1b cB. 1a22b c2bD.1a22b c【解析】根據(jù)uuuu B1MuuuB1Buuu BM1 uurBD代入計算化簡即可.2uuiru BMuuuB1Buuu BM1 uuu c -BD22（b a）故選:此題考查幾何體中向量的表示，關(guān)鍵點對已知向量進行分解化簡,屬于簡單題目28.已知點A是拋物線x

7、4 y的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，點P在拋物線上且滿足 PA m上，則雙曲線的離心率為（PB ,當m取最大值時，點P恰好在以A, B為焦點的雙曲線A.回2B.D.【解析】根據(jù)PA斷出當m取最大值時,|PB| .,從而 sin PAN |PA|PN |PA|PB |1 一J1 一判| PA| msin PAN取得最小值，即PA與拋物線相切與點P時取得，設(shè)直線PA的方程為y kx 1代入聯(lián)立通過 V 0求出k,求出P點坐標即可求出雙曲線離心率.如圖所示,PN A準線，故PN BP因為PA mPB,所以工四，sin PAN四理工 m |PA| PA | PA | m當m取最大值時，si

8、n PAN取得最小值.當且僅當PA與拋物線相切與點 P時取得.設(shè)直線PA的方程為y kx 1,代入x2 4y,可得x2 4(kx 1),即 x2 4kx 4 0 2 V 16k2 16 0k 1P(2,1)雙曲線的實軸長為|PA| | PB | 2 .2 1雙曲線的離心率為 故選：B【點睛】m的最值轉(zhuǎn)化為直線和拋物線相切，屬于此題考查拋物線的切線問題，關(guān)鍵點是通過 較易題目 二、多選題9.對于任意實數(shù) a, b, c, d,有以下四個命題，其中正確的是（）A .若 a b , c d ,則 ac bdb.若 ac2 bc2，則 a b4.11C.若 a b ,則一一a bD.若 ab,cd,則

9、 a d b c【答案】BD【解析】（1）可舉反例證明不正確.（2）因為ac2 bc2成立，則 0.（3）a為正數(shù),b為負數(shù)時不成立.（4）因為c d,則 c d ,所以a d b c.【詳解】A選項：3 5,1 4,但是3 154 , a不正確；B選項：因為ac2 bc2成立，則c2 0,那么a b, B正確；C選項：23,但是1-, C不正確；23D選項：因為c d,則c d,又a b ,所以a d b c, D正確.故選：BD【點睛】此題考查不等式比較大小，一般可通過特值法證偽判錯，屬于簡單題目10.已知丫為直線l的方向向量，n-,n2分別為平面 W 3的法向量（% 3不重合），那么下列

10、選項中，正確的是（）A. n/n2/B. n1n2C. /n1l/d.n1l / /【答案】AB【解析】法向量垂直于平面，根據(jù)兩法向量的位置關(guān)系分別進行判斷即可【詳解】A選項，平面 % 3不重合，所以平面 電3的法向量平行等價于平面 電3平行，正確;B選項，平面 % 3不重合，所以平面 電3的法向量垂直等價于平面 網(wǎng)3垂直，正確;C選項，直線的方向向量平行于平面的法向量等價于直線垂直于平面，錯誤;D選項，直線的方向向量垂直于平面的法向量等價于直線平行于平面或直線在平面內(nèi), 錯誤.故選：AB【點睛】此題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，注意線屬于面的特殊情況，屬于較易題目0, S130 ,則11

11、.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,若a312 ,§2卜列結(jié)論正確的是（）A .數(shù)列an是遞增數(shù)列B.S560C.24 dD. G§,L ,62中最大的是S6【答案】BCD12,a1 12 2d 代入【解析】等差數(shù)列的單調(diào)性由公差d決定，再將a3 ai 2d&20,Si30求解d的取值范圍和Sn的最大項.12 11 ,一A 選項：因為 a3 a1 2d 12,則將 a1 12 2d.代入&2 12a1 d 0,213 1224.§3 13a1 d 0,化簡求得 一 d 3,即d 0,數(shù)列an是遞減數(shù)列,27不正確；B選項：因為S5 5a3

12、5 12 60,正確；12 11 .八C選項：因為a3a12d 12,則將a112 2d.代入812al一1d0,一一13 12 .一24 一一S1313a12一d 0,化簡求得 d3,正確；D選項：由d 0可知a a2a11 超.則在1 n 12中存在自然數(shù)n ,使得an0,an 1 0 .則Sn就是&S,L，&2中的最大值6 a1 a126 a6 a7013，解得 a60, a7 0 .a1 a1313a7 02故S1, S2,L , S12中最大的是S6 ,正確.故選：BCD【點睛】此題考查等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，使用基本公式化簡求解即可，屬于較易題目。12.下列選項中，p是

13、q的必要不充分條件的是（）22A. p 3 m 7； q：方程一1的曲線是橢圓7 m m 3B. p: a 8； 4:對x 1,3不等式x2 a 0恒成立C.設(shè)an是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，p:公比小于0; q:對任意的正整數(shù)n,a2n-1 a2n 0D.已知空間向量a (0,1, 1), b (x,0, 1), p: x 1； q：向量a與b的夾角是 3【答案】ABC【解析】分別求出每個選項的 p,q條件，逐一判斷是否滿足，p是q的必要不充分條件【詳解】22A選項：p 3 m 7, q：方程x y一 1的曲線是橢圓，則 7mm 3即3 m 5或5 m 7,所以p是q的必要不充分條件，正確;B選

14、項：pa 8；q：對x 1,3不等式x2 a 0恒成立，即x 1,3不等式x2a恒成立，則a 9,所以p是q的必要不充分條件，正確;C選項：an是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，p:公比小于0; q:對任意的正整數(shù) n,一1八.11 一a2n-1 a2n0,所以當 a11,q時，滿足 q 0,但是 a1a2 1 0,22 22n 22n 1即充分不滿足.反之右a2n-1 a2n 0 ,則a1qa1q 0 ,因為& 0 ,所以:q2n 2(1 q) 0,即 1 q 0 ,即 q1 ,必要性成立，所以 p是q的必要不充分條件,正確;p:x 1；a與b的夾角是,a與b的夾角的余弦值q:向量D選項:x

15、1 時，coscos3x2 1 , x 1 ,必要性不滿足，所以p是q的充分不必要條件，不正確故選：ABC【點睛】 此題考查簡易邏輯充分必要條件，關(guān)鍵點是求出兩個條件再判斷即可，屬于較易題目三、填空題2 x13.焦點為(0,6),且與雙曲線 y2 1有相同的漸近線的雙曲線方程是2【解析】2y122x241 ,得雙曲線的漸近線為y二2 x.設(shè)雙曲線方程為20)12.2故雙曲線方程為L1221.2422答案：上土 112 2414 .設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和且ai2,an 1Sn.Sn 1,則 Sn-2【答案3 2n【解析】由已知可知Sm SnSn 1,兩邊同時除以Sn 0 1 ,可得數(shù)列，所以

16、1S-所以一是以&S11% 一為首項，-1為公差的等差2n ,整理為Sn2,2,故填：3 2n3 2n215 .已知m為拋物線y2 Px0 上一點，F(xiàn)(2,0)為該拋物線的焦點，O為坐標,VMNF的面積為原點，若 MFO 120【答案】48,3.一 1 .4 ,回出圖形，根據(jù)Svmnf - NF Vm求解即可。2如圖所示做出圖像，過 M作ME x軸，由F (2,0)為該拋物線的焦點，得 p 2,則2P 4 ,所以y28x。Q MFO 120, MFE 60,在 Rt VMEF 中,FME 30設(shè) EF a(a 0),則有 MF 2a,ME 邪aOE OF EF a 2,即 M(a 2,

17、V3a)代入拋物線解析式得：3a2 8a 16 0,即(3a 4)(a 4) 04 *斛得a 一（舍）或者a 4 3ME 4.3Q NF 4_1SVMNF 4 4 - 38 32故答案為：8 J3【點睛】此題考查拋物線上點到焦點距離時，一般通過定義轉(zhuǎn)化為到準線的距離，屬于較易題目。16 .已知四棱錐P ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA PD J5 ,平面ABCD 平面PAD, M是PC的中點，O是AD的中點，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是8 8585【解析】【詳解】 以O(shè)為坐標原點建立空間直角坐標系,設(shè) B(1,2,0), C( 1,2,0), P(0,0,2) M( 1

18、,1,1)2uuuv 3因此BM ( -, 1,1)，設(shè)平面PCO一個法向量為2vn (x,y,z)(x, y, z) (0,0,2) 0 z 0 r(x, y, z) ( 1,2,0) 0 x 2y，取 n (2,1,0)因此直線BM與平面PCO所成角的正弦值是uuuv v cos BM ,n& 8585四、解答題17 .已知m,n R,證明：m4 n4 2n2 1成立的充要條件是 m2 n2 1 .【答案】見解析【解析】根據(jù)題意得 m2 n2 1推出m4 n4 2n2 1成立為充分條件，反之則為必要條件，然后分別化簡證明即可【詳解】證明:充分性:n2 1n2+14/2n (m2 2

19、n )(mn2)1 n22n2 1m4 n4 2n2 1 成立 必要性:442Q m -n 2n 1442m n 2n +122(n +1)22m n +1即 m2 n2 1m2 n2 1成立.綜上，m4 -n4 2n2+1成立的充要條件是m2 n2 1 -【點睛】此題考查簡易邏輯充分必要條件證明，關(guān)鍵是弄清楚充分必要順序關(guān)系， 屬于簡單題目。18 .已知不等式mx2 mx -1 0.(1)若對 x R不等式恒成立，求實數(shù) m的取值范圍；(2)若對 x 1,3不等式恒成立，求實數(shù) m的取值范圍.1【答案】(1) ( -4,0 (2)(,-) 6【解析】(1)討論當m 0時不是二次函數(shù)，成立；當

20、 m 0時為二次函數(shù)要使mx2 mx -1 0在R上恒成立，則開口只能向下，代入計算即可。(2)通過m 0, m 0時為二次函數(shù)開口方向分別進行討論即可?！驹斀狻?1)當m 0時， mx2 mx 11 0,顯然恒成立.當m 0時，mx2 -mx 1 0對x R恒成立，只需滿足m 0m2 4m 0解得4 m 0綜上，實數(shù)m的取值范圍是(YQ.2(2)令 f x mx mx -1,當m 0時，f x 1 0,顯然恒成立.1當m 0時，f x的圖象開口向上，對稱軸為 x -,2若對x 13, f x 。恒成立，只需滿足f（3） 0.rr1即m -,6八10 m .61當m 0時，f x的圖象開口向下

21、，對稱軸為 x 2若對 x 13, f x 0恒成立，只需滿足 f 10,即m m 11 0,顯然成立m 0.一 ，E ，1、綜上，實數(shù)m的取值范圍是（J）.6【點睛】此題考查二次函數(shù)恒成立問題，關(guān)鍵點通過分類討論思想解決問題，屬于較易題目。19 .在 a35,a?as6b2; b22,a3 a43b3 ； S39,a4as8b2,這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列an的公差為d d 1 ,前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q,且4 6, d q , （1）求數(shù)列 an , bn的通項公式.an（2）記Cn ,求數(shù)列Cn ,的刖n項和Tn .注：如果選擇多個條件分別

22、解答，按 bn第一個解答計分.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】三個條件都可以填入求解，總體思想就是代入通過基本公式求出首項，公差，公比即可，（2）數(shù)列Cn是一個等差乘以等比的式子求和，用錯位相減法即可解決?！驹斀狻糠桨敢唬哼x條件（1） Qa3 5, az+as 6b2, a1bb d q, d 1a1 2d 52a1 5d 6ald25（舍去）解得aiai12bi2nbn = biqn-1= 2n-1(2)QCnanbn2nTn2n(2n1)(2)(2n3)(2n1)2Tn(2n3)(2n1)2Tn(2n1)(2n(2n1)3)Tn(2n3)方案一:選條件(1)Q b22, a3a4b

23、1,dq,da1d2a15d3ada1d2a15d6d第18頁共21頁1（舍去）解得31 dbian =ai(n1)d=2n-1_n-1bn = tuqn-1=2(2) QCnbn2ncn2n 11)（2尸Tn1(2n3)(2n1)2Tn(2n3)(2n1)2Tn(2n 1)Tn(2n1)(2n3)(2n3)方案三：選條件S39,3435 8b2,31 b1,dq,d312a17d831d“ 331解得1 da1218 (舍去)3第20頁共21頁ana1(n 1)d2n 1bnhqn12n(2)QCnanbnTn2Tn2TnTn2n2n 11)(2n(2n3)(2n1)(2n3)(2n1)3)

24、(2n(2n 1)12工2(2n1)3)此題考查等差等比數(shù)列綜合應(yīng)用,掌握乘公比錯位相減求和的題型特點,屬于較易題目。20.如圖所示，AE，平面ABCD,四邊形AEFB為矩形，BC/ADBA AD ,AE AD 2AB 2BC 4.第28頁共21頁1 1)求證：CF /平面ADE ;(2)求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值.2【答案】(1)見解析(2)-3【解析】(1)根據(jù)BF / /AE , BC / /AD ,從而證明平面 BCF / /平面ADE ,從而CF /平面ADE。(2)以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A(chǔ) xyz,寫出點的空間坐標，根據(jù)向量法求解即可?！驹斀狻?1)

25、 四邊形ABEF為矩形BF /AE又BF 平面ADE , AE 平面ADEBF / 平面 ADE又 BC /AD ,同理可得：BC/平面ADE又 BF BC B , BF, BC 平面 BCF平面BCF /平面ADE又CF平面BCFCF /平面 ADE(2)如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A(chǔ) xyz,則C(2,2,0) , D(0,4,0) , F 2,0,4uuuruuruurAD (0,4,0) ,CD ( 2,2,0) ,CF (0, 2,4)設(shè)n (x, y,z)是平面CDF的一個法向量，則uuvn CD 0 x y 0uuv 即n CF 0 y 2z 0n (2,2,1)uu

26、ur ,又AD是平面AEFB的一個法向量,uur cos n, ADuuurn ADUULT-n |AD|平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為【點睛】此題考查立體幾何線面平行證明和二面角求法，線面平行可先證面面平行得到，屬于簡單題目。21 .某工廠生產(chǎn)并銷售某高科技產(chǎn)品，已知每年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是800萬元，生產(chǎn)成本e （單位；萬元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x （單位：萬件）的平方成正比；該產(chǎn)品單價p （單位：元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x滿足p -x b （b為常數(shù)），已知當該產(chǎn)品的單價為300元時，生產(chǎn)成本是1800萬元，當單價為320元時，生產(chǎn)成本是 200萬元，且 工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都可以銷

27、售完.（1）每年生產(chǎn)該產(chǎn)品多少萬件時，平均成本最低，最低為多少？（2）若該工廠希望年利潤不低于8200萬元，則每年大約應(yīng)該生產(chǎn)多少萬件該產(chǎn)品？【答案】（1）每年生產(chǎn)該產(chǎn)品20萬件時，平均成本最低，最低為 80萬元.（2）不小于 50萬件，不大于60萬件【解析】（1）先求出成本，單價兩者分別與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，再寫出總成本函數(shù)關(guān)系，進而求得平均成本函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)均值不等式求解即可.（2）寫出利潤和產(chǎn)品數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，化簡后為二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為解二次不等式設(shè) c kx2(k 0).當單價為300元時，設(shè)產(chǎn)品件數(shù)為 X1則Xi b 3002kx12 1800當單價為320元時，設(shè)產(chǎn)品件數(shù)為

28、 X2 ,則x2 b 320kx； 200聯(lián)立解得k 2, b 330c 2x2, P x 330(1)設(shè)該工廠生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品的總成本為 y萬元，平均成本為 s萬元，則一 一 2y 800 2x_ 2y 800 2xs - x x800800 ,2x 2.:2x 80 x- x當且僅當800 2x,即x = 20時，s取得最小值，最小值為 80. x，每年生產(chǎn)該產(chǎn)品20萬件時，平均成本最低，最低為 80萬元.(2)設(shè)該工廠生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品時的利潤為 t萬元，則t px 800 c(-x 330)x 800 2x2 _ 2 _3x 330 x 800令 3x2 330x 800 8200解得50 x 60，若該工廠年利潤不低于 8200萬元，則每年生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)應(yīng)不小于50萬件，不大于60萬件.【點睛】此題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，屬于較易題目2222 .設(shè)橢圓C:與 4 1(a b 0), F1, F2為左右焦點，B為短軸端點，長軸長為4,焦距 a b為2c，且b c, BF1F2的面積為J3.(i)求橢圓C的方程 (n)設(shè)動直線l:y