1、絕密啟用前內蒙古赤峰市2018-2019學年高二下學期期末聯考數學（理 ）試題評卷人得分、單選題1,復數 z滿足(z+i)(2 +i)=5,則 z=()A. -2-2iB. -2+2iC. 2-2iD. 2 + 2i【答案】C【解析】【分析】 5利用復數的四則運算可得z = -i ,再利用復數的除法與減法法則可求出復數z.2 i【詳解】55 2 -i.（z+i X2 + i ）=5,.z=i= i =2 i i =22i,故選：C.2 i 2 i 2 -i本題考查復數的四則運算，考查復數的求解，考查計算能力，屬于基礎題。2 .已知% 3表示兩個不同的平面，l為a內的一條直線，則 “2 3是,

2、3的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷.解：根據題意，由于 a, 3表示兩個不同的平面，l為a內的一條直線，由于 “2 3, 則根據面面平行的性質定理可知，則必然a中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結論，反之不成立，3是, 3的充分不必要條件.故選A.考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定.3 .某校1000名學生中,O型血有400人，A型血有250人，B型血有250人，AB型血有100人,為了研究血型與色弱的關系，

3、要從中抽取一個容量為60人的樣本，按照分層抽樣的方法抽取樣本，則O型血、A型血、B型血、AB型血的人要分別抽的人數為（）A . 24,15,15,6B. 21,15,15,9C. 20,18,18,4D. 20,12,12,6【答案】A【解析】【分析】根據分層抽樣中各層抽樣比與總體抽樣比相等可得出每種血型的人所抽的人數根據分層抽樣的特點可知,A型血的人要抽取的人數為O型血的人要抽取的人數為 60工200 = 24 ,1000250,一,60 M而而=15, B型血的人要抽取的人數為25060M=15,1000AB型血的人要抽取的人數為“ 100-60M=6,故答案為：A.100019本題考查分

4、層抽樣，考查分層抽樣中每層樣本容量，解題時要充分利用分層抽樣中各層抽樣比與總體抽樣比相等來計算，考查計算能力，屬于基礎題。4 .我國古代數學名著九章算術中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.開立圓術”相當于給出了已知球的體積 V，求其直徑d的一個近似公式d ：.1：V，人們還用過一些類似的近似公式，根據冗定3.141591”判斷，下列近似公式中最精確的一個是（）A. d J16VB. d J21VC. d 3VD. d fc2V, 9: 11. 157【答案】B【解析】【分析】利用球體的體積公式得 V =4nR3 =4n m'd 1 =皿，得出d的表

5、達式，再將 冗的3326近似值代入可得出 d的最精確的表達式.由球體的體積公式得 V =4 - R3 =，- 33d j nd32="66V6,% 1.9099 ,竺定 1.7778, 4力.9091, 300 1.9082 , 4 與6最為接近，故選：C.91115711 二【點睛】本題考查球體的體積公式，解題的關鍵在于理解題中定義，考查分析問題和理解問題的能力，屬于中等題。5.某單位為了落實“綠水青山就是金山銀山”理念 ，制定節(jié)能減排的目標，先調查了用電 量y （單位:千瓦時）與氣溫x （單位：oc）之間的關系，隨機選取了 4天的用電量與當天 氣溫，并制作了以下對照表：x （單位

6、：oc ）171410-1y （單位：千瓦時）24343864由表中數據得線性回歸方程：y = 2x+a，則由此估計：當某天氣溫為12oC時,當天用電量約為（）A. 56千瓦時 B. 36千瓦時 C. 34千瓦時 D . 38千瓦時【答案】B【解析】【分析】計算出X和亍的值，將點（x,y ）的坐標代入回歸直線方程，得出 a的值，再將x = 12代入可彳#出y的值，即為所求結果?！驹斀狻坑深}意可得17 14 10 -124 34 38 64由于回歸直線過樣本的中心點 （x,y ）,則2父10 + ? = 40,得?=60,回歸直線方程為y = -2x+60,當x=12時，歹=-2父12+60=3

7、6 （千瓦L時），故選:B.【點睛】本題考查回歸直線方程的應用，解題的關鍵在于利用回歸直線過樣本中心點（x, y ）這一結論，考查計算能力，屬于中等題。6 .甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“ 3局2勝”，即以先贏2局者為勝，根據經驗，每局比賽中甲獲勝的概率為 0.4,則本次比賽甲獲勝的概率是()A . 0.216B. 0.36C. 0.352D. 0.648【答案】C【解析】【分析】先列舉出甲獲勝的情況，再利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率?！驹斀狻坑浭录嗀:甲獲勝，則事件 A包含：比賽兩局，這兩局甲贏；比賽三局，前兩局甲、乙各贏一局，第三局甲贏。由獨立事件的概率乘法公式得

8、P(A)=0.42 +C；父0.6父0.42=0.352,故選：C.【點睛】本題考查獨立事件的概率乘法公式的應用，解題前先要弄清事件所包含的基本情況，并逐一列舉出來，并結合概率的乘法公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題。7 .已知拋物線 C:y2=4x的焦點為F ,準線為l, P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若FP =2QF，則|qf |=()A. 8B. 4C, 6D, 3【答案】D【解析】【分析】設點P(-1,t )、Q(x,y ),由FP=2QF,可計算出點Q的橫坐標x的值，再利用拋物線的定義可求出 QF .【詳解】I!設點 P(T,t)、Q(x,y ),易知點 F(1,0

9、), FP = (2,t ), QF =(1-x,-y),二 2(1-x)=-2,解得x =2,因此，QF=x+1=3,故選：D.【點睛】考查計算能本題考查拋物線的定義， 解題的關鍵在于利用向量共線求出相應點的坐標,力，屬于中等題。，社區(qū)服務活動共有關懷老人、8 .甲、乙、丙、丁四名同學報名參加假期社區(qū)服務活動，記事件A為4名同學所報項目各不相同”，事件B為“只有甲同學一人報關懷老人項目”，則 P(B|A)=()環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳等四個項目，每人限報其中一項.1C.D.A .一4【答案】A【解析】【分析】確定事件AB,利用古典概型的概率公式計算出P(ABMDP(A),再利用條件概型的

10、概率公式可計算出P (B A)的值.【詳解】事件AB為“4名同學所報項目各不相同且只有甲同學一人報關懷老人項目”，則 p(ab)4, P(A)=，二 p(ba)=£4 故選：A44PA 4 A44【點睛】本題考查條件概型概率的計算，考查條件概率公式的理解和應用，考查運算能力，屬于中等題。9.小明跟父母、爺爺奶奶一同參加中國詩詞大會的現場錄制,5人坐成一排.若小明的父母都不與他相鄰，則不同坐法的總數為()A. 12B. 36C. 84D. 96【答案】B【解析】【分析】記事件A:小明的父親與小明相鄰， 事件B:小明的母親與小明相鄰， 利用捆綁法計算出 事件A、事件B、事件Ap|B的排法

11、種數n(A)、n(B)、n(ACB),利用容斥原理 可得出所求的坐法種數為 A5 -n(A)-n(B)+n(AB ),于此可計算出所求坐法種數。【詳解】記事件A:小明的父親與小明相鄰，事件 B:小明的母親與小明相鄰，對于事件A,將小明與其父親捆綁，形成一個元素，與其他四個元素進行排序，24則 n(A)=A2A4 =48,同理可得 n( B )= n( A )=48 ,對于事件A|B,將小明父母與小明三人進行捆綁，其中小明居于中間，形成一個元素，2 . 3與其他兩個兀素進行排序，則n(Ac B)= A2 A3 =12,由容斥原理可知，所求的坐法種數為 A5 n(A)n(B )+n(AcB)=12

12、02父48+12 = 36,故選：B.【點睛】本題考查排列組合綜合問題，考查捆綁法以及容斥原理的應用，解題時要合理利用分類討論思想與總體淘汰法，考查邏輯推理能力，屬于中等題。10.已知函數f (x) =ex-Ibx2-x在區(qū)間(0,+g)上是單調遞增函數，則b的取值范圍 2是()A . (-°0,1)B, 0,1C. (-°0,1D. 0*)【答案】C【解析】【分析】對函數y = f(x)求導，將問題轉化為 f'(x戶0恒成立，構造函數g(x)=f'(x),將問題轉化為g(x min >0來求解，即可求出實數 b的取值范圍.【詳解】* *Y 12_ x

13、"x* f (x )=e -bx x ,二 f (x )=e -bx-1 ,令 g(x )=e -bx-1 ,則2g x min 0.g'(x )=exb,其中x >0,且函數y = g'(x)單調遞增.當b£1時，對任意的xA0,g'(x)>0 ,此時函數y = g(x)在(0,收)上單調遞增，則g(x )>g(0 )=0,合乎題意；當 b >1 時，令 g'(x)=0,得 ex b = 0 ,二 x = lnb.當 0<x<lnb 時，g'(x)<0；當 xlnb 時，gx)>0 .

14、此時，函數y=g(x而x = lnb處取得最小值，則 g(x )min = g(lnb )< g(0 )= 0,不合乎題意.綜上所述，實數b的取值范圍是(-0°,1.故選：C.【點睛】本題考查利用函數的在區(qū)間上的單調性求參數的取值范圍，解題時根據函數的單調性轉化為導數的符號來處理，然后利用參變量分離法或分類討論思想轉化函數的最值求解，屬于?？碱}，屬于中等題。11 .過雙曲線的一個焦點 F2作垂直于實軸的直線，交雙曲線于P,Q,Fi是另一焦點，若 H 一,/PFQ二一，則雙曲線的離心率e等于()3A.近1B. 33C.收十 1D.五+2【答案】B【解析】【分析】根據對稱性知APF

15、F2是以點F2為直角頂點，且ZPF1F2可得PF1 =2 PF2,6I，利用雙曲線的定義得出PF2 =2a,再利用銳角三角函數的定義可求出雙曲線的離心率e的值.【詳解】31由雙曲線的對稱性可知，APFF2是以點F2為直角頂點，且/PFF2=,則6PF1 =2 PF2 ,由雙曲線的定義可得 PF1 PF2 =|PF2 =2a,在 RtAPFF2 中，tan/PFF2 2 =在=百，: e = c = V3 ,故選：B. F1F2I 2c 3a【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質，在遇到焦點時，善于利用雙曲線的定義來求解，考查邏輯推理能力和計算能力，屬于中等題。2x-1

16、,x<112 .已知函數f(x) = 則方程f ( f (x) =1的根的個數為()11n(x-1) ,x 1A. 7B. 5C. 3D, 2【答案】A【解析】1令u = f (x)，先求出萬程 f (u )=1的二個根u1 =1 , u2=1+, u3=1 + e,然后分 e1.一 別作出直線u=1, u=1+, u = 1+e與函數u=f(x )的圖象，得出交點的總數即e為所求結果.【詳解】令u = f (x ),先解方程f (u ) = 1.(1)當 uE1 時，則 f (u )=2u1 =1 ,得 u1 =1 ;一 .,一 1,(2)當 u >1 時，則 f (u)= ln

17、 (u -1，= 1,即 n(u1 再 ，解得 u2 = 1 +，u3 =1 +e. e所以，方程f f (x ) = 1的根的個數為3 + 2+2 = 7,故選：A.【點睛】本題考查復合函數的零點個數， 這類問題首先將函數分為內層函數與外層函數，求出外層函數的若干個根，再作出這些直線與內層函數圖象的交點總數即為方程根的個數，考查數形結合思想，屬于難題。第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分、填空題13 .隨機變量之服從二項分布U B（n,p）,且E代）=300 , D仁）= 200,則n等于【答案】900【解析】【分析】根據二項分布的期望和方差，列出關于n和p的方程組，可

18、解出 n的值.【詳解】小 曰E=np -300屈曰n二90O由題意可得4 K，解得1 ，故答案為：900.D=np1-p ）=200 p =3【點睛】本題考查二項分布的數學期望和方差的計算，解題的關鍵就是這兩個公式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題 .14 .超速行駛已成為馬路上最大殺手之一，已知某路段屬于限速路段，規(guī)定通過該路段的汽車時速不超過 60km/h,否則視為違規(guī).某天，有1000輛汽車經過了該路段，經過雷達測速得到這些汽車運行時速的頻率分布直方圖如圖，則違規(guī)的汽車大約為 .【答案】800【解析】【分析】先通過頻率分布直方圖，得出速度大于60km/h對應矩形的面積和，再乘以 100

19、0可得出結果.【詳解】由圖象可知，速度大于 60km/h的汽車的頻率為(0.024 + 0.028 + 0.02+0.00810 = 0.8,因此，違規(guī)的汽車數為 1000M0.8 = 800,故答案為：800.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，計算頻率時要找出符合條件的矩形的面積之和，考查計算能力，屬于基礎題. 3215 .設P為曲線C :y =x -x +2上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為 0, ?,則點P橫坐標的取值范圍為 .【解析】【分析】由切線的傾斜角范圍為.|0,亍L得知切線斜率的取值范圍是10,1,然后對曲線C對應的函數求導得y',解不等式0My'

20、;E1可得出點P的橫坐標的取值范圍.【詳解】由于曲線C在點P處的切線的傾斜角的取值范圍是.|0，-,則切線斜率的取值范圍是_ 40,11,對函數 y =x3 _x2 +2 求導得 y' = 3x2 -2x ,令 0 W y'M1,即 0 M3x2 2x<1 ,一一一 2一 2解不等式3x2 -2x >0 ,得x W0或x之一；31解不等式 3x2 -2x <1 ,即 3x2 -2x -1 <0 ,解得MxM1.3所以，不等式組0 <3x2 -2x <1的解集為因此，點P的橫坐標的取值范圍是【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查切線的斜率與點的橫

21、坐標之間的關系，考查計算能力, 屬于中等題。16.已知四邊形 ABCD為矩形，AB = 2AD=4,M為AB的中點，將AADM沿DM折起，得到四棱錐A -DMBC ,設AC的中點為N ,在翻折過程中，得到如下有三個命題：BN /平面ADM，且BN的長度為定值45 .，三棱錐N-DMC的最大體積為"2 ;3在翻折過程中，存在某個位置，使得 DM _ AC .其中正確命題的序號為 .（寫出所有正確結論的序號）【答案】【解析】【分析】取AD的中點E ,連接EM、EN ,證明四邊形BMEN為平行四邊形，得出BN/EM ,可判斷出命題的正誤；由 N為AC的中點，可知三棱錐 N - DMC的體積

22、為三棱錐A - DMC的一半，并由平面 ABM _L平面BCDM ,得出三棱錐 A - DMC體積的最大值，可判斷出命題的正誤；取 DM的中點F ,連接AF ,由AE_L DM ,結合AC 1 DM得出DM _L平面ACF ,推出DM _L CF得出矛盾，可判斷出命題的正誤.如下圖所示:EN ,則 AD=AM =2, AE = 1,/MA1E = 90 ,由勾股定理得 EM = JAE2 + AM 2 = J5 ,.1易知BM CD ,且BM = CD , ,E、N分別為AD、AC的中點，所以, 21 -EN/-CD ,=2二四邊形BMEN為平行四邊形，BN = EM=J5, BN/EM ,；

23、BN遼平面ADM , EM u平面ADM，二BN平面ADM ,命題正確；對于命題，由N為AC的中點，可知三棱錐N - DMC的體積為三棱錐 A - DMC的一半，當平面ABM，平面BCDM時，三棱錐A - DMC體積取最大值，11取DM的中點F ,則AF，DM ,且AF = DM =父2/=J2 , 22平面 ADM，平面 BCDM ,平面 ADM c平面 BCDM = DM , A1F 1 DM ,AF 仁平面 ADM，二 AiF _L平面 BCDM ,11 . _ .DMC 的面積為 S/DMC = CD BC =父4父2=4,22所以，二棱錐A DMC的體積的最大值為SMC AiF =x

24、 4乂 J2 = 9,333則三棱錐N -DMC的體積的最大值為22-,命題正確；3對于命題，；AD=AM , F為DM的中點，所以，A1F -L DM ,若 AC，DM，且 ACcAF=A,二 DM _L 平面 ACF ,由于 CF u 平面 ACF ,，CF _LDM ,事實上，易得 CM = DM = 2J2，CD = 4 , :CM 2 + DM 2 =CD2 ,由勾股定理可得 CM -LDM ,這與CF _L DM矛盾，命題 錯誤.故答案為：.【點睛】本題考查直線與平面平行、錐體體積的計算以及異面直線垂直的判定，判斷這些命題時根據相關的判定定理以及性質定理，在計算三棱錐體積時，需要找

25、到合適的底面與高來計算，考查空間想象能力，考查邏輯推理能力，屬于難題評卷人得分三、解答題17.設命題P：對任意xW0,i,不等式2x-2至m2 -3m恒成立，命題q：存在xWT,1,使得不等式x2x + m1 W0成立.(1)若P為真命題，求實數 m的取值范圍;(2)若p八q為假命題，Pvq為真命題，求實數 m的取值范圍5【答案】(1) 1MmM2 (2) m<1 或一cmM24【解析】【分析】(1)考慮命題P為真命題時，轉化為 m2-3m<(2x-1 min對任意的xw 0,1成立，解出不等式可得出實數 m的取值范圍；(2)考慮命題q為真命題時，則可轉化為 (x2-x + m-1

26、)min <0對任意的x三1,1成立，可解出實數 m的取值范圍，然后由題中條件得出命題p、q一真一假，分P真q假和P假q真兩種情況討論，于此可求出實數m的取值范圍.【詳解】 對于 p：(2x-2)min 之m23m成立，而 x?0,1,有(2x 2)min = 2 ,2 至 m2 -3m,1 Wm W2q：存在xw-1,1,使得不等式9,、 ., 2x 一x + m-1W0成立，只需(x x + m1)min W0一 2而 x -x m -1 .min5m <-；455=-+m , - - +m <0 ,44(1)若P為真，則1 <m <2 ;(2)若pnq為假命

27、題，Pq為真命題，則p,q一真一假.1MmM 2 5若q為假命題，P為真命題，則55 ，所以一< m E 2 ；m 44m1 或 m2若P為假命題，q為真命題，則5 ，所以m<1.m -45-綜上，m<1 或一 < m <2 . 4【點睛】本題考查復合命題的真假與參數的取值范圍，考查不等式在區(qū)間上成立，一般轉化為最值來求解，另外在判斷復合命題的真假性時，需要判斷簡單命題的真假，考查邏輯推理 能力，屬于中等題。18.某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600元(含600元),均可抽獎一次抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個形狀、大小完

28、全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球,其中獎規(guī)則為：若摸到3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸到 2個紅球，則打6 折；若摸到1個紅球，則打7折；若沒摸到紅球，則不打折.方案二：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有 放回每次摸取1球，連摸3次,每摸到1次紅球，立減200元.(1)若兩個顧客均分別消費了 600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受 6折優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算.【答案】(1) 49L (2)該顧客選擇第一種抽獎方案更合算，詳見解析1600【解

29、析】【分析】(1)選擇方案一，利用積事件的概率公式計算出兩位顧客均享受到免單的概率值；(2)選擇方案一，計算出付款金額X的分布列和數學期望值，選擇方案二，計算出付款金額Z數學期望值，比較大小可得出結論 .【詳解】(1)選擇方案一：若享受到 6折優(yōu)惠，則需要摸出 2個紅球,設顧客享受到6折優(yōu)惠為事件A,則P(A) =C10740'一 . 7749所以兩位顧客均學受到 6折優(yōu)惠的概率為 p=p(A)，P(A)= *=40 40 1600(2)若選擇方案一，設付款金額為X元，則X可能的取值為0,600,700,1000c331P(X=0)=才礪，P(X=600) =C| c7C10,P(X

30、= 700)=40C302140 'C324P(X =1000) =-7C10故X的分布列為X06007001000P1120740214072417217 4585所以 E(X)=0m+600父一+700區(qū)一+1000區(qū)一= (元)；1204040246若選擇方案二，設摸到紅球的個數為Y，付款金額為Z元，則Z =1000 200Y ,339由已知可得，故 Y-B(3,), E(Y)=3m =，1010 10所以 E(Z) = E =1000 _200E(Y) =820 (元)，因為E(X) < E(Z),所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算.【點睛】本題考查獨立事件的概率乘法公式

31、，考查隨機變量分布列與數學期望，在列隨機變量的分布列時，要弄清變量所滿足的分布列類型，結合相關概率公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題。19.如圖，在四棱錐 PABCD 中，PA_L 平面 ABCD, AD/BC, AD_LCD,且AD=CD=242，BC=4T2，PA = 4.(1)求證：AB_LPC;(2)在線段PD上,是否存在一點 M，使得二面角M AC D的大小為45 ,如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值；如果不存在 ，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)在線段PD上，存在一點M，使得二面角M - AC-D的大小. 一 1為45°,且BM與平面MAC所成角正弦值為

32、 一2【解析】【分析】(1)利用勾股定理得出 AB _L AC ,由PA_L平面ABCD ,得出AB1PA,利用直線 與平面垂直的判定定理證明 AB _L平面PAC ,于此得出AB _L PC ;(2)設PM =KPD ,以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面ACM的法cs m解出九的值，得出BM的坐標，則cos即為BM與平面PAC所成角的正弦值【詳解】(1) AD=CD=2 應，BC=4 夜， AB=AC=4,ABAC PA_L 平面 ABCD, AB_LPA,，AB_L 平面 PAC , PC u 平面 PAC,AB _L PC ;(2)以A為原點，以過 A平行于CD的直線為x軸，A

33、D,AP所在直線分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系 Oxyz,則 A(0,0,0) , P(0,0,4) , B(2V2, -272,0),D(0,2J2,0), C(2V2, 2 應0),設 PM' =KPD，0<九<1，M (0, 2T2Z, 4-4?J ,AM =(0, 2 應九447J , AC =(272,272,0)設平面MAC的法向量m = (Xi,y，Zi),則m AM =0,2 V2九 yi +(4 4九)z1 = 0 4，即 I L LmAC =02 2xi 2.2yi=0AP =(0,0,4),則m = |1,-1,又平面ACD的法向量為、-2+2

34、,28sin 8 = cos2.4,2 4解得:=- 一或九二2 (舍)，M 0,，一 ,333平面MAC的法向量為m = (1,1,J2),設BM與平面MAC所成角為0,則【點睛】本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的動點問題以及直線與平面所成角的計算， 解題時要建立合適的坐標系，利用空間向量法來計算，另外就是對于動點的處理，要引 入合適的參數表示動向量的坐標，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題。1 ,短軸長為20 ,過右焦點F且22.一八 x y20.已知橢圓C :0十42=1(a >b >0)的離心率為 a b與x軸不垂直的直線 l交橢圓于P,Q兩點.求橢圓C的方程;(

35、2)當直線l的斜率為 芯時求&POQ的面積;在X軸上是否存在點M (m,0)，滿足PM| = QM ?若存在，求出m的取值范圍；若不 存在，請說明理由.224 _【答案】(1) ±+上=1(2) -J3 (3)在X軸上存在點M(m,0),滿足PM = QM , 435一，1且m的取值范圍為0,)4【解析】【分析】(1)根據題中條件列有關 a、b、c的方程組，解出這三個數，可得出橢圓C的標準方程；(2)先寫出直線l的方程，并設點P(Xi,y1卜Q(X2,y2),將直線l的方程與橢圓C的方程聯立，利用弦長公式求出PQ|，計算出原點到直線l的距離d ,可得出AOPQ的一_1 _.面

36、積為S jPOQ=- PQd；皿2(3)當直線l的斜率為零時，得出 m=0；當直線l的斜率不為零時，設直線l的方程為y = k(x 1 ),設點P(x1,y1)、Q (X2, V2 ),將直線l的方程與橢圓C的方程聯立，并列出韋達定理，求出線段PQ的中點N的坐標，由題中條件得出 MN _L PQ ,利用斜率關系可得出 m與k之間的關系式，利用函數思想得出實數 m的取值范圍2b =273,解得：a =2, b = 1, c = 1 ,c 1(1)由已知得 一二一a 22/ 上 2a =b +c22所以橢圓C的方程為士 +2- =1 ；43(2)設直線 l: y=J3(x1),設點 P (x1,

37、y1 )、Q(x2,y2),y =、.3(x -1)由x2y2，得 15x2 24x = 0 ,+ = 143PQ = J +34(x1 +x2 )2 -4x1x2 =16 ,5點O到直線l的距離為d =Y3,則S住OQ =PQ d =lM16xY3=4J3；222 525(3)當直線l的斜率不存在時，不符合題意；當直線 l的斜率為0時，m = 0,當直線l的斜率不為0時，設直線l : y = k(x 1)(k o 0), 設 P Xi, y( i, Q X2, y2 jly =k(x -1)2222由X2 y2，得(3+4k2)X2 8k2x+4k2 12 =0=1,438k2- 6kx1+

38、x2=-2-,y1+ y2= k (x1+ X2-2 )= 2，3 4k34kPQ的中點N24 k2-3k3+4k2，3+4k2 jPM = QM ,則 MN _L PQ,-3k八2 -0kMN kPQ = -1 , k = -1 ,4k2 -m3 4k2k23 4k2綜上，在x軸上存在點M (m,0),滿足PM 1QM ,且m的取值范圍為0, j).本題考查橢圓方程的求解， 考查橢圓中三角形面積的計算以及直線與橢圓位置關系的綜 合問題，這種類型問題常用韋達定理法求解，解題時要將題中一些問題等價轉化，考查 計算能力，屬于中等題。X 一 X 一21 .設函數 f(x)=xe +a(1e )+1.

39、(1)求函數f(x)的單調區(qū)間及極值；(2)若函數f (x)在(0,+b)上有唯一零點，證明：2<a<3.【答案】(1) f(x)的減區(qū)間為(g,a 1),增區(qū)間為(a1,),極小值為af (a 1) = a +1 -e ,無極大值(2)見解析【解析】【分析】(1)求出函數y = f (x)的定義域以及導數，利用導數求出函數 y=f(x)的單調區(qū)間,并由單調性得出函數 y = f (x)的極值；(2)利用參變量分離法得出關于 x的方程a = x +與口在x10,g)上有唯一解，構 ex -1X Xx+1f e (e x2)造函數g (x )= x +,得出g (x尸 "2

40、 一,構造函數h(x)=ex-x-2 求ex -1ex -1出該函數的導數，判斷導數的符號，得出函數的單調性，求出函數y=g(x)的最小值轉化即可?！驹斀狻?1)f(x)的定義域為(_«,y) , f'(x) = (x+1a)ex,當 xw(,a1)時，f'(x)>0, f(x)為減函數；當 xw(a1,+s)時，f'(x)>0, f(x)為增函數，f(x)有極小值f(a1) = a+1ea，無極大值，故f(x)的減區(qū)間為(°0,a 1),增區(qū)間為(a 1,y),極小值為f (a 1) = a + 1 ea，, 無極大值；(2)函數f(x

41、)在(0,)上有唯一零點，即當xw(0,z)時，方程f(x) = 0有唯一解，1x 1ex ex - x -2a = x +有唯一解，令 g(x) = x + ，貝U g '(x) =2xxe -1e -1ex -1令 h(x) =ex -x-2 ,則 h'(x) =ex 1 ,當xw(0,+*)時，h'(x)A0,故函數h(x)為增函數，又 h(1)=e3>0, h(2) =e2 -4>0,h(x)在(0, )上存在唯一零點 xo,則 x° w (1,2),且 ex0 = % +2 ,當 xW(0,% 的，g'(x) <0,當乂三(刈，收)時，g'(x) >0 , g(x)在(0,48)上有最小