1、全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題匯編( 1998-2018)目錄1998 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷 11999 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷 62000 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答 92001 年 TI 杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 B 卷 142002 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 152003 年“ TRULY? 信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 172004 年 “TRULY? 信利杯 ”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 252005 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷 302006 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 322007 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 382008 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 462009 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 472010 年全國(guó)初

2、中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 522011 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 572012 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 602013 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 732014 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽 772015 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽 852016 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題 941032017 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷1052018 年初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題1998年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷一、選擇題：(每小題6分，共30分)1、已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，并且 a b c,那么下列式子中正確的是()a b(A) ab bc (b) a b b c (c) a b b c (d) c c22、如果萬(wàn)程x px 1 0 p 0的兩根之

3、差是1,那么p的值為()(A) 2(B) 4(C) 33 (D) <53、在 ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線， 并且BDXCE, BD=4 , CE=6,那么 ABC的面積等于( )(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 184、已知abc 0,并且ab bc ca p,那么直線y px p一定通過(guò)第()象限cab(A) 一、二(B)二、三(C)三、四(D) 一、四9x a 0 一，一一、.一，一，一，5、如果不等式組的整數(shù)解僅為1,2, 3,那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)a、b的有序數(shù)對(duì)(a、b)共有8x b 0( )(A) 17 個(gè)(B) 64 個(gè)(C) 72 個(gè)(

4、D) 81 個(gè)二、填空題：(每小題6分，共30分)6、在矩形ABCD中，已知兩鄰邊 AD=12 , AB=5 , P是AD邊上任意一點(diǎn)，PEXBD, PFXAC, E、F分別是垂足， 那么 PE+PF=。8、已知圓環(huán)內(nèi)直徑為 acm,外直徑為bcm,將50個(gè)這樣的圓環(huán)一個(gè)接一 直后的長(zhǎng)度為cm。9、已知方程a2x2 3a2 8a x 2a2 13a 15 0 (其中a是非負(fù)整數(shù))10、B船在A船的西偏北450處，兩船相距10.2 km,若A船向西航行，速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離是 km。三、解答題：(每小題20分，共60分)11、如圖，在等腰三角形 ABC中，AB=1 , /A=90

5、0,點(diǎn)在底邊BC上，且FEXBE,求 CEF的面積。12、設(shè)拋物線y x2 2a 1 x 2a -5的圖象與x軸/a 的值；(2)求 a18 323a 6 的值。1一B13、A市、B市和C巾后某種機(jī)器10臺(tái)、10臺(tái)、8臺(tái)，環(huán)套地連成一條鎖鏈，那么這條鎖鏈拉，至少有一個(gè)整數(shù)根，那么a=。B船同時(shí)向南航行，且 B船的速度為A船AE為腰AC中點(diǎn)，點(diǎn)FE只有一個(gè)交點(diǎn)，(1)求FC現(xiàn)在決定把這些機(jī)器2 .7、已知直線y 2x 3與拋物線y x相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么 OAB的面積等于 。支援給D市18臺(tái)，E市10臺(tái)。已知：從 A市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到 D市、E市的運(yùn)費(fèi)為200元和800元；從B市調(diào)

6、運(yùn)一 臺(tái)機(jī)器到D市、E市的運(yùn)費(fèi)為300元和700元；從C市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到 D市、E市的運(yùn)費(fèi)為400元和500元。(1)設(shè)從A市、B市各調(diào)x臺(tái)到D市，當(dāng)28臺(tái)機(jī)器調(diào)運(yùn)完畢后，求總運(yùn)費(fèi) W (元)關(guān)于x (臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式，并求W的最大值和最小值。(2)設(shè)從A市調(diào)x臺(tái)到D市，B市調(diào)y臺(tái)到D市，當(dāng)28臺(tái)機(jī)器調(diào)運(yùn)完畢后，用 x、y表示總運(yùn)費(fèi) W (元)，并求 W的最大值和最小值。解答1 .根據(jù)不等式性質(zhì)，選 B.2 .由4 =p2-4>0及p>2,設(shè)x1 , x2為方程兩根，那么有 x1+x2=-p, x1x2=1 .又由(x1-x2)2=(x1 + x2)2-4x1x2 ,3 .如圖3-

7、 271，連ED,則又因?yàn)镈E是4ABC兩邊中點(diǎn)連線，所以故選C.4 .由條件得三式相加得 2(a+b+c尸p(a+b+c),所以有p=2或a+b+c=0.當(dāng)p=2時(shí)，y=2x + 2,則直線通過(guò)第一、二、三象限.當(dāng)a+B+w=阿，不妨取a= 于是p =1(匕/口)，所以cy=-x-1,則直線通過(guò)第二、三、四象限.綜合上述兩種情況，直線一定通過(guò)第二、三象限.故選 B.,5 .由原不等式組可得：墓在數(shù)軸上畫(huà)出這個(gè)不等式組解98的可以區(qū)間，如圖 3-272.+ 1 , 3X8+2, 3X 8+3,3X8+ 8,共 8 個(gè)，9X 8=72(個(gè)).故選 C.6 .如圖3273,過(guò)A作AGLBD于G.因

8、為等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高，所12X5 60 , 附klAG - -rz = 75 ,所 IdJE + PF =.以 PE+PF=AG ,因?yàn)?AD=12 , AB=5 ,所以 BD=13，所IS 13157 .如圖3-274,直線y=-2x+3與拋物線y=x2的交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(1 ,1), B(-3, 9).作AA1 , BB1分別垂直于x軸，垂足為A1 , B1 ,所以8 .如圖3- 275,當(dāng)圓環(huán)為3個(gè)時(shí)，鏈長(zhǎng)為當(dāng)圓環(huán)為50個(gè)時(shí)，鏈長(zhǎng)為9 .因?yàn)閍w0,解得故a可取1, 3或5.10 . 如圖 3 276 , 設(shè)經(jīng)過(guò) t小時(shí)后，A 船、B 船分別航行到 A1

9、,Bu 設(shè)總/ =為 于是BE = 2m.由 = 也，得AC =0r 所以A1C=|10-x|, B1C=|10-2x|,所以11 .解法1如圖3-277,過(guò)C作CDCE與EF的延長(zhǎng)線交于 D.因?yàn)? ABE + / AEB=90 ° ,/ CED + Z AEB=90 ° ,所以/ABE=/CED.于是 RtAABERtACED,所以又/ ECF= Z DCF=45。，所以CF是/ DCE的平分線，點(diǎn) F至U CE和CD的距離相等，所以所以解法2如圖3-278,作FHLCE于H,設(shè)FH=h .因?yàn)閆 ABE + Z AEB = 90° ,/ FEH+ ZAEB=

10、90 ° ,所以/ ABE= / FEH,于是 RtAEHFRtABAE ,因?yàn)樗?2 . (1)因?yàn)閽佄锞€與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，于是(2)由(1)知，a2=a+1,反復(fù)利用此式可得a4=(a+ 1)2=a2 + 2a+1=3a+2,a8=(3a + 2)2=9a2 + 12a + 4=21a + 13,a16=(21a+13)2=441a2 + 546a + 169= 987a+610,a18= (987a + 610)(a + 1) = 987a2+ 1597a +610=2584a+ 1597.又因?yàn)?a2-a-1=0,所以 64a2-64a-

11、65=-1,即(8a+5)(8a-13)=-1.所以a18+323a 6=2584a+ 1597+323(-8a+ 13)=5796.13 . (1)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為 x, x, 18-2x,發(fā)往E市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為 10-x, 10-x, 2x-10.于是W=200x + 300x+400(18-2x) + 800(10-x)+700(10 -x)+500(2x-10)= -800x+ 17200.W=-800x+ 17200(5WxW 9, x 是整數(shù)).由上式可知， W是隨著x的增加而減少的，所以當(dāng) x=9時(shí)，W取到最小值10000元；當(dāng)x=5時(shí)，W取到

12、最大 值13200元.(2)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為 x, y, 18-x-y,發(fā)往E市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為 10-x, 10-y, x + y-10.于是W=200x+800(10 -x)+300y + 700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y -10)= -500x-300y+17200 .W=-500x-300y+17200 ,且W= -200x-300(x+y)+17200> -200X 10-300 X 18 + 17200=9800 .當(dāng)x=10, y=8時(shí)，W=9800 ,所以 W的最小值為 9800.又W=-200x-300(x+

13、y) + 172000 -200X 0-300X 10+17200=14200 ,當(dāng)x=0, y=10時(shí)，W=14200,所以 W的最大值為14200.1999年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷一、選擇題(本題共6小題，每小題5分，茜分30分.每小題均給出了代號(hào)為A, B,C, D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的.請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)里)1 . 一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和小于1999。，那么n的最大值是().A . 11 B. 12 C. 13 D. 142 .某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過(guò)60立方米，按每立方米0.8元收費(fèi)；如果超過(guò) 60立方米，超過(guò)部分按每立方米1.2元收費(fèi).已

14、知某用戶4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0.88元，那么4月份該用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)().A . 60 元 B. 66 元 C. 75 元 D. 78 元-同=1 +3 .已知門(mén)，那么代數(shù)式" 的值為().7s后A .2 B. C C. 4醫(yī) D.糖4 .在三角形 ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，已知 AC=5 , AD=6 , BD=10 , CD=5 ,那么三角形 ABC的面積是 ().A. 30 B. 36 C. 72 D. 1255 .如果拋物線F"工一伙-1）工一匯-1與x軸的交點(diǎn)為A, B,項(xiàng)點(diǎn)為C,那么三角形 ABC的面積的最小值是 （）.A. 1 B. 2 C. 3 D.

15、 46 .在正五邊形 ABCDE所在的平面內(nèi)能 等，并且4ABP為等腰三角形，這樣的不同的A . 2 B. 3 C. 4 D. 5、填空題（本題共6小題，每小題5分，滿_ 1 _ 17 .已知、口干正 有一點(diǎn),那么分30分）找到點(diǎn)P,使得 PCD與 BCD的面積相 點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）.x2 + y2的值為8 .如圖1,正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為10cm,點(diǎn)E在邊CB的延長(zhǎng)線上，且 EB=10cm ,點(diǎn)P在邊DC上運(yùn)動(dòng)，EP 與AB的交點(diǎn)為F.設(shè)DP=xcm, 4EFB與四邊形 AFPD的面積和為 ycm2,那么，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 （0VXV 10）.9 .已知abwQ a2 + ab 2b

16、2 = 0,那么 業(yè)*尸是乘法）每次加法，將上次的運(yùn)算結(jié)果加2或加3;每次乘法，將上次的運(yùn)算結(jié)果乘 2或乘/3.例如，30可以這樣得到：圖6 （10分）證明：可以得到 22; （10分）證明：可以得到 2100 + 297-2.1999年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案1. C 2, B 3. D 4. B 5 . A 6. D+匕的值為10 .如圖2,已知邊長(zhǎng)為1的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，A, B兩點(diǎn)在第象限內(nèi)，OA與x軸的夾角為30°, 那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是11 .設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，記作 A1 （如圖3）,將A1的每條邊三等分，在中間的線段上向形外作正三 角形，去掉中間的線段后所

17、得到的圖形記作A2 （如圖4）;將A2的每條邊三等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記彳A3（如圖5）;再將A3的每條邊三等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記作 A4,那么A4的周長(zhǎng)是.12 .江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等.如果用兩臺(tái)抽水機(jī)抽水，40分鐘可抽完；如果用 4臺(tái)抽水機(jī)抽水，16分鐘可抽完.如果要在 10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需 要抽水機(jī)臺(tái).三、解答題（本題共 3小題，每小題20分，滿分60分）5? + 113 .設(shè)實(shí)數(shù) s, t分另聆菌足19s2 + 99s + 1 = 0, t2 + 99t + 19 = 0 ,并且st wj求 f 的值.14

18、.如圖6,已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O,對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)是P,AB=BD , ,一且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長(zhǎng).乙/15.有人編了一個(gè)程序：從 1開(kāi)始，交錯(cuò)地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以、7. 10 8. y = 5x + 50 9. 33 10.2?111. 912. 6、13.解：As,0 第一個(gè)等式可以變形為：日，gg© + i?-o .又 Ast w,l1 5 , t是一元二次方程 x2 + 99x + 19 = 0的兩個(gè)不同的實(shí)根，于是，有g(shù)g4= ig即 st + 1 = 99s, t = 19s.14 .解：設(shè)圓心為

19、 O,連接BO并延長(zhǎng)交AD于H.AAB=BD, O 是圓心， BHAD .又ADC=90 BH CD .從而OPBXACPD.0.&15- 0(5 CD=1.于是ad= Jg-8Jg=2點(diǎn).1 1又OH= C CD= 2 ,于是AB=廝二航三位用bCabJMW所以，四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為1+ 2的+力十強(qiáng).15 .證明：(1)也可以倒過(guò)來(lái)考慮：22->20.（或者 1 1241122 .）（2） 1>3*2-4>3*2-2 3 “尸-4-尸_2>“2?-4一孑洲+產(chǎn)-1用+嚴(yán)-2 .或倒過(guò)來(lái)考慮：22-210->10-.注意：加法與乘法必須是交錯(cuò)的，否則

20、不能得分.2000年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答一、選擇題（只有一個(gè)結(jié)論正確）1、設(shè)a, b, c的平均數(shù)為M, a, b的平均數(shù)為N,N,c的平均數(shù)為P,若a>b>c,則M與P的大小關(guān)系是（）。（A） M = P; （B） M>P; （C） MVP; （D）不確定。答：（B）。M= a一b一c ,N=a一b,P= ca一b_2c, M-P=-一b_2c,322212 a> b>c, Aa-b2c> -c2c 0,即 M-P>0,即 M >PO 12122、某人騎車(chē)沿直線旅行，先前進(jìn)了a千米，休息了一段時(shí)間，又原路返回 b千米（b<a）,再前進(jìn)

21、c千米，則此人離起點(diǎn)的距離S與時(shí)間t的關(guān)系示意圖是（）。答：（C）。因?yàn)閳D（A）中沒(méi)有反映休息所消耗的時(shí)間；圖（B）雖表明折返后 S的變化，但沒(méi)有表示消耗的時(shí)間；圖（D）中沒(méi)有反映沿原始返回的一段路程，唯圖（ C）正確地表述了題意。3、甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙 10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲 25歲，那么（）。（A）甲比乙大5歲；（B）甲比乙大10歲；（C）乙比甲大10歲；（D）乙比甲大5歲。答：（A）。由題意知 3X（甲一乙）=25 10, 甲一乙=5。5954、一個(gè)一次函數(shù)圖象與直線 y=5x 95平行，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為 A、B,并且過(guò)點(diǎn)（1, 25）,則在線 44段AB上（包括端點(diǎn)

22、A、B）,橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有（）。（A） 4 個(gè)；（B） 5 個(gè)；（C） 6 個(gè)；（D） 7 個(gè)。答：（B）。在直線AB上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)是x=- 1 + 4N, y= 25+5N, （N是整數(shù)）.在線段AB上這樣的點(diǎn)應(yīng)滿足一 1 + 4N>0,且一25+5NK0, A1 < IP N = 1 , 2, 3, 4, 5。 45、設(shè)a, b, c分別是 ABC的三邊的長(zhǎng)，且 - -一b,則它的內(nèi)角 2、AB的關(guān)系是（）。 b a b c(A) B>24A; (B) B=24A; (C) BV24A; (D)不確定。答：(B)。由a a b 得3 b a b

23、c b 為公共角，且 BC:AC =AC:DC ,2A BACo,延長(zhǎng) CB 至 D,使 BD = AB,于是 CD=a+c,在 ABC 與 ADAC 中，(：a c ABCXADAC, BAC=» AABAD= AD , AAABC= AD + ABAD=2AD =6、已知 ABC的三邊長(zhǎng)分別為 a, b, c,面積為S, A1B1C1的三邊長(zhǎng)分別為 >b1, c>c1則S與S1的大小關(guān)系一定是（）。al, b1,C1 面積為 S1,且 a>a1, b(A) S>S1; (B) SvS1; (C) S=S1; (D)不確定。答：（D）。分別構(gòu)造 ABC 與A

24、IBICI如下：作ABgAA1B1C1 ,顯然,即 S>S1; 設(shè)a - b- J101?c =20S=10S= 10，則 S1 =X100> 10,即 Sv S1； % =2,S1=10,即 S= S1;因此，S與S1的大小關(guān)系不確定。二、填空題7、已知:答：1。(V2-1) = 2-1 = 1- = V2-1a3 1 =+ 31"+31+1+1工-1 =()3 - 1 = (1 + -)3 - 1 = (V2)3 -1 = 2-1= 1a8、如圖，在梯形 ABCD 中，ABA DC, AB = 8, BC = 6于。, BCD= 45°, BAD = 120

25、°,則梯形ABCD的面積等答：66+6（平方單位）。作AE、BF垂直于DC,垂足分別為 E、F, BCD=45°,得 AE =BC = 6BF=FC=6。由 ABAD： 120 °,得 DAE= 30 °,因?yàn)?AE = 6 得 DE = 2B , AB = EF=8,DC=2+ 8+6= 14a a2 a=-(8 + 14+ 2s/3)x6 = 66 + 65/3怫咫2 .¥答：5。當(dāng)a=1時(shí)，工=1 ； 當(dāng)以二1時(shí)，易知整數(shù)，知 1 -厘二士L ±2 , / 二-L。7小.由、得符合條件的整數(shù) *有5個(gè)。r1）” + 2K9、已知

26、關(guān)于I的方程'/0的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有1十KX二1是方程的一個(gè)整數(shù)根，再由10、如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD,它們相距15米，分別自兩桿上高出地面 4米、6米的A、C處，向AD與BC的交點(diǎn)P離地面的高度為兩側(cè)地面上的E、D; B、F點(diǎn)處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿。那么鋼絲繩 米。答：2.4米。作P8BD于Q,設(shè)BQ =工士九兩式相加得12工米，QD=米，PQ=米。即點(diǎn)米，由 A% P8 CD ,得P離地面的高度為 2.4米。（注：由上述解法知,AB、CD之間相距多遠(yuǎn)，與題目結(jié)論無(wú)關(guān)。11、如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（15,6）,直線恰

27、好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么1- x3 通過(guò)點(diǎn)D(15,5)故BD = 1。當(dāng)b =-2時(shí)，直線兩點(diǎn)，則它恰好將矩形 OABC分成面積相等的兩部分。12、某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4%,使得利潤(rùn)率增加了8個(gè)百分點(diǎn)，那么經(jīng)銷(xiāo)這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率是利擱率=銷(xiāo)售價(jià)-進(jìn)價(jià)進(jìn)價(jià)X10%)答：17%。設(shè)原進(jìn)價(jià)為 1元,銷(xiāo)售價(jià)為元，那么按原進(jìn)價(jià)銷(xiāo)售的利潤(rùn)率為X10昨，原進(jìn)價(jià)降低6.4%后,在銷(xiāo)售時(shí)的利潤(rùn)率為X10職，依題意得:y - 93.6% 子l.lTx 一工X 10% + 8% =X 10氏=17%。x 10%,解得= 1.17,故這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率為三、解答

28、題13、設(shè)陽(yáng)是不小于.1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程a2 4 2(m - 2)芮 +m2 - 3m + 3 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1)1 - Xn2的最大值。二 2m2 -10切 + 10-.- 2m2 1dm +10 = 6m 5加 + 2 = 0, ；.加二5±J17解：因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以如1。根據(jù)題設(shè)，有A = 4(m - 2y - 4(m2 - 3m + 3) = 4m + 4 > 0（i）因?yàn)椴攀?區(qū) + 2 )2 2七%-4(陰-2)a - 2(/ - 3m + 3)=由于-1惚 1網(wǎng)（1 - #2 ） *只（1 -玉）_ 網(wǎng)/：+巧 一吃區(qū) +M

29、力 _(2)(1 一不1)(1 一 天2 )_ 2mm - l)(m - 3酬 +1)-1)=2(m3 - 3w +1J上是遞減的，所以y = 2(掰2 -+1) = 2(m - 2y-1 < < 1) :丁在一1£刑t1物二一1時(shí),了取最大值10。故的最大值為10。AB =2 AE,且 ABE= AACB,14、如上圖：已知四邊形 ABCD外接圓O的半徑為2,對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E, AE = EC BD = 2 33 ,求四邊形 ABCD的面積。解：由題設(shè)得 AB2=2AE2=AE- AC, ABAC = AE:AB ,又 AEAB： ABAC, AAABEi A

30、ACB , 從而 AB = AD o 連結(jié) AD ,交 BD 于 H ,則 BH = HD = J3。 OH=4oE7-BH2 = y/43=1, AH =OAOH = 21=1。sd = -sd-ah,是AC的中點(diǎn),SAADE 工”工 Ml-15、一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第 2層至第33層中的某一層停一次。對(duì)于每個(gè)人來(lái)說(shuō)，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意?，F(xiàn)在有 32個(gè)人在第一層，并且他們分別住在第 2至第33層的每一層，問(wèn)：電梯停在哪一層，可以使得這 32個(gè)人不滿意的總分達(dá)到最??？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯

31、而直接從樓梯上樓）解：易知，這32個(gè)人恰好是第2至第33層各住1人。對(duì)于每個(gè)乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定大于直接走樓梯上樓的人所住的層數(shù)。事實(shí)上，設(shè)住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓, 別考慮如下：設(shè)電梯停在第戈層。交換兩人上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分不增，現(xiàn)分當(dāng)X <S <t時(shí)，若住第 s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為.交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分也為+ 3s.3k 一3 。當(dāng)時(shí)，若住第s層的人乘電梯，而住第 t層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分也為當(dāng)苫匚工 ,時(shí)，若

32、住第 s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為,前者比后者多3' , x s 3 ；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為當(dāng)時(shí)，若住第層的人乘電梯,而住第乙層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為3s - 3 ,前者比后者多當(dāng)層的人乘電梯，而住第'層的人直接走樓梯上樓,則這兩者不滿意總 分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為前者比后者多4(方> 0今設(shè)電梯停在第工層，在第一層有y人直接走樓梯上樓，那么不滿意總分為:當(dāng) x = 27, y = 6 時(shí)，s=316。所以，當(dāng)電才I1停在第 27層時(shí)，這32

33、個(gè)人不滿意的總分達(dá)到最小，最小值為 316分。2001年TI杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題選擇題(30分)1、化簡(jiǎn)-n 4 2(2n)2(2n 3)，得()(A) 2n(B) 2"(C)(D)742、如果a,b,c是三個(gè)任意整數(shù)，那么(A)都不是整數(shù)(B)至少有兩個(gè)整數(shù)(C)至少有一個(gè)整數(shù)(D)都是整數(shù)3、如果a,b是質(zhì)數(shù)，且a2 13am 0,b213b一 b a0,那么一一的值為( a b(B) 125 或 222(C)磔 22(D)密或2224、如圖，若將正方形分成 k個(gè)全等的矩形，其中上、下各橫排兩個(gè)，中間豎排若干個(gè)，則 k的值為()(A) 6(B) 8(C) 10(D) 12PB5

34、、如圖，若 PA=PB, / APB=2 /ACB , AC 與交于點(diǎn)D,且PB=4, PD=3,則AD ?DC等于(A) 6(B) 7(C) 12(D) 166、若a,b是正數(shù)，且滿足12345(111 a)(111P(D)不能確定(A) a b(B) a b(C) a填空題(30分)7、已知:O那么x2 y8、xy y14, y2xy x 28,則 xy的值為9、用長(zhǎng)為1, 4, 45的線段為邊作梯形,那么這個(gè)梯形的面積等于10、銷(xiāo)售某種商品，如果單價(jià)上漲 m%,則售出的數(shù)量就將減少 旦。為了使該商品的銷(xiāo)售總金額最大，那么 m的 150值應(yīng)該確定為11、在直角坐標(biāo)系xOy中, 當(dāng)MP+MQ

35、取最小值時(shí)，點(diǎn)x軸上的動(dòng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM (x, 0)到定點(diǎn)P (5, 5)、Q (2, 1)的距離分別為 MP和MQ ,那么12、已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2ab b 1,且 t ab2b ,那么t的取值范圍是解答題(60分)13、某個(gè)學(xué)生參加軍訓(xùn)，進(jìn)行打靶訓(xùn)練，必須射擊10次。環(huán)、8.1環(huán)、9.3環(huán)。他的前9次射擊所得的平均環(huán)數(shù)高于前在第6、第7、第8、第9次射擊中，分別得了 9.0環(huán)、8.45次射擊所得的平均環(huán)數(shù)。如果他要使10次射擊的平均環(huán)數(shù)超過(guò)8.8環(huán)。那么他在第10次射擊中至少要得多少環(huán)?(每次射擊所得環(huán)數(shù)都精確到0.1 環(huán))14、如圖，已知點(diǎn) 交ST于點(diǎn)Co求證:P是。外一點(diǎn)，PS、P

36、T是。的兩條切線，過(guò)點(diǎn) P作。的割線PAB,交。于A,B兩點(diǎn)，并11、一().PC 2 PA PB15、已知：關(guān)于x的方程有實(shí)根。求a取值范圍；若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 x1, x2,且一匚 -x 3,求a的值。X1 1 x2 1112002年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題、選擇題（每小題 5分，共30分）a b ，, 1、設(shè) avbv0, a2+b2=4ab,貝U 的值為a bA、3 B、 、6 C、2 D、32、已知 a= 1999x+2000, b= 1999x+2001 , c= 1999x+2002,則多項(xiàng)式 a2+b2 +c2abbcca 的值為A、B、 1C、2D、33、如圖,占八、E、S四

37、邊形 AGCD m一F分別是矩形 ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連 AF、CE交于點(diǎn)G,則等于S矩形ABCDA、B、C、D、設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù),x = a2 2bH3,y=b2 2c+，z=c2 2a+ ,則 x、y、z 中至少有一個(gè)值A(chǔ)、0 B、等于0 C、不大于0 D、小于05、設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a= 0,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1、x2,且x1v1vx2,那么a的取值范圍是A、2 vav 2B、a>2755C、a<D、2< a< 0116、A1A2A3 "9 是一個(gè)正九邊形， A1A2 = a, A1A3 = b,則 A1A5 等于2 2

38、22A、 . a bB、 - a abb1 .C、 a bD、a+ b2二、填空題（每小題 5分，共30分）7、設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2 + ax+ a= 2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則(x1 2x2)(x2 2x1)的最大值為8、已知a、b為拋物線y = (x c)(xc d)2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a< b,則a c c b的值為。9、如圖，在 ABC 中，/ ABC =600,點(diǎn) P 是 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，使得/ APB = /BPC = / CPA,且 PA=8, PC=6, 貝U PB=。10、如圖，大圓 O的直徑AB =acm,分別以O(shè)A、OA為直徑作。01、O 02,并在。

39、與。01和。02的空隙間作 兩個(gè)等圓。03和。04,這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形 01020304的面積為cm2。11、滿足(n2 n 1)n + 2= 1的整數(shù)n有個(gè)。12、某商品的標(biāo)價(jià)比成本高p%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，售價(jià)的折扣(即降價(jià)的百分?jǐn)?shù))不得超過(guò)d%,則d可以用p表不為。三、解答題(每小題 20分，共60分)13、某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，22天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，3天完成，需付15000054元；由甲、丙兩隊(duì)承包，26天完成，需付160000元?，F(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪7個(gè)隊(duì)的承包費(fèi)用最少？14、如圖，圓內(nèi)接

40、六邊形ABCDEF滿足AB =CD= EF,且對(duì)角線 AD、BE、CF交于一點(diǎn) Q,設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為(2) a、b、c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果(2)成立，是否對(duì)一切的 x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2 + bx + c的值都是平方數(shù)？2003年“TRULY?信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題(共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了英文代號(hào)的四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè) 結(jié)論是正確的.請(qǐng)將正確結(jié)論的代號(hào)填入題后的括號(hào)里.不填、多填或錯(cuò)填，得零分)2221 .若 4x3y 6z=0, x+2y 7z=0(xyz w0),貝U xyz-2 的值等于 ().2x2

41、3y2 10z2(A)1(B)19(C)15(D)13222.在本埠投寄平信，每封信質(zhì)量不超過(guò) 20g時(shí)付郵費(fèi)0.80元，超過(guò)20g而不超過(guò)40g時(shí)付郵費(fèi)1.60元，依次類(lèi)推， 每增加20g需增加郵費(fèi)0.80元(信的質(zhì)量在100g以內(nèi))。如果所寄一封信的質(zhì)量為 72.5g,那么應(yīng)付郵費(fèi) ().(A) 2.4 元(B) 2.8 元(C) 3 元(D) 3.2 元3 .如下圖所示，/ A+/B+/C+/D+/E+/F+/G=().(A)360(B)450(C) 540°(D) 7204 .四條線段由休 線段（如上圖）(A)2 個(gè)A,5, x, 1 （其中x為正實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（F(C)4

42、個(gè)用它們拼成兩個(gè)直角三角形，且AB與CD是其中的兩條(D) 6 個(gè)5 .某校初三兩個(gè)畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺(tái)階上拍據(jù)曲4懈蠢，攝翳師要將其排列成前多后少的梯形隊(duì)陣（排數(shù)3）,（傅嚶藜倒行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有().(A)1 種(B)2 種(C)4 種(D) 0 種二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分)6.已知x 1收那么7.-,則xyz的值為38.觀察下列圖形:根據(jù)圖、的規(guī)律,圖中三角形的個(gè)數(shù)為9 .如圖所示，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD與

43、地面成45o, Z A=60o CD=4mBC= 4.6 22m,則電線桿AB的長(zhǎng)為m.10 .已知二次函數(shù)yax2 bx c (其中a是正整數(shù)）的圖象經(jīng) 過(guò)點(diǎn)A （1, 4）與點(diǎn)B （2,1）,并且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則 b+c的最大值為三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分)（第9題圖）于點(diǎn)巳連結(jié)AC,11 .如圖所示，已知AB是。的直徑，BC是。的切線，OC平行于弦AD,過(guò)點(diǎn) 與DE交于點(diǎn)P.問(wèn)EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論 解:12 .某人租用一輛汽車(chē)由 A城前往B城，沿途可能經(jīng)過(guò)的城市以儂逋謨圖）兩城市之間所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）如圖所示.若汽車(chē)行駛的平均速度為80千米/

44、小時(shí)，而汽車(chē)每行駛1千米需要的平均費(fèi)用為1.2元.試指D作DEXAB出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線（要有推理過(guò)程），并求出所需費(fèi) 用最少為多少元？ 解:（第12題圖）13B.如圖所示，在 ABC中，/ ACB=902. D(1)當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時(shí)，求證:22CD BD AD BD2ZBCAB(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，第(1)小題中的等式是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由(3)當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，第(1)小題中的等式是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由14B.已知實(shí)數(shù) a, b, c滿足：a+b+c=2, abc=4.(1)求a, b, c中的最大者的最小值；(2)求a b c的最小值.13A和注：13B和14B

45、相對(duì)于下面的13A和14A是較容易的題 14A兩題可留作考試后的研究題。.13B和14B與前面的12個(gè)題組成考試卷.后面兩頁(yè)13A.如圖所示，O。的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于 x的二次方程x2 2(k 2)x k 0 (k是整數(shù))的最大整數(shù)根.P是。O 外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作。O的切線PA和割線PBC,其中A為切點(diǎn)，點(diǎn) B, C是直線PBC與。的交點(diǎn).若PA, PB, PC 的長(zhǎng)都是正整數(shù)，且 PB的長(zhǎng)不是合數(shù)，求 PA2 PB2 PC2的值.個(gè)數(shù)a, b, c, d滿足不 置，這稱(chēng)為一次操作.是否能經(jīng)過(guò)有限次操d,都有(a d)(b c)2003個(gè)正整數(shù)1,2,，任意依次相連的4個(gè)數(shù)解:14A.沿著圓周放著

46、一些數(shù)，如果有依次相連的 4 等式(a d)(b c)>0,那么就可以交換b, c的位(1)若圓周上依次放著數(shù) 1, 2, 3, 4, 5, 6,問(wèn)： 作后，對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a, b, c,<(P請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若圓周上從小到大按順時(shí)針?lè)较蛞来畏胖?2003,問(wèn)：是否能經(jīng)過(guò)有限次操作后，對(duì)圓周上 a, b, c, d,都有(a d)(b c)<(?請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)(2)2003年“TRULY?信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(每小題 6分，滿分30分)1 . D,4x 3y 6z 0, x 3z,由 ,解得 ,代入即得.x 2y 7

47、z 0,y 2z.因?yàn)?0X3<72.5<20X4,所以根據(jù)題意，可知需付郵費(fèi) 0.8X 4=3.2 (元)3. C如圖所示，/ B+/BMN+ / E+/G=360°,/ FNM+ / F+/A+/ C=360° ,而/ BMN + / FNM = / D+ 180° ,所以/ A+ / B+ / C+ / D+ / E+ / F+ / G=540 °(第3題圖)(第4題圖)4. D顯然AB是四條線段中最長(zhǎng)的，故AB=9或 AB=x 。(1)若 AB=9 ,當(dāng)CD=x 時(shí)，92(1 5)2,x 3vr5 ；當(dāng) CD=5 時(shí)，9252 (x

48、1)2,2v14 1 ；當(dāng) CD=1 時(shí)，92221 (x 5),4.5 5.(2)若 AB=x ,當(dāng)CD=9 時(shí)，x292(1 5)2,x 3x;13 ；當(dāng) CD=5 時(shí)，x252(19)2,當(dāng) CD=1 時(shí)，x212 (59)2x 197 .故x可取值的個(gè)數(shù)為6個(gè).5. B設(shè)最后一排有 k個(gè)人，共有kn n(n 1) 100,即 n 2k排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為k, k+1, k+2, n 1200.k+ (n1),由題意可知因?yàn)閗, n都是正整數(shù)，且n>3,n=5 或 n=8. 當(dāng) n=5 時(shí),k=18;當(dāng)所以n<2k+ (n1),且n與2k+ (n1)的奇偶性不同

49、n=8時(shí)，k=9.共有兩種不同方案.將200分解質(zhì)因數(shù)，可知7. 1.因?yàn)?所以4(4x 3)x(4x 3)(13.3)2 47x 3,7x 34x 3'解得從而xyz8. 161.根據(jù)圖中、21+4+3X 4+ 39. 6拒.如圖，延長(zhǎng)AD因?yàn)? DCF=45的規(guī)律，可知圖中三角形的個(gè)數(shù)為34 + 34 =1+4+12+36+108=161交地面于E,過(guò)D作DF，CE,/ A=60° , CD=4m ,所以EF=DFtan60 ° =2j6 (m).因?yàn)榭?tan 30BE.3以（第9題圖）于F.CF=DF= 27'2 m,AB BE6,2(m).10.-

50、4.由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A (1, 4),點(diǎn) B (21),所以a4ab c 4,2b c1,口 b a 1,解得c 3 2a.因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象與 x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以2b 4ac2(a 1)2 4a(3 2a) 0,即(9a 1)(a1)0 ,由于a是正整數(shù)，故所以a > 2.又因?yàn)閎+c=3a+2 w 4,且當(dāng)a=2b= 一 3c= 1時(shí)，滿足題意，故b+c的最大值為4.三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11.如圖所示，已知 AB是。的直徑，BC是。O 于弦AD,過(guò)點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,連結(jié) AC, 問(wèn)EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論.解：DP=PE.證明如下:

51、因?yàn)锳B是。O的直徑，BC是切線,所以AB ± BC.AB的切線，OC平行與DE交于點(diǎn)P.由 RtAAEPRtAABC ,得（6分）（第11題圖）又 AD /OC,所以/ DAE= / COB,于是 RtAAEDRtAOBC.,ED AE AEBC OB Iab2AB（12 分）由，得 ED=2EP.所以 DP=PE.（15 分）12.某人租用一輛汽車(chē)由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過(guò)的城市以及通過(guò)兩城市之間所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）如圖所示.若汽車(chē)行駛的平均速度為 80千米/小時(shí)，而汽車(chē)每行駛 1千米需要的平均費(fèi)用為 1.2元.試指出此人從 A城出 發(fā)到B城的最短路線（要有推理過(guò)程），并求出所需費(fèi)用最少為多少元？解：從A城出發(fā)到達(dá)B城的路線分成如下兩類(lèi):（1）從A城出發(fā)到達(dá)B城，經(jīng)過(guò)。城.因?yàn)閺腁城到。城所需最短時(shí)間為 26小時(shí)，從。城到B城所需最短時(shí)間為22小時(shí).所以，此類(lèi)路線所需最短時(shí)間為26+22=48 （小時(shí)）.（5分）（2）從A城出發(fā)到達(dá)B城，不經(jīng)過(guò)。城.這時(shí)從A城到達(dá)B城，必定經(jīng)過(guò)C, D,E城或F, G, H城，所需時(shí)間至少為49小時(shí).（10 分）48小時(shí)，所走的路線為:ACB=90（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，第