1、WORD式-專業(yè)學習資料-可編輯高二數學選修2 1知識點第一章常用邏輯用語1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳 述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p,則q”形式的命題中的P稱為命題的條件，q稱為 命題的結論.3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一 個命題的結論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題 .其中一個 命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.若原命題為“若P,則q"，它的逆命題為“若q,則P” .4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一 個命題的條件的否定和結論的否定，則這兩個命題稱為互否 命題.中一個命題稱為

2、原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若P,則q"，則它的否命題為“若P,則飛” 5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一 個命題的結論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為 逆否命題.其中一個命題稱為原命題， 另一個稱為原命題的逆 否命題.若原命題為“若P,則q"，則它的否命題為“若q,則P” 6、四種命題的真假性：原命題逆命題否命題逆否命題直真真真真假假直假真真真假假假假四種命題的真假性之間的關系：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2 )兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關 系.7、若p= q ,則p是q的充分條件，q是p的必

3、要條件.若pu q,則p是q的充要條件(充分必要條件)8、用聯結詞“且”把命題 p和命題q聯結起來，得到一個新 命題，記作pAq.當p、q都是真命題時，pAq是真命題；當p、q兩個命題中 有一i個命題是假命題時，p八q是假命題.用聯結詞“或”把命題p和命題q聯結起來，得到一個新命題， 記作p,q .當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題都是假命題時， pq是假命題.對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作 p.若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是 真命題.9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“ v”表示.含有全稱量詞

4、的命題稱為全稱命題.全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立"，記作“ VxM , p(x .短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“寸表示.含有存在量詞的命題稱為特稱命題.特稱命題“存在M中的一個x,使p(x)成立”，記作“為WM , p(x f .10、全稱命題p： VxM , p(x它的否定p ：三xM ,p(x).全 稱命題的否定是特稱命題.第二章圓錐曲線與方程11、平面內與兩個定點Fi , F2的距離之和等于常數(大于FiF2 )的點的軌跡稱為橢圓.這兩個定點稱為橢圓的焦點， 兩焦點的距離稱為橢圓的焦距.12、橢圓的幾何性質：焦點的位置焦點在x軸上焦

5、點在y軸上圖形令J1標準方程22與+ *=1（aAb>0 ） a by x-2 +2 = 1 （ a > b a 0） a b范圍-a-x-aJ=L_b-y-b-bxbJ=L_aya頂點A1（-a,0）、&口,0）B1（0f）、B2（0,b）A1（0,-a）、%（0）IM-b,0）、B2（b,0）軸長短軸的長=2b長軸的長=2a焦點FKp0）、F2（c,0）Fj0,-c hF2（0,c）焦距|F1F2 =2c(c2 =a2b2 )對稱性關于x軸、y軸、原點對稱離心率c匚 b2 _ _/e = - =11 2 (0 < e < 1)準線方程22aax = 

6、7;-y = ±"-13、設M是橢圓上任一點，點 M到Fl對應準線的距離為di , 點M到F2對應準線的距離為d2,則學="=e.d1d214、平面內與兩個定點Fi, F2的距離之差的絕對值等于常數（小于IF1F2D的點的軌跡稱為雙曲線. 這兩個定點稱為雙曲 線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距.15、雙曲線的幾何性質：焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形£7° V、O-*J標準方程22x y.-7 -7 =1 (a >0, b > 0 ) a2 b222-y7 -2 =1(a a 0,b a 0 ) a b范圍x - -ax

7、- a , y 三 Ry-aya x三 R頂點A1 ( -a,0 卜 A2(a,0)A1(0，-a)、A2(0,a)軸長虛軸的長二2b實軸的長=2a焦點E（p0）、F2（c,0）F1(0,-chF2(0,c)焦距|F1F2 =2c(c2 =a2 +b2)對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱離心率吒二唇心1)準線方程2 ax = ± c2 a y = ± c漸近線方 程by = ±x aay = ± x b16、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線.17、設M是雙曲線上任一點，點 M到Fl對應準線的距離為di, 點M到F2對應準線的距離為d2,則也=

8、 Mfd=e.did218、平面內與一個定點 F和一條定直線I的距離相等的點的 軌跡稱為拋物線.定點F稱為拋物線的焦點，定直線 l稱為拋物線的準線.19、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于A、B兩點的線段AB,稱為拋物線的“通徑”,即|AB|=2p.20、焦半徑公式：若點P(xo,y° )在拋物線y2 =2px( p>0)上，焦點為F ,則PF =x0+p ； 若點P(xo, yo )在拋物線y2 = -2px( p>0 )上，焦點為F ,則 陽=-xo +-； 2若點P(x0,yo )在拋物線x2 =2py( p a0)上，焦點為F ,則PF =yo+：； 若點P

9、(x0,yo )在拋物線x2 = -2py(p a0)上，焦點為F ,則 乎二-y0 2 .21、拋物線的幾何性質：標準力2y = 2 px2y = -2 px2x = 2 py2x = -2 py程(p >0)(p A。)(p > 0 )(p > 0)第三章 空間向量與立體幾何22、空間向量的概念：(1 )在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量.(2 )向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.(3 )向量大的大小稱為向量的模(或長度)，記作AB'.(4模(或長度)為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單 位向量.(5方

10、向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記 作-a.(6)方向相同且模相等的向量稱為相等向量.23、空間向量的加法和減法：（1）求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形 法則.即：在空間以同一點。為起點的兩個已知向量a、b為 鄰邊作平行四邊形oacb,則以。起點的對角線1s就是a與b 的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法 則.（2）求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則.即：在空 .* 間任取一點。，作方=a, ob'=b，則一， BA =a -b .24、實數，與空間向量a的乘積九a是一個向量，稱為向量的 數乘運算.當人下0時，力與a方向

11、相同；當兒0時，舄與a方 向相反；當九=。時，兒a為零向量，記為0 .九a的長度是a的長 度的區(qū)倍.25、設九，為實數，a, b是空間任意兩個向量，則數乘運 算滿足分配律及結合律.分配律：九（a + b ）=兒,+尢b ；結合律：九（點）=（劉）3.26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合， 則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何 向量都共線.27、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a,b（b#0）, a b的充要條件是存在實數九，使a=短.28、平行于同一個平面的向量稱為共面向量.29、向量共面定理：空間一點 p位于平面abc內的充要條件 是存在有序實數對x

12、, y ,使不=x£十忌;或對空間任一定 點。，有浸= + xM+y7C ;或若四點p, A, B, C共面，則 t r .OP =xOA+ yOB+ zOC（x + y+ z =1）.30、已知兩個非零向量a和b,在空間任取一點。，作益=a, OB =b ,則ZAOB稱為向量a, b的夾角，記作a,b,兩個向量 夾角的取值范圍是：（a,bw0,M.I31、對于兩個非零向量a和b,若，a,b）=;,則向量a,1互相 垂直，記作a-Lb .32、已知兩個非零向量a和b,則：| b：cos"b稱為a , b的數量 積，記作a b ,即a,b=iakbcosqa,b）.零向量與任

13、何向量的數量b等于a的長度a與b在a的方向上的投影ibcosa,b）的乘積.34、若a, b為非零向量，e為單位向量，則有a e=iacos£e)；(2 )a _Lb a b =0 ;a 7山乂同向)(3)a b = f .一 aII alb a與b反向'a a 二信2 , a =Va a ;4 cos a, b 口;(5)ab 引ab.35、 向量數乘積的運算律：（1） a'b=b'a ；2 a b=.ab =，b；3 a b c = a c b c .j , k是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任-學習資料分享向量P ,存在有序實數組x,y,z,使得P=x

14、：+yj+zk ,稱x? , yj , zk為向量在：，j, k上的分量.37、空間向量基本定理：若三個向量a, b, c不共面，則對空間任一向量P ,存在實數組x, y,z,使得P = x： + yb+zC.38、若三個向量a, b, c不共面，則所有空間向量組成的集 合是pip = x，+ yb+zc,x, y, z w R.這個集合可看作是由向量a , b , c生 成的，4,b,c稱為空間的一個基底，a, b, c稱為基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.39、設工，;為有公共起點o的三個兩兩垂直的單位向量 (稱它們?yōu)閱挝徽换?，以二的公共起點。為原 點，分別以

15、工的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立 空間直角坐標系Oxyz .則對于空間任意一個向量P , 一定可以把它平移，使它的起點與原點。重合，得到向量 葭 = P .存在有序實數組1x,y,z),使得p =x0+ye2+ze3 .把x , y, z稱作向 量P在單位正交基底I, %, e3下的坐標，記作p=(x,y,z).此 時，向量P的坐標是點P在空間直角坐標系Oxyz中的坐標(x,y,z ).一5 一、.,一,.40、設 a =8,4 ), b 二小墨工)，則(1 )a+b = (x+x2, % + y?, z+z2). s J 2 ,、(2 )a -b =(xi -x2,yi -丫2,4-z

16、2 ).(3 )短=(九/&%/2 ).(4 )a b =22 +丫佻 +z (5 )若：、b 為非零向量，貝U a -Lb：b=0仁 x1x2 + y1y2+z1z2 = 0 .儀*尸訕叭/ 4 J(6)右 b=0)貝LI abu a=?bu x1=，的，y = Ky2,4 = Kz2.7 ）：| a = a a = x x28 cos 2, b = a '22%乙.a bX1X2yiy2 Z1Z2lalb"Xi2y； - zi2x2y2 z2(9)A(K,yi,Zi),B=(X2,y2,Z2),則d 三二上三=2 - x x -2 y 1y2z 1z41、在空間中

17、，取一定點口作為基點，那么空間中任意一點P 的位置可以用向量 8來表示.向量。戶稱為點p的位置向量.42、空間中任意一條直線I的位置可以由I上一個定點a以及 一個定方向確定.點a是直線上一點，向量a表示直線I的方 向向量，則對于直線I上的任意一點P,有' =1，這樣點A和 向量a不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示由直線 上的任意一點.43、空間中平面 Q的位置可以由u內的兩條相交直線來確 定.設這兩條相交直線相交于點。，它們的方向向量分別為a, b . P為平面a上任意一點，存在有序實數對(x,y),使得0 D=xa+yb,這樣點。與向量a, b就確定了平面a的位置.44、直線垂直

18、口，取直線的方向向量a,則向量a稱為平面 口的法向量.45、若空間不重合兩條直線a, b的方向向量分別為a, b,貝U a/b二 a/b-a = 'b (九 uR), a_Lbu a_Lbu ab=0.46、若直線a的方向向量為a,平面口的法向量為n,且aa, 貝f a1 = a/:u a -L n an=0, a -L a a，£u anu a = 'n.47、若空間不重合的兩個平面 P的法向量分別為a, b,則 c / : = a/b =a =，ub, ot_l_Pu a_l_bu a,b=0.48、設異面直線a, b的夾角為6,方向向量為a, b,其夾角為九則有

19、cos 二I平面«的法向量為n,貝f有 sin0 = cos*1 n1與"所49、設直線1的方向向量為：， 成的角為日，與n的夾角為邛,50、設I, 於是二面角a1，的兩個面a, P的法向量，則向量nl, n2的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小.若 T T二面角P的平面角為6 ,則cos0| = nn .八叫51、點A與點B之間的距離可以轉化為兩點對應向量AE的模計算.52、在直線1上找一點p,過定點a且垂直于直線1的向量為n,T叫T . PA n則定點A到直線1的距離為d = PA儂必川=- .53、點p是平面京外一點，a是平面支內的一定點，n為平面«的

20、一個法向/ ,則點P到平面T 4的距離為數學選修2-2知識點總結、導數1 .函數的平均變化率為.：y_ f_ f(X2)- f (xi)f (xi. ：x)- f (xi)x x x2- xilx注1:其中取是自變量的改變量，可正，可負，可零。注2:函數的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。2、導函數的概念：函數y = f(x)在x = x。處的瞬時變化率是 旦上型?("個一”")，則稱函數y = f(x)在點x。處可導，并把這 個極限叫做y = f(x)在x。處的導數，記作f(xo)或y'|xm ,即 f'(xo)= lim 2=lim f(x0 x)

21、-f(x0).J。xX . J。xX3.函數的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數的導數 的幾何意義是切線的斜率。4導數的背景(1)切線的斜率；(2)瞬時速度；(3)邊際 成本。5、常見的函數導數和積分公式函數導函數不定積分y =cy'=。-n .*y = x (n= N ), n y' = nxn4tn n xx dx n +1x ，.y = a (a>0,a¥1)x -y' = a In ax x._a_j a dx -In ax y =e1xy' =eexdx = exy =loga x(a >0,a =1,x a。)1 y'

22、;- xln ay = In x11 y = x1Ldx = In x xy =sin xy' = cosxfcosxdx =sin xy =cosxy' = sin xfsin xdx = -cosx6、常見的導數和定積分運算公式 ：若f(x), g(x )均可導(可積)， 則有：和差的導數運 算f (x)±g(x) = f (x)士g (x)積的導數運算PR1''f (x) g(x) = f (x)g(x) 土 f (x)g (x) 特別地：Cf (x)'=Cf'(x)商的導數運算(*f (x) _ f (x)g(x)- 一 g(x

23、) 一Ig(r t一 1 1寺別地：l;jg(x)l, fxSg(x)，0) x)f,_-g'(x)一g2(x)復合函數的導 數yx' = yu 鼠微積分基本定理JFbaf(xdx=(其中yx)=f(x)和差的積分運 算J*bbb1f1(x)± f2(x)dx= ( f1(x)dxt f f2(x)dx aaabb上口心山 k kf(x)dx = kj f(x)dx(k為常數) 寺別地：，ata積分的區(qū)間可 加性Jbf (x)dx= j acbf(x)dx+J f(x)dx (其中a<c< b) ac6 .用導數求函數單調區(qū)間的步驟：求函數f(x)的導數f

24、'(x)令f'(x)>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令f'(x)<0, 解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間；注:求單調區(qū)間 之前一定要先看原函數的定義域。7 .求可導函數f(x)的極值的步驟：(1)確定函數的定義域。(2)求函數f(x)的導數f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根(4)用函數的 導數為。的點，順次將函數的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間， 并列成表格，檢查f/(x)在方程根左右的值的符號，如果左正 右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那 么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么 f(x)在

25、這個根處無極值8 .利用導數求函數的最值的步驟：求f(x)在Kb】上的最大值與最小值的步驟如下：求f(x)在Ja,b】上的極值；將f(x)的各極值與f(a), f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。注:實際問題的開區(qū)間唯一極值點就是所求 的最值點；9 .求曲邊梯形的思想和步驟：后斗|近似代碎 麗小向(“以直代曲”的思想)10 .定積分的性質 根據定積分的定義，不難得由定積分的如下性質：性質 111dx=b-aa性質5若f(x)至0, xW a,b】則/f(x)dx至0 a推廣：bbbafi x ±f x ± lit fm x( dx=2a f x dx

26、± Ja f x dx±|l|土 Ja fm x (o LZK 、 bc1c2b推廣：f(x)dx = j f(x)dx，i f(x)dx HI f(x)dx aaqCk11定積分的取值情況：定積分的值可 個L 尸 尸對n能取正值，也可能取負值，還可能是二 N L0.可(l )當對應的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值一且等于x軸上方的圖形面積；(2)當對應的曲邊梯形位于 x軸 下方時，定積分的值取負值，且等于 x軸上方圖形面積的相反數；(3)當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0_,且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積

27、.12 .物理中常用的微積分知識(1)位 移的導數為速度，速度的導數為加速 度。(2)力的積分為功推理與證明知識點13 .歸納推理的定義：從個別事實 中推演由一般性.的結論，像 這樣的推理通常稱為歸納推理。歸納推理是由部分到整體.，由個別到一般.的推理。14 .歸納推理的思維過程, 一I"""實驗、觀察 I概括、推廣猜測一般性結論大致如圖：111 115 .歸納推理的特點：歸納推理的前提是幾個已知的特殊 現象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象。由歸納推 理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏 輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數學證明的工具。 歸納

28、推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想， 可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現問題和提生問 題。16 .類比推理的定義：根據兩個（或兩類）對象之間在某些方 面的相似或相同，推演由它們在其他方面也相似或相同，這 樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。11 11»17 .類比推理的思維過程觀察、比較聯想、類推推測新的結論18 .演繹推理的定義：演繹推理是根據已有的事實和正確的結 論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新 結論的推理過程。演繹推理是由一般 到特殊的推理。 " " 19 .演繹推理的主要形式：三段論20 .“三段論”可以

29、表示為：大前題：M是P小前提：S是M 結論：S是P。其中是大前提，它提供了一個一般性的原理；是小 前提，它指生了一個特殊對象；是結論，它是根據一般性 原理，對特殊情況做由的判斷。21 .直接證明是從命題的條件或結論由發(fā)，根據已知的定義、 公理、定理，直接推證結論的真實性。直接證明包括綜合法 和分析法。22 .綜合法就是“由因導果”，從已知條件由發(fā)，不斷用必要 條件代替前面的條件，直至推由要證的結論。23 .分析法就是從所要證明的結論由發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因” 。 要注意敘述的形式：要證 A,只要證B, B應是A成立的充 分條件.分析法和綜合法常結

30、合使用，不要將它們割裂開。24反證法：是指從否定的結論由發(fā)， 經過邏輯推理，導由矛 盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證 明方法。25.反證法的一般步驟（1）假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；（2）從假設由發(fā)，經過推理論證，得由矛盾；（3）從矛盾判定假設不正磷.，即所求證命題正確。26常見的“結論詞”與“反義詞”原結論詞反義詞原結論詞反義詞至少有一個一個也沒有對所有的x都 成立存在x使不成 立至多有一個至少有兩個對任意x不成 立存在x使成立至少有n個至多有n-1個p或qp 旦q至多有n個至少有n+1個p且qp或飛27.反證法的思維方法：正難則反 28.歸繆矛盾（1）與已

31、知條件矛盾:（2）與已有公理、定理、 定義矛盾;（3）自相矛盾. / 29 .數學歸納法（只能證明與正整U有關的數學命題）的步 3H（1）證明：當n取第二個值叫8川”）時命題成立；（2）假設當n=k （kSN*,且knno）時命題成立，證明當 n=k+1 時命題也成立.由（1）, （2）可知，命題對于從n0開始的所有正整數 n都正確.注:常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正 確性的證明。數系的擴充和復數的概念知識點30.復數的概念：形如 a+b 1.的數叫做復數，其中i叫虛數單 位，a叫實部，b叫虛部，數集C=a+bi|a,bWR叫做復數集。 規(guī)定：a+bi=c+diu a=C且b=d，強調

32、：兩復數不能比較大小，只有相等或不相等31 .數集的關系：實數（b=0）一復數Z41fA.I 一般虛數（a#0）虛數（b#0）4純虛數（a =0）32 .復數的幾何意義：復數與平面內的點或有序實數對 應。33 .復平面：根據復數相等的定義，任何一個復數z = a + bi,都可以由一個有序實數對（a,b）唯一確定。由于有序實數對（a,b）與平面直角坐標系中的點一一對應，因此復數集與平面 直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。這個建立了直角坐標系來哀示復數的平面叫做復平面、x軸叫做實軸、y軸叫做虛軸。實軸上的點都相示實數，除了原點外、虛軸上的 點都表示純虛數。34 .求復數的模（絕對值）與復數

33、z對應的向量OZ的模r叫做復 數z =a + bi的模（也叫絕對值）記作z或a+bi。由模的定義可知： z = a + bi| 7a2 十b235 .復數的加、減法運算及幾何意義復數的加、減法法則：4 =a+bi與z2 =c + di ,貝U乙土z? =a±c+ （b土d）i。注： 復數的力口、 減法運算也可以按向帛 的加、減法來進行。 復數的乘法法則：(a+bi)(c+di)=(ac-bd )+(ad+bc)i。復數的除法法則:a+bi _(a+bi)(c-di)_ac+bd jc_adiH中 c_di 叫 c di (c di)(c - di)c2 d2c2 d2 八做實數化因子

34、36.共輾復數：兩復數a+bi與a-bi互為共輾復數，當b#0時，它們叫做共軻虛數 常見的運算規(guī)律 z =|z|;(2)z+z=2a,z-z=2bi;，一、2 II22.2,、一 ，、一(3)z z =|z =|z| =a +b ;(4) z =z;(5) z =z y zw R/c. 4n 1.4n：；24nH3.4n：4(6)i=i,i - -1,i- -i,i =1；21 i1-i-i;百,1-i二i, 一1 i設金=/詈是1的立方虛根，貝f 1十十伊2 =0 ,.,3n1 =,3n2 3n.3=1高中數學選修2-3知識點總結 第一章計數原理 知識點：1、分類加法計數原理：做一件事情，完

35、成它有N類辦法，在第一類辦法中有 Mi種不同的方法，在第二類辦法中有 M2種不同的方法， ，在第N類辦法中有Mn種不同的方 法，那么完成這件事情共有M 1+M 2+ +MN種不同的方法。2、分步乘法計數原理：做一件事，完成它需要分成 N個步 驟，做第一 步有m1種不同的方法，做第二步有 M2不同的 方法，做第N步有Mn不同的方法.那么完成這件事共有N=M 1M2.MN種不同的方法。3、排列：從n個不同的元素中任取 m(m < n)個元素，投騏的一個排列4、排列數:一定順序排成一列，叫做從 n個不同元素中取由 m個元素 ,n!A = n(n -1) (n - m 1)(m=n,n,m N)

36、(n - m)!5、組合：從n個不同的元素中任取 m(m Wn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取由 m個元素的一個組合。6、組合數：靖嚏Wf)mm!mnum.C n _C n；Cm；一Lnm(n)7m)!c m.m m 、 C n C n -Cmn -1n 0 n 1 n J2n_2,2rn，rn,n(a +b) =Cna +Cna b+Cna b +Cna b +Cnb8、0項0 : Tf=Cnan,br(r=0, 1 n)第二章隨機變量及其分布知識點：1、隨機變量：如果隨機試驗可能由現的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結果的不同而變化， 那么 這樣的變量叫做隨機變量.

37、隨機變量常用大寫字母 X、Y等 或希臘字母 E、n等表示。2、離散型隨機變量：在上面的射擊、產品檢驗等例子中， 對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列由，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.3、離散型隨機變量的分布列：一般的，設離散型隨機變量 X可能取的值為 X1 ,X2,.,Xi ,XnX取每一個值 Xi(i=1,2,)的概率P(FXi) =Pi,則稱表為離散型隨機變量X的概率分布，簡稱分布列XxrX2 Xi, XnPPiP2 Pin v -i4、分布列性質p i >0, i =1 ,2,： p 1 + p 2 + -+p n= 1 .5、二點分布：如果隨機變量 X的分布列為

38、:p p q其中0<p<1 , q=1-p ,則稱離散型隨機變量 X服從參數p的二點分布6、超幾何分布：一般地，設總數為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取 n(n WN)件，這n件中所含這類物品件數X是一個離散型隨機變量, 其中 m = minM , n> ,旦 nw N,M w N,n,M, N w N則它取值為k時的概率為P(X =k)=Ck n kM CN -MCN(k =0,1,2,|,m)1條件概率：對任意事件 A和事件B,在已知事件 A發(fā)生 的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A), 讀作A發(fā)生的條件下B的概率2公式：P(B| A)=

39、 P(AB),p(A)0.P(A)3相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件 B(或A)發(fā)生 的概率沒有影 響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。P(A B) =P(A) P(B)4 n次獨立重復事件：在同等條件下進行的，各次之間相互 獨立的一種試驗11、二項分布：設在n次獨立重復試驗中某個事件A發(fā)生的次數，A發(fā)生次數 系一個隨機變量.如果在一次試驗中某 事件發(fā)生的概率是 p,事件A不發(fā)生的概率為q=1-p，那么 k k n _k在n次獨立重復試驗中P(-=k)=Cnpq (其中k=0,1, ,n,q=1-p)于是可得隨機變量汕勺概率分布如下:01« V *k« V Vnp

40、 I- 廣1北 k M-Jc這樣的隨機變量 板從二項分布，記作士B(n, p),其中n,小勺概率分布為p為參數12、數學期望：一般地，若離散型隨機變量I*2*pPlP2 ，Pi則稱 E E= xlpl +x2p2 + + xnpn + 為小勺數學期望或平均數、均值，數學期望又簡稱為期望.是離散型隨機變量。13、方差：D( 9=(X 1-E y Pl+(X2-E 92 P2 + (Xn-E92Pn 叫隨機變量 部勺均方差，簡稱方差。14、集中分布的期望與方差一覽：期望方差兩點分布EE=pD E=pq , q=1-p二項分布，EB (n,p )EE=npD E=qE Fnpq (q=1-p )15

41、、正態(tài)分布：若概率密度曲線就是或近似地是函數1-22)-f (x) - e 、-, x (一二，二),2 二二的圖像，其中解析式中的實數 人。(。>0)是參數，分別表示總 體的平均數與標準差.則其分布叫正態(tài)分布 記作：N(N,Q),f( x )的圖象稱為正態(tài)曲線。16、基本性質：曲線在x軸的上方，與x軸不相交.曲線關于直線x= 口對稱，且在x="時位于最高點.當時x<曲線上升；當時x>曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時， 以x軸為漸近線，向它無限靠近.當N一定時，曲線的形狀由。確定.。越大，曲線越“矮胖”， 表示總體的分布越分散；。越小，曲線越“瘦高”，表示

42、總體 的分布越集中.當挑目同時，正態(tài)分布曲線的位置由期望值 以來決定.正態(tài)曲線下的總面積等于 1.17、3仃原貝U:從上表看到，正態(tài)總體在 伊-2仃出十2。 以外取值的概率只有4.6%,在 伊-3。, N+3。)以外取值的概率只有 0.3% 由于這些概率很小，通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.也就是說,通常認為這些情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的第三章統計案例知識點：1、獨立性檢驗假設有兩個分類變量 X和Y,它們的值域分另為XI, X2和yi, y2,其樣本頻數列聯表為：y1y2總計X1aba+bX2cdc+d總a+b+a+b+計cdc+d若要推斷的論述為 Hi: “X與Y有關系”，可以利用獨

43、立 性檢驗來考察兩個變量是否有關系，并且能較精確地給由這 種判斷的可靠程度。具體的做法是，由表中的數據算由隨機 變量KA2的值(即 K的平方)K2 = n (ad - bc) 2 /(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中 n=a+b+c+d為樣本容量，K2的值越大，說明“X 與Y有關系”成立的可能性越大。K2<3.841 時，X 與 Y 無關；K2>3.841 時，X 與 Y 有 95% 可能性有關；K2>6.635 時X與Y有99%可能性有關 2、回歸分析1、回歸直線方程？ = a+bx1% xy" x' y 其中b二n'、x2 -C x2

44、) n% (xx)(y y)_ SP、(xx)2, SSx2、r檢驗性質：（1） I r | W1, | r |并且越接近于1,線性相關程度越強，I r I越接近于 0,線性相關程度越弱;（2） | r | >r 0.05,表明有95%的把握認為x與Y之間具有線性相關關系；| r | wro.05,我們沒有理由拒絕原來的假設, 這是尋找回歸直線方程毫無意義！高中數學選修4-5知識點1、不等式的基本性質（對稱性）a b- b a（傳遞性）a b,b c= a c（可加性）a b- a c b c（同向可加性）ab, cd=ac b d(異向可減性)ab, c : d = a - c b -

45、 d3)(可積性) a b, c 0 = ac bca . b, c ：二 0 = ac :二 bc(同向正數可乘性)a b 0,c d 0= ac bd（異向正數可除性） a b 0,0 :二 c :二 d= a - c d（平方法則）a >b >0= an >bn(n e N,且 n>1)（開方法則）a >b >0=小An6（n W N,且n>1）（倒數法則）a b 0=1;a :二b < 0=11 a ba b2、幾個重要不等式a2+b2至2ab（a, bR）,（當且僅當a=b時取"="號）變形公22a b式：ab .2

46、（基本不等式）瞪之倔（a, bwR+）,（當且僅當a = b時取到等號）.2變形公式：a + 旌 2-a b ab < a-2 l,.用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等” （三個正數的算術一幾何平均不等式）ba若ab< 0,Wb+-<-2（當僅當a=b時取等號）a b令 bbm/ a n一：二：二 1 <aam b na-bc >Vabc （a> b cw R4）（當且僅當 a = b = cEhf取到等號） 3平均不等式：國名呼南孚2, (a,bwR+,當且僅a b2.2當 a = bEhf取"

47、="號).(即調和平均E幾何平均E算術平均工平方平均)變形公式:, a b ab .,2哥平均不等式：22.22a b2 , 2 (a b);a b .222221 ,、2a1 a2. an 一(a1 a2 an).n二維形式的三角不等式：X；v1X22V-.(Xi-X2)2(yi-丫2)2(Xi,yi,X2, y2 R).二維形式的柯西不等式：(a2 +b2)(c2 +d2)之(ac+bd)2(a, b,c, d R R).當且僅當 ad =bc時,等號成立.三維形式的柯西不等式：2222222(ai a? a3 )(bi b2 4 ) - (abi a2b2 a3b3).一般形式

48、的柯西不等式：(a： %2 . an2 )(匕2 b22 . bn2) 一(abi a2b2 anbn)2.向量:形式的柯西不等式：設NW是兩個向量，則 口用舉的，當且僅當是零向量， 或存在實數k,使工建時，等號成立.排序不等式(排序原理) ：設為央2 W. Man,“ <b2 MMbn為兩組實數.傘。,cn是匕也,.,4 的任一排列，則aibn +a2bn 4 + *anb1 工 aici + a2c2，+ anci aib1 + a2b2 + + anbn.序和舌L和等于順序和琴生不等式：（特例：凸函數、凹函數）若定義在某區(qū)間上的函數f（x），對于定義域中任意兩點X, X2（Xi =

49、X2）,有f（）M513或f（匕）至313.則稱f（x）為凸（或凹）函 2222數.4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法;其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等.常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項，如（a 2）2 4 （a 2）2；將分子或分母放大(縮小)加 1 .111如 k2 k(k -1)， k2 k(k 1)， 3A , 2/ (Y N*,k>1)等.、一 k 一 k 、, k 122- 12 = < .2 M k /k . k . k v k15、一元二次不等式的解法6、高次不等式的解法：穿根法

50、 .分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿（奇 穿偶切）,結合原式不等號的方向，寫由不等式的解集7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則（“或工”時同理）fTx) 0 = f (x) g(x) . 0 g(x)f(x) 0= f(x) g(x) .0 g(x) - - g(x)=0規(guī)律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解,f (x) a(a 0)=f(x)-0_2f(x) a/、f (x) - 0 f(x) : a(a 0)2f(x) <a2或黑0_f(x) 0.f (x) g(x) = g(x) -0 f(x) g(x)2_f(x)

51、-0.f (x) ； g(x) = g(x) 0 f(x) ”g(x)2_ f(x) -0.f (x). g(x) = g(x) -0f(x) g(x)規(guī)律：把無理不等式等價轉化為有理不等式、訣竅在于從 .當 a >1 時，af Aag(x)u f (x) >g(x)當 0<a<1 時，af(x)Aag(x)u f (x) < g(x) 規(guī)律：根據指數函數的性質轉化.10、對數不等式的解法f(x) 0當 a >1 時，loga f (x)loga g(x)u <g(x)>0f(x) g(x)f(x) 0當 0 <a <1 時，loga

52、 f (x) >loga g(x)u <g(x)>0 f (x):二 g(x)規(guī)律：根據對數函數的性質轉化 .11、含絕對值不等式的解法：定義法:a(a")a =4a (a < 0)平方法：f(x) < g(x):= f2(x) < g2(x).同解變形法，共同解定理有: xau -a -x -a(a -0); x au x 至a或x - -a(a -0); f(x) Mg(x) = -g(x) M(x)-g(x) (g(x)-0) f(x)| 之g(x)U f (x)之g(x)或f(x) <-g(x) (g(x) >0)規(guī)律：關鍵是去

53、掉絕對俏的符號 .12、含有兩個(或兩個以上)絕對俏的不等式的解法：13、含參數的不等式的解法解形如ax2+bx+c>。且含參數的不等式時，要對參數進行分類討論，分類討論的標準有：討論a與0的大??；討論與0的大??；討論兩根的大小.14、恒成立問題不等式ax2+bx+c >。的解集是全體實數(或恒成立)的條件 是：當 a=0時=b=0,c>0;a 0當a,0時二*:：0.不等式ax2+bx+c<0的解集是全體實數(或恒成立)的條件是：當 2=0時=b = 0,c<0;當a#0時ni；：0. f(x)<a 恒成立 = f (x)max <a;f(x)a恒成立 u f(x)max <a; f(x)>a®Mj/l u f (x)min A a;f(x)之a恒成立 « f(x)min.a.15、線性拆劃問題二元一次不等式所哀示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點定域法：由于直線Ax+By + C = 0的同一側的所有點的坐標代入 Ax + By+C后所得的實數的符號相同.所以，在實際判斷時，往 往只需在