1、第九章二重積分習(xí)題9-11、設(shè),其中;又,其中,試?yán)枚胤e分的幾何意義說明與之間的關(guān)系.解：由于二重積分表示的立體關(guān)于坐標(biāo)面及對(duì)稱,且位于第一卦限部分與一致,因此.2、利用二重積分的幾何意義說明:(1)當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱,為的奇函數(shù),即時(shí),有;(2)當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱,為的偶函數(shù),即時(shí),有,其中為在的部分.并由此計(jì)算下列積分的值,其中.(I); (II); (III).解：令,其中為在的部分,(1)由于關(guān)于軸對(duì)稱,為的奇函數(shù),那么表示的立體關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱,且在的部分的體積為,在的部分的體積為,于是;(2)由于關(guān)于軸對(duì)稱,為的偶函數(shù),那么表示的立體關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱,且在的部分的體積為,在的部

2、分的體積也為,于是.(I)由于關(guān)于軸對(duì)稱,且為的奇函數(shù),于是;(II)由于關(guān)于軸對(duì)稱,且為的奇函數(shù),于是;(III)由于關(guān)于軸對(duì)稱,且為的奇函數(shù),于是.3、根據(jù)二重積分的性質(zhì),比較下列積分的大小:(1)與,其中是由軸、軸與直線所圍成; 解：由于在內(nèi),有,所以.(2)與,其中. 解：由于在內(nèi),有,所以.4、利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列二重積分的值：(1),其中；解：由于的面積為,且在內(nèi),那么.(2),其中；解：由于的面積為,且在內(nèi),那么.(3),其中；解：由于的面積為,且在內(nèi),那么.習(xí)題9-21、計(jì)算下列二重積分：(1),其中是矩形區(qū)域: ；解：.(2),其中；解：.(3),其中是由兩坐標(biāo)軸及直線

3、所圍成的閉區(qū)域；解：.(4),其中是頂點(diǎn)分別為和的三角形閉區(qū)域.解：.2、畫出積分區(qū)域,并計(jì)算下列二重積分：(1),其中是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域；解：.(2),其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域；解：.(3),其中是由及所圍成的閉區(qū)域；解：.(4),其中是由所確定的閉區(qū)域.解：. a:=0.1;b:=x-1.-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify(");3、如果二重積分的被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)及的乘積,即,積分區(qū)域,證明這個(gè)二重積分等于兩個(gè)單積分的乘積,即.證明：.4、化二重積分為二次積分(分別列出對(duì)兩個(gè)變量先后次序

4、不同的兩個(gè)二次積分),其中積分區(qū)域是：(1)由曲線、直線及軸所圍成的閉區(qū)域；圖形> plot(ln(x),0,2,0,2,ln(2),x=0.2,y=0.,color=1);解：.(2)由軸及右半圓所圍成的閉區(qū)域；圖形> plot(1-x2)(1/2), -1*(1-x2)(1/2),x=0.1, color=1);解：.(3)由拋物線與直線所圍成的閉區(qū)域.圖形> plot(x2, 3-2*x,x=-3.1, color=1);解：.5、改換下列二次積分的積分順序：(1)；解：.(2)；解：.(3)；解：.(4)；解：.(5)；圖形> plot(sin(x),-sin(

5、x/2),Pi,0,Pi,-1, x=0.Pi,color=1);解：.(6).圖形> plot(2*x-x2)(1/2),(2*x)(1/2),2,0,2,2, x=0.2,color=1);解：.6、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域由直線和軸所圍成,它的面密度,求該改薄片的質(zhì)量. 圖形> plot(2-x,x, x=0.2,y=0.1,color=1);解：.7、求由平面及所圍成的立體的體積. 圖形> with(plots):A:=plot3d(x,y,1,x=0.1,y=0.1-x):B:=plot3d(x,1-x,z,x=0.1,z=1.2):F:=plot3d(x,0,z,x

6、=0.1,z=1.1+x):G:=plot3d(0,y,z,y=0.1,z=1.1+y):H:=plot3d(x,y,1+x+y,x=0.1,y=0.1-x):display(A,B,F,G,H,grid=25,20, axes= BOXED ,scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);解：.8、為修建高速公路,要在一山坡中辟出一條長(zhǎng),寬的通道,據(jù)測(cè)量,以出發(fā)點(diǎn)一側(cè)為原點(diǎn),往另一側(cè)方向?yàn)檩S(),往公路延伸方向?yàn)檩S(),且山坡高度為,試計(jì)算所需挖掉的土方量. 圖形> plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0.

7、500,x=0.20);解：.9、畫出積分區(qū)域,把積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中積分區(qū)域是：(1)；圖形> plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2), x=0.1,color=1);解：.(2)；圖形> plot(1+(1-x2)(1/2), 1-(1-x2)(1/2), x=-1.1,color=1);解：,于是.(3),其中；圖形> plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2),(4-x2)(1/2),-(4-x2)(1/2), x=-2.2,color=1);解：.(4). 圖形> plot(x2,1,0,1,1, x=0.1,c

8、olor=1);解：,于是.10、化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分：(1)；圖形> plot(0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,color=1);解：,于是.(2)；圖形> plot(1-x2)(1/2),1-x,x=0.1,color=1);解：,于是.11、把下列積分為極坐標(biāo)形式,并計(jì)算積分值：(1)；圖形> plot(2*x-x2)(1/2), x=0.2,color=1);解：,于是 .(2)；圖形> plot(3(1/2)*x,x, x=0.1,color=1);解：,于是 .(3).圖形> plot(3(1/2)*x/3, (1-x2)(1/

9、2),x=0.1,y=0.,color=1);解：,于是 .12、利用極坐標(biāo)計(jì)算下列各題：(1),其中為圓域()；圖形> plot(x-x2)(1/2),-(x-x2)(1/2),x=0.1,color=1);解：,于是.(2),其中為圓及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；圖形> plot(1-x2)(1/2),x=0.1,color=1);解：.(3),其中為圓周,及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.圖形> plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2), (4-x2)(1/2),-(4-x2)(1/2),x,x=-2.2,y=0.2(1/2),color=1)

10、;解：.13、選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題：(1),其中是直線及曲線所圍成的閉區(qū)域；圖形> plot(x,1/x,2,1/2,2,2,x=0.2,y=0.2,color=1);解：.(2),其中是圓環(huán)形區(qū)域；圖形> plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2),(4-x2)(1/2),-(4-x2)(1/2), x=-2.2,color=1);解：.(3),其中是由直線()所圍成的閉區(qū)域；圖形> plot(0,1,1,1,3,3,2,3,0,1,x=0.3,y=0.3,color=1);解：.(4),其中為圓域.圖形> plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2),(4-x2)(1/2),-(4-x2)(1/2), x=-2.2,color=1);解：.14、計(jì)算以面上的圓周圍成的閉區(qū)域?yàn)榈?而以曲面為頂?shù)那斨w的體積. 圖形> plot(x-x2)(1/2),-(x-x2)(1/2),x=0.1,color=1);解：,于是.15、某水池呈圓形,半