1、6-1 概概 述述 6-2 換面法換面法基本要求基本要求 基本要求基本要求 （1 1）掌握換面法的基本原理和換面法作圖）掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。的投影變換規(guī)律。（2 2）掌握用換面法求線段實長、平面圖形）掌握用換面法求線段實長、平面圖形實形及其對投影面的傾角基本作圖方法。實形及其對投影面的傾角基本作圖方法。（3 3）掌握用換面法解決一般空間幾何元素）掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量問題。間的定位和度量問題。6.1 概概 述述 當直線或平面相對于投影面處于特殊位置當直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行或垂直）時，它們的投影反映線段的實（平行或垂直）時，它

2、們的投影反映線段的實長、平面的實形及其與投影面的傾角，當它們長、平面的實形及其與投影面的傾角，當它們處于垂直位置時，其中有一投影具有積聚性。處于垂直位置時，其中有一投影具有積聚性。 當直線或平面和投影面處于一般位置時，當直線或平面和投影面處于一般位置時，則它們的投影就不具備上述的特性。則它們的投影就不具備上述的特性。 投影變換就是將直線或平面從一般位置變投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以簡便地解換為和投影面平行或垂直的位置，以簡便地解決它們的定位和度量問題。決它們的定位和度量問題。aabb 兩點之間距離aabbcc三角形實形aabbccdd 直線與平面的交點a

3、bcdabcd 兩平面夾角6. 2 換換 面面 法法6.2.1 換面法的基本概念換面法的基本概念6.2.2 點的投影變換規(guī)律點的投影變換規(guī)律6.2.3 直線的換面直線的換面6.2.4 平面的換面平面的換面 換面法換面法空間幾何元素的位置保持不空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。置，然后找出其在新投影面上的投影。6.2.1 6.2.1 換面法的基本概念換面法的基本概念a1c1b1V1X1X1V/H 體系變?yōu)閂1/H 體系c1b1a1

4、bcabacX1. 新投影體系的建立新投影體系的建立V1/H 體系稱為新新投影體系；投影體系；V/H 體系為舊舊投影體系。投影體系。V1稱為新新投影面；投影面；V稱為舊舊投影面；投影面；H稱為不變不變投影面。投影面。X1稱為新新投影軸；投影軸；X稱為舊舊投影軸。投影軸。新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：(1) 新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。(2) 新投影面必須垂直于于原投影體系中的一個不變投影面。2. 新投影面的選擇原則新投影面的選擇原則V V1 1 H HV V1 1ABCABC1.1.點的一次變換點的一次變換X1V1a16.2.

5、2 6.2.2 點的投影變換規(guī)律點的投影變換規(guī)律V/H V1/H a1aXVHaVHXX1 V1a1X1HV1aAa變換V面時點的投影作圖 V1a1（1 1）點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。）點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。（2 2）點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影軸的距離。）點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影軸的距離。2.2.點的投影變換規(guī)律點的投影變換規(guī)律H1X1點在V/H1體系中的投影 X1H1Va1a1V/H 體系變?yōu)轶w系變?yōu)閂/H1 體系體系V/H1 體系稱為體系稱為新新投影體系；投影體系；V/H 體系為體系為舊舊投影體系。投

6、影體系。 X1稱為稱為新新投影軸；投影軸；X稱為稱為舊舊投影軸。投影軸。H1稱為稱為新新投影面；投影面； H稱為稱為舊舊投影面；投影面；V稱為稱為不變不變投影面。投影面。a23.3.點的兩次變換點的兩次變換X2H2V12X2a2V/H V1/H V1/H2 新投影新投影不變投影不變投影舊投影舊投影新軸新軸舊軸舊軸第一次變換時的舊、第一次變換時的舊、不變、新投影不變、新投影值得提醒的是值得提醒的是: : 在多次變換中，必須遵照交替換面的原則。在多次變換中，必須遵照交替換面的原則。V/H V1/H V1/H2 V3/H2 V/H V/H1 V2/H1 V2/H3 如如: :V1X11.1.將一般位

7、置直線變換為將一般位置直線變換為投影面的平行線投影面的平行線 a1 b1a1b1 X1V1H6.2.3 6.2.3 直線的換面直線的換面將一般位置直線變換為將一般位置直線變換為V V1 1面的平行線面的平行線 一次換一次換面即可面即可 例題例題1 1 將將一般位置直線變換為H1面的平行線 X1H1Va1b1X1H1Va1 b12.2.將將投影面平行線投影面平行線變換為變換為投影面的垂直線投影面的垂直線 bb1X1a1b1一次換一次換面即可面即可 3.3.將將一般位置直線一般位置直線變換為變換為投影面的垂直線投影面的垂直線V1X1 a1 b12a2 b2需要二次換需要二次換面面 X2一般位置直線

8、一般位置直線變換為變換為投影面垂直線的作圖投影面垂直線的作圖X2H2V1a2 b2X1HV1a1 b1 例題例題22 求點求點C C 到直線到直線AB AB 的距離的距離空間分析空間分析c2作圖作圖c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2a2距離距離k2c1 k1 X2 例題例題3 3 求兩平行直線求兩平行直線ABAB與與CDCD間的距離間的距離X2H2V1aaXVHbba2 b2X1HV1a1b1提示提示aaXbb cdcdVHX2H2V1aaXVHbba2 b2X1HV1a1b1作圖作圖 cdcdc2 d2d1c1距離距離211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b

9、1a1d1c121b 例題例題44 求交叉兩直線求交叉兩直線ABAB與與CDCD的公垂線的公垂線 AB HAB H2 2H H2 2 ABAB CDCDH2ABDC1222c2d212 22c2 d2a cXVHbb ac1.1.將一般位置平將一般位置平面面變換為變換為 投影面的垂直面投影面的垂直面 c ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d16.2.4 6.2.4 平面的換面平面的換面一次換一次換面即可面即可 k1X1H1Vb1a1c1 d1s1 例題例題55 求點求點S S到平面到平面ABCABC的距離的距離距離距離N ddX1VH1k1e1b1a1c1d1有兩解有兩解ee 例題例題66已知已知E E到平面到平面ABCABC的距離為的距離為N N，求，求E E點的正面投影點的正面投影e e 。HACXVcbaB2. 2. 將投影面垂直面將投影面垂直面變換為變換為投影面的平行面投影面的平行面V1c1b1a1X1X1V1c1a1b1一次換一次換面即可面即可 aba1c1b1X1 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H13.3.將一般位置平將一般位置平面面變