1、統(tǒng)計概率知識點梳理總結(jié)精品文檔統(tǒng)計概率知識點梳理總結(jié)第一章隨機(jī)事件與概率一、教學(xué)要求1理解隨機(jī)事件的概念，了解隨機(jī)試驗、樣本空間的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運(yùn)算 2了解概率的各種定義，掌握概率的基本性質(zhì)并能運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計算3理解條件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行概率計算4理解事件的 獨立性概念，掌握運(yùn)用事件獨立性進(jìn)行概率計算5掌握貝努里概型及其計算，能夠?qū)嶋H問題歸結(jié)為貝努里概型，然后用二項概率計算有關(guān)事件的概率本章重點：隨機(jī)事件的概率計算二、知識要點1隨機(jī)試驗與樣本空間具有下列三個特性的試驗稱為隨機(jī)試驗：(1) 試驗可以在相同的條件下重復(fù)

2、地進(jìn)行；·(2) 每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但事先知道每次試驗所有可能的結(jié)果；(3) 每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個結(jié)果用 e 表示， e 稱為樣本空間中的樣本點，記作 e 2隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗中，把一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗中卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件(簡稱事件 )通常把必然事件 (記作)與不可能事件 (記作)看作特殊的隨機(jī)事件收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔3* 事件的關(guān)系及運(yùn)算(1) 包含：若事件 A 發(fā)生，一定導(dǎo)致事件 B 發(fā)生，那么，稱事件 B 包含事件A，記作 A

3、 B(或B A)(2) 相等：若兩事件 A 與 B 相互包含，即 AB 且 BA ，那么，稱事件 A 與B相等，記作 A B(3) 和事件：“事件A 與事件 B 中至少有一個發(fā)生”這一事件稱為 A 與 B 的和事件，記作 AB ；“ 個事件 A1,A2,L ,An 中至少有一事件發(fā)生”這一事件nn稱為 A1, A2,L ,An 的和，記作 A1A2U Ai）LAn （簡記為 i 1(4) 積事件：“事件A 與事件 B 同時發(fā)生”這一事件稱為 A 與 B 的積事件，記作 AB (簡記為 AB )；“n 個事件 A1,A2,L,An 同時發(fā)生”這一事件稱為nA1,A2, L,An 的積事件，記作

4、A1A2LIAiAn （簡記為 A1 A2 L An 或 i 1)(5) 互不相容 ：若事件 A 和 B 不能同時發(fā)生，即 AB，那么稱事件 A 與 B互不相容 (或互斥 )，若 n 個事件 A1,A2,L ,An 中任意兩個事件不能同時發(fā)生，即 Ai Aj(1i<j 幾 )，那么，稱事件A1,A2,L , An 互不相容(6) 對立事件 ：若事件 A 和 B 互不相容、且它們中必有一事件發(fā)生，即AB且 AB，那么，稱 A 與 B 是對立的事件A 的對立事件 (或逆事件 )記作 A(7) 差事件：若事件 A 發(fā)生且事件 B 不發(fā)生，那么，稱這個事件為事件A 與B 的差事件，記作AB (或

5、 AB ) (8) 交換律：對任意兩個事件和 B 有A B B A，AB BA(9) 結(jié)合律：對任意事件 A ，B，C 有A(BC)(AB)C，A(BC)(AB)C(10) 分配律：對任意事件 A ，B，C 有收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔A(BC)(AB)(AC)， A(BC)(AB)(AC)(11) 德 g摩根（ De Morgan ）法則：對任意事件 A 和 B 有ABAB,ABAB.4頻率與概率的定義(1) 頻率的定義設(shè)隨機(jī)事件 A 在 n 次重復(fù)試驗中發(fā)生了nA 次，則比值 nA n 稱為隨機(jī)事件 AnA發(fā)生的頻率，記作 fn ( A) ，即fn ( A)n .(2)

6、概率的統(tǒng)計定義在進(jìn)行大量重復(fù)試驗中，隨機(jī)事件A 發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗次數(shù)n 很大時，頻率 fn ( A) 在一個穩(wěn)定的值 p (0< p <1)附近擺動，規(guī)定事件 A 發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值 p 為概率，即 P( A) p (3) * 古典概率的定義具有下列兩個特征的隨機(jī)試驗的數(shù)學(xué)模型稱為 古典概型 ：(i) 試驗的樣本空間是個有限集，不妨記作 e1,e2 ,L , en ;(ii) 在每次試驗中，每個樣本點ei ( i 1,2,L , n ）出現(xiàn)的概率相同，即P( e1 )P( e2 )LP( en ) 在古典概型中，規(guī)定事件A 的概率為P( A)(4) 幾何概率的定義A中

7、所含樣本點的個數(shù)nA中所含樣本點的個數(shù)n 如果隨機(jī)試驗的樣本空間是一個區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域 )，且樣本空間中每個試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件的概率為P( A)A的長度（或面積、體積）樣本空間的的長度（或面積、體積）·收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔(5) 概率的公理化定義設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為，隨機(jī)事件 A 是的子集， P( A) 是實值函數(shù)，若滿足下列三條公理：公理 1(非負(fù)性 ) 對于任一隨機(jī)事件，有P(A) 0；公理 2(規(guī)范性 ) 對于必然事件，有 P() 1；公理 3(可列可加性 ) 對于兩兩互不相容的事件 A1, A2, L

8、 , An ,L，有P(U Ai )P( Ai )i 1i 1，則稱 P( A) 為隨機(jī)事件的概率5* 概率的性質(zhì)由概率的三條公理可導(dǎo)出下面概率的一些重要性質(zhì)(1) P( )0(2) (有限可加性 ) 設(shè) n 個事件 A1, A2, L , An 兩兩互不相容，則有nP( A1 A2 LAn )P( Ai )i 1(3) 對于任意一個事件 A ：P( A)1P(A) (4) 若事件 A，B 滿足 AB ，則有P( BA)P(B)P( A) ,P( A)P(B) (5) 對于任意一個事件 A ，有 P( A) 1(6) (加法公式 ) 對于任意兩個事件 A ，B，有P(AB)P(A)P(B)P(

9、AB) .對于任意n 個事件 A1, A2, L , An ，有nnP(U Ai )P( Ai )P( Ai Aj )P( Ai Aj Ak )L( 1)n 1 P( A1LAn )i 1i 11 i j n1 i j k n.收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔6 * 條件概率與乘法公式設(shè) A 與 B 是兩個事件在事件B 發(fā)生的條件下事件A 發(fā)生的概率稱為條件概率，記作 P( A | B) 當(dāng) P(B)0 ，規(guī)定P(A | B)P( AB)P(B).在同一條件下，條件概率具有概率的一切性質(zhì)乘法公式：對于任意兩個事件A 與 B，當(dāng) P(A) 0,P(B)0 時，有P(AB)P( A)P

10、(B | A) P(B)P( A| B) .7* 隨機(jī)事件的相互獨立性如果事件 A與B滿足P( AB)P( A) P(B) ，那么，稱事件 A 與 B 相互獨立關(guān)于事件 A ，月的獨立性有下列兩條性質(zhì)：(1) 如果 P( A) 0 ，那么，事件 A 與 B 相互獨立的充分必要條件是P(B | A)P(B) ；如果 P(B)0 ，那么，事件 A 與 B 相互獨立的充分必要條件是P(A|B)P(A) 這條性質(zhì)的直觀意義是“事件 A 與 B 發(fā)生與否互不影響”(2) 下列四個命題是等價的：(i) 事件 A 與 B 相互獨立；(ii) 事件 A 與 B 相互獨立；(iii) 事件 A 與 B 相互獨立

11、；(iv) 事件 A 與 B 相互獨立對于任意 n 個事件 A1, A2, L , An 相互獨立性定義如下：對任意一個k 2,L , n ，任意的1 i1 L ik n，若事件A1,A2,L , An總滿足P( Ai1 L Aik )P( Ai1 )L P( Aik ) ，收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔則稱事件 A1, A2, L , An 相互獨立這里實際上包含了2nn1 個等式8* 貝努里概型與二項概率設(shè)在每次試驗中，隨機(jī)事件發(fā)生的概率P( A) p(0 p 1) ，則在 n 次重復(fù)獨立試驗中，事件恰發(fā)生k 次的概率為P (k)nk , k 0,1,L , npk (1 p

12、) nnk，稱這組概率為二項概率9* 全概率公式與貝葉斯公式n全概率公式：如果事件U Ai， P( Ai )0 ，A1, A2, L , An 兩兩互不相容，且 i 1i1,2,L , n ，則P( Ak | B)P( Ak )P(B | Ak ), k 1,2,L , nnP( Ai ) P(B | Ai )i 1第二章離散型隨機(jī)變量及其分布一、教學(xué)要求1理解離散型隨機(jī)變量及其概率函數(shù)的概念并掌握其性質(zhì)，掌握 0-1 分布、二項分布、泊松 (Poisson)分布、均勻分布 、幾何分布及其應(yīng)用理解二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率函數(shù)的概念及性質(zhì)；會利用二維概率分布計算有關(guān)事件的概率理解二維離散型隨機(jī)

13、變量的邊緣分布，了解二維隨機(jī)變量的條件分布4掌握離散型隨機(jī)變量獨立的條件5. 會求離散型隨機(jī)變量及簡單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布本章重點：離散型隨機(jī)變量的分布及其概率計算 二、知識要點1一維隨機(jī)變量收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔若對于隨機(jī)試驗的樣本空間中的每個試驗結(jié)果e ，變量 X 都有一個確定的實數(shù)值與 e 相對應(yīng)，即 XX (e) ，則稱 X 是一個一維隨機(jī)變量概率論主要研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，也稱這個統(tǒng)計規(guī)律為隨機(jī)變量的分布2* 離散型隨機(jī)變量及其概率函數(shù)如果隨機(jī)變量 X 僅可能取有限個或可列無限多個值，則稱X 為離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的可能取值為 ai (i 1,

14、2,L , n,L ) ，piP(Xai ), i1,2,L , n,L .pi1, n,L ) 離散型隨機(jī)變量 X 的概率函數(shù)，概率函數(shù)若 i 1，則稱 pi (i1,2,L也可用下列表格形式表示：Xa1a2LanLPrp1p2LpnL * 概率函數(shù)的性質(zhì)(1)pi0 ， i 1,2,L , n,L ;(2)pi1i 1由已知的概率函數(shù)可以算得概率P( XS)piaiS，其中， S 是實數(shù)軸上的一個集合 * 常用離散型隨機(jī)變量的分布(1) 01 分布 B(1, p) ，它的概率函數(shù)為P( Xi )pi (1p)1 i ，其中， i0 或 1， 0p1收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文

15、檔(2) 二項分布 B( n, p) ，它的概率函數(shù)為P( Xi )npi (1p)n ii，其中， i0,1,2,L , n ， 0 p 1 ()泊松分布 P( ) ，它的概率函數(shù)為iP(Xi)ei !，其中， i0,1,2,L , n,L ，0 ()均勻分布 ，它的概率函數(shù)為P( Xai )其中， i0,1,2,L , n 1n ，二維隨機(jī)變量若對于試驗的樣本空間中的每個試驗結(jié)果 e ，有序變量 (X ,Y) 都有確定的一對實數(shù)值與 e 相對應(yīng)，即 X X (e) ， YY( e) ，則稱 ( X ,Y) 為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量 6* 二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率函數(shù)如果二維隨機(jī)變量

16、 ( X , Y) 僅可能取有限個或可列無限個值，那么，稱( X ,Y) 為二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量( X , Y) 的分布可用下列聯(lián)合概率函數(shù)來表示：P( Xai ,Y bj )pij , i , j 1,2,L ,pij 0, i , j 1,2,L ,pij1其中，ij7二維離散型隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù)設(shè) ( X ,Y) 為二維離散型隨機(jī)變量，pij 為其聯(lián)合概率函數(shù)（i, j 1,2,L ），稱概率 P( Xai )(i 1,2,L ) 為隨機(jī)變量 X 的邊緣概率函數(shù)，記為pig 并有收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔pi .P( Xai )pij ,i 1,2,

17、L，j稱概率 P(Ybj )( j1,2,L) 為隨機(jī)變量 Y 的邊緣概率函數(shù)，記為p.j ，并有p. jP(Ybj )pij , j1,2,L=i.8隨機(jī)變量的相互獨立性設(shè) ( X , Y) 為二維離散型隨機(jī)變量，X 與 Y 相互獨立的充分必要條件為pijpi gpgj ,對一切 i , j 1,2,L .多維隨機(jī)變量的相互獨立性可類似定義即多維離散型隨機(jī)變量的獨立性有與二維相應(yīng)的結(jié)論9隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè) X 是一個隨機(jī)變量， g(x) 是一個已知函數(shù)， Y g( X ) 是隨機(jī)變量 X 的函數(shù)，它也是一個隨機(jī)變量對離散型隨機(jī)變量 X ，下面來求這個新的隨機(jī)變量Y 的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X

18、 的概率函數(shù)為Xa1a2LanLPrp1p2LpnL則隨機(jī)變量函數(shù) Yg( X ) 的概率函數(shù)可由下表求得Y g( X )g (a1 ) g (a2 ) Lg (an ) LPrp1p2Lpn但要注意，若 g (ai ) 的值中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，同時把對應(yīng)的概率 pi 相加第三章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布一、教學(xué)要求收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔1理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，并掌握其性質(zhì)，掌握均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用2理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)以及連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度；會利用 二維概率分布計算有關(guān)事件的概率3理解二維隨機(jī)變量

19、的 邊緣分布 ，了解二維隨機(jī)變量的條件分布4理解隨機(jī)變量的 獨立性概念 ，掌握連續(xù)型隨機(jī)變量獨立的條件5掌握二維均勻分布；了解二維正態(tài)分布的密度函數(shù)，理解其中參數(shù)的概率意義(不考 )6會求兩個獨立隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布，會求兩個獨立隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布，會求兩個隨機(jī)變量之和的概率分布(不考 )會求簡單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布本章重點：一維及二維隨機(jī)變量的分布及其概率計算 ,邊緣分布和獨立性計算二、知識要點1* 分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布可以用其分布函數(shù)來表示，隨機(jī)變量X 取值不大于實數(shù) x 的概率 P( X x) 稱為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)，記作 F ( x) , 即F (x) P( X x

20、),x2分布函數(shù) F ( x) 的性質(zhì)(1)0F ( x)1;() F ( x) 是非減函數(shù)，即當(dāng)x1x2 時，有 F ( x1 )F (x2 ) ；limxF (x) 0, limxF ( x)1(3);(4) F (x) 是右連續(xù)函數(shù)，即 limxa0F (x) F (a) 由已知隨機(jī)變量X 的分布函數(shù) F (x) ，可算得 X 落在任意區(qū)間 ( a,b 內(nèi)的概率 P(a X b) F (b) F ( a);收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔也可以求得P( Xa)F (a)F (a0) 3聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量 ( X ,Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)規(guī)定為隨機(jī)變量 X 取值不大于 x

21、實數(shù)的概率，同時隨機(jī)變量 Y 取值不大于實數(shù) y 的概率，并把聯(lián)合分布函數(shù)記為F ( x, y) ，即F (x, y) P( X x, Y y),x,y4聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(1)0F ( x, y)1 ；(2) F ( x, y) 是變量 x (固定 y )或 y (固定 x )的非減函數(shù)；lim F (x, y) 0,lim F (x, y) 0(3)xy，limF ( x, y)0, limF ( x, y) 1xxyy；(4) F ( x, y) 是變量 x (固定 y )或 y (固定 x )的右連續(xù)函數(shù)；(5)P(x1Xx2 , y1Yy2 )F (x2 , y2 )F ( x2 ,

22、 y1 )F (x1, y2 )F ( x1 , y1) 5* 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F ( x) ，如果存在一個非負(fù)函數(shù) f (x) ，使得對于任一實數(shù) x ，有F ( x)xf (x)dx成立，則 稱 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量 ，函數(shù) f (x) 稱為連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度6* 概率密度 f (x) 及連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)（） f (x)0;（）f (x)dx1；收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔（）連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為 F (x) 是連續(xù)函數(shù)，且在 F ( x) 的連續(xù)點處有 F (x)f ( x) ；（4）設(shè)X 為連續(xù)型隨機(jī)變量

23、，則對任意一個實數(shù)c， P( X c) 0 ；(5) 設(shè) f ( x) 是連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度，則有P(aXb)P( aXb)P( aXb)P(aXb)bf ( x)dx a7 * 常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1) 均勻分布 R( a, b) ，它的概率密度為1f ( x)ba,axb;0,其余 .其中，ab) (2) 指數(shù)分布 E( ) ，它的概率密度為ex,x0;f ( x)0,其余 .其中，02(3) 正態(tài)分布 N ( , ) ，它的概率密度為1( x)2e2xf ( x)2,2，其中，,0，當(dāng)0,1 時，稱 N (0,1) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它的概率密度為1x2e 2,xf (

24、x)2，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)記作( x) ，即x1t 22 dt( x)e( x)2，收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔當(dāng)出 x0 時，( x) 可查表得到；當(dāng) x0 時， ( x) 可由下面性質(zhì)得到( x) 1( x) 設(shè)XN( , 2)，則有xF ( x)()；P(aXb)( b)( a) * 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度對于二維隨機(jī)變量 (X ，Y) 的分布函數(shù) F (x, y) ，如果存在一個二元非負(fù)函數(shù) f ( x, y) ，使得對于任意一對實數(shù) ( x, y) 有xyF (x, y)f ( s, t )dtds成立，則 ( X , Y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f (

25、x, y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度的性質(zhì)(1) f (x, y)0,x, y；(2)f (x, y)dxdy1；(3) 設(shè) ( X ,Y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對任意一條平面曲線L ，有P(X,Y) L)0 ； (4) 在 f ( x, y) 的連續(xù)點處有2F (x, y)f ( x, y)x y;(5) 設(shè) ( X ,Y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對平面上任一區(qū)域 D 有P( X , Y)D )f ( x, y)dxdyD1， * 二維連續(xù)型隨機(jī)變量( X ,Y) 的邊緣概率密度設(shè) f ( x, y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度，則X

26、的邊緣概率密度為收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔fX ( x)f (x, y)dy ；Y 的邊緣概率密度為fY ( y)f ( x, y)dx 11常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量(1) 均勻分布如果 ( X ,Y) 在二維平面上某個區(qū)域G 上服從均勻分布，則它的聯(lián)合概率密度為1，（ x, y)G;f ( x, y)G的面積0,其余 .(2) 二維正態(tài)分布 N( 1, 2, 12, 22, )如果 ( X ,Y) 的聯(lián)合概率密度f ( x, y)12exp12( x21) 22 ( x 1 )( y 2 ) (x21 )22 112(1)11212則稱 ( X , Y) 服從二維正態(tài)分布，

27、并記為(X,Y) N( 1, 2, 12, 22, ) .如果(X,Y) N(1 ,2, 12,22 ,)，則X N(1,12)，Y N( 2,22 ) ，即二維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布12* 隨機(jī)變量的相互獨立性如果 X 與 Y 的聯(lián)合分布函數(shù)等于X ,Y 的邊緣分布函數(shù)之積，即F ( x, y) FX ( x) FY ( y), 對一切x, y，那么，稱隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨立設(shè) ( X ,Y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則X 與 Y 相互獨立的充分必要條件為f ( x, y) f X ( x) fY ( y),在一切連續(xù)點上 .收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔如果 (

28、X ,Y) N(1,2,12,22,) 那么， X 與 Y 相互獨立的充分必要條件是0 多維隨機(jī)變量的相互獨立性可類似定義即多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于每個隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)之積，多維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨立性有與二維相應(yīng)的結(jié)論13隨機(jī)變量函數(shù)的分布* 一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f X (x) ，則隨機(jī)變量 Yg( X ) 的分布函數(shù)為FY ( y) P(Yy) P( g( X ) y) P( XI y )f X ( x) dxI y其中， XI y與 g( X )y是相等的隨機(jī)事件，而I y x | g( x)y是實數(shù)軸f ( y)上的某個集合隨機(jī)變量Y

29、 的概率密度Y可由下式得到：連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)有下面兩條性質(zhì)：(i) 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為 fX ( x) ， Y g( X ) 是單調(diào)函數(shù)，且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， xh( y) 是 yg( x) 的反函數(shù)，則 Y g( X ) 的概率密度為fY ( y) f (h( y) | h '( y) | (ii) 設(shè) X N ( ,2 ) ，則當(dāng) k0時，有 YkX b N ( kb, k 2 2 ) ，特別當(dāng)k1 ,bkXX N (0,1)時，有 Yb N (0,1) ，特別有下面的結(jié)論：設(shè)XN( 1, 12)，YN(2, 22 ) ，且 X 與 Y 相互獨立，則X YN( 12,2

30、212 ) 第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔一、教學(xué)要求1理解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的概念，并會運(yùn)用它們的基本性質(zhì)計算具體分布的期望、方差，2掌握二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差3會根據(jù)隨機(jī)變量 X 的概率分布計算其函數(shù) g ( X ) 的數(shù)學(xué)期望 E g ( X ) ；會根據(jù)隨機(jī)變量 ( X ,Y) 的聯(lián)合概率分布計算其函數(shù) g( X , Y) 的數(shù)學(xué)期望正E g( X ,Y) (不考 )4理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，掌握它們的性質(zhì)，并會利用這些性質(zhì)進(jìn)行計算，了解矩的概念。本章重點：隨機(jī)變量的期望。方差的計算二、知識要點1

31、 * 數(shù)學(xué)期望設(shè) X 是離散型的隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為P( X ai ) pi, i 1,2,L ,ai pi如果級數(shù) i絕對收斂，則定義 X 的數(shù)學(xué)期望 為E(X)ai pii；設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f ( x) ，如果廣義積分xf ( x)dx絕對可積，則定義 X 的數(shù)學(xué)期望 為E(X)xf (x)dx 2* 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè) X 為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔P( X ai ) pi ,i 1,2,L ,g( ai ) pi如果級數(shù) i絕對收斂，則 X 的函數(shù) g( X ) 的數(shù)學(xué)期望為E g( X )g(ai ) pii

32、設(shè) ( X ,Y) 為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率函數(shù)P( Xai ,Ybj )pij ,i , j1,2,L ,g( ai,bj ) pij如果級數(shù) j i絕對收斂，則 ( X ,Y) 的函數(shù) g ( X , Y) 的數(shù)學(xué)期望為E g ( X ,Y)g (ai , bj ) pijji；E(X)ai pij ; E(Y)bjpij特別地iiji.設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為g( x) f ( x)dxf ( x) ，如果廣義積分絕對收斂，則 X 的函數(shù) g( X ) 的數(shù)學(xué)期望為E g( X )g (x) f ( x) dx 設(shè) ( X ,Y) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密

33、度為f ( x, y) ，如果廣義積分g ( x, y) f ( x, y) dxdy( X ,Y) 的函數(shù) g( X , Y) 的數(shù)學(xué)期望為絕對收斂，則E g( x, y)g( x, y) f ( x, y) dxdy ；特別地E( x)xf ( x, y) dxdy,E(Y)yf (x, y)dxdy.3* 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(c)c (其中 c 為常數(shù) )；(2) E(kX b) kE ( X ) b ( k, b 為常數(shù) )；(3)E (XY) E(X ) E(Y) ；(4) 如果X 與相互獨立，則 E( XY) E( X ) E(Y) .收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品

34、文檔4* 方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量 X 的方差定義為D(X)EXE(X)2計算方差常用下列公式：D(X)E(X2)E(X)2當(dāng) X 為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為P( X ai )pi ,i 1,2,L ,( aiE( X )2 pi如果級數(shù) i收斂，則 X 的方差為D(X )(aiE( X ) 2 pii；當(dāng) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f ( x) ，如果廣義積分( xE( X ) 2 f (x)dx 收斂，則 X 的方差為D (X )( xE( x)2 f (x)dx.隨機(jī)變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差D ( X ) 的算術(shù)平方根 D( X ) .5* 方差的性質(zhì)(1) D (c) 0

35、(c 是常數(shù) )；(2) D ( kX )k 2D ( X ) ( k 為常數(shù) )；(3) 如果 X 與 Y 獨立，則 D(XY)D(X)D(Y) .6原點矩與中心矩隨機(jī)變量 X 的 k 階原點矩定義為 E( X k ) ；隨機(jī)變量 X 的 k 階中心矩定義為 E( X E( X ) k ；隨機(jī)變量 ( X ,Y) 的 (k, l ) 階混合原點矩定義為 E( X kYl) ；隨機(jī)變量 ( X ,Y) 的 (k, l ) 階混合中心矩定義為 E( XE( X )k (Y E(Y) l 收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔一階原點矩是數(shù)學(xué)期望E( X ) ；二階中心矩是方差D(X) ；(

36、1,1)階混合中心矩為協(xié)方差cov( X ,Y ) .7* 常用分布的數(shù)字特征(1) 當(dāng) X 服從二項分布 B(n, p) 時，E( X )np,D( X )np(1p) (2) 當(dāng) X 服從泊松分布 p( ) 時，E(X),D(X)，(3) 當(dāng) X 服從區(qū)間 (a,b) 上均勻分布時，E(X)a b , D ( X )(b a) 2212(4) 當(dāng) X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布時，1, D(X)1E(X )2(5) 當(dāng) X 服從正態(tài)分布 N ( ,2) 時，E(X),D(X)2(6) 當(dāng) (X ,Y) 服從二維正態(tài)分布 N ( 1,2 ,12, 22 ,) 時，E(X )1, D(X )21

37、；E(Y)2 ,D (Y)22；cov( X ,Y)1 2 ,XY第五章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、基本教學(xué)要求與主要內(nèi)容(一)教學(xué)要求1理解總體、個體、簡單隨機(jī)樣本和統(tǒng)計量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計算。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔2了解分布、 t 分布和 F 分布的定義和性質(zhì) ，了解分位數(shù)的概念并會查表計算。3掌握 正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計量的分布。本章重點：統(tǒng)計量的概念及其分布。(二)主要內(nèi)容1總體、個體我們把研究對象的全體稱為總體 (或母體 )，把組成總體的每個成員稱為個體。在實際問題中，通常研究對象的某個或某幾個數(shù)值指標(biāo)，因而常把總體的數(shù)值指標(biāo)稱為總體。設(shè) x

38、為總體的某個數(shù)值指標(biāo)，常稱這個總體為總體 X 。X的分布函數(shù)稱為總體分布函數(shù)。當(dāng) X 為離散型隨機(jī)變量時，稱 X 的概率函數(shù)為總體概率函數(shù)。當(dāng) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量時，稱 X 的密度函數(shù)為總體密度函數(shù)。當(dāng) X 服從正態(tài)分布時，稱總體 X 為正態(tài)總體。正態(tài)總體有以下三種類型：(1)未知，但已知；(2) 未知，但 已知；(3) 和 均未知。2簡單隨機(jī)樣本數(shù)理統(tǒng)計方法實質(zhì)上是由局部來推斷整體的方法，即通過一些個體的特征來推斷總體的特征。要作統(tǒng)計推斷，首先要依照一定的規(guī)則抽取n 個個體，然后對這些個體進(jìn)行測試或觀察得到一組數(shù)據(jù)，這一過程稱為抽樣。由于抽樣前無法知道得到的數(shù)據(jù)值，因而站在抽樣前的立場上，

39、設(shè)有可能得到的值為， n 維隨機(jī)向量 ()稱為樣本。 n 稱為樣本容量。(）稱為樣本觀測值。如果樣本 ()滿足收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔（1）相互獨立；(2)服從相同的分布，即總體分布；則稱 ()為簡單隨機(jī)樣本。簡稱樣本。設(shè)總體 X 的概率函數(shù) (密度函數(shù) )為，則樣本（)的聯(lián)合概率函數(shù) (聯(lián)合密度函數(shù)為 )3. 統(tǒng)計量 完全由樣本確定的量，是樣本的函數(shù)。即：設(shè)是來自總體 X 的一個樣本，是一個 n 元函數(shù)，如果 中不含任何總體的未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量，經(jīng)過抽樣后得到一組樣本觀測值，則稱為統(tǒng)計量觀測值或統(tǒng)計量值。4. * 常用統(tǒng)計量（ 1）樣本均值：S21nX ) 2(

40、Xi（ 2）樣本方差：n 1 i 11 nSn2( Xi X )2n i 1觀察值仍分別稱為樣本均值、樣本方差5. * 三個重要分布（1） 分布設(shè)為獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，稱隨機(jī)變量的分布為自由度為 n 的分布，記為。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔稱滿足：的點為分布的分位點。（ 2） t 分布設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨立，則稱的分布為自由度n 的 t 分布，記為。稱滿足：的點為 t 分布的分位點。（3）F 分布設(shè)隨機(jī)變量 U 與 V 相互獨立，則稱的分布為自由度的 F 分布，記為。稱滿足：的點為 F 分布的分位點，且有6. * 正態(tài)總體的抽樣分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布，設(shè)是來自正態(tài)總

41、體的一個簡單隨機(jī)樣本，與分別為樣本的均值和樣本方差，則有（ 1）；（ 2）1n與相 S2( X i X )2 互獨立；n 1 i 1（ 3） n 21 S2 : 2 (n 1)學(xué)習(xí)要點1，統(tǒng)計學(xué)的核心問題是由樣本推斷總體，因此理解統(tǒng)計量的概念非常重要。它是樣本的函數(shù)，統(tǒng)計量的選擇和運(yùn)用在統(tǒng)計推斷中占據(jù)核心地位。2，樣本均值、樣本方差以及其他樣本矩都是一些常用的統(tǒng)計量，必須熟悉它們的計算方法及其有關(guān)性質(zhì)。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔3，統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布，其中分布、 t 分布、 F 分布即是本章的重點，必須熟悉它們的定義、性質(zhì)及其上分位點的查表方法；4，正態(tài)總體抽樣分布是統(tǒng)