1、第十二章無窮級數(shù)【教學(xué)目標(biāo)與要求】I. 理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2 .掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3 掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。4 .掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法。5. 了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。6 了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7 理解幕級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握幕級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8.了解幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些

2、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。9了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10.掌握ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1a)的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成幕級數(shù)。II. 了解傅里葉級數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在卜1,I上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會(huì)將定義在0,l上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級數(shù)的和的表達(dá)式?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；3、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法；4、幕級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；5、ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1a)的麥克勞林展開

3、式；6、傅里葉級數(shù)?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】1、比較判別法的極限形式；2、萊布尼茨判別法；3、任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；4、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)；5、泰勒級數(shù)；6、傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。【教學(xué)課時(shí)分配】（18學(xué)時(shí)）2同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，第六版.高等教育出版社3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下），第六版.高等教育出版社§121常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級數(shù)給定一個(gè)數(shù)列U1U2U3Un則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式U1U2U3Un叫做常數(shù)項(xiàng)）無窮級數(shù)簡稱常數(shù)項(xiàng)）級數(shù)記為Un即n1UnU1n1U2U3Un第1次課§1第2次課§

4、2第3次課§3第4次課§4第5次課§5第6次課§6第7次課【參考書】§7第8次課§8第9次課習(xí)題課1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)（下），第五版.高等教育出版社其中第n項(xiàng)Un叫做級數(shù)的一般項(xiàng)級數(shù)的部分和作級數(shù)Un的前n項(xiàng)和n1nsnUiU1U2U3Uni1稱為級數(shù)Un的部分和n1三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組級數(shù)斂散性定義如果級數(shù)Un的部分和數(shù)列Sn有極限s即limSnsn則稱無窮級數(shù)Un收斂這時(shí)極限n1S叫做這級數(shù)的和并寫成sUnn1UiU2U3Un如果%沒有極限則稱無窮級數(shù)Un發(fā)散1余項(xiàng)當(dāng)級數(shù)Un收斂時(shí)其部分和sn是級數(shù)n1Un的和s的近似值

5、它們之間的差值1rnSSnUn1Un2叫做級數(shù)Un的余項(xiàng)n1討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)）aqnaaqaq2n0aqn的斂散性其中a0q叫做級數(shù)的公比解如果q1則部分和Snaaqaq2n1aqaaqn1qaqn1q當(dāng)|q|1時(shí)因?yàn)閘imnSn島所以此時(shí)級數(shù)aqn收斂其和為一亙n01q當(dāng)|q|>1時(shí)因?yàn)閘imnSn所以此時(shí)級數(shù)naqn發(fā)散0如果|q|1則當(dāng)q1時(shí)snna因此級數(shù)aqn發(fā)散n0當(dāng)q1時(shí)級數(shù)aqn成為n0aaaa當(dāng)|q|1時(shí)因?yàn)閟n隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零所以Sn的極限不存在從而這時(shí)級數(shù)aqn也發(fā)散n0a，|q|1綜上所述，級數(shù)aqn1qn0|q|1例2證明級數(shù)123n是發(fā)散的

6、證此級數(shù)的部分和為Sn123nn(n1)2顯然limSn因此所給級數(shù)是發(fā)散的n例3判別無窮級數(shù)1JL1122334n(n1)的收斂性屮一111提示Unn(n1)nn1二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果級數(shù)Un收斂于和n1S則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級數(shù)kUn也收斂n1且其和為ks性質(zhì)2如果級數(shù)Un收斂于和s則級數(shù)kun也收斂n1n1且其和為ks性質(zhì)3如果Unn1s貝Ukunksn1性質(zhì)4如果級數(shù)Unn1vn分別收斂于和s、n1則級數(shù)(unvn)也收斂且其和為sn1性質(zhì)5如果Unn1Vnn1則(UnVn)s性質(zhì)6在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)不會(huì)改變級數(shù)的收斂性性質(zhì)7如果級數(shù)Un收斂n1則對

7、這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂且其和不變比如級數(shù)1111是收斂的122334n(n1)級數(shù)10000丄111也是收斂的122334n(n1)級數(shù)111也是收斂的3445n(n1)應(yīng)注意的問題如果加括號后所成的級數(shù)收斂則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂例如級數(shù)(11)+(11)+收斂于零但級數(shù)1111卻是發(fā)散的推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散則原來級數(shù)也發(fā)散級數(shù)收斂的必要條件性質(zhì)8如果Un收斂則它的一般項(xiàng)山趨于零即n叫比0應(yīng)注意的問題級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件例4證明調(diào)和級數(shù)證：假若級數(shù)1收斂且其和為sSn是它的部分和n1n11n1n23顯然有l(wèi)imSis及l(fā)imS2ns于

8、是lim(s2n務(wù))0nnn但另一方面1111111s2nSnn1n22n2n2n2n2是發(fā)散的1故lim(S2nsn)0矛盾這矛盾說明級數(shù)-必定發(fā)散nnin小結(jié)1. 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念；2. 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)；教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念以及重要性質(zhì)，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)講課提綱、板書設(shè)計(jì)作業(yè)P255:1(1),(3)；2(2),(3),(4)；3(2)；4(1),(3),(5)；§122常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級數(shù)各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù)定理1正項(xiàng)級數(shù)Un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列Sn有界n1定

9、理2（比較審斂法）設(shè)un和Vn都是正項(xiàng)級數(shù)且UnVn(k0nN)n1n1若Vn收斂則Un收斂n1n1若Un發(fā)散則Vn發(fā)散n1n1證設(shè)級數(shù)Vn收斂于和則級數(shù)Un的部分和n1n1SnU1U2UnV1V2Vn(n1,2,)即部分和數(shù)列Sn有界由定理1知級數(shù)Un收斂n1反之設(shè)級數(shù)Un發(fā)散n1則級數(shù)Vn必發(fā)散n1因?yàn)槿艏墧?shù)Vn收斂由上已證明的結(jié)論n1將有級數(shù)Un也收斂與假設(shè)矛盾n1推論設(shè)Un和Vn都是正項(xiàng)級數(shù)如果級數(shù)Vn收斂且存在自然數(shù)N使當(dāng)nN時(shí)有n1n1n1UnkVn(k0)成立則級數(shù)nun收斂1如果級數(shù)vn發(fā)散且當(dāng)nN時(shí)有Unkvn(k0)成立n1則級數(shù)Un發(fā)散n1例1討論p級數(shù)冷1np112p3

10、p的收斂性其中常數(shù)p提示級數(shù)np1的部分和為nSn1尙尙(n詁11(n1)p1因?yàn)閘imsnlim1nn1(n1)p彳1所以級數(shù)1(n1)p1p級數(shù)的收斂性級數(shù)n計(jì)當(dāng)p1時(shí)收斂當(dāng)p1時(shí)發(fā)散例2證明級數(shù)是發(fā)散的1、n(n1)證因?yàn)镸1)_1_、(n1)2沽而級數(shù)根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的定理3(比較審斂法的極限形式)設(shè)Un和Vn都是正項(xiàng)級數(shù)n1n1.1sin解因?yàn)閘imn1n1nsin丄發(fā)散n1n例4判別級數(shù)ln（1n14）的收斂性n2ln(1因?yàn)閘imn1而級數(shù)2收斂根據(jù)比較審斂法的極n1n限形式級數(shù)(1)如果limUnl(0l)且級數(shù)vn收斂則級數(shù)Un收斂nVnn1n1如果limU

11、nl0或limUn且級數(shù)Vn發(fā)散則級數(shù)Un發(fā)散nVnnVnn1n1證明由極限的定義可知對1l2存在自然數(shù)N當(dāng)nN時(shí)有不等式11lVnl1l即lvnUn3lVn再根據(jù)比較審斂法的推論1即得所要證的結(jié)論例3判別級數(shù)sin丄的收斂性n1n而級數(shù)-發(fā)散根據(jù)比較審斂法的極限形式級數(shù)n1nln(1n1定理4（比值審斂法達(dá)朗貝爾判別法）若正項(xiàng)級數(shù)Un的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于n1limnUn1Un則當(dāng)1時(shí)級數(shù)收斂當(dāng)1(或lim虬nUn）時(shí)級數(shù)發(fā)散當(dāng)1時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散例5證明級數(shù)1J吉11231123(n1)是收斂的102123To3"n!而的收斂性提示例7判別級數(shù)n莎話的收斂性limUn

12、1nUnnHm(2畀)1(2丁2)1比值審斂法失效因?yàn)?而級數(shù)4收斂因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂（2n1）2nn2n1n2定理5（根值審斂法柯西判別法）設(shè)Un是正項(xiàng)級數(shù)如果它的一般項(xiàng)Un的n次根的極限等于n1limnunnh則當(dāng)1時(shí)級數(shù)收斂例8證明級數(shù)當(dāng)1(或limnunn11111歹耳n）時(shí)級數(shù)發(fā)散當(dāng)1時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散是收斂的并估計(jì)以級數(shù)的部分和Sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差以這級數(shù)的部分和1lim-0nn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂Sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差為|rn|(n1)n(n2)n2(n3)n3111(n1)n1(n1)n2(n1)n31n(n1)n例9判定級數(shù)n1

13、守的收斂性定理6（極限審斂法）設(shè)un為正項(xiàng)級數(shù)n1(1)如果limnunl0(或limnun)則級數(shù)Un發(fā)散nnn1如果p1而limnpUnl(0l)則級數(shù)Un收斂nn1例10判定級數(shù)ln（14）的收斂性n1n12-2（n）故limn2unnn根據(jù)極限審斂法知所給級數(shù)收斂解因?yàn)閘n（1limnn2ln(1limnn例11判定級數(shù)51（1cos）的收斂性n1n33解因?yàn)閘imn°unlimn2nn1(1cos)nlimnn2nn1根據(jù)極限審斂法知所給級數(shù)收斂二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的交錯(cuò)級數(shù)交錯(cuò)級數(shù)是這樣的級數(shù)交錯(cuò)級數(shù)的一般形式為（1）n1Un其中叫0n1例如（1）n1

14、1是交錯(cuò)級數(shù)n1n但（1）n11cosn不是交錯(cuò)級數(shù)n1n定理7（萊布尼茨定理）如果交錯(cuò)級數(shù)(1)n1Un滿足條件n1(1)unUn1(n123)(2)limun0n則級數(shù)收斂且其和sU1其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|un1簡要證明設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn由S2n(U1U2)(U3U4)(U2n1U2n)及S2nU1(U2U3)(U4U5)(U2n2U2n1)U2n看出數(shù)列S2n單調(diào)增加且有界(S2nU1)所以收斂設(shè)S2nS(n)則也有S2n1S2nU2n1S(n)所以SnS(n)從而級數(shù)是收斂的SnU1因?yàn)閨rn|Un1Un2也是收斂的交錯(cuò)級數(shù)所以|rn|Un1例12證明級數(shù)(1)n11收斂n1n并

15、估計(jì)和及余項(xiàng)三、絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂若級數(shù)|Un|收斂則稱級數(shù)Un絕對收斂n1n1若級數(shù)Unn1收斂而級數(shù)|Un|發(fā)散n1則稱級Un條件收斂n1例13級數(shù)(1)n12是絕對收斂的而級數(shù)(1)n11是條件收斂的n1nn1n定理8如果級數(shù)Un絕對收斂則級數(shù)Un必定收斂n1n1值得注意的問題如果級數(shù)|un|發(fā)散我們不能斷定級數(shù)n1Un也發(fā)散n1但是如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)|Un|發(fā)散則我們可以斷定級數(shù)n1un必定發(fā)n1因此級數(shù)Un也是發(fā)散的n1散這是因?yàn)榇藭r(shí)|Un|不趨向于零從而Un也不趨向于零例14判別級數(shù)的收斂性n1n例15判別級數(shù)(n1嚀(1擴(kuò)的收斂性小結(jié)1. 利用部分

16、和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性；2. 利用正項(xiàng)級數(shù)審斂法；3. 任意項(xiàng)級數(shù)審斂法：Leibniz判別法。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題正項(xiàng)級數(shù)審斂法，任意項(xiàng)級數(shù)審在教學(xué)過程中要注意部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,斂法：Leibniz判別法，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)1.判別級數(shù)的斂散性:(1)1n1ln(n1)(2)亠:Un1()2.設(shè)un0(n1,2,3,)，且lim1，則級數(shù)(1)n1(丄°Unn1Un(A)發(fā)散；(B)絕對收斂；(C)條件收斂；(D)收斂性根據(jù)條件不能確定講課提綱、板書設(shè)計(jì)作業(yè)P268:1(1),(3),；2(2),(3),(4);4(1),(3),(

17、5),(6);5(2),(3),(5)§123幕級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)列Un(X)由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式U1(X)U2(x)U3(x)Un(x)稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級數(shù)記為Un(X)n1收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)對于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)X0若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)Un(XD)收斂則稱點(diǎn)X0是級數(shù)Un(X)的收斂點(diǎn)n1n1若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)Un(Xo)發(fā)散則稱點(diǎn)X0是級數(shù)Un(X)的發(fā)散點(diǎn)n1n1收斂域與發(fā)散域函數(shù)項(xiàng)級數(shù)Un(X)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散n1域和函數(shù)在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(X)的和是X的函數(shù)s(X)s(X)稱為函數(shù)項(xiàng)

18、級數(shù)un(X)的和函n1n1數(shù)并寫成s(X)Un(X)Un(x)是Un(x)的簡便記法以下不再重述n1n1在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級數(shù)刀Un(x)的和是X的函數(shù)S(X)S(X)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)刀Un(x)的和函數(shù)并寫成S(X)ZUn(x)這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域部分和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)Un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作Sn(x)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)刀Un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作n1Sn(x)即Sn(x)U1(x)U2(x)U3(x)Un(x)在收斂域上有'imsn(x)s(x)或Sn(x)s(x)(n)余項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(x)的和函數(shù)s(x)與部分和Sn(x)的差rn(X)S(X)Sn(X)叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)n1U

19、n(x)的余項(xiàng)n1函數(shù)項(xiàng)級數(shù)刀Un(x)的余項(xiàng)記為rn(X)它是和函數(shù)s(x)與部分和9(X)的差rn(x)s(x)sn(x)在收斂域上有l(wèi)imrn(x)0n、幕級數(shù)及其收斂性幕級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項(xiàng)都幕函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)這種形式的級數(shù)稱為幕級數(shù)它的形式是其中常數(shù)aoaia2aoaixa2x2nanXan叫做幕級數(shù)的系數(shù)幕級數(shù)的例子1xx2x3xn121x1nn!x注幕級數(shù)的一般形式是2aoa1(xxo)a2(xxo)經(jīng)變換txXo就得aoa1ta2t2an(xxo)nantn幕級數(shù)1xx2x3xn可以看成是公比為x的幾何級數(shù)當(dāng)|x|1時(shí)它是收斂的當(dāng)兇1時(shí)它是發(fā)散的因此它的

20、收斂域?yàn)?11)在收斂域內(nèi)有xx2x3定理1(阿貝爾定理)如果級數(shù)anxn當(dāng)xxo(xoo)時(shí)收斂則適合不等式no|x|xo|的一切x使這幕級數(shù)絕對收斂反之如果級數(shù)anxn當(dāng)n0xX0時(shí)發(fā)散則適合不等式XIXo|的一切x使這幕級數(shù)發(fā)散提示刀anxn是anxn的簡記形式n0簡要證明設(shè)刀anxn在點(diǎn)xo收斂則有anxon0（n）于是數(shù)列anxon有界即存在一個(gè)常數(shù)M使IanX0nIM（n0,1,2,）n因?yàn)閨anXn|anx?xnI|anX0|斗“MI|nxoX0X0所以級數(shù)刀|anxn|收斂也就是級數(shù)刀anxn絕對收斂而當(dāng)IxI|x0|時(shí)等比級數(shù)M|n收斂n0Xo定理的第二部分可用反證法證明倘若

21、幕級數(shù)當(dāng)XX0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)X1適合|X1|>|X0|使級數(shù)收斂則根據(jù)本定理的第一部分級數(shù)當(dāng)xXo時(shí)應(yīng)收斂這與所設(shè)矛盾定理得證推論如果級數(shù)anXn不是僅在點(diǎn)X0一點(diǎn)收斂也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂則必有n0個(gè)完全確定的正數(shù)R存在使得當(dāng)兇R時(shí)幕級數(shù)絕對收斂當(dāng)兇R時(shí)幕級數(shù)發(fā)散當(dāng)xR與xR時(shí)幕級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散收斂半徑與收斂區(qū)間正數(shù)R通常叫做幕級數(shù)anxn的收斂半徑開區(qū)間（RR）叫做幕級n0幕級數(shù)anXnn0數(shù)anXn的收斂區(qū)間再由幕級數(shù)在XR處的收斂性就可以決定它的收斂域n0的收斂域是（R,R）（或R,R）、（R,R、R,R之一規(guī)定若幕級數(shù)anXn只在X0收斂則規(guī)定收斂半徑R0若幕級數(shù)anX

22、n對一切X都n0n0定理2如果n譏1收斂則規(guī)定收斂半徑R這時(shí)收斂域?yàn)椋?，）其中an、an1是幕級數(shù)anXn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)則這幕級數(shù)n0的收斂半徑1R-00簡要證明axn1limfn1XnnanXnTHm沖|x|x|nan(1)如果0則只當(dāng)1兇1時(shí)幕級數(shù)收斂故R(2)如果0則幕級數(shù)總是收斂的故R(3)如果則只當(dāng)X0時(shí)幕級數(shù)收斂故R0例1求幕級數(shù)“xn(1)n1Xn1n23“xn(1)n1n的收斂半徑與收斂域1解因?yàn)閘im|也|limnannn111n所以收斂半徑為R丄1當(dāng)X1時(shí)幕級數(shù)成為(1)n1丄是收斂的n1n1當(dāng)X1時(shí)幕級數(shù)成為(丄)是發(fā)散的因此收斂域?yàn)?1,1n1n例2求幕級數(shù)1Xn的收

23、斂域non!例3求幕級數(shù)n!xn的收斂半徑n0例4求幕級數(shù)(272!X2n的收斂半徑no(n!)2解級數(shù)缺少奇次幕的項(xiàng)定理2不能應(yīng)用可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑,冪級數(shù)的一般項(xiàng)記為un（x）律芒因?yàn)閘im|Un(X)4|x|2當(dāng)4x|211即|x|2時(shí)級數(shù)收斂當(dāng)4x211即|x|2時(shí)級數(shù)發(fā)散1所以收斂半徑為R-提示2(n1)!x2(n1)Un1(x)(n1)!22)(2n1)Un(X)勢2n(n!)2(2n(n1)2x25求幕級數(shù)n令tX1上述級數(shù)變?yōu)閠n12nn因?yàn)閘im|/|an2n2nn11(n1)2所以收斂半徑R2當(dāng)t2時(shí)級數(shù)成為n1n此級數(shù)發(fā)散級數(shù)成為n4此級數(shù)收斂因此級1ntn數(shù)n

24、止的收斂域?yàn)?因?yàn)?x1所以原級數(shù)的收斂域?yàn)?,3）三、幕級數(shù)的運(yùn)算設(shè)幕級數(shù)nanXn及bnxn分別在區(qū)間0(R,R)及(R,R）內(nèi)收斂則在（R,R）與（R,R）中較小的區(qū)間內(nèi)有加法anXnn00xn0(anbn)xn0減法anXnn0bnXn設(shè)幕級數(shù)刀anxn0n及刀bnxn分別在區(qū)間（anbn）Xnn0（R,R）及（R,R）內(nèi)收斂則在（R,R）與（R,R）中較小的區(qū)間內(nèi)有加法刀anxn刀bnxn刀(anbn)xn減法刀anxn刀bnxn刀(anbn)xn乘法（anxn)(bnxn)a0b0(a°b1n0a1bo)x(aob2a1b1a2bo)x2(aobnaibn1anb0)xn

25、性質(zhì)1幕級數(shù)n斂則和函數(shù)s(x)在(如果幕級數(shù)在xR(或xR)也收anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)oR,R(或RR)連續(xù)性質(zhì)2幕級數(shù)nanXn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積0并且有逐項(xiàng)積分公式xxnxn0s(x)dx0(anXn)dx0anXndx00n0n00亞xn1(xI)non1逐項(xiàng)積分后所得到的幕級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑性質(zhì)3幕級數(shù)anXn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(Rn0R)內(nèi)可導(dǎo)并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式s(X)(anXn)(anXn)nanXn1(|x|R)n0n0n1逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的幕級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑16求幕級數(shù)Xn的和函數(shù)n0n1求得幕級數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

26、11)設(shè)和函數(shù)為s(x)即s(x)1片Xnx11)顯然s(0)1在Xs(X)n0n11xn1的兩邊求導(dǎo)得xs(x)對上式從0到X積分得xs(x)ln(1x)疋當(dāng)x0時(shí)有s(x)3n(1x因?yàn)閤s(x)Xn0n1；xndx0n0X)從而s(x)1xn1dx0n1dxln(1x)n1ln(1x1x)0|x|1所以當(dāng)X0時(shí)有s(x)Xln(1x)從而s(x)X1ln(1x)0|x|1x1x0x提示應(yīng)用公式0F(x)dxF(x)F(0)即F(x)F(0)x0F(x)dx1r_xxx2x3例7求級數(shù)(牛的和n0n1小結(jié)1. 求幕級數(shù)收斂域和收斂半徑的方法;2. 幕級數(shù)的性質(zhì)。幕級數(shù)的性質(zhì),要結(jié)合實(shí)例，反

27、復(fù)教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意求幕級數(shù)收斂域和收斂半徑的方法,講解。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)1.已知anxn在xn0X。處條件收斂，問該級數(shù)收斂半徑是多少?12n2.求極限lim(2n)，其中a1naaa講課提綱、板書設(shè)計(jì)作業(yè)P277:1(1),(3),(5),(7),(8)，2(1),(3)§24函數(shù)展開成幕級數(shù)一、泰勒級數(shù)就是說是要解決的問題給定函數(shù)f(x)要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成幕級數(shù)”否能找到這樣一個(gè)幕級數(shù)它在某區(qū)間內(nèi)收斂且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)如果能找到這高等數(shù)學(xué)教案無窮級數(shù)樣的幕級數(shù)我們就說函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成幕級數(shù)或簡單地說函數(shù)f(

28、x)能展開成幕級數(shù)而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x)泰勒多項(xiàng)式如果f(x)在點(diǎn)X0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于f(x)f(xo)f(xo)(xxo)f-2xo)(xxo)2件(xxo)nRn(x)n!f(n1)()其中Rn(x)(xXo)"*介于x與xo之間)(n1)!泰勒級數(shù)如果f(x)在點(diǎn)xo的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)f(n)(x)則當(dāng)n時(shí)f(x)在點(diǎn)xo的泰勒多項(xiàng)式Pn(x)f(xo)f(xo)(xxo)fX。)2-畀(X勺)"2!n!成為幕級數(shù)f(xo)f(xo)(xxo)(xxo)2丄4嚴(yán)&xo)3竺學(xué)(xxo)n2

29、!3!n!這一幕級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)顯然當(dāng)xxo時(shí)f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(xo)需回答的問題除了xxo外f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂？如果收斂它是否一定收斂于f(x)?定理設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo的某一鄰域U(xo)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)no時(shí)的極限為零即nimRn(x)o(xU(xo)證明先證必要性設(shè)f(x)在U(xo)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)即f(x)f(xo)f(xo)(xxo)f2x°)(XXo)2fy)(XXo)n又設(shè)sn1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n1項(xiàng)的和則在U(xo)內(nèi)sni(x

30、)f(x)(n)而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)Sni(x)Rn(x)于是Rn(x)f(x)Snl(x)0(n)再證充分性設(shè)Rn(x)o(n)對一切xU(xo)成立因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)Snl(x)Rn(x)于是Snl(x)f(x)Rn(x)f(x)即f(x)的泰勒級數(shù)在U(xo)內(nèi)收斂并且收斂于f(x)麥克勞林級數(shù)在泰勒級數(shù)中取xoo得三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案無窮級數(shù)f(0)2f(n)(0)nf(0)f(0)xxx2!n!此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù)展開式的唯一性如果f(x)能展開成x的幕級數(shù)那么這種展式是唯一的它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致這是

31、因?yàn)槿绻鹒(x)在點(diǎn)xo0的某鄰域(RR)內(nèi)能展開成x的幕級數(shù)即f(x)a0aixa2x2anxn那么根據(jù)幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)有naf(x)ai2a2x3a3X2nanx1f(x)2!a232a3xn(n1)anxn2f(x)3!a3n(n1)(n2)anxn3f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2anix于是得a0f(0)a1f(0)a2f(0)2!anf(n)(0)n!三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組但是應(yīng)注意的問題如果f(x)能展開成x的幕級數(shù)那么這個(gè)幕級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù)反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點(diǎn)X00的某鄰域內(nèi)收斂它卻不一定收斂于f(x)因此如果f(x)在

32、點(diǎn)X00處具有各階導(dǎo)數(shù)則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來但這個(gè)級數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察二、函數(shù)展開成幕級數(shù)展開步驟第一步求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)：f(x)f(x)f(n)(x)第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x0處的值：f(0)f(0)f(0)f(n)(0)第三步寫出幕級數(shù)：f(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xnzv并求出收斂半徑R2!n!第四步考察在區(qū)間(RR)內(nèi)時(shí)是否Ri(x)0(n)f(n1)()耙晾x)nim刖。1是否為零如果Rn(x)0(n)則f(x)在(RR)內(nèi)有展開式f(x)f(0)f(O)xL>x22皿xn!例1將函數(shù)f(x)ex

33、展開成x的幕級數(shù)n!(RxR)例2將函數(shù)f(x)sinx展開成x的冪級數(shù)、,3、，5、,2n1sinxxxx(1)n1x(3!5!(2n1)!例3將函數(shù)f(x)(1x)m展開成x的幕級數(shù)其中m為任意常數(shù)(1x)m1間接展開法mxm(m1)x22!m(m1)(mn1)xn入n!(1x1)例4將函數(shù)f(x)cosx展開成x的幕級數(shù)24cosx1x2!4!x2n(1)(2n)!例5將函數(shù)f(x)-112展開成x的幕級數(shù)x21注收斂半徑的確定1x2由例6將函數(shù)f(x)ln(1x)解因?yàn)閒(x)x2x4x21得展開成所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分ln(1例7將函數(shù)f(x)解因?yàn)閟inx(1)nx2nx的幕級

34、數(shù)七是收斂的等比級數(shù)xx2x3x)x22(1)nxnn1)x1)n(x1)的和函數(shù)sinx展開成(x4)的幕級數(shù)sin4(xxn1憐才)乎cos(x-)sin(x-)(1x1)并且有所以提示cos(x-)1評-)2拆-)4(sin(xR(x-)1(x7)3i(x7)5'sinx為(x-)珈-)2評-)31展開成(x1)的幕級數(shù)x24x3(x1)2(1號)3x4(x1)4(1例8將函數(shù)f(x)(1)n(>L<(1n02n()11x14(1)n0n(x1)n4n收斂域的確定由1專1得1展開式小結(jié)1xx2xnx1)ex1*nn!sinxcosx£.3!x!.2!xf5!

35、x-4!x2n11)n1(2n1)!nx2n(2n)!(1)x44m*m(m1)2(1x)1mx2!xln(1x)xx2x3x23n1(1)Jn1m(m1)(1x1)(mn1)xn入n!1)小結(jié)1.函數(shù)的幕級數(shù)展開式;2.常用函數(shù)的幕級數(shù)展開式;教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意函數(shù)以及常用函數(shù)的幕級數(shù)展開式，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)1. 函數(shù)f(x)在X。處“有泰勒級數(shù)”與“能展成泰勒級數(shù)”有何不同？2. 女M可求ysin2x的幕級數(shù)。1x3. 將下列函數(shù)展開成x的幕級數(shù)f(x)arctan1x講課提綱、板書設(shè)計(jì)作業(yè)P285:2(2),(3),；3(2)；4

36、7;25函數(shù)的幕級數(shù)展開式的應(yīng)用一、近似計(jì)算例1計(jì)算5240的近似值要求誤差不超過00001因?yàn)?2405243-133(134)1/5所以在二項(xiàng)展開式中取mJx34即得52403(11114114915240305歹齊弓麗喬這個(gè)級數(shù)收斂很快取前兩項(xiàng)的和作為5240的近似值其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)為lr|3(1411491149141)|2|(522!38533!312544!316)彳黔訓(xùn)81(81)261L1125381丄2527402000081高等數(shù)學(xué)教案無窮級數(shù)于是取近似式為52403(15J4)為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截?cái)嗾`差之和不超過104計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)

37、然后四舍五入因此最后得52402.9926例2計(jì)算In2的近似值要求誤差不超過00001解在上節(jié)例5中令x1可得ln211(1)n11n如果取這級數(shù)前n項(xiàng)和作為In2的近似值其誤差為|rn|丄，為了保證誤差不超過104n1需要取級數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算這樣做計(jì)算量太大了我們必需用收斂較快的級數(shù)來代替它把展開式ln(1x)xn11)n-(1x1)n1中的x換成xln(1x)(1x1)兩式相減得到不含有偶次幕的展開式心ln(1x)ln(1x)2(x35x5)(1x1)1三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組13代入最后一個(gè)展開式得3ln22(1如果取前四項(xiàng)作為In2的近似值丄1亠1亠)335S5737則誤

38、差為1丄113111132_31111439700000于是取ln22(3333535737高等數(shù)學(xué)教案無窮級數(shù)同樣地考慮到舍入誤差計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)因此得0333333In206931例3利用sinx0.01235冷0.00082污0.000071x3求sin9的近似值并估計(jì)誤差3!解首先把角度化成弧度9面9(弧度)弧度)，從而Sin202031_3!20其次估計(jì)這個(gè)近似值的精確度在sinx的幕級數(shù)展開式中令sin20203!2031_515!207!20等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級數(shù)且各項(xiàng)的絕對值單調(diào)減少取它的前兩項(xiàng)之和作為si門藥的近似值起誤差為吩5-20120(0.2)300000因此取

39、200.15708030.003876，于是得sin9015643，這時(shí)誤差不超過10520例4計(jì)算定積分22xdx的近似值要求誤差不超過00001(取10.56419)將ex的幕級數(shù)展開式中的x換成x2得到被積函數(shù)的幕級數(shù)展開式1皿(X2)2(X2)31!2!ex23!x2nn0(1)n).三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組根據(jù)幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積1122ex2dx22'00n2n1)n厶dxn!(1)nn0n!12x2ndx0前四項(xiàng)的和作為近似值1所以2fex2dxJ°223其誤差為2452!2673!、2894!190000).1223-1)2452!26730.5295

40、例5計(jì)算0警dx的近似值（誤差不超過104）解由于x叫警1因此所給積分不是反常積分如果定義被積函數(shù)在x0處的值為1則它在積分區(qū)間01上連續(xù)展開被積函數(shù)有sinxxx23!x45!x67!在區(qū)間01上逐項(xiàng)積分得0警dx11133!55!177!因?yàn)榈谒捻?xiàng)11寺30000所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值如dx0x0.9461二、歐拉公式復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)：（U1iV1）（U2iV2）(UniVn)其中UnVn（n123）為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)如果實(shí)部所成的級數(shù)U1U2Un收斂于和U并且虛部所成的級數(shù)Vn收斂于和V就說復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂且和為uivV1V2絕對收斂、unvn收斂n1如果級（UniVn）的

41、各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級數(shù)n1則稱級數(shù)（UniVn）絕對收斂n11zz2Jzn2!n!在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex在復(fù)平面上我們用它來復(fù)變量指數(shù)函數(shù)考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù):可以證明此級數(shù)在復(fù)平面上是絕對收斂的定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)記為ez即¥n!歐拉公式當(dāng)x0時(shí)ziy于是那y)2eiyiiyiy驕中3(i2丄y44!y1315)i(y3!y尹)cosyisiny把y定成x得eixcosxisinx這就是歐拉公式復(fù)數(shù)的指數(shù)形式復(fù)數(shù)z可以表示為zr(cosisin)rei其中r|z|是z的模argz是z的輻角三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系因?yàn)閑ixcosxisinxeixcosxisinx所以ixixx

42、ixe+e2cosxee2isinxcosx1(eixeix)sinx£(eixeix)22i這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式isiny)復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)ez1z2ez,ez2特殊地有exiyexeyex(cosy小結(jié)1.近似計(jì)算的方法；2微分方程的幕級數(shù)解法。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意近似計(jì)算和幕級數(shù)解法，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)講課提綱、板書設(shè)計(jì)作業(yè)P293:1(2),；2(2)§12.7傅里葉級數(shù)、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性三角級數(shù)級數(shù)1a0(ancosnxgsinnx)2n1稱為三角級數(shù)其中aoanbn(n12)都是常數(shù)三角函數(shù)系1co

43、sxsinxcos2xsin2xcosnxsinnx上的積分等三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間于零即cosnxdx0(n12)sinnxdx0(n12)sinkxcosnxdx0(kn12)sinkxsinnxdx0(kn12kn)coskxcosnxdx0(kn12kn)三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分不等于零12dx22cosnxdx(n12)sinnxdx(n12)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)且能展開成三角級數(shù)f(x)ao2(akcoskxbksinkx)k1f(x)cosnxdxaocosnxdxakcoskx

44、cosnxdx2k1類似地f(x)sinnxdxbn傅里葉系數(shù)a01f(x)dxan1f(x)cosnxdx(n12)01f(x)sinnxdx(n12)系數(shù)aoa1b1叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)那么系數(shù)aoa1b1與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系假定三角級數(shù)可逐項(xiàng)積分則sinkxcosnxdx傅里葉級數(shù)三角級數(shù)ao(ancosnxbnsinnx)2n1稱為傅里葉級數(shù)其中aoaibi是傅里葉系數(shù)問題一個(gè)定義在()上周期為2的函數(shù)f(x)如果它在一個(gè)周期上可積則一定可以作出f(x)的傅里葉級數(shù)然而函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂？如果它收斂它是否一定收斂于函數(shù)f(x)?一般來說這兩個(gè)問題

45、的答案都不是肯定的定理(收斂定理狄利克雷充分條件周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn))設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)如果它滿足在一個(gè)在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂并且當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)級數(shù)收斂于f(x)當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)級數(shù)收斂于2f(x0)f(x0)例1設(shè)f(x)是周期為的周期函數(shù)它在)上的表達(dá)式為1f(x)10將f(x)展開成傅里葉級數(shù)解所給函數(shù)滿足收斂定理的條件它在點(diǎn)xk(k012)處不連續(xù)在其它點(diǎn)處連續(xù)從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂并且當(dāng)xk時(shí)收斂于112f(x0)f(x0)；(11)0當(dāng)xk時(shí)級數(shù)收斂于f(x)傅里葉系數(shù)計(jì)算如下1101anf(x)cosnxdx(1)cosnxdx01cosnxdx0(n012)1101bnf(x)sinnxdx(1)sinnxdx01sinnxdx丄譽(yù)01罟嚴(yán)。-L1cosncosn12二1(1)nnn01,35,2,4,6,41f(x)sinx£sin3x1右sin(2k1)x例2設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在)上的