1、矢量運(yùn)算的基本知識(shí)矢量運(yùn)算的基本知識(shí)和微積分初步和微積分初步 標(biāo)量只有大小當(dāng)然有正負(fù)），例如：質(zhì)量、標(biāo)量只有大小當(dāng)然有正負(fù)），例如：質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間、密度、能量、溫度等。長(zhǎng)度、時(shí)間、密度、能量、溫度等。 矢量既有大小又有方向，并有一定的運(yùn)算規(guī)矢量既有大小又有方向，并有一定的運(yùn)算規(guī)則，例如：位移、速度、加速度、力等。則，例如：位移、速度、加速度、力等。矢量運(yùn)算基礎(chǔ)1 1、矢量的定義：、矢量的定義：2 2、矢量的幾種表示方式：、矢量的幾種表示方式：),(321AAAA 大小大小AA3 3、矢量相等：、矢量相等： 大小相同，方向相同。大小相同，方向相同。 標(biāo)量不能與矢量相等，即：標(biāo)量不能與矢量相等，

2、即：（矢量的模）（矢量的模）字母上面加箭頭，或用黑體字課本）字母上面加箭頭，或用黑體字課本）AAA解析表示：解析表示：幾何表示：有指向的線段幾何表示：有指向的線段矢量運(yùn)算基礎(chǔ)4 4、矢量的運(yùn)算法則：、矢量的運(yùn)算法則：(1) (1) 加減法加減法 含平行四邊形法則和三角形法則含平行四邊形法則和三角形法則ABABCCBACBAC矢量運(yùn)算基礎(chǔ)(2) (2) 數(shù)乘數(shù)乘ACACACCA平行于平行于方向大小 0 0 一個(gè)矢量也可寫(xiě)成 : 它的大小乘上它的單位矢量，如：如：0rAAAAAAr0矢量運(yùn)算基礎(chǔ)(3)(3)矢量的分解矢量的分解在一個(gè)平面內(nèi)，若存在兩個(gè)不共線的矢量在一個(gè)平面內(nèi)，若存在兩個(gè)不共線的矢量

3、 則平面內(nèi)的任一矢量可以分解為：則平面內(nèi)的任一矢量可以分解為：21ee和2211eAeAA21ee 常用常用稱為正交分解稱為正交分解在直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系，kAjAiAAzyx222zyxAAAAA其大小其大小矢量運(yùn)算基礎(chǔ)rP PxyzO OXYZijk kzj yi xr222zyxrr矢量運(yùn)算基礎(chǔ)cosAAxcosAAycosAAz三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角與分別是ZYXA,kBAjBAiBABAzzyyxx)()()(同一方向上的分量的運(yùn)算如同標(biāo)量一樣。同一方向上的分量的運(yùn)算如同標(biāo)量一樣。不同方向上的分量不能合并同類項(xiàng)，要按矢量加法法不同方向上的分量不能合并同類項(xiàng)，要按矢量加法法則疊加。則疊加

4、。矢量運(yùn)算基礎(chǔ)(4)(4)矢量的標(biāo)積點(diǎn)積，點(diǎn)乘）矢量的標(biāo)積點(diǎn)積，點(diǎn)乘）方向的投影。在為為單位矢量，若的夾角與為BABABBAABBA) (cos特別注意：特別注意：02AAA假設(shè)假設(shè)0 BA可能可能BABA000,900,900,90000BABABA矢量運(yùn)算基礎(chǔ)ABcosB矢量運(yùn)算基礎(chǔ)ABBACABACBA)(遵守交換律遵守交換律遵守分配律遵守分配律01ikkjjikkjjiizzyyxxzyxzyxBABABAkBjBiBkAjAiABA)()(ABcosB標(biāo)積的標(biāo)積的性質(zhì)：性質(zhì)：(5)(5)矢量的矢積叉積、叉乘）矢量的矢積叉積、叉乘）是一個(gè)軸矢量是一個(gè)軸矢量方向：方向：大小：平行四邊形面

5、積大?。浩叫兴倪呅蚊娣e右右手手螺螺旋旋前前進(jìn)進(jìn)) 0(sin ABBACAB C右手四指由叉乘號(hào)前的矢量方向，沿右手四指由叉乘號(hào)前的矢量方向，沿小于小于的夾角旋轉(zhuǎn)到叉乘號(hào)后的矢量的夾角旋轉(zhuǎn)到叉乘號(hào)后的矢量方向時(shí)拇指的指向。積矢量垂直于兩方向時(shí)拇指的指向。積矢量垂直于兩叉乘矢量所確定的平面。叉乘矢量所確定的平面。矢量運(yùn)算基礎(chǔ)CBA矢積的性質(zhì)：矢積的性質(zhì)： 0 )( AACABACBAABBA不遵守交換律不遵守交換律但遵守分配律但遵守分配律jikikjkjikkjjii0zyxzyxBBBAAAkjiBA矢量運(yùn)算基礎(chǔ)(6)(6)矢量的非法運(yùn)算包括矢量的非法運(yùn)算包括DeCBA,ln,1矢量與標(biāo)量不能

6、相等。矢量與標(biāo)量不能相等。 ！即：矢量不能作除數(shù)、取對(duì)數(shù)；即：矢量不能作除數(shù)、取對(duì)數(shù)； 不能開(kāi)方、作指數(shù)。不能開(kāi)方、作指數(shù)。注意：嚴(yán)格區(qū)分矢量的叉乘與點(diǎn)乘！注意：嚴(yán)格區(qū)分矢量的叉乘與點(diǎn)乘！ “”、“ ”不能隨便亂用。不能隨便亂用。矢量運(yùn)算基礎(chǔ)（7矢量的導(dǎo)數(shù)還是個(gè)矢量矢量的導(dǎo)數(shù)還是個(gè)矢量 若在直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸方向不變，各分量互不相干，分別求導(dǎo)。如：kdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx但一般但一般dtdAdtAd（除非定向運(yùn)動(dòng)。）（除非定向運(yùn)動(dòng)。）如：速度的導(dǎo)數(shù)是加速度，速率的導(dǎo)數(shù)是加速度的切向如：速度的導(dǎo)數(shù)是加速度，速率的導(dǎo)數(shù)是加速度的切向分量。分量。dtrdArdtdAdtAdrAA

7、000則若矢量運(yùn)算基礎(chǔ)即：矢量的導(dǎo)數(shù)的模一般不等于矢量的模的導(dǎo)數(shù)即：矢量的導(dǎo)數(shù)的模一般不等于矢量的模的導(dǎo)數(shù)在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中222dtdAdtdAdtdAdtAdzyxkAjAiAAzyxkdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx222zyxAAAAAdtAAAddtdAzyx222矢量運(yùn)算基礎(chǔ)（8 8矢量的積分矢量的積分,AdtBdBA系內(nèi)，且都在同一平面直角坐標(biāo)和若dtABd則有dtjAiAyx)(量各自積分：矢量對(duì)標(biāo)量積分，各分jBiBjdtAidtAdtAByxyx)()(各分量方向不變即,dtABdtAByyxx 第一種情況：矢量運(yùn)算基礎(chǔ)第二種情況，對(duì)矢量點(diǎn)乘積分：第二種

8、情況，對(duì)矢量點(diǎn)乘積分：dzFdyFdxFrdFWdzFdyFdxFrdFdWzyxzyx總功元功變力沿曲線作功，如 :還有，對(duì)矢量叉乘積分，以后在電磁學(xué)里再講。還有，對(duì)矢量叉乘積分，以后在電磁學(xué)里再講。矢量運(yùn)算基礎(chǔ)微積分基礎(chǔ)2yxddyyx知：知： 求：求：2( )f xx( ),(1)fxf初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（一）（一） 不定積分的概念不定積分的概念 已知函數(shù) ，如果存在一函數(shù) ，使得 則稱 為 的一個(gè)原函數(shù)。由于常數(shù)C的導(dǎo)數(shù)恒等于零，因而，任意可積函數(shù)的原函數(shù)都有無(wú)窮多個(gè)。 原函數(shù) 又稱 的不定積分，記為： f x F x Fxfx F x f x F x f x F xf x dxC 1 f xg x dxf x dxg x dxf x g x dxf xg x dxfxg x dx dx、2、1(1) 0(2) 1(3) 1(4) 1(5) ln(6) sincos(7) cossinnnxxdxCadxaxCx dxxCne dxeCdxxCxxdxxCxdxxC 設(shè)一元函數(shù)y=f(x) ,在區(qū)間a, b內(nèi)有定義。將區(qū)間a, b分成n個(gè)小區(qū)間(a, x0) (x0, x1) (x1, x2) .(xi, b)