1、6.4 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點 前面我們介紹了函數(shù)的單調性和極值，這對于了前面我們介紹了函數(shù)的單調性和極值，這對于了解函數(shù)的性態(tài)很有幫助，但僅知道單調性還不能比解函數(shù)的性態(tài)很有幫助，但僅知道單調性還不能比較全面地反映出曲線的性狀，還須要考慮彎曲方向。較全面地反映出曲線的性狀，還須要考慮彎曲方向。oyxL3L2L1AB 如右圖所示如右圖所示L1 ，L2 ，L3 雖然都是從雖然都是從A點單調上點單調上升到升到B點，但它們的彎曲方點，但它們的彎曲方向卻不一樣。向卻不一樣。 L1 是是“凹凹(上凸上凸)”弧，弧，L2是是“凸凸(下凸下凸)”弧弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧，這和我們既有凸弧，也

2、有凹弧，這和我們日常習慣對凹凸的稱呼是不一致的。日常習慣對凹凸的稱呼是不一致的。K切=f(x)0y單調遞增凡呈凸型的弧段其切線總位于曲線的下方.凡呈凹型的弧段其切線總位于曲線的上方.K切=f(x) 0 0 , ,則則 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 的的 圖圖 形形 是是 凸凸 的的 ; ;( ( 2 2 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 時時，,0 y0,) 曲 線 在為 凸 的 ；.點點( (0 0, ,0 0) )是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點點注意到注意到,三、曲線的拐點及其求法三、曲線的拐點及其求法連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線 上

3、上 凹凹 凸凸 的的 分分 界界 點點 稱稱 為為 曲曲 線線 的的 拐拐 點點 .1.1.定義定義注意注意: :拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線. .2.2.拐點的求法拐點的求法證證,)(二二階階可可導導xf,)(存存在在且且連連續(xù)續(xù)xf , )()(0兩兩邊邊變變號號在在則則xxfxf ,)(,(00是是拐拐點點又又xfx,)(0取取得得極極值值在在 xxf 由由可可導導函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的條條件件, ,.0)( xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內內二二階階可可導導在在設設函函數(shù)數(shù);)(,(,)()1(000即即為為拐拐

4、點點點點變變號號兩兩近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不不是是拐拐點點點點不不變變號號兩兩近近旁旁xfxxfx 例例2 24 43 3求求 曲曲 線線 y y = = 3 3 x x- - 4 4 x x+ + 1 1 的的 拐拐 點點 及及凹凹 、 凸凸 的的 區(qū)區(qū) 間間 . .解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy令令 y y = = 0 0, ,.32, 021 xx得得x)0 ,(),32( )32,0(032)( xf )( xf 00凸的凸的凹的凹的凸的凸的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32,0,0,( 凹凹凸凸區(qū)

5、區(qū)間間為為方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的的拐拐點點線線是是曲曲那那末末而而且且的的鄰鄰域域內內三三階階可可導導在在設設函函數(shù)數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2,0(cossin的的拐拐點點內內求求曲曲線線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f,0 2)47( f,0 內曲線有拐點為內曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的的拐拐點點是是連連續(xù)續(xù)曲曲線線也也可可能能點點不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意

6、: :二階導數(shù)變號，二階導數(shù)變號，是是拐拐點點則則)(,(00 xfx例例5 5.3的的拐拐點點求求曲曲線線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可導導點點yyx ,0,)0,( y內內但但在在(, 0 ; 曲 線 在上 是 凸 的,0,),0( y內內在在0,).曲線在上是凹的.)0,0(3的的拐拐點點是是曲曲線線點點xy 例例6求曲線求曲線)0(sin tteyextt的拐點的拐點解解tttetetedxdycossin ttcossin )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )cos(sintett )sin(cos022

7、 dxyd令令ttsincos 4 t時時當當40 t022 dxyd時時當當 t4022 dxyd)21,(44 ee是拐點是拐點例例7)()(, 0)(1,11121iniiiniiniinxfpxpfxfpppp 則則若若是一組正數(shù)，且是一組正數(shù)，且設設Jensen不等式不等式證證 niiixpx10記記maxmin0iixxx 則則由由Taylor公式，得公式，得20000)(2)()()()(xxfxxxfxfxf 0)( xf)()()(000 xxxfxfxf ), 2 , 1()()()(000nixxxfxfxfii 各式乘以各式乘以ip再相加，得再相加，得)()()(101

8、0101 niiniiiniiniiipxxpxfpxfxfp=1=10 x )(0 xf niiiniiixfpxpf11)()(的拐點與凸向區(qū)間求曲線31xxy323)1(31xxxy解32)1(334xx8例3532) 1)(34(92) 1(34 xxxy35)1(964xx不存在。時，；時，當yxyx 1023 443 0 0 23 1 3f(x)(x)fx不存在列表討論如下：。和拐點是內向上凸；內向下凸，在區(qū)間及曲線在區(qū)間)443,23()0, 1 (23, 1,231,3思考題思考題設設)( xf在在),(ba內內 二二 階階可可 導導， 且且0)(0 xf，其其 中中),(0bax ， 則則,(0 x)(0 xf是是 否否 一一定定 為為曲曲 線線)( xf的的 拐拐 點點？ 舉舉例例 說說明明 .思考題解答思考題解答故故,(0 x)(0 x