1、復習引入復習引入1. 等差數(shù)列定義：等差數(shù)列定義： 即即anan1 d (n2).2. 等差數(shù)列通項公式：等差數(shù)列通項公式： (1) ana1(n1)d (n1).(2) anam(nm)d .(3) anpnq (p、q是常數(shù)是常數(shù))復習引入復習引入3. 等差中項等差中項bAabaA,2 成等差數(shù)列成等差數(shù)列. mnpq amanapaq. (m，n，p，qN)4. 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)2.3 2.3 等差數(shù)列的等差數(shù)列的 前前n n項和（一）項和（一）上頁上頁下頁下頁 數(shù)列的前數(shù)列的前n項和：項和： 稱為數(shù)列稱為數(shù)列aan n 的前的前n n項和，記作項和，記作S Sn n， S

2、Sn=n=naaaa321naaaa321 數(shù)列的通項公式能反映數(shù)列的數(shù)列的通項公式能反映數(shù)列的基本特性，在實際問題中常常需要基本特性，在實際問題中常常需要求數(shù)列的前求數(shù)列的前n n項和項和. .對于等差數(shù)列，對于等差數(shù)列，為了方便運算，我們希望有一個求為了方便運算，我們希望有一個求和公式，這是一個有待研究的課題和公式，這是一個有待研究的課題. .上頁上頁下頁下頁你知道這個雄偉壯觀的建筑是哪兒嗎？你知道這個雄偉壯觀的建筑是哪兒嗎？世界七大奇跡之一印度泰姬陵上頁上頁下頁下頁 泰姬陵坐落于印度古都阿泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所皇帝沙

3、杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。圖案之細致令人叫絕。 傳說陵寢中有一個三角形傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有鑲飾而成，共有100100層（見左層（見左圖），奢靡之程度，可見一圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？了多少寶石嗎？探究發(fā)現(xiàn)探究發(fā)現(xiàn)上頁上頁下頁下頁這是個什么問題呢？ 從上而下第一層是1顆寶石

4、，第一層是2顆寶石，第三層是3顆寶石 第一百層是100顆寶石即即: 1+2+3+100=？2.2 等差數(shù)列的前n項和上頁上頁下頁下頁 德國古代著名數(shù)學家高斯德國古代著名數(shù)學家高斯10歲的時候就已經(jīng)解決了這個問歲的時候就已經(jīng)解決了這個問題：題：123100=？你知？你知道高斯是怎樣算出來的嗎？道高斯是怎樣算出來的嗎？上頁上頁下頁下頁高斯的算法高斯的算法計算：計算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之處在于高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這他發(fā)現(xiàn)這100100個數(shù)可以分為個數(shù)可以分為5050組：組： 第一個數(shù)與最后一個數(shù)一第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組；組； 第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)第二個數(shù)與倒數(shù)第二

5、個數(shù)一組；一組； 第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，一組， 每組數(shù)的和均相等，都等每組數(shù)的和均相等，都等于于101101，5050個個101101就等于就等于50505050了。了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準確得到了結(jié)果法運算，迅速準確得到了結(jié)果. .首尾首尾配對配對相加相加法法中間的一中間的一組數(shù)是什組數(shù)是什么呢？么呢？上頁上頁下頁下頁看看高斯的（1+100）+（2+99）+ +（50+51）=10150=5050? 高斯的思路有什么特點？高斯的思路有什么特點？適合哪種類型？適合哪種類型？特點：首尾配對（變不同數(shù)求和為相同特點：首尾配對

6、（變不同數(shù)求和為相同數(shù)求和，變加法為乘法）數(shù)求和，變加法為乘法）類型：項數(shù)是偶數(shù)的數(shù)列求和類型：項數(shù)是偶數(shù)的數(shù)列求和上頁上頁下頁下頁高斯的辦法行嗎？能否有更高斯的辦法行嗎？能否有更簡潔的求法？簡潔的求法？S21=1 + 2 + 3 + + 21 2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ + (21+1)S21 =21 + 20 + 19 + + 1 21個個22探究問題探究問題1：第：第1層到層到21層一共有多少顆圓寶石？層一共有多少顆圓寶石？上頁上頁下頁下頁這實質(zhì)上就是數(shù)學中數(shù)列求和的一種重要方法這實質(zhì)上就是數(shù)學中數(shù)列求和的一種重要方法-倒序相加法倒序相加法總結(jié)一下這種方

7、法特點？可以叫什么法呢？上頁上頁下頁下頁問題問題2:等差數(shù)列等差數(shù)列1,2,3,n, 的前的前n項和怎么求？項和怎么求？ sn=1 + 2 + + n-1 + n 2sn =(n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1) sn=n + n-1 + + 2 + 1n個n可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，怎么避免討論？利用倒序相加法利用倒序相加法上頁上頁下頁下頁112nn nSnad11naand又12nnn aaSn個11112()()()nnnnnSaaaaaaaa上式相加得：由等差數(shù)列性質(zhì)可知：問題問題3: 對于一般等差數(shù)列對于一般等差數(shù)列an，首項為，首項為a1公差為公差為d,如何推

8、導如何推導它的前它的前n項和公式項和公式Sn呢？呢？求和公式求和公式1()2nnn aaS等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和的公式：項和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字語言；）公式的文字語言；11 ,naand由于1(1)2nn nSnad故（2）公式的特點；）公式的特點；不含不含d可知三可知三求一求一1(1)2nn nSnad等差數(shù)列的等差數(shù)列的前前n項和等項和等于于首末兩項首末兩項的和與項數(shù)的和與項數(shù)乘積的一半乘積的一半。公式的記憶公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前列前 n 項和公式項和公式.na1an1()2nnn aaS公式的記憶公

9、式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前列前 n 項和公式項和公式.a1(n-1)dna1an將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形.1(1)2nn nSnad dnnnaSn2)11 （dnaan)1(1 公式應用公式應用 根據(jù)下列各題中的條件，求相應的等差數(shù)列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550 1()12nnn aaS解：10 (595)2500 1(1)22nn nSnad解：50 (50 1)50 100-222550上頁上頁下頁下頁.

10、 根據(jù)下列條件，求相應的等差數(shù)列的前根據(jù)下列條件，求相應的等差數(shù)列的前n項和項和;10,95, 5) 1 (1naan;50, 2,100) 2(1nda;14,23,32)3(1naan.32, 7 . 0, 5 .14)4(1nada2)1nnaanS（.5002)955 (1010SdnnnaSn2) 11（2550) 2(2) 150501005050（S2)1nnaanS（.6352)2/3(3/21414Sdnaan) 1(1,2617 . 05 .1432n. 5 .6042)325 .14(2626S上頁上頁下頁下頁 在等差數(shù)列 an 中，如果已知五個元素 a1, an, n,

11、 d, Sn 中的任意三個, 請問: 能否求出其余兩個量 ?dnnnaSn2) 11 （dnaan)1(1 結(jié)論：知結(jié)論：知 三三 求求 二二解題思路一般是:建立方程(組)求解等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和公式項和公式上頁上頁下頁下頁上頁上頁下頁下頁應用舉例應用舉例 例1求前n個正奇數(shù)的和.22) 121 () 12(531nnnn解 由等差數(shù)列前n項和公式,得思考:你能看出右圖與本題的關(guān)系嗎?222) 1(Snnnnn或1n1n上頁上頁下頁下頁練習：求前n個正偶數(shù)的和nnnnn22)22(2642n11n+1上頁上頁下頁下頁 例2 在我國古代,9是數(shù)字之極,代表尊貴之意,所以中國古代皇家

12、建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計.例如北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形石板鋪成,最高一層的中心是一塊天心石,圍繞它的第一圈有9塊石板,從第二圈開始,每一圈比前一圈多9塊,共有9圈.請問: (1)第9圈有多少塊石板? (2)前9圈一共有多少塊石板?上頁上頁下頁下頁北京天壇圓丘上頁上頁下頁下頁 解 (1)設(shè)從第1圈到第9圈石板數(shù)構(gòu)成數(shù)列 ,由題意可知 是等差數(shù)列,其中 na na. 9, 11da819) 19(9) 19(19daa故(塊)(2)由等差數(shù)列前n項和公式,4052)819(92)(9919aaS方式1(塊)上頁上頁下頁下頁答 第9圈有81塊石板, 前9圈一共有405塊石板方式24059289

13、992) 19(9919daS(塊)例例2 2、計算、計算（1 1） 5+6+7+79+80（2 2） 1+3+5+1+3+5+ +（2 2n-1-1）（3 3）1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+ +（2 2n-1-1）-2-2n-n例題講解例題講解n2 135+ 21n2 解：22nn2n 135+ 212+4+6+2nn3 解：原式21nn n1212nnn 3230提示：提示：n=76法二：法二：1212222nnnn 例例3 3 在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中， 已知已知 ，求，求S S7.7.4053 aa1777()74014022aaS+=例題講解例題講解1

14、1()()22nkn knn aan aaS 1()2nnn aaS知識打包知識打包 存放備用存放備用an=a1+(n-1)d對于對于Sn、an 、a1、n、d 五個量，五個量，“知三求二知三求二”.2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1方程方程(組組)思想思想(待定系數(shù)法待定系數(shù)法)倒序求和法倒序求和法 掌握與應用掌握與應用課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1 1等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和的公式；項和的公式； 2 2等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和公式的推導方法項和公式的推導方法倒序相加法；倒序相加法； 3.3.在兩個求和公式中在兩個求和公式中,各有五個元素各有五個元素,只要只要知道其中三個元素知道其中三個元素,結(jié)合通項公式就可求出另結(jié)合通項公式就可求出另兩個元素兩個元素.上頁上頁下頁下頁（兩個）（兩個）1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad上頁上頁下頁下頁 性性質(zhì)質(zhì)：若若數(shù)數(shù)列列前前 項項和和為為，. .則則，11(1)(10.2)nnnnnSnaSSnanS 或或注注意意：兩兩個個公公式式都都表表明明要要求求必必須須已已知知等等差差數(shù)數(shù)列列的的. .前前 項項和和中中的的公公式式三三個個. .111()(11.1:2, ,)2,nnnnnnSn aaan ndSSndaan 上