1、會計學1理學理學(lxu)不定積分不定積分第一頁，共228頁。2.bababababbababababaaaaaaa 或或性質：性質：定義：定義：絕對值絕對值|4|3|2|1)2(000|)1(0. 3倍倍的的開開區(qū)區(qū)間間。的的長長度度為為一一很很小小正正數(shù)數(shù)心心左左、右右對對稱稱的的是是實實數(shù)數(shù)軸軸上上以以某某點點為為中中鄰鄰域域2:. 4 第1頁/共228頁第二頁，共228頁。為函數(shù)為函數(shù)唯一確定的唯一確定的定義定義函數(shù)函數(shù)二二fyDxyxyxyxxy 484273313. 1)(3322112f值域值域定義域定義域因變量；因變量；自變量；自變量；:),(|:DxxfyyzDyx 3.第2

2、頁/共228頁第三頁，共228頁。)2, 1, 0(33cot)6()2, 1, 0(233tan)5(1|12|)12arcsin()4(0321. 4. 3321. 2 kkxxykkxxyxxy 如：如：余切余切如：如：正切正切如：如：反正弦反正弦）對數(shù)真數(shù)）對數(shù)真數(shù)（負。負。）偶次根式被開方數(shù)非）偶次根式被開方數(shù)非（。分式要求分母不能為零分式要求分母不能為零）（定義域的求法定義域的求法完全相等時。完全相等時。只有當兩函數(shù)的三要素只有當兩函數(shù)的三要素判斷兩函數(shù)相等：判斷兩函數(shù)相等：）值域）值域（）對應關系）對應關系（定義域定義域）（三要素三要素4.第3頁/共228頁第四頁，共228頁。5

3、.22sin,sinxyxuuy 例：例：yuxgfxgfyxguufyxxxfxx 的的復復合合函函數(shù)數(shù)和和稱稱為為則則如如果果復復合合函函數(shù)數(shù)初初等等函函數(shù)數(shù)的的概概念念復復合合函函數(shù)數(shù)三三例例：值值范范圍圍的的并并集集。分分段段函函數(shù)數(shù)，則則取取各各段段取取)()(,)(. 1)(302)3 , 1)(011)7(2fg第4頁/共228頁第五頁，共228頁。xyaaxyyyaaayxyxyxyxyxycyxyxwwvvuuyeyxvvueyaxxxxu22113222arctanlog)1, 0(log4)(,2)1, 0(3),(21. 21cosln1,cos,ln,arctan,2

4、1 如如：對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)）（如如：指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)）（如如：冪冪函函數(shù)數(shù)）（常常數(shù)數(shù)）（基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)（六六種種）取取公公共共部部分分。再再先先求求每每層層函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域求求復復合合函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域：注注例例例例6.第5頁/共228頁第六頁，共228頁。是是奇奇函函數(shù)數(shù)；或或差差兩兩奇奇函函數(shù)數(shù)之之和和是是偶偶函函數(shù)數(shù)；或或差差兩兩偶偶函函數(shù)數(shù)之之和和還還可可用用性性質質判判斷斷：關關于于原原點點對對稱稱奇奇若若軸軸對對稱稱關關于于偶偶若若定定義義奇奇偶偶性性函函數(shù)數(shù)的的簡簡單單性性質質四四和和復復合合運運算算得得到到、經經有有限限次次）（出出來來可可用用一一個個

5、分分析析式式子子表表示示）（定定義義：初初等等函函數(shù)數(shù)反反三三角角三三角角)()2()()1()()()()()()(. 1)(21. 3cot,arctan,arccos,arcsin)6(cot,tan,cos,sin)5( xfxfyxfxfxarcxxxyxxxxy7.第6頁/共228頁第七頁，共228頁。8.)1|11|,11(| )(|, 0. 3)()()()(),(. 2)5()4()3(22212121212, 1 xxyMxfDxMxfxfxxxfxfxxbaxx則則有有如如有有對對有有界界性性單單減減時時，恒恒有有當當單單增增時時，恒恒有有當當單單調調性性函函數(shù)數(shù)。一一奇

6、奇一一偶偶函函數(shù)數(shù)之之積積是是奇奇；兩兩奇奇函函數(shù)數(shù)之之積積是是偶偶函函數(shù)數(shù)；兩兩偶偶函函數(shù)數(shù)之之積積是是偶偶函函數(shù)數(shù)列列函函數(shù)數(shù)關關系系式式五五 )(第7頁/共228頁第八頁，共228頁。101011)3(45lg)2(31arcsin)2ln(1)1(122 xxxxxxyxxy求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域例例 )(xf9.第8頁/共228頁第九頁，共228頁。-2010.3)42423131311)3(2)2(3)1()3(1|31|)2(02)1(0)2ln( xxxxxxxxxx且且定義域定義域取公共部分取公共部分解解得：得：解解得：得：解解解：解：4x23第9頁/共228頁

7、第十頁，共228頁。11.41500)5(045)2(410)1)(4(04545145)1()2(045)1(045lg222222 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx取公共部分得定義域：取公共部分得定義域：解解解解解：解：第10頁/共228頁第十一頁，共228頁。)(,11)11()3()(,34)1()2()(,11)()1(222xfxxfxfxxxfxffxxf求求設設求求設設求求已已知知例例 12.xxxxfxfffxxff11111)(11)()(11)(11)()1( 的的運運算算規(guī)規(guī)律律鍵鍵是是要要分分析析出出解解：解解決決這這類類問問題題的的關關第11頁/共228頁第十

8、二頁，共228頁。xxxfftttttftxtxxxxf2)()(2)()(23)1(4)1()(1,134)1()2(22222 則則令令達達式式中中變變量量形形式式不不一一致致括括號號內內的的變變量量與與函函數(shù)數(shù)表表解解：22)(22)1(1)()1(1, 11,1111)11()3(222222 xxxfttttftxtxtxxxf當然當然則則令令解解13.第12頁/共228頁第十三頁，共228頁。)1ln()2(cos)()1(322xxyxxxy 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性：例例xxxxxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxxxxxxf 22222211ln)1l

9、n()()()1ln()(1ln()()2()()()()()(cos)()cos()()()1(的的性性質質不不難難得得出出我我們們注注意意到到，根根據(jù)據(jù)對對數(shù)數(shù)解解是是非非奇奇非非偶偶的的函函數(shù)數(shù)。同同時時顯顯然然，解解14.第13頁/共228頁第十四頁，共228頁。15.xxxfxfxx1lnln)()()1ln(2 意意對對數(shù)數(shù)的的特特性性判判斷斷對對數(shù)數(shù)奇奇偶偶性性時時要要注注注注為為奇奇函函數(shù)數(shù)。向向內內。由由外外層層開開始始，一一層層一一層層分分析析方方法法：數(shù)數(shù)或或其其四四則則運運算算。簡簡單單函函數(shù)數(shù)：基基本本初初等等函函層層簡簡單單函函數(shù)數(shù)。即即問問函函數(shù)數(shù)可可分分解解為為

10、哪哪幾幾解解：分分解解下下列列復復合合函函數(shù)數(shù)例例1sinln)3()2()13(cos)1(421arctan22 xyeyxyx第14頁/共228頁第十五頁，共228頁。時時就就要要涉涉及及到到分分解解問問題題三三章章求求復復合合函函數(shù)數(shù)導導數(shù)數(shù)這這部部分分內內容容很很重重要要，第第注注第第四四層層第第三三層層第第二二層層外外層層注注意意第第四四層層第第三三層層第第二二層層外外層層注注意意第第三三層層第第二二層層外外層層1sin,ln,1sinln)3(11,arctan,)2()13cos(13,cos,)13(cos)1(22221arctan222 xttvvuuyxyxvxttvv

11、ueyeyxuxvvuuyxyux16.第15頁/共228頁第十六頁，共228頁。17.函函數(shù)數(shù)。錐錐體體的的體體積積表表成成其其高高的的體體，試試將將圓圓的的球球內內有有一一內內接接正正圓圓錐錐一一半半徑徑為為例例：R)20()2(31)(31)(,31,2222222RhhhRhRhRVRhRrhrVrh 而而的的半半徑徑為為其其底底面面圓圓設設正正圓圓錐錐體體的的高高為為解解：ABChRr第16頁/共228頁第十七頁，共228頁。18.會會列列函函數(shù)數(shù)關關系系式式）（）求求函函數(shù)數(shù)值值（求求定定義義域域）（計計算算的的分分解解會會正正確確地地進進行行復復合合函函數(shù)數(shù)）（會會判判斷斷函函數(shù)

12、數(shù)奇奇偶偶性性）（321.232函函數(shù)數(shù)、復復合合函函數(shù)數(shù)）（概概念念函函數(shù)數(shù)（重重點點掌掌握握）第第一一章章總總結結1.1第17頁/共228頁第十八頁，共228頁。 無無極極限限。數(shù)數(shù)列列定定的的變變化化趨趨勢勢，則則稱稱該該極極限限。否否則則，若若它它無無固固列列的的并并把把這這個個常常數(shù)數(shù)稱稱為為該該數(shù)數(shù)則則稱稱數(shù)數(shù)列列是是有有極極限限的的，越越接接近近于于一一個個固固定定常常數(shù)數(shù)越越來來越越大大時時，數(shù)數(shù)列列越越來來當當即即，數(shù)數(shù)列列常常數(shù)數(shù)即即，數(shù)數(shù)列列常常數(shù)數(shù)即即，數(shù)數(shù)列列從從直直觀觀上上看看：例例數(shù)數(shù)列列極極限限nnnnnnnnnnn?)1(,)1( ,32111,1,34232

13、01,1,31211. 111 有有極極限限無無極極限限1.第18頁/共228頁第十九頁，共228頁。2.0121.51.31.25x1x2x3x4x:1|,0:lim為為例例來來加加以以說說明明以以為為了了便便于于大大家家理理解解我我們們有有當當其其嚴嚴格格定定義義為為一一般般的的nnxaxNnNaxnnnn 無無限限地地變變小小。越越大大，從從數(shù)數(shù)軸軸上上看看：|1|)1( nxn第19頁/共228頁第二十頁，共228頁。）或或又又可可分分為為）或或又又可可分分為為定定義義：函函數(shù)數(shù)極極限限只只要要要要使使只只要要如如：要要使使足足夠夠大大。要要多多小小就就多多小小，只只要要 000()(

14、lim()(lim)1(. 21000001. 01|11|101 . 01|11|1| )2(0 xxxxxxAxfxxxAxfnnnnnnnnnxxxxn3.第20頁/共228頁第二十一頁，共228頁。4.法法則則。都都存存在在時時，才才能能用用此此參參與與運運算算的的各各函函數(shù)數(shù)極極限限注注。、的的的的極極限限等等于于極極限限分分母母、函函數(shù)數(shù)的的四四則則運運算算存存在在或或右右極極限限：或或左左極極限限：單單側側極極限限)0()3()0()0()(lim)0()(lim2)0()(lim1)2(0000000 AxfxfxfAxfAxfAxfAxfxxxxxx第21頁/共228頁第二十

15、二頁，共228頁。5.數(shù)數(shù)那那樣樣的的運運算算。是是個個符符號號，它它并并不不能能像像錯錯在在數(shù)數(shù)的的極極限限都都不不存存在在。錯錯在在參參與與運運算算的的兩兩個個函函？判判斷斷以以下下計計算算是是否否正正確確例例如如： 012lim11lim)1211(lim21121xxxxxxxexexxxxxxxxxxx 1)1(lim)11(lim21sinlim1sinlim1)4(0110或或或或兩兩個個重重要要極極限限第22頁/共228頁第二十三頁，共228頁。6.更更高高階階的的無無窮窮小小是是比比則則稱稱若若時時的的無無窮窮小小量量是是、設設無無窮窮小小量量的的比比較較：積積也也包包括括常

16、常數(shù)數(shù)與與無無窮窮小小的的是是無無窮窮小小。有有界界量量與與無無窮窮小小量量的的積積窮窮小小。有有限限個個無無窮窮小小的的積積是是無無是是無無窮窮小小。有有限限個個無無窮窮小小的的代代數(shù)數(shù)和和性性質質：為為無無窮窮小小則則稱稱定定義義無無窮窮大大與與無無窮窮小小)()(, 0)()(lim)()(3)(2)(0)(lim1)5(000)(xgxfxgxfxxxgxfxfxfxxxxx 第23頁/共228頁第二十四頁，共228頁。7.；無無窮窮大大的的倒倒數(shù)數(shù)是是無無窮窮小小；無無窮窮小小的的倒倒數(shù)數(shù)是是無無窮窮大大無無窮窮小小與與無無窮窮大大的的關關系系：無無窮窮大大是是等等價價無無窮窮小小與

17、與則則稱稱特特別別地地，若若同同階階的的無無窮窮小小是是與與則則稱稱若若更更低低階階的的無無窮窮小小。是是比比則則稱稱若若:5)(lim4)()(1)()()()(lim)()(0)()(lim000 xfxgxfcxgxfcxgxfxgxfxfxgxxxxxxx第24頁/共228頁第二十五頁，共228頁。1459220122)13(8)21()5(lim)5()1(lim)5(11lim)3(11lim)2(2127lim)1(1 xxxxxxxxxnnnnxxxnmxn求下列極限求下列極限例例8.第25頁/共228頁第二十六頁，共228頁。nmxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnn

18、mmxnnmmxnmxnnnnnn )1()1(lim)1)(1()1)(1(lim11lim00)2(111lim2127lim)1(21211212111211272222可可先先分分解解因因式式不不能能直直接接用用法法則則型型解解：的的最最高高次次冪冪同同除除以以不不能能直直接接用用法法則則型型解解：9.第26頁/共228頁第二十七頁，共228頁。011lim1)1)(1(lim)1(lim)4(2)11(lim)11)(11()11(lim11lim00)3(2022220220 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx可先有理化可先有理化型型解解可先有理化可先有理化型型解解12

19、.第27頁/共228頁第二十八頁，共228頁。13.4)1(8)2()1(lim)13(8)21()5(lim)5(141351951459 xxxxxxxxx的最高次冪的最高次冪可同除以可同除以型型解解 xxxxxxxxxxxxxxxxxx3sinlim)5()11(lim)4(sintanlim)3(sintanlim)2(25sinlim)1(23000求下列函數(shù)極限求下列函數(shù)極限例例第28頁/共228頁第二十九頁，共228頁。011sinlimcos1sinlim)sincos1sin(lim)sintan(limsintanlim00)2(252512555sinlim25sinli

20、m00)1(0000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx型型解解型型解解12.第29頁/共228頁第三十頁，共228頁。13.21)sin(21cos1sinlimsin2cos1sinlimcos1cos1sinlimcoscos1sinlim)1(sinlimsintanlim00)3(2220222020202cos1030 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx型型解解第30頁/共228頁第三十一頁，共228頁。14.nmnmnmnmuuuuxxuuaaaaaeuuuxxuxxuuxxeu)()11()11(lim)11(lim)

21、11(lim12,211111)11(lim1)4(21212 要正確運用性質要正確運用性質注注得得令令可利用可利用型型解解第31頁/共228頁第三十二頁，共228頁。15.3333sinlim3sinlim)3sin(lim)33sin(lim)(3sinlim3sinlim,00)5(00000 ttttttttttxxtxxttttttx則則令令型型解解第32頁/共228頁第三十三頁，共228頁。16.時時當當時時當當時時當當時時當當時時當當時時當當無窮小量？無窮小量？指出下列函數(shù)中哪些是指出下列函數(shù)中哪些是例例 xxxxxxxxxxxxxexexx1sin)6(01sin)5(0sin

22、)4(sin)3(0)2(0)1(31210110)1(221212112 xxeeeexxxx而而時時當當解解第33頁/共228頁第三十四頁，共228頁。17.0sin1limsinlim1|sin|,01)3(,01011010)2(111 xxxxxxxxxeexxexxxxxxx而而時時，當當解解情情況況討討論論。必必須須分分兩兩種種時時出出現(xiàn)現(xiàn)在在指指數(shù)數(shù)位位置置上上且且當當注注因因此此時時，當當因因此此時時，當當分分析析解解第34頁/共228頁第三十五頁，共228頁。18.（重要極限）（重要極限）時，時，當當解解時，時，當當解解（重要極限）（重要極限）時，時，當當解解1sin1si

23、n)6(01sin0)5(1sin0)4(11 xxxxxxxxxxx第35頁/共228頁第三十六頁，共228頁。最最大大、最最小小值值在在上上連連續(xù)續(xù)在在若若最最大大、最最小小值值：定定理理是是連連續(xù)續(xù)的的。區(qū)區(qū)間間個個區(qū)區(qū)間間有有定定義義，則則在在該該結結論論：若若初初等等函函數(shù)數(shù)在在某某連連續(xù)續(xù)在在注注連連續(xù)續(xù)。在在，則則稱稱定定義義：若若）（連連續(xù)續(xù) ,)(1)3()2()()0()0()()()()(lim1. 10000000babaxfxfxfxfxxfxxfxfxfxx19.第36頁/共228頁第三十七頁，共228頁。20.點點少少有有一一個個不不存存在在的的間間斷斷第第二二類

24、類：左左、右右極極限限至至存存在在的的間間斷斷點點第第一一類類：左左、右右極極限限都都分分類類為為間間斷斷點點。則則稱稱不不連連續(xù)續(xù)在在連連續(xù)續(xù)，但但在在若若定定義義：間間斷斷點點使使連連續(xù)續(xù)且且在在介介值值：使使連連續(xù)續(xù)且且在在零零點點：)2(,)(),(),()()1(. 2)(),()()(,30)(),(0)()(,2000000 xxxfxxxxxfcfbabfcafbafbabfafba 第37頁/共228頁第三十八頁，共228頁。 )(1xf若函數(shù)若函數(shù)例例00)1(331 xkxxx_0 kx處處連連續(xù)續(xù)，則則在在21.313130)31()1(03310331001)1(li

25、m)1(lim)1()1(lim)1(lim)0()(lim0)( eexxxxxfxfxxfxxxxxxxx連續(xù)連續(xù)在在解：解： 第38頁/共228頁第三十九頁，共228頁。xyeyxxxyx1cos)3()2(234)1(22122 。求求間間斷斷點點，并并判判斷斷類類型型例例22.第一類第一類在在第二類第二類在在間斷。間斷。和和在在 412lim234lim,2234lim,1210)2)(1(23)1(22222212xxxxxxxxxxxxxxxxxxx函數(shù)無定義的點。函數(shù)無定義的點。初等函數(shù)間斷點就是使初等函數(shù)間斷點就是使解：解：第39頁/共228頁第四十頁，共228頁。01lim

26、limlim0)2(1010101 xxxxxxxeeexe來討論。來討論。在判斷時須分兩種情況在判斷時須分兩種情況間斷間斷在在第二類第二類為第二類為第二類極限不存在極限不存在間斷。間斷。在在 2cos1lim1coslim01cos)3(20202xxxxxx23.第40頁/共228頁第四十一頁，共228頁。 )(3xf設設例例11111)2(2 xxxxxx續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間。的的連連續(xù)續(xù)性性，并并寫寫出出其其連連討討論論的的定定義義域域。寫寫出出)()2()()1(xfxf連續(xù)連續(xù)在在的情況的情況及及主要看分段點主要看分段點）（定義域定義域）（解：解：1)1()01()01(1)1(1lim)

27、01(1)2(lim)01(112),(1121 xffffxfxfxxxx24.第41頁/共228頁第四十二頁，共228頁。),1()1,(101lim)01(1lim)01(11 因因此此，連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間為為間間斷斷。在在xxfxfxx25.exexxxxxxxxxxxxxx 1)1(lim)11(lim11sinlimsinlim1sinlim1210110或或或或限限）熟熟練練掌掌握握兩兩種種重重要要極極（計計算算：的的連連續(xù)續(xù)。種種定定義義，會會判判斷斷分分段段點點）函函數(shù)數(shù)在在一一點點連連續(xù)續(xù)的的兩兩（，并并會會判判斷斷。）理理解解無無窮窮小小量量的的概概念念（概概念念：極極限限

28、與與連連續(xù)續(xù)第第二二章章小小結結第42頁/共228頁第四十三頁，共228頁。1sinlim.011sinlim.01sinlim.01sinlim.13210 xxDxxCxxBxxAxxxx）（下列計算結果正確的有下列計算結果正確的有例例。會求間斷點并判斷類型會求間斷點并判斷類型）（求函數(shù)極限。求函數(shù)極限。）能熟練運用初等方法）能熟練運用初等方法（01sinlim.1sinlim1sinlim.011 xxBxxAxxxxx分析分析解：解：26.第43頁/共228頁第四十四頁，共228頁。求求求下列極限求下列極限例例選選CcxcxxxxxBxxDxCxxxxxxx, 4)(lim)3(114

29、sinlim)2(arctanlim)1(2)(0sinlim.0sinlim.0111 0arctanlim2|arctan|01)1( xxxxxx而而時，時，當當解：解：27.第44頁/共228頁第四十五頁，共228頁。ccuxcxcuucxcxxxxxxxxxxxxxx 221111)3(8)11(444sinlim)11(4sinlim)11()11()11(4sinlim)2(00000令令型型解：解：原式原式型型解：解：28.第45頁/共228頁第四十六頁，共228頁。2ln4ln241)11()11(lim)11(lim)(lim2222 cceeuuucxcxccccuucc

30、uuxx)(lim),(lim),(lim),(lim22221)(112)3(3215233xfxfxfxfxxxxxfxxxPxxxx 求求：作作業(yè)業(yè)中中的的問問題題29.第46頁/共228頁第四十七頁，共228頁。然然后后再再做做判判斷斷。看看它它是是否否滿滿足足從從左左、右右兩兩側側去去分分析析，均均為為分分段段點點，其其極極限限應應及及就就錯錯了了。因因為為式式去去計計算算，這這樣樣時時僅僅由由其其某某一一側側的的表表達達和和有有些些同同學學在在求求在在解解答答此此題題的的過過程程中中，),0()0(21)(lim)(lim0021 xfxfxxxfxfxx30.第47頁/共228頁

31、第四十八頁，共228頁。處處的的導導函函數(shù)數(shù)：函函數(shù)數(shù)在在點點處處的的導導數(shù)數(shù)：函函數(shù)數(shù)在在點點導導數(shù)數(shù)的的定定義義的的線線密密度度求求非非均均勻勻分分布布的的細細直直桿桿速速度度求求變變速速直直線線運運動動的的瞬瞬時時引引進進xbaxxxfxxfxfxxmxxmxxmxtSttSttStVxxt, ),(2)()(lim)(1)2()()()(lim)(2)()()(lim)(1)1(000000000000000 1.第48頁/共228頁第四十九頁，共228頁。xyxfxxfyxfxfxfxfxxxfxfxfxxfxxfxfxfxbaxfbaxfx 求求比比值值求求：步步用用定定義義求求導

32、導數(shù)數(shù)的的步步驟驟存存在在。就就可可得得到到是是數(shù)數(shù)值值中中令令在在是是函函數(shù)數(shù)。是是數(shù)數(shù)值值；：注注為為導導數(shù)數(shù)。的的導導函函數(shù)數(shù)。有有時時也也簡簡稱稱的的函函數(shù)數(shù)，這這個個函函數(shù)數(shù)稱稱為為然然是是一一對對應應的的導導數(shù)數(shù)值值，它它當當中中取取定定一一點點，則則可可得得到到或或者者說說每每在在值值對對應應的的導導數(shù)數(shù)內內每每一一點點都都可可導導，均均有有在在若若2)()(1)3()4()0()0()()3()()(2)()(1)()(lim)()(),()(),()(0000000002.第49頁/共228頁第五十頁，共228頁。xxeeaxxaaaxxnxxxxnxxxyxyxxaxxnn

33、x1)(ln)(ln1)(logln)(sin)(cos)(cos)(sin)()5(021lim3110 導數(shù)公式導數(shù)公式?？梢詾榱?，但可以為零，但定義去求。定義去求。數(shù)必須用數(shù)必須用分段函數(shù)在分段點的導分段函數(shù)在分段點的導注注3.第50頁/共228頁第五十一頁，共228頁。注：tanx與arctanx的導數(shù)(do sh)公式千萬不要記反了！22222211)(arccos11)(arcsin11)cot(11)(arctancsc)(cotsec)(tanxxxxxxarcxxxxxx xxxxxxcotcsc)(csctansec)(sec 4.第51頁/共228頁第五十二頁，共228頁

34、。5ln)4(1)3()2(5)1(132 yxyxyxy求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)例例313132310325)5()1( xxxy解解：5.51)5(ln0)5(ln)4(1)1(1)()3(21)(2121)()2(22212121 注意：注意：即：即：即：即：yxxxxxyxxxxxy第52頁/共228頁第五十三頁，共228頁。 )(2xf設設例例0001sin xxxx處處是是否否可可導導？試試問問在在分分界界點點0 x)(00)0(0)(1sinlim0sinlim)0()0(lim)0(00100直直接接用用導導數(shù)數(shù)公公式式去去求求導導表表達達式式，不不能能利利用用某某一一

35、點點的的函函數(shù)數(shù)：注注意意的的導導數(shù)數(shù)不不存存在在。在在此此極極限限不不存存在在應應該該用用定定義義求求。是是分分段段點點，所所以以其其導導數(shù)數(shù)由由于于解解： fxxfxxxxfxffxxxxx6.第53頁/共228頁第五十四頁，共228頁。導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義. 1),(00yxP)(xfy 0 x xyo)()(1)()()(0000, 00000, 0 xxxfyyyxPxxxfyyyxP 點的法線方程：點的法線方程：過過點的切線方程：點的切線方程：過過由此得出：由此得出：其圖形中出現(xiàn)了尖點。其圖形中出現(xiàn)了尖點。點連續(xù)但不可導。點連續(xù)但不可導。在在例如：例如：成立。成立。連續(xù)，但

36、反過來不一定連續(xù)，但反過來不一定可導可導0|. 2 xxy tan)(0 xf7.第54頁/共228頁第五十五頁，共228頁。2)()()(.3vvuvuvuvuvuvuvuvu 導導數(shù)數(shù)的的運運算算法法則則向向內內層層逐逐層層求求導導。層層復復合合過過程程，求求導導時時由由外外關關鍵鍵是是準準確確分分析析函函數(shù)數(shù)的的注注則則設設則則）設設（復復合合函函數(shù)數(shù)的的求求導導法法則則)()()()()(),(),()2()()()()(),(1. 4xvgufyxgfyxvvguufyxgufyxgfyxguufyxx 8.第55頁/共228頁第五十六頁，共228頁。, )(0),(. 5)4(co

37、s3)8sin(24)4sin()4cos(2)4(cos3214,cos,3,)4(cos32222yxyyyxFxxxxxwvuyyxwwvvuuyyxyxwvux求求確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)設由設由隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法分析分析解解求求例如：設例如：設 9.第56頁/共228頁第五十七頁，共228頁。10.xyyyyyxyyyyxxyyxxyyxxxxx212021)(0)(110ln)(2222 在解出在解出）（求求先對中間變量先對中間變量的導數(shù)要將的導數(shù)要將求導求導先兩邊對先兩邊對）（解：解：求求例如例如求導，記住求導，記住方法：在方程兩邊對方法：在方程兩邊對)(2xyy第57頁/

38、共228頁第五十八頁，共228頁。11.)(sin,)()1(. 63)(xxxvxyxyxuy 如如只能用此法。只能用此法。對冪指函數(shù)對冪指函數(shù)注注微分法求導。微分法求導。然后按隱函數(shù)然后按隱函數(shù)先在方程兩邊取對數(shù)，先在方程兩邊取對數(shù)，方法：方法：對數(shù)求導法對數(shù)求導法)ln(sinln)1()(sin)1)32()2(3xxyxyxxyx 取取對對數(shù)數(shù)解解：例例：如如：用用此此法法較較簡簡便便。乘乘冪冪及及開開方方形形式式的的函函數(shù)數(shù)第58頁/共228頁第五十九頁，共228頁。12.式式求求。不不能能按按指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)求求導導公公數(shù)數(shù)求求導導公公式式求求，也也求求導導時時，既既不不能能按按

39、冪冪函函注注求求導導對對cot)ln(sin)(sincossin1)ln(sin1)2(xxxxyxxxxyyxx xyxyxxyeyeyxxx 11)(1| 10100法法線線方方程程：切切線線方方程程：代代入入注注意意一一定定要要將將解解法法線線方方程程。）處處的的切切線線方方程程，在在（求求函函數(shù)數(shù)例例例例題題分分析析第59頁/共228頁第六十頁，共228頁。13.）（答案：（答案：求求若若思考：思考：分析分析解解求求：設：設例例)0( ,)99()2)(1()(! 3)3()2()1()0( )2)(1()3()1()3)(2()3)(2)(1()2()3()1()3)(2()3)(

40、2)(1()3)(2)(1()3)(2)(1()( )0( ,)3)(2)(1()(2fxxxxxffxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxffxxxxxf ！99 第60頁/共228頁第六十一頁，共228頁。14.42)1(24)2()(112,arccos)1()4(ln1)3(2)2(2arccos)1(322222arctan2sin12 xxxxxxyxuuyeyxyyxyxxx分析分析解解求下列復合函數(shù)的導數(shù)求下列復合函數(shù)的導數(shù)例例第61頁/共228頁第六十二頁，共228頁。15.xxxxxxyxvvuuyxxxxyxvvuyxxu22221sin2sin2ln

41、1ln1ln2ln121ln,1,)3(2lncos22cos2ln2,sin,2)2(22 分析分析解解分析分析解解第62頁/共228頁第六十三頁，共228頁。xxexxeyxvvueyxu121arctan221arctan11)1(111,arctan,)4( 分析分析解解16.導導法法。要要用用對對數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)的的冪冪指指函函數(shù)數(shù)，因因此此的的是是屬屬于于底底和和指指數(shù)數(shù)都都是是分分析析解解的的導導數(shù)數(shù)求求例例xxxyxx22)(cos)(cos4 第63頁/共228頁第六十四頁，共228頁。17.tan2)ln(cos2)(cos)sin(cos12)ln(cos21)ln(co

42、s2ln)(cos22xxxxyxxxxyyxxyxyxx 求導求導取對數(shù)取對數(shù)由由解解xyyxyyxyxeyxyxxyarctanln)3()0( ,0)2ln()1()2(13)1(5222222 求求求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)例例第64頁/共228頁第六十五頁，共228頁。18.xyxyxyxyxyxyxexyxyyeyyyxeyeyyxyyxxyxyyeyyxyyxxyyxeyxyx 32232332)() (2) (32)(13)1(22解出解出要按乘積的法則求要按乘積的法則求注意：注意：求導，記住求導，記住兩邊對兩邊對這是屬隱函數(shù)求導這是屬隱函數(shù)求導解解第65頁/共228頁第

43、六十六頁，共228頁。19.852)(*2*204222220) 22(2)2()1)(2(2)2(0) 22(212)1()(0)2ln()1()2(321210|212332222222222 xxyyxxyyxxyyyxxyyyxyyyxxyyxyyyyxyxyyxyxyyyxyx由原方程得由原方程得時時當當解出解出注意注意記住記住兩邊求導兩邊求導解解第66頁/共228頁第六十七頁，共228頁。20.yxyxxyxxyxyxyyxyyyxxyxyyyxyxxyyxxyyxyxxylnlnln;lnlnln;lnln)(11) 22(121arctan)ln(21arctanln)3(22

44、222222 要要充充分分利利用用對對數(shù)數(shù)性性質質：注注求求導導形形式式可可先先化化簡簡為為了了求求導導時時不不出出現(xiàn)現(xiàn)根根式式解解第67頁/共228頁第六十八頁，共228頁。2000)()()()2(2;)( 1)( )( )1(. 1vudvvduvududvvduvuddvduvudxdyxxxfdydxxfxxfdy 運算法則運算法則的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。是是及及、依賴于依賴于定義定義微分微分21.第68頁/共228頁第六十九頁，共228頁。22.)( )( )( )()()( )( )()()()()4()( )3()( )( 22tttdxdydxdydxddxydtttdtdd

45、xdytxtyuduufdytt 注注參參數(shù)數(shù)方方程程的的微微分分法法是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量不不論論一一階階微微分分形形式式不不變變性性第69頁/共228頁第七十頁，共228頁。23.)(1)()()()()(110)1()()1()!1()1()1ln()2cos(cos)2sin(sin!2;)(;)(1)5(nnnnnxnxonnnnnnxnyxynxyxynxyxyeyeynayaxaxaynyyyyyy 階導數(shù)階導數(shù)常見的常見的定義：定義：高階導數(shù)高階導數(shù)第70頁/共228頁第七十一頁，共228頁。2sin211arctan)3()2(4cos)1(112xyeyx

46、eyxx 求下列函數(shù)的微分求下列函數(shù)的微分例例dxxxedyxxexexexexexeydxydyxxxxxxx)4sin24(cos2)4sin24(cos24sin44cos2)4(cos4cos)()4cos()1(21212121212121 求出求出由由解法一解法一解解24.第71頁/共228頁第七十二頁，共228頁。25.dxexdyexxxxeyxttvvueyeydxydydxxxexdxedxxexdxexdxexdeexddyduufdyxxxxxxuxxxxxxx12121212sin22sin222sin2sin21212121212121sinsin)1(1cos)1

47、sin2(1,sin,)2()4sin24(cos24sin44cos2)4()4sin()21(4cos)4(cos)(4cos)()1( 復復合合成成是是由由求求由由解解法法一一解解求求運運用用微微分分法法則則和和另另解解第72頁/共228頁第七十三頁，共228頁。26.dxexxdxxexdxedeeddyduufdyxxxxxxx1212121212sin22sinsin12sinsinsin)1(1cos)1sin2()1(sin)1sin2()sin()()( 求求反復利用反復利用解法二解法二第73頁/共228頁第七十四頁，共228頁。27.dxxxxxdxxxdxxddyduuf

48、dydxxxxdyxxxxxxxydxydy2222222222222221)2()1(12121)1()1(11)1(arctan)(1)2(1)2(2121)1(11)1(arctan)3( 求求反復用反復用解法二解法二求求利用利用解法一解法一解解第74頁/共228頁第七十五頁，共228頁。28.222dxyd的二階導數(shù)的二階導數(shù)求求例例tteyex23 求一階導數(shù)求一階導數(shù)再對再對并不是將并不是將注意注意解解tedxydeeeeedxyddxydeeeeedxdyttttttttttt222323423222232943)3()(3232)3()2( 第75頁/共228頁第七十六頁，共2

49、28頁。29.1)0()1(1)(11)()0(, )1ln()(32 fxxfxxfyxxf解解求求設設例例不不變變性性）掌掌握握一一階階微微分分的的形形式式（理理解解二二階階導導數(shù)數(shù)的的含含義義）（及及它它們們的的幾幾何何意意義義理理解解導導數(shù)數(shù)與與微微分分的的概概念念）（概概念念導導數(shù)數(shù)與與微微分分第第三三章章小小結結321. 1第76頁/共228頁第七十七頁，共228頁。30.數(shù)的導數(shù)。數(shù)的導數(shù)。會求參數(shù)方程形式的函會求參數(shù)方程形式的函）（點的切線和法線方程。點的切線和法線方程。會求曲線在會求曲線在）（導數(shù)或微分。導數(shù)或微分。函數(shù)、冪指函數(shù)的函數(shù)、冪指函數(shù)的熟練掌握復合函數(shù)、隱熟練掌握

50、復合函數(shù)、隱）（計算計算3),(21. 200yxP1ln)1ln()sin(,11ln)sin(0 yxxydxdyyxxyx可可先先化化簡簡方方程程中中含含有有對對數(shù)數(shù)，注注意意解解求求已已知知例例第77頁/共228頁第七十八頁，共228頁。31.)1(1|01)cos()1()cos()1()cos(111)cos(0111)(cos()(202eeeeyeyxxxyxxyxyyxyyxyyxyyyxyxyyxyxyxyxyyxx 因因此此，由由原原方方程程得得出出時時當當，牢牢記記求求導導兩兩邊邊對對1ln)1ln()sin( yxxy第78頁/共228頁第七十九頁，共228頁。32.

51、dxxxxdyxxxxxxxyxttvvuuydyxy22222222222222cos12sincos12sin)2)(sin(cos2cos121cos,1,cos1 ，分析分析解解求求設設例例第79頁/共228頁第八十頁，共228頁。1.中值定理(1)拉格朗日定理(微分中值定理) 條件：81 f(x)在a ,b連續(xù)(linx) 2 f(x)在(a ,b)可導 結論：至少存在一點 （a ,b),使得（切線的斜率等于弦AB的斜率）其等價形式：設 ,則abafbff)()()(0 xaxabxfoxfxoxf)()()(BaAbxy1.),(xxxoo注特例：若洛爾定理使則 0)( ),( )

52、,()(fbabfaf第80頁/共228頁第八十一頁，共228頁。（2）柯西定理(dngl) 條件：1 結論(jiln)：至少存在一點上連續(xù)在,)(),(baxgxf0)(),()(),( xgbaxgxf上可導且在)()()()()()( ),( gfagbgafbfba使（3）關系(gun x)： 洛爾拉格朗日)()(bfafxxg)(推廣柯西推廣2. 洛必達法則) 00 (型1）0)(lim)(limxgxfoxxoxx2）0)( xg3）)( )()(lim或Axgxfoxx則 )( )()(lim)()(lim或Axgxfxgxfoxxoxx注（1）若將條件1）改為)(lim)(li

53、mxgxfoxxoxx結論仍成立。即”“型洛必達法則。2.2第81頁/共228頁第八十二頁，共228頁。( 2 ) 洛必達法則(fz)只適用于00 或型。在需連續(xù)使用(shyng)時，必須每次檢驗是否為00 或型。 （3）3. 函數(shù)(hnsh)的單調性在(a , b)內若若增加單調則 )( 0)(xfxf減少單調則 )( 0)(xfxf4.極值 說明：1）極值是個局部性概念。 2）極小值可能大于極大值。1x2x3x4x5x )(1極小xf極大 )(4xf3.第82頁/共228頁第八十三頁，共228頁。1）（ox是駐點(zh din) ）2）注極值點不一定(ydng)是駐點。 5. 極值(j z

54、h)點的必要條件若 )(的極值點是xfxo0)(oxf可導在 )(oxxf是極值點的充分條件 0 x6.1)為極大點是左正右負 )(oxxf2) 為極小點是左負右正 )(oxxf3) 不是極值點兩邊不變號在 )(ooxxxf 例：下列結論正確的有（ ） A. 連續(xù)一定可導。 B. 極值點一定是駐點。 C. 駐點一定是極值點。 D. 若處可能取得極值則在 0)(oxoxf。4.第83頁/共228頁第八十四頁，共228頁。 二. 例1 求下列(xili)函數(shù)的極限244sinlim ) 1 xxoxx2sin1xcoslim )2 xoxexxxox3sinsintanlim )3 xxxox3s

55、inarcsinlim )4 )1(cotlim )5 xxox 解：1） 型 00244sinlim xxox=164xx4cos8lim4x21x4cos4lim)24x()x4(sinlim oxoxox2） 型 00 x2sin1xcoslim xoxe=21x2cos2)xsinxcoslimx2cos2xsinxcoslim (xoxxxoxeee5.第84頁/共228頁第八十五頁，共228頁。212coslim cossin6)sin(cos3lim) 00 (sin3cos1limcos1lim ) 00 (cossin3cos1limcossin3cosseclimsinsi

56、ntanlim 2233232233xxxxxxxxxxxxxxxxxxoxoxoxoxoxoxox3) 型 00析出(xch)定型(dng xng)洛另解 21cos)cos1 (1lim cos)cos1 (cos1lim ) 00 (cossincos1lim sinsincossinlim sinsintanlim 2233xxxxxxxxxxxxxxxoxoxoxoxox化簡6.第85頁/共228頁第八十六頁，共228頁。61)x1 (limxsinxlim61 ) 00 (xsin)x1 (xlim61 xcosxsin2)x2()x1 (lim31 ) 00 (xsinx1 (1

57、lim xcos31lim ) 00 (xcosxsin3x111lim xsinxarcsinxlim 232oxox232ox232ox221)2oxox22ox3ox214) 型 00析出(xch)定型(dng xng)析出(xch)定型7.第86頁/共228頁第八十七頁，共228頁。5. 0sincoscoscossinlim ) 00 (cossinsinlimcossincossincoslim ) 00 (sinsincoslim)1sincos(lim )1(cotlim xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxoxoxoxoxox型 錯：原式)1csc(

58、lim22xxox例2 求下列(xili)函數(shù)的極限解： 通分洛8.)11ln1(lim ) 1 1xxx)arctan2(lim )2xxx2111ln1lim) 00 (1ln1lim 1) 1(ln11lim) 00 (ln) 1(ln1lim)11ln1(lim 11111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx型 不能直接(zhji)用洛必達法則第87頁/共228頁第八十八頁，共228頁。122lim) (1lim 11lim) 00 ()arctan2(lim)arctan2(lim 22221xxxxxxxxxxxxxxx型 0 2) 不能直接(zhji)用洛必達法則小結(x

59、ioji)：對型然后再用法則或型必須先化為型或 00 - 0例 3 函數(shù)(hnsh) ( 12的單調減少區(qū)間是xxy1 x D. 1 x . C 1 xB. 1 x.A解： 1）求及不可導點 0)( xf不存在的點無 1 0)1 (1)1 (2)1 (1222222yxxxxxxxy9.第88頁/共228頁第八十九頁，共228頁。2)列表(li bio)（用求出的點劃分定義域） 0 0 )( ) (1, 1 1) 1,( 1 1) , ( xfx極小(j xio)極大(j d)(xfC 選例4 求函數(shù)的單調區(qū)間及極值 1)(2xxxf解：1）求及不可導點 0)( xf0) 1()2() 1(2

60、) 1(1) 1(2)( 22222xxxxxxxxxxxf10.第89頁/共228頁第九十頁，共228頁。1 0 2 321 xxx2) 列表(li bio)（用求出的點劃分定義域) , 1() 1 ,() 0 ) (0, 0 )(xf極大(j d)極小(j xio)間斷 0 )()0 1,( 1 1), 2( 2 2) , ( xfx3）極值和單調區(qū)間為單調減少區(qū)間和為單調增加區(qū)間和極小極大 )0 1,( ) 1 , 2( ) (0, )2 ,(0)0( 4)2(ff11.第90頁/共228頁第九十一頁，共228頁。1. 最大值與最小值應用(yngyng)問題的解題步驟： 1）建立函數(shù)關系