1、-用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法一、 洛必達(dá)法則求函數(shù)極限的條件及適用圍一洛必達(dá)法則定理定理11 假設(shè)函數(shù)與函數(shù)滿足以下條件：1在的*去心鄰域可導(dǎo)，且23 則包括A為無窮大的情形定理2 假設(shè)函數(shù)和滿足以下條件1在的*去心鄰域可導(dǎo)，且23 則包括A為無窮大的情形此外法則所述極限過程對下述六類極限過程均適用：。定理證明：作輔助函數(shù)于是函數(shù)F(*)及G(*)在連續(xù)，在可導(dǎo)，并且今對任意一點，利用柯西中值定理得由的定義，上式即所以當(dāng)時這時顯然有，對上式兩端取極限，即證畢。關(guān)于定理二的證明方法也同定理1類似，這里就不點出。當(dāng)然，還有其他不同的證明方法。二洛必達(dá)法則使用條件只有在分子、分母同時趨于零或者同

2、時趨于無窮大時，才能使用洛必達(dá)法則。連續(xù)屢次使用法則時，每次都要檢查是否滿足定理條件，只有未定式方可使用，假設(shè)是檢查結(jié)果滿足法則使用條件，才可連續(xù)使用洛必達(dá)法則，直到求出函數(shù)極限或者為無窮大，否則就會得出錯誤的結(jié)果，下面舉個例子來說明。例1：求分析：根據(jù)洛必達(dá)法則使用條件，此式為型，所以可以使用洛必達(dá)法則，但是，結(jié)果所得非不定式，所以只能使用一次洛必達(dá)法則，而不能再進(jìn)展第二次。解： 事實上，這里為了說明問題，才使用上面的解法，這里也可以看出，尋找最為簡便的解題方法才是正確解題的關(guān)鍵。二、洛必達(dá)法則的應(yīng)用一 根本類型：不定式直接應(yīng)用法則求極限例2：求解： 這是待定型。運用洛必達(dá)法則，我們有因為

3、從而 例4：求解：上述極限是待定型，于是二 未定式的其它類型：、型極限的求解此外，除了這兩種待定型外，還可以通過轉(zhuǎn)化，來解其他待定型。譬如等待定型，由于他們都可以轉(zhuǎn)化為，因此，也可以用洛必達(dá)法則來求出他們的值2。關(guān)于如何轉(zhuǎn)換，例如則是形式，這時，可以寫為，這就轉(zhuǎn)化為了。此外對于等不定式，可以取對數(shù)化為的形式，再運用如上方法便可轉(zhuǎn)化為了，下面對這些待定型一一舉例解答以作說明3。例5：解：這是型，設(shè)法化為形式： = = = =例6：求解：這是 =e*p =e*p =例7：求解:這是待定型，經(jīng)變形得，而故 例8：求解：這是待定型，可變形為，成了待定型，于是例9：求解：這是待定型，由對數(shù)恒等式知，運用

4、例8可得三、洛必達(dá)法則對于實值函數(shù)的失效問題洛必達(dá)法則可謂是在求不定式極限中作用最為顯赫的一種方法，當(dāng)然，它也有失效的時候?！笆У脑騽t是因為題目本身不滿足可以使用洛必達(dá)法則的幾個條件。所以，在要使用洛必達(dá)法則時，則要檢驗該題目是否符合洛必達(dá)法則條件，洛必達(dá)法則失效的根本原因有以下幾種。一使用洛必達(dá)法則后，極限不存在非，也就是不符合以上定理1、2的條件34 例10：計算 解：原式=二使用洛必達(dá)法則后，函數(shù)出現(xiàn)循環(huán)，而無法求出極限，也就是不符合定理1、定理2的條件3 例11：計算 解：原式=1三使用洛必達(dá)法則后，函數(shù)越來越復(fù)雜，無法簡單判斷出函數(shù)是否存在極限，也就是不符合定理1、定理2的條件3

5、 例12：計算 解：令，則原式=四求導(dǎo)后有零點，也就是不滿足條件例如，的極限是不存在的，事實上，取，此時分母的導(dǎo)數(shù)是有零點的。四、洛必達(dá)法則與其它求極限方法比擬使用洛必達(dá)法則時不要無視別的求極限方法，并不是所有不定型用洛必達(dá)法則最為方便，在關(guān)注使用洛必達(dá)法則的同時，我們還要注意到其他求極限的方法，依題目而選定最適宜的方法。對于解函數(shù)極限的題，假設(shè)是不定式符合洛必達(dá)法則條件，確實可使用洛必達(dá)法則，但也不是說單一只能使用洛必達(dá)法則，也可以試著洛必達(dá)法則同其他方法一起，可能可以使解題更為簡便。一洛必達(dá)法則與無窮小代替法應(yīng)用等價無窮小量代替法化簡，牢記以下等價無窮小量：當(dāng)時，用此方法應(yīng)要注意，加減的無

6、窮小量不能用等價無窮小量代替，需是無窮小量比的形式，或是極限中的乘積因子為無窮小量，且替換后極限存在，才能用等價無窮小量替換5，下面舉個例子作為比擬。例13 求解1：運用無窮小量代替法解2：利用洛必達(dá)法則= = = =分析：此題假設(shè)直接用洛必達(dá)法則，則會較麻煩，相反，假設(shè)之前先用無窮小量替代，就可簡化解題過程。解：=二洛必達(dá)法則與運用極限的運算和的極限求極限比擬6利用極限的定義和適當(dāng)放大法也是可以求出一些較為“簡單形式變量的極限。一旦我們知道了一些極限后，用加減乘除的方法就可以計算出一些較為復(fù)雜的極限，這也是極限運算中比擬常見、便捷的方法。如下幾個例子，就可以運用加減乘除簡便的求出函數(shù)的極限。

7、例14：求解1: =這里運用到了解2：此題假設(shè)是使用洛必達(dá)法則，則需要使用洛必達(dá)法則四次，顯的尤為繁瑣，這里可以給出洛必達(dá)法則求此極限的解題過程，以做說明。 = 第一次運用洛必達(dá)法則 = = 第二次運用洛必達(dá)法則 = = 第三次運用洛必達(dá)法則 = 第四次運用洛必達(dá)法則所以原式=。單已例14為例，縱觀用極限運算和極限來求函數(shù)極限同使用洛必達(dá)法則求極限，顯而易見前者要顯的簡單的多，在實際極限運算中，要靈活應(yīng)用，找出最適合該題的解法。三洛必達(dá)法則與利用夾逼定理求函數(shù)極限比擬夾逼定理也是求函數(shù)極限的一種有效方法。定理容：如果對于點的*一零域的一切，但本身可以除以或?qū)τ诮^對值大于*一正數(shù)的一切有不等式成

8、立，且，則。使用兩邊夾法則求函數(shù)極限，關(guān)于在于把適當(dāng)放大或者縮小。下面舉個例子分別用洛必達(dá)法則和夾逼定理來求函數(shù)極限，以作比擬。例15：求解1：運用兩邊夾定理對于任意，當(dāng)時，有且根據(jù)兩邊夾定理，則解2：利用洛必達(dá)法則分析：首先可以看出原式是屬于形式，所以要利用轉(zhuǎn)換，把原式化為洛必達(dá)法則標(biāo)準(zhǔn)形式，但是這里，需要運用到兩次轉(zhuǎn)換，過程顯得有些繁瑣。 第一次轉(zhuǎn)換 先求 第二次轉(zhuǎn)換 = = 綜上：原式=縱觀這兩種解法比擬，假設(shè)說篇幅，單是解題過程，兩邊夾定理要比洛必達(dá)法則簡便，但是假設(shè)說難易程度，則洛必達(dá)法則要比兩邊夾定理的應(yīng)用來的簡單易懂些。五、洛必達(dá)法則求極限考前須知小結(jié)誠然，洛必達(dá)法則的容簡單，使

9、用方便，但在使用過程中，一但疏忽以下幾點，很可能造成運算出錯。一洛必達(dá)法則條件不可逆洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不是必要的。因此，在型或型中，存在，并不能斷言不存在，只是這是不能使用法則，而必須尋找其他適宜的解題方法，以下例子可以明顯看出。例16：求分析：根據(jù)洛必達(dá)法則使用條件，此題屬于型，此時假設(shè)使用洛必達(dá)法則則，顯而易見極限不存在，但是是否原式的極限也不存在.答案是否認(rèn)的，下面我們用其他方法來解此題。解：結(jié)果為1，所以原式的極限是存在的。所以，法則失效時要尋求別的方法來求極限。二使用洛必達(dá)法則時，應(yīng)及時化簡使用洛必達(dá)法則時，應(yīng)及時化簡，主要是指代數(shù)、三角函數(shù)的變形，經(jīng)常使用的就有無窮小量代

10、替法、別離極限不為零的因子、變量代換等下面通過例子說明7。例17：分析：此題假設(shè)是直接使用洛必達(dá)法則，察其復(fù)雜程度，求導(dǎo)定會帶來復(fù)雜運算，直接使用無窮小量代換又不知分子如何代換，故可以考慮拆開來看，具體解題過程如下。解： = = = =上題運用了無窮小量代替法、別離極限不為零的因子、洛必達(dá)法則等幾種方法，由這題可知，洛必達(dá)法則不可貿(mào)然使用，必要時應(yīng)同其他方法結(jié)合使用，以化簡解題過程。三不定型轉(zhuǎn)換從上面洛必達(dá)法則介紹中可知，使用洛必達(dá)法則的只有，對于其他不定型只有對其進(jìn)展轉(zhuǎn)換，變?yōu)椴欢ㄐ?，才能使用洛必達(dá)法則求解。然，轉(zhuǎn)換過程也有一定講究。對型進(jìn)展轉(zhuǎn)化時，誰放分子，誰放分母是有講究的，如下例子說明。例18：求分析：明顯此題是屬于不定型，假設(shè)如下轉(zhuǎn)換：極限反倒變復(fù)雜了，所以替換應(yīng)看清如何簡便計算，以進(jìn)展適宜的替換。解：. 以上幾點注意只能說明洛必達(dá)法則中常出現(xiàn)的幾點，但是也不可能涵蓋到出現(xiàn)的所有情況完全，在解題過程中，只有根據(jù)題目，靈活運用各種所學(xué)的知識，才能方便解題，提高解題效率。參考文獻(xiàn)1歐中.朱學(xué)炎.金福臨.傳璋.數(shù)學(xué)分析. M .高等教育.19972燮昌.邵品琮.數(shù)學(xué)分析縱橫談. M .：大學(xué)，19913吳炯圻.躍輝.唐